Ejercicios resueltos de funciones generatrices. Matemática discreta 4º Ingeniería Informática

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1 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca. Determa la fucó geeratrz para el úmero de formas de dstrbur 5 moedas de u euro etre cco persoas, s (a o hay restrccoes; (b cada persoa obtee al meos u euro; (c cada persoa obtee al meos dos euros; (d la persoa de mayor edad obtee al meos 0 euros; y (e las dos persoas más jóvees debe obteer al meos 0 euros. La solucó se correspode co el coefcete de 5 de: a (... 5 ; b (... 5 ; c (... 5 d ( 0...(... e ( (.... Ecuetre las fucoes geeratrces para las sguetes sucesoes. (Grmald a,... b,,..., 0 c, -,, -,,... d 0, 0, 0,,,,,,... e 0, 0, 0, 6, -6, 6, -6, 6... f, 0,, 0,, 0,,... g,,,, 6... h 0, 0,, a, a, a,..., co a 0 a Obvamete so los coefcetes del desarrollo de ( b S dervamos f (, obtedremos f '(., cuyos 0 coefcetes so los de la sucesó dada. Dado que la fucó geeratrz de f( es (, etoces la fucó geeratrz de la sucesó dada es ( 7 c f(... (.f(... ( Sumado ambas epresoes obteemos (f(, de dode f( /( d f( 5... (... Ahora be, es fáclmete demostrable (tétese como ejercco que la fucó geeratrz de la sucesó costate k, k, k, k,... es k/(-; e partcular para,,, será /(-, de dode: f( / (- (E geeral la fucó geeratrz de la sucesó 0,..., 0,,,,,,... sedo 0 los k prmeros térmos, es f( k / (- e f( ( -... y aplcado el apartado c la fucó geeratrz pedda es: f( 6 / ( f f( 6... (. José M. Ramos Gozález

2 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca -.f( ( Sumado ambas epresoes obteemos (- f(, de dode f( / (- g f( 6... ( -f( ( Sumado ambas epresoes obteemos (- f(, de dode f( / (- h f( a a a 6....( a a.... El segudo factor a a..., es ua geeralzacó del apartado g, de dode f( /(-a. Determe la sucesó geerada por cada ua de las sguetes fucoes geeratrces. (Grmald a f( (- b f( /(- c f( /(- d f( /( e f( /(- f f(/(- 7 - a Desarrollado el cubo del bomo, se obtee la sucesó de coefcetes, e este caso e orde decrecete (.. para 0..., es decr:, -6, 5, -7 La sucesó pedda es -7, 5, -6,, 0, 0, 0, 0,... b f(. /(-; dado que /(- es la fucó geeratrz de la sucesó costate,,,, resulta que el polomo geeratrz resultate es (..., por tato la sucesó pedda es 0, 0, 0, 0,,,,,,... c f(. /(- ; dado que /(- es la fucó geeratrz de la sere polómca, como vmos e el apartado c del ejercco ateror,... resulta que el polomo geeratrz resultate es (..., de dode la sucesó pedda es 0, 0, 0,, 0,, 0,, 0,... d f( / (. Dvdedo e la forma usual, obteemos como cocete: por tato la sucesó es a (-. -, es decr, -, 9, -7,, -,... e f( / (-. Dvdedo, obteemos como cocete: por tato la sucesó es a -, es decr,, 9, 7,,,... f f(/( Como /(-, es la fucó geeratrz de la sucesó costate, la dada geera la sucesó -0,,,,,,,,,,... José M. Ramos Gozález

3 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca. E cada uo de los sguetes ejerccos, f( es la fucó geeratrz de la sucesó a o, a, a,... y g( la de la sucó b 0, b, b... Eprese g( e térmos de f(, para: a b y b a co b b, b 7 7 y b a co y 7 c b, b y b a co y d b, b, b 7 7 y b a 5 co,, 7 (Grmald a b tato c f( a o a a a a... g( a o a a a... restado ambas epresoes resulta f( g( (a -, por tato g( f( (-a f( a o a a a a... g( a o a a a restado ambas epresoes resulta f( g( (a - (a por g( f( (-a (7-a 7 7 f( a o a a a a... g( a o a a... f( g( (a - (a - g( f( - (a - - (a - 5 Determe la costate e el desarrollo de ( (/ 5 (Grmald SOLUCIÓN. ( (/ ( ( / (. La costate es el coefcete de grado 0, 0 es decr el coefcete de 0 y como la poteca geérca de e el sumatoro es -.( 5-0, gualado epoetes 0-0, de dode 0. Por tato el coefcete de 0 e el desarrollo es ( José M. Ramos Gozález

4 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca 6 a Ecuetre el coefcete de 7 e (... 5 b Ecuetre el coefcete de 7 e (... para etero postvo. (Grmald a Como la fucó geeratrz de,,, es /(-. El problema se reduce a hallar el coefcete de 7 e el desarrollo de (/(- 5 (- -5, resultado ser el úmero 5 7 combatoro ( 7 7 (* r r (* Recordemos que (, sedo u etero postvo. r r (demostracó hecha e el Grmald b Al gual que ates el problema se reduce a hallar el coefcete de 7 e el desarrollo de (/(- (- -, resultado ser el úmero combatoro 7 6 ( Ecuetre el coefcete de 50 e ( (Grmald La fucó geeratrz asocada a es, como vmos e el ejercco, apartado d 7 /(-. Por tato el coefcete de grado 50 de ( 7 /(- 6.(- -6 es el coefcete de grado de.(- -6 6, que es ( 7. Ecuetre el coefcete de 0 e ( (Grmald SOLUCION: E prmer lugar calculemos la fucó geeratrz asocada a la base: f( 5 6 ( Sea g( y -.g( Sumado ambos obtego g( (- 5 /(-; por tato f( (- 5 /(-. El problema se reduce a hallar el coefcete de 0, del desarrollo [ (- 5 /(-] 5 0. (- 5 5.(- -5, que se reduce a su vez a hallar el coefcete de 0 e (- 5 5.(- -5. Observemos que los grados de e el prmer factor solo puede ser 0 o eteros postvos múltplos de 5, por tato los casos que se puede presetar so los sguetes José M. Ramos Gozález

5 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca José M. Ramos Gozález 5 Grados e factor (- 5 5 Coefcete Grados e factor (- -5 Coefcete ( ( Así pues el coefcete peddo es Para etero postvo, ecuetre e ( ( el coefcete de (a 7 ; (b y (c r co 0 r, y r etero. (Grmald a Grados e factor Coefcete Grados e factor ( Coefcete Solucó: b Grados e factor Coefcete Grados e factor ( Coefcete

6 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca Solucó: 7 6 c Grados e factor Coefcete Grados e factor ( Coefcete 0 r r r- r r- r Solucó: r r r 0. Ecuetre el coefcete de 5 e los sguete ejerccos. a (- 0 b ( -5/(- c ( /(- a Obvamete 0 pues el mámo grado de ese desarrollo es. b Lo descompoemos e.( -5(- -. Así pues el problema se reduce a hallar el coefcete de e.( -5(- - Grados e factor ( -5 Coefcete Grados e factor (- - Coefcete Así pues el coefcete peddo es -5. José M. Ramos Gozález 6

7 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca c Grados e factor ( Coefcete Grados e factor (- - Coefcete Así pues el coefcete peddo es De cuátas formas se puede asgar dos doceas de robots détcos a líeas de motaje de modo que a al meos robots se asge a cada lea b al meos pero o más de 9 a La geeratrz es ( Sedo la solucó el coefcete de. La fucó geeratrz (... es (- -. Y el coefcete de e [ (- - ] equvale a hallar el coefcete de e (- - 5 que es El valor peddo sería 5 55 b E las cuatro leas tedríamos ( Sedo la solucó el coefcete de. La fucó geeratrz de es (... 6 que es (- 7 (- -. Y el coefcete de e [ (- 7 (- - ] equvale a hallar el coefcete de e (- 7 (- -. Los casos so: José M. Ramos Gozález 7

8 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca Grados e factor (- 7 Coefcete Grados e factor (- - Coefcete El valor peddo sería 5 5 De cuátas formas puede repartrse 000 sobres détcos, e paquetes de 5, etre cuatro grupos de estudates, de modo que cada grupo recba al meos 50 sobres, pero o más de 000 sobres? 000 sobres e paquetes de 5 so 0 paquetes, 50 sobres e paquetes de 5 so 6 y 000 sobres guales e paquetes de 5 so 0. El problema se reduce a repartr 0 paquetes guales e cuatro grupos de estudates de modo que cada grupo recba al meos 6 paquetes pero o más de 0. Es decr ( , sedo la solucó del problema el coefcete de 0 Fucó geeratrz de (... que es 6 (- 5 (- - Por tato, el coefcete de 0 de [ 6 (- 5 (- - ] es el coefcete de 96 de (- 5 (- -. Los casos so: Grados e factor (- 5 Coefcete Grados e factor (- - Coefcete Sol: José M. Ramos Gozález

9 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca. Se dstrbuye dos cajas de refrescos, co botellas de u tpo, y de otro, etre cco pertos que realza pruebas de sabores. De cuátas formas puede dstrburse las botellas de maera que cada perto recba: a al meos dos botellas de cada tpo; b al meos dos botellas de u tpo y tres del otro? a (... 5 ( La fucó geeratrz del problema sería ( , y la solucó sería el coefcete de [.(- - ] 0 equvale a calcular el coefcete de de ( que es: b Para las del tpo A (... 5 y para las del tpo B (... 5 ya que al meos ha de recbr La fucó geeratrz que resuelve el problema es ( (... 5 y medate las geeratrces correspodetes obtedríamos: [ (- - ] 5.[ (- - ] 5 5.(- -0 Se trata de hallar el coefcete de de (- -0 que es 0. S se laza veces u dado, cuál es la probabldad de que la suma de los resultados sea 0? E cada vez teemos: Al lazar veces, la fucó geeratrz del problema es ( Los casos favorables (es decr suma 0 lo costtuye el coefcete de 0 La fucó geeratrz asocada es f(.(- 6 /(- El problema se reduce a calcular el coefcete de 0 de [.(- 6 /(-] que se reduce a su vez a calcular el coefcete de de.(- 6.(- - Los casos que se preseta so: José M. Ramos Gozález 9

10 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca Grados e factor (- 6 Coefcete Grados e factor (- - Coefcete Los casos favorables so: Los casos posbles so Por tato la probabldad pedda es: 0, Carola recoge dero etre sus prmas para darle ua festa a su tía. S ocho de sus prmas promete dar cada ua,, o 5 dólares y las otras dos da cada ua 5 o 0 dólares, cuál es la probabldad de que Carola jute eactamete 0 dólares? Los casos favorables so aquellos e los que Carola jutará 0 dólares, que vee dado por el coefcete de 0 de ( 5.( 5 0, que, hacedo las fucoes geeratrces de los polomos base de los dos factores, resulta ser el coefcete de 0 de la sguete epresó: [.(- (- - ]. [ 5 ( 5 ] 6.(-.( 5 (- - reducédose a calcular el coefcete de de.(-.( 5 (- - Teemos Gr e.(- Coef Gr e ( 5 Coef Gr e (- - Coef José M. Ramos Gozález 0

11 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca José M. Ramos Gozález s multplcamos por flas las columas sombreadas y sumamos todos los productos, obtedríamos los casos favorables, que os da: Los casos posbles so 6. RV RV La probabldad pedda es: 0, De cuátas formas puede seleccoar Tomás cacas de u gra surtdo de cacas azules, rojas y amarllas, s la seleccó debe clur u úmero par de las azules? Eleccó de las rojas... Eleccó de las amarllas... Eleccó de las azules... (Cosdera que 0 es par y por tato admte la posbldad de que o haya bolas azules e la eleccó La solucó es el coefcete de e la fucó (....(... cuya fucó geeratrz asocada es (/(-.(/(-. Se reduce al coefcete de de (/(- (/(-. D C B A ( ( ( ( ( ( A((- B (- C ( D (- S, teemos C; de dode C ½ S -, teemos D, de dode D/ S 0, teemos A B 5/; AB/ S, teemos A-B / - /; A-B-/; de las dos últmas ecuacoes se obtee A/ y B/. 0. (... ( ( 0 sedo el coefcete de grado (Se calcula el coef de grado e cada sumado :. ( ( (.... ( ( 0 / ( / ( / / ( ( 0

12 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca 7. Cómo puede María repartr hamburguesas y 6 perrtos caletes etre sus hjos Rcardo, Pedro, Crstóbal y Jame, de modo que Jame recba al meos ua hamburguesa y tres perrtos caletes, metras que sus hermaos recbe, cada uo, al meos dos hamburguesas, pero a lo sumo cco perrtos caletes? Reparto de hamburguesas (e el orde Jame, Rcardo, Pedro y Crstóbal (... (... Reparto de perrtos caletes (e el orde Jame, Rcardo, Pedro y Crstóbal (... (... 5 El úmero de repartcoes de hamburguesas e las codcoes dadas es el coefcete de de./(-.[ /(-] 7.(- - que se reduce al cálculo del coefcete de 5 e (- -, resultado ser: 5 5 Es decr que hay 56 formas de repartr las hamburguesas e las codcoes epresadas. El úmero de repartcoes de perrtos caletes e las codcoes dadas es el coefcete de 6 de /(-.[(- 6 /(-].(- 6.(- - que se reduce al cálculo del coefcete de e (- 6 (- -, resultado ser: Gr e.(- 6 Coef Gr e (- - Coef Hay e total 7 formas de repartr los perrtos Por tato los repartos posbles sería Se tee ua bolsa co 5 cacas amarllas, rojas y 5 blacas. Se elge, ó 5 amarllas,, ó rojas y, ó 5 blacas, de cuátas formas se puede elegr 0 cacas? SOLUCION: Es el coefcete de 0 de ( 5.(.( 5 ( (.( que se reduce al coefcete de 6 de ( (.( que se correspode co José M. Ramos Gozález

13 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca 0, 0,, 0, que so casos. 9. Calcula la fucó geeratrz para el úmero de formas de teer cétmos de euro e (a moedas de uo y cco cétmos de euro; (b moedas de uo, cco y dez cétmos de euro. a Coefcete de grado de (... ( b Coefcete de grado de (... ( ( Determa la fucó geeratrz para el úmero de solucoes eteras de las ecuacó c c c c 0 dode c, c, 5 c 5, 0 c. Para evtar los valores egatvos, sumo a cada valor de c y c y sumo 5 a cada valor de c, co lo que al membro de la derecha he de sumarle 5 obteedo c c c c dode 0 c, 0 c, 0 c 0, 0 c. que equvaldría al problema de repartr cacas etre cuatro ños de modo que a uo de ellos le toque a lo sumo 0 cacas. Sería el coefcete de de (... (... 0 Coefcete de de (- - (- /(-; o sea (- (- - Gr e.(- Coef Gr e (- - Coef Solucó es 0 Calcule el úmero de solucoes eteras o egatvas de la ecuacó: c c c c, dode c 6, c, c 0, c 0 (Ejercco propuesto e el Eame de Febrero 009 e La Coruña Como os pde las o egatvas, el problema cosste e averguar el úmero de solucoes eteras de la ecuacó dada para 0 c 6, 0 c, c 0, c 0 Coefcete de grado de (... 6 (... (... Coefcete de grado de (- 7 (- 5 (- - José M. Ramos Gozález

14 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca Gr e.(- 7 Coef Gr e (- 5 Coef Gr e (- - Coef La solucó es: Hállese a, b, k de modo que (a b k sea la fucó geeratrz para la sucesó, /5, /5, /5,... (Grmald k k k ( a b b a., por tato: 0 k k 0 b a 0 k k ; b a k ; 5 k b a k ; 5 k b a k 5 lo que coduce a las sguetes ecuacoes respectvamete k ( a, de dode se obtee que a ( kb / 5 k( k b ( 5 k( k ( k b ( 6 5 Dvdedo ( etre ( se obtee: resulta k -/5 y b -. ( k b 5, que juto co la ecuacó (,. Hállese los cco prmeros térmos de las sguetes epasoes a ( / b (- / a f(0 f ( (/( -/ (/( -/ f (0/ José M. Ramos Gozález

15 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca f ( (-/9( -5/ f (0-/9 f ( (0/7 ( -/ f (0 0/7 f v( (-60/ ( -/ f v (0-60/ Los cco prmeros térmos de la epasó (de McLaur pedda so / 9 0 / 7 60 /!!! b f(0 f ( (-/(- -/ de dode f (0 f ( (-/6(- -7/ de dode f (0 f ( (-/6(- -/ de dode f (0 56 f v ( (-/56(- -5/ de dode f v ( La epasó de McLaur de grado es De cuátas formas se puede seleccoar sete úmeros o cosecutvos etre el y el 50? SOLUCIÓN. Ua posble eleccó sería,5,7,9,,, 5 No valdría,5,7,9,,, ya que el 7 y el so cosecutvos. Eteddo así el problema, lo abordaremos del sguete modo: Tómese u caso, por ejemplo,5,7,9,,,50, ordéese y establecer las dferecas cosecutvas, teedo e cueta que el prmer térmo resta al y el últmo al 50 e todos los casos. Este caso os daría: 0,,,,,,7,0 cuya suma es 9 Otro ejemplo sería,,, 5, 5,,. Los ordeamos 5,,,, 5,,, cuyas dferecas cosecutvas os daría,,,,, 6,, 6, cuya suma es 9 José M. Ramos Gozález 5

16 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca Se tee que todos los casos que buscamos tee la propedad de que ordeados y restados cosecutvamete os da 9. Y estas restas tee que ser sempre mayores que ya que s hubese algú querría decr que tedríamos dos úmeros cosecutvos, salvado los etremos que puede ser 0 o (ya que s ua sere empeza por geera u 0 e la prmera dfereca y s empeza por geera u el la prmera dfereca. Igualmete s acaba e 50 geera u cero e la últma dfereca y s acaba e 9 geera u e la últma dfereca El problema se reduce a resolver el úmero de solucoes de la ecuacó... 9 co co,...7 y 0, 0. Equvalete a repartr 9 cacas etre ños tocádole al meos a 6 de ellos. El resultado sería el coefcete de 9 de (... 6 (... coefcete de 9 (- -6 (- -, coefcete de 7 de (- - que es Comprueba que el úmero de descomposcoes de u etero postvo e sumados mpares cocde co el úmero de descomposcoes de e sumados dsttos. El úmero de descomposcoes de u etero postvo e sumados mpares es el coefcete de de (...( 6...( El úmero de descomposcoes de e sumados dsttos es el coefcete de de (( (... y dado que Teemos que (( ( sedo ambas fucoes geeratrces guales José M. Ramos Gozález 6

17 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca. E f( [/(-].[/(- ].[/(- ] el coefcete de 6 es 7. Iterprétese este resultado e fucó de partcoes de 6. SOLUCIÓN. Quere decr que el úmero de partcoes de 6 e dode solo tervee el, y es Hállese la fucó geeratrz para el úmero de solucoes eteras de a w 5y 7z co w,, y, z 0 b w 5y 7z. co w 0,,y, z 5 c w 5y 7z co w 7 y 0 z a equvale a averguar la fucó geeratrz para las partcoes de e las que sólamete tervega el,, 5 y 7 es decr: ( 6...( ( ( 7..., o sea f( [/(- ].[/(- ][/(- 5 ].[/(- 7 ] b ( 6...( 5...( ( 5..., es decr: f ( 5 7 c ( 6 ( 5 ( ( ( 6 ( 5 - ( ( ( 6 9 ( 0 Detérmese la fucó geeratrz para el úmero de maeras de teer la catdad, co 0 99, e moedas de uo, de cco, de dez, de vetcco y de ccueta. Es el úmero de solucoes eteras de la ecuacó 5 0 5y 0z 5t 50w co, y, z, t y w eteros o egatvos. Equvale a la partcó de utlzado, 5, 0, 5 y 50 Es decr que la solucó sería el coefcete de de la fucó geeratrz 5 José M. Ramos Gozález 7

18 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca (... ( ( ( ( ( es decr ( ( 5 ( 0 ( 5 ( 50 ( auque obvamete també podríamos lmtar ( a: ( ( ( ( ( 50 Ecuetra la fucó geeratrz epoecal de las sguetes sucesoes, sedo a úmero real: a,,,,,, b,,,, 5, c, a, a, a, a, d, a, a,a 6 e a, a, a 5, a 7, f 0,, (, (, (, Partedo de que la fucó geeratrz epoecal de la sucesó,,,... es e a La fucó es e - Ya que, puesto que la dervada -ésma de e - es (- e - y al ser susttuda e 0 os da (-, el desarrollo de e - de McLaur, es: ( 0!, cuyos coefcetes de so, -,, -... b La solucó es e la dervada -ésma de e es.e y al ser susttuda e 0 os da. El desarrollo de McLaur de e es: cuyos coefcetes de 0! c Combado a co b la solucó es e -a so,,,... d e f a e ae a e Los tres últmos casos sgue u razoameto completamete aálogo a los aterores. José M. Ramos Gozález

19 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca. Determa la sucesó geerada por cada ua de las sguetes fucoes geeratrces epoecales: a e b 6e 5 e c e d e 5 7 e /(- f /( e SOLUCIÓN. a La dervada -ésma de la fucó es e S hacemos el desarrollo de McLaur, obteemos : e..., la sucesó geerada es,,,,...!! b La dervada -ésma de la fucó es 6.5 e 5. e que al ser susttudas e 0 se obtee la sucesó 6.5. c Las dervadas sucesvas so e, e, e, e,... que geera la sucesó,,,,,,... També s recurrr a las dervadas, podemos pesarlo así: e (( /!( /! ( /!... ([(/!] ( /! ( /! (/! ( /! ( /! que geera la sucesó,,,,,... d Las dervadas sucesvas so e 9 0 7, e 0, e -, y a partr de aquí sería e para, obteíédose la sucesó:, 9,, -0, 6,, 6,... e Las dervadas sucesvas de (- - so f ( (- -, f ( (- -, f ( 6(- -,... f (!(- -- La sucesó geerada es,,,6,,... es decr! f /(- e Dervadas sucesvas de.(- - e so 6(- - e, (- - e, (- - e, 7, 5, 5,...! S recurrr a las dervadas podemos razoarlo así: /(- e (... (( /!( /! ( /!... (.((!.. /! ((!. /! ((!.. /!... (( /!( /! ( /!... y sumado los coefcetes de gual grado se obtee ua sucesó del tpo a 0 a (a /! (a /!... dode los a so! José M. Ramos Gozález 9

20 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca a Dada la fucó geeratrz e cuál es la sucesó que determa, s se cosdera que dcha fucó es ordara? b Dar u fórmula eplícta para la fucó geeratrz epoecal de la sucesó a /(. (Ejercco propuesto e el eame de Febrero de 009 e La Coruña a la dervada -ésma de e es.e y al ser susttuda e 0 os da. El desarrollo de McLaur de e es: 0! cuyos coefcetes de so! la sucesó pedda, al cosderar la fucó geeratrz ordara, es a! b f(....!.!!!! e f(... e, de dode f (!!!, por tato. Ecuetra la fucó geeratrz epoecal del úmero de formas e que se puede ordear letras, 0, seleccoadas de cada ua de las sguetes palabras: a HAWAII b MISSISSIPPI c ISOMORPHISM a Coefcete de 6 /6! de ( (( /!, puesto que la H y la W aparece vez (, metras que la A y la I lo hace veces ( /! b Coefcete de /! de ( (( /! (( /!( /! ( /!, puesto que hay ua sola letra que aparece ua vez que es la M, ua letra que se repte veces (P y la M y la I que lo hace veces. c Coefcete de /! de ( (( /!, puesto que hay tres letras que solo aparece ua vez (R, P, H y que se repte dos veces (I, S, O, M 5. Para el apartado (b del ejercco 0, cuál es la fucó geeratrz epoecal s la dsposcó debe coteer al meos dos letras I? E este caso el factor correspodete a la I, que es uo de los ( /!( /! ( /!, quedaría así: ( /!( /! ( /!, es decr que falmete la fucó geeratrz correspodete sería: (. (( /!. (( /!( /! ( /!. (( /!( /! ( /! Sedo cada factor correspodete a las letras M, P, I, S, respectvamete. José M. Ramos Gozález 0

21 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca 6 Se geera ua sucesó terara (0,, de 0 dígtos de forma aleatora, cuál es la probabldad de que (a tega u úmero par de uos? (b tega u úmero par de uos y u úmero par de doses? (c tega u úmero mpar de ceros? (d el total de ceros y uos sea mpar? (e el úmero total de ceros y uos sea par? Los casos posbles so RV,0 0 a Casos favorables: Coefcete de 0 /0! e el desarrollo de (( /!....(( /!( /!..., pues (( /!... es para la eleccó del 0 y el, metras que al oblgaros a que tega eactamete u úmero par de uos, la eleccó del, sería ( /!( /!... Puedo tratar de averguarlo así: Dado que ( /!... e, etoces (( /!... e, y ( /!( e e /!.... e e Co lo cual uestra fucó geeratrz epoecal es, cuya dervada eésma e e es, que al susttur e 0 (para el desarrollo de Mclaur os da por tato el desarrollo de McLaur de uestra fucó es:., sedo el coefcete de 0 0 /0! gual a que es la solucó de los 0.! casos favorables a uestro problema. 0 Por tato la probabldad pedda es 0. d Que tega u úmero par de uos y u úmero par de doses: (( /!... eleccó para el 0 ( /!( /!... eleccó para el y el El resultado de los casos favorables es el coefcete de 0 /0! de la fucó geeratrz (( /!... (( /!( /!... e e e e e e., ( e e e cuya dervada eésma es, que al ser susttuda e 0, os da (, obteédose el desarrollo de Maclaur sguete: (, cuyo coefcete de de 0 0 /0! es. 0! 0 Por tato, la probabldad pedda es 0. José M. Ramos Gozález

22 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca e Que tega u úmero mpar de ceros (( /!( 5 /5!... eleccó para el 0 (( /!... eleccó para el y el. Los casos favorables vee determados por el coefcete de 0 /0! de la fucó geeratrz: (( /!... (( /!( 5 e e e e /5!... e, cuya dervada e e eésma es, que susttuyedo e 0 da:, sedo el desarrollo de MacLaur de uestra fucó: cuyo coefcete de 0 /0! es 0!. 0 La probabldad pedda es d El total de ceros y uos sea mpar Para que ua suma sea mpar, ecesaramete ha de ser mpar uo de los sumados y el otro par, por tato teemos dos stuacoes: Que el total de ceros sea par y uos sea mpar y vceversa. E cualquer caso las fucoes geeratrces de ambas stuacoes so détcas, por lo que basta co calcular u caso y multplcarlo por dos. Para el caso e que la catdad de ceros sea par y uos mpar, los casos favorables vedría dados por el coefcete de 0 /0! del desarrollo de (( /!... (( /!( 5 /5!... (( /!( /!... cuyos factores represeta respectvamete la eleccó del, la eleccó del y la eleccó del 0. Pasado a sus epresoes epoecales tedríamos: e e e e e e e ( e e, cuya dervada eésma es, que ( susttuyedo e 0 da:, sedo el desarrollo de MacLaur de uestra fucó: ( cuyo coefcete de 0 0 /0! es. 0!. Recordemos que teemos que multplcar por ya que sería gual úmero de casos para que la catdad total de ceros sea mpar y uos par. 0 0 La probabldad pedda es José M. Ramos Gozález

23 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca f Que el total de ceros y uos sea par Dos casos: que ambos sea pares o ambos mpares. E el caso de que ambos sea pares teemos la fucó geeratrz e détca solucó que e el apartado b, es decr 0 Y e el caso de que ambos sea mpares teemos la fucó geeratrz sguete: (( /!... (( /!( 5 /5!... e e e e e e. cuya ( e e e dervada eésma es, que al ser susttuda e 0, os da (, obteédose el desarrollo de Maclaur sguete: (, cuyo coefcete de de 0 0 /0! es. 0! Etoces los casos favorables a uestro apartado so: , así pues la probabldad pedda es Comprueba que k 0 k ( Método (por el operador sumatora. Ver teoría e el Grmald, pág Sabemos que /(- es la fucó geeratrz correspodete a... y /(- es la que correspode a... dervado teemos /(- correspode a sucesó,,... por tato /(- lo hace a... sucesó 0,,,,... volvedo a dervar, (/(- correspode a 9... es la fucó geeratrz de la sucesó,,,... y (/(- es la fucó geeratrz de la sucesó 0,,,,... ( 9... volvedo a dervar ( /(- correspode a 7... ( /(- correspode a la fucó geeratrz de 0,,, Etoces el resultado de 0... es el coefcete de de la fucó (Se eplca perfectamete e la pága del Grmald José M. Ramos Gozález

24 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca ( ( que equvale al coefcete de - de la fucó 5 ( Grado Coefcete Grado (- -5 Coefcete La solucó es ( ( ( ( ( ( ( ( (!!! ( [( ( ( ( ( ( ] ( (6 6! ( ( como queríamos demostrar. Método (por duccó. Este método o forma parte del temaro de dscreta Lo compruebo para. E efecto 0 (./ Lo supogo certo para y lo demuestro para Tego que demostrar que Partmos de que k 0 k ( ( ( ( ( ( (( k ( k ( k k 0 0 ( ( ( ( ( ( como queríamos demostrar.. a Calcula la fucó geeratrz de la sucesó de productos 0 (, 0,,,,, (, b Utlzado el resultado ateror halla ua fórmula para ( a Partmos de la sguete fucó 0 José M. Ramos Gozález

25 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca 0..., es decr /(- Dervamos y obteemos , es decr /(- Dervamos otra vez y... 0.( , es decr /(- Multplco por y obtego 0.( , Por tato la fucó geeratrz de la sucesó 0 (, 0,,,,, (, es /(- b Utlzado el operador sumatora 0 ( vee determado por el coefcete de grado e la fucó geeratrz /(- que equvale al coefcete de grado - de (- - que es ( ( ( 6 9. Calcula la sucesó geerada por la fucó g( f(/( sedo f( la fucó geeratrz de la sucesó {a} S f( es a 0 a a... Sabemos que f(/(- es la geeratrz de la sucesó de sumas parcales, es decr a 0 (a 0 a (a 0 a a... Por tato f(/(- obtee a 0 (a 0 a (a 0 a a... La sucesó geerada es 0, a 0, a 0 a, a 0 a a,... EJERCICIOS DIVERSOS (Grmald, pág Hallase la fucó geeratrz de las sguetes sucesoes: a 7,, 9, 0... b,a,a,a,... c, a, (a, (a,... d, a, a, a,... a f( /( Sumado ambas epresoes obteemos 6(... 6/(- 6 De dode f ( ( b f( a a a... -af( -a - a - a -... Sumado (-a f(, de dode f( /(-a José M. Ramos Gozález 5

26 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca c Obvamete es el caso b para aa, es decr ( a d f( (a(a... (...(aa... f ( a Sea C { a, b, c, d, e, f, g} a Hállese la fucó geeratrz para los subcojutos de C. Cuátos sumados hay e los coefcetes de esta fucó? b Hállese la fucó geeratrz para la forma de seleccoar objetos de C co 0, de C, dode cada objeto puede seleccoarse a lo sumo dos veces. Cuátos sumados hay e el coefcete de esta fucó? a La forma de eleccó de cada objeto es (o lo tomo o lo tomo e el subcojuto. Como so 7 objetos, la fucó geeratrz es ( 7 y el coefcete de 7 es b La seleccó de cada objeto es ahora La fucó geeratrz es (. La solucó sería el coefcete de El coefcete de : Vamos a ver la fucó asocada a Sabemos que /( /( Sumado ambas fucoes resulta que (- /(- Por tato la solucó buscada es el coefcete de e (- (- - 5 que es 05. Hállese el coefcete de e f( ( ( 6 9 Por otra parte s g( Multplcado por se obtee que g( Sumado ambos teemos que g( /(-. S multplco por 5 obtego por tato teemos que 6 9 (- 5 /(- La solucó que busco es el coefcete de grado e (- 5 0.(- -0 José M. Ramos Gozález 6

27 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca Grado (- 5 0 Coefcete Grado.(- -0 Coefcete Solucó El sargeto Balí debe dstrbur 0 balas (0 para rfle y 0 para pstola etre cuatro polcías, de modo que cada uo obtega al meos dos balas, pero o más de sete de cada tpo. De cuátas formas puede hacerlo? Reparto prmero las balas de rfle El úmero de repartos posbles vee determado por el coefcete de grado 0 e ( ( 5 Y se demuestra fáclmete (está hecho e ejerccos aterores que 5 (- 6./(- Por tato la solucó vee a ser el coefcete de grado 0 e la epresó: (- 6 (- - que equvale al coefcete de grado e (- 6 (- - Grado (- 6 Coefcete Grado.(- - Coefcete El reparto de balas de pstola sgue détco proceso. Por tato la solucó fal es José M. Ramos Gozález 7

28 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca. Cuátos úmeros telefócos de 0 dígtos preseta sólo los dgtos,,5,7 s cada dgto aparece al meos dos veces o o aparece? Importa el orde. Tego que recurrr a las fucoes geeratrces epoecales La solucó es el coefcete de 0 /0! e ( /! /!... Sabemos que e /! /!... por tato la fucó que buscamos es e Debemos buscar el coefcete de 0 /0! e (e 0 ( e e. e e e El coefcete de 0 /0! e e es 0, ya que e es la fucó geeratrz epoecal de,,,... Para hallar el coefcete de 0 /0! para.e, teemos que su dervada -ésma es: e ( que al susttur e 0 y el subídce por 0, da 9.0 Para hallar el coefcete de 0 /0! para.e, observemos que es 0.9 por el coefcete de /! de e que es. Así el coefcete peddo es 0.9. Para hallar el coefcete de 0 /0! para.e, observemos que es 0.9. por el coefcete de 7 /7! de e que es. Así el coefcete peddo es La solucó es Lo cosgado e rojo es ua propedad mportate que permte descompoer los dos factores a la hora de calcular el coefcete. 5. Utlícese los cco prmero térmos del desarrollo bomal de ( / para apromar la raz cúbca de. El desarrollo de ( / S hacemos las prmeras dervadas y susttumos la por 0 obteemos los coefcetes de grado,, y, que so respectvamete /, -/9, 0/7, -0/ Así pues ( / 0 0. Susttuyedo por, 9.! 7.!.! obteemos,79 José M. Ramos Gozález

29 Ejerccos resueltos de fucoes geeratrces. Matemátca dscreta º Igeería Iformátca 6. a Para que sucesó de úmeros es g( (- -5/ la fucó geeratrz epoecal? b Hállese a y b de modo que (-a b sea la fucó geeratrz epoecal para la sucesó, 7, 7.,.5,... a S dervo sucesvas veces g(, y susttuyo por 0 obtego la sucesó, 5, 7.5, 9.7.5, b dervado se tee que la dervada -ésma es ( que al susttur por 0 obteemos ( a b( b ( b...( b b a b( b ( b...( b ( a Etoces obteemos las sguetes ecuacoes: (: 7 -ab (: 7. a b(b- (: a b(b-(b- Dvdedo ( etre ( se obtee (: a(-b Dvdedo ( etre ( se obtee (5: 5 a(-b Se dvde ( etre (5 y se obtee b -7/ y a 7. E u área rural hay buzoes colocados e ua teda. a S u repartdor de propagada tee 0 folletos détcos, de cuátas formas los pude dstrbur, de modo que e cada buzó haya al meos u folleto? b S los buzoes está e dos flas de ses, cuál es la probabldad de que ua dstrbucó del apartado a tega 0 folletos dstrbudos e los ses buzoes superores y otros 0 e los ferores? a Es el coefcete de 0 e (... /(- ; coefcete de grado de (- - 9 b Las formas que se puede dstrbur 0 folletos e 6 buzoes, teedo que haber al meos u folleto e cada buzó, que es el coefcete de 0 e ( (- -6 ; coefcete de de (- -6 Es decr, 9 9. Como so dos flas détcas, sería La probabldad es etoces 9 9 : José M. Ramos Gozález 9