3Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 79

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1 Solucioes a los ejercicios y problemas PÁGINA 79 Pág. P RACTICA Sucesioes formació térmio geeral Escribe los cico primeros térmios de las siguietes sucesioes: a) Cada térmio se obtiee sumado 7 al aterior. El primero es 0. b) El primer térmio es 0. Los demás se obtiee multiplicado el aterior por. c) El primero es ; el segudo y los siguietes la semisuma de los dos ateriores. a) 0 8 b) 0; 0; 0; 08; 6; c) ; ; ; 5; 5; Escribe los térmios a 0 y a 5 de las siguietes sucesioes: a) a b) b c) c ( ) d) d ( ) e) e ( ) f) f 0 0 b c 0 a a) 0 9 b) c) 0 0 a b 5 c f 0 d d) 0 e e) f) d 5 09 e f 5 7 Escribe los cico primeros térmios de la siguiete sucesió: a a a Averigua el criterio co el que se ha formado las siguietes sucesioes: a) b) 8 6 c) 5; 9; ; 7; d) e) f) a) Restado uidades al térmio aterior: a ( ) b) Multiplicado por el térmio aterior: a ( ) Uidad. Progresioes

2 Solucioes a los ejercicios y problemas c) Sumado 0 al térmio aterior: a 5 ( ) 0 0 d) Dividiedo por lugar que ocupa el térmio: a e) Multiplicado por 5 el térmio aterior: a 8 5 f) Restado a los cuadrados de los úmeros aturales: a Pág. 5 Esta es la tabla de multiplicar hasta el 5: a) Observa las filas y las columas y escribe el térmio geeral de cada ua. b) Obté el térmio geeral de la diagoal pricipal: 9 6 c) La diagoal 6 0 se formó así: 5 Halla su térmio geeral. a) Los térmios geerales de las filas y de las columas so:. a fila y. a columa:. a fila y. a columa:. a fila y. a columa:. a fila y. a columa: 5. a fila y 5. a columa: 5 b) d c) d ( ) 6 Halla el térmio geeral de estas sucesioes: a) 6 8 b) 5 c) 5 7 d) 9 7 a) a 0 b) a c) a d)a 7 Busca ua ley de recurrecia para defiir las siguietes sucesioes: a) b) a) a 8 a 0 a a a b) a a a a a Ò Uidad. Progresioes

3 Solucioes a los ejercicios y problemas Progresioes aritméticas Pág. 8 Escribe los cico primeros térmios y a 0 de las siguietes progresioes aritméticas: a) a 5; d b) a ; d 5 c) a 5; d 05 d) a ; d a) 5; 5; 55; 75; 95; a b) 7 7 ; a 0 9 ( 5) 6 c) 5; 55; 6; 65; 7; a d) 7 5 9; a 0 9 ( ) 79 9 Halla e cada caso el térmio geeral y calcula después a 50 : a) 5 8 b) 9 7 c) ; 9; ; 9; d) 8 8 a) a 5; d 7; a 5 ( )( 7) 7; a 50 8 b) a ; d ; a ( ) 5 ; a c) a ; d 05; a ( ) ; a d) a ; d 5; a ( )( 5) 5; a Halla el primer térmio y el térmio geeral de las siguietes progresioes aritméticas: a) d 5; a 8 7 b) a 7; d Te e cueta que a 8 a 7d; sustituye y halla a. a) a 8 a 7d 8 7 a a a ( ) 5 5 b) a a 0d 8 7 a 0 8 a a ( ) 8 a 5 Halla la diferecia y el primer térmio de las progresioes aritméticas siguietes: a) a 8; a 7 7 b) a 5; a 9 a 7 a 5d a) a 7 a 5d d 8 d 7 a a d 8 a 8 ( 7) 5 b) a a 8d d 8 d a a d 8 5 a 9 8 a 6 Uidad. Progresioes

4 Solucioes a los ejercicios y problemas Calcula la suma de los veite primeros térmios de las siguietes progresioes aritméticas: a) a 5; d b) a ; a 7 c) Los úmeros pares. d) Los múltiplos de. a) a ; S 0 (5 ) 0 80 b) d 7 ( ) 6; a 0 9 ( 6) 5 S 0 [ ( 5)] 0 60 c) d a a S 0 ( 0) 0 0 d) a d a S 0 ( 60) 0 60 Pág. Qué lugar ocupa u térmio cuyo valor es 56 e la progresió aritmética defiida por a 8 y d? 56 8 ( ) PÁGINA 80 Progresioes geométricas Escribe los cico primeros térmios de las siguietes progresioes geométricas: a) a 0; r b) a ; r c) a 00; r 0 d) a ; r 8 a) 0; 06; ; ; 8; b) 8 6 c) 00; 0; ; 0; 00; d) Halla e cada ua de las sucesioes siguietes el térmio geeral: a) 0; 8; ; 8; b) c) 6; 9; 5; 05; d) 08; 8; 8; 80; a) a 0 0 b) a 0 ( ) c) a 6 ( 5) d) a 08 0 Uidad. Progresioes

5 Solucioes a los ejercicios y problemas 6 Calcula la razó y el primer térmio de las progresioes geométricas siguietes: a) a ; a 8 9 b) a 06; a a) a a r 8 r 8 r 9 8 r ± 9 8 Hay dos solucioes Si r : Si r : Pág. 5 b) a a r 8 06 r 8 r ± Hay dos solucioes: Si r : 0; 06; ; ; 8; Si r : 0; 06; ; ; 8; 7 Halla el primer térmio y escribe el térmio geeral de las siguietes progresioes: a) a ; r 0 b) a 05; r 5 a) a a r 8 a 8 a 00; a 00 ( 0 ) ( 0 ) b) a a r 8 05 a ( 5) 8 a 6; a 6 ( 5) 8 Calcula la suma de los diez primeros térmios de las progresioes geométricas siguietes: a) a 5; r b) a 5; r a) S b) S 0 5 ( ) Halla la suma de los ifiitos térmios de las progresioes geométricas siguietes: a) a ; r b) a 7; r 095 a a) 6 b) 7 0 r (/) 095 Uidad. Progresioes

6 Solucioes a los ejercicios y problemas P IENSA Y RESUELVE Pág. 6 0 Idetifica las progresioes aritméticas las geométricas y las que o so progresioes. Obté el térmio geeral de cada ua: a) 9 5 b) 8 8 c) 0; 00; 000; d) 5 a) Progresió aritmética d. Térmio geeral: a ( ) b) No es progresió. Térmio geeral: a c) Progresió geométrica r 0. Térmio geeral: a 0 (0) d) No es progresió. Los umeradores 5 forma ua progresió aritmética cuyo térmio geeral es. Los deomiadores forma ua progresió aritmética de térmio geeral. Térmio geeral de la sucesió: a Calcula la suma de los cico primeros térmios de ua progresió geométrica e la que a 000 y a 8. Se puede hallar la suma de sus ifiitos térmios? a a r r 8 8 r S 5 ( ) 5 a 000 r 5 a 5 96 r 5 Se puede hallar la suma de sus ifiitos térmios porque la razó está compredida etre y. a r /5 E u teatro la primera fila dista del esceario 5 m y la octava 975 m. a) Cuál es la distacia etre dos filas? b) A qué distacia del esceario está la fila 7? a) a 8 a 7d d 8 d 075 m La distacia etre dos filas es 075 m. b) a 7 a 6 d m está la fila 7. Uidad. Progresioes

7 Solucioes a los ejercicios y problemas Para preparar ua carrera u deportista comieza corriedo km y aumeta 5 km su recorrido cada día. Cuátos días tiee que etrear para llegar a hacer u recorrido de km? a a ( )d 8 ( ) días Pág. 7 E el año 986 fue visto el cometa Halley desde la Tierra a la que se acerca cada 76 años. Esta era la cuarta vez que os visitaba desde que el astróomo Halley lo descubrió. a) E qué año fue descubierto? b) Cuádo será visto e el siglo XXI? a) a a d a 76 8 a 758 Fue descubierto e 758. b) a Se verá e La dosis de u medicameto es 00 mg el primer día y 5 mg meos cada uo de los siguietes. El tratamieto dura días. Cuátos miligramos tiee que tomar el efermo durate todo el tratamieto? a a d 8 a 00 ( 5) 5 (a S a ) (00 5) 870 mg 6 Cuáto diero obtedremos si colocamos 000 al 5% de iterés aual compuesto durate años? Y si lo colocamos durate 8 años? C F 000 (05) 665 tedremos al cabo de años. C F 000 (05) 8 tedremos después de 8 años. 7 U tipo de bacteria se reproduce por bipartició cada cuarto de hora. Cuátas bacterias habrá después de 6 horas? La reproducció de las bacterias es ua progresió geométrica de r. Térmio geeral: a. Como 6 cuartos de hora calculamos a : a bacterias habrá después de 6 horas. 8 La població de u cierto país aumeta por térmio medio u % aual. Si la població actual es de milloes cuál será detro de 0 años? a milloes de habitates detro de 0 años. 9 Ua máquia evasadora pierde cada año u 5% de su valor. Si ha costado cuál será su valor detro de 5 años? a 5 a r 8 a ( 05) 0 0 será su valor detro de 5 años. Uidad. Progresioes

8 Solucioes a los ejercicios y problemas 0 Ua bola que rueda por u plao icliado recorre m e el primer segudo m e el segudo 7 m e el tercero y así sucesivamete. Cuáto recorre e 0 segudos? 7 es ua progresió aritmética co d. a 0 a 9 8 a m recorre e 0 s. Pág. 8 PÁGINA 8 Calcula el úmero de bloques ecesarios para costruir ua torre como la de la figura de la págia 70 pero que tega 50 pisos. Los bloques de la torre está e progresió aritmética co d : 5 9 Hay que calcular la suma de 50 térmios: a 50 a 9d 8 a (a S 50 a 50 ) 50 ( 97) bloques. Depositamos e u baco 000 al 5% semestral al comiezo de u cierto año. Averigua el capital dispoible al fial de cada semestre durate años si o sacamos igú diero. Es ua progresió geométrica de razó 5 ( ) años so 6 semestres. Sus térmios so: ; ; ; ; ; ; 0506; 07689; 08; ; 5869 Si al comiezo de cada año igresamos 000 e u baco al 5% aual cuáto diero tedremos al fial del sexto año? Mira el problema resuelto de la págia 78. El capital dispoible al fial es la suma de los térmios de ua progresió geométrica de razó 05. S a S ( r a ) 8 r Calcula la fracció geeratriz de estos úmeros utilizado el método del ejercicio aterior: a) 7 ) b) 5 ) c) 0 ) Uidad. Progresioes

9 Solucioes a los ejercicios y problemas a) 7 ) Suma de los ifiitos térmios de la progresió /0 /0 9 7 ) 7 b) 5 ) /00 0 / ) Pág. 9 c) 0 ) /00 / ) 99 R EFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 6 E la progresió se puede hallar la suma de sus ifiitos 8 térmios? Justifica la respuesta. No se puede hallar la suma de los ifiitos térmios de esa progresió geométrica porque su razó es 5 que es mayor que. 7 Si e ua progresió aritmética sabemos que a a ; podemos saber cuáto vale a 8 a 7? Por qué? a 8 a 7 suma lo mismo que a a porque: a a (a d )(a d ) a d a 8 a 7 (a 7d )(a 6d ) a d 8 Ua empresa ofrece a u empleado u sueldo de 000 y ua subida de 00 al año. Otra le ofrece el mismo sueldo co ua subida del 0% aual. Razoa cuál de las dos es mejor comparado el sueldo detro de 0 años. Empresa A: a Empresa B: a () Es mejor la oferta de la empresa B. Uidad. Progresioes

10 Solucioes a los ejercicios y problemas P ROFUNDIZA Pág. 0 9 Dibuja u triágulo equilátero de 6 cm de lado. Ue los putos medios de sus lados. Cuátos triágulos obtiees? Cuáto mide sus lados? E estos triágulos vuelve a uir los putos medios y así sucesivamete. Escribe las siguietes sucesioes: a) Número de triágulos que tiees cada vez. b) Logitudes de los lados de esos triágulos. c) Áreas de los triágulos. d) Si multiplicas cada térmio de la sucesió obteida e a) por el correspodiete de la sucesió obteida e c) qué obtiees? a) a a a 6 a 6 a 5 56 Es ua progresió geométrica de razó r. a a r 8 a b) b 6 b 8 b b b 5 Es ua progresió geométrica de razó r. b b r 6 ( ) ( ) 5 b 5 c) c 6 c 6 c c c 5 Es ua progresió geométrica de razó r. c c r 6 ( 6 6 ( ) ) c ( ) 6 8 d) El área del triágulo origial; es decir es 6 cm. Uidad. Progresioes

11 Solucioes a los ejercicios y problemas 0 Observa los diferetes cuadrados que hay e esta figura. Se ha obteido uiedo los putos medios de dos lados cotiguos: Pág. 8 cm a) Halla las áreas de los seis primeros cuadrados de esta sucesió. Cuál será su térmio geeral? b) Escribe la sucesió formada por las logitudes de los lados. c) Calcula la suma de las áreas de los ifiitos cuadrados geerados de esa forma. a) Observamos que el área de cada cuadrado es la mitad del área del cuadrado aterior. Por tato la sucesió de las áreas es: a 6 cm a cm a 6 cm a 8 cm a 5 cm a 6 cm Es ua progresió geométrica de razó r. El térmio geeral es: a 6 6 ( ) 6 6 ( ) 6 7 a 7 b) El lado de u cuadrado es igual a la raíz cuadrada de su área. Por tato la sucesió de las logitudes de los lados será: Es decir: 8 c) Como a 6 y r a teemos que: cm r Uidad. Progresioes