Unidad 12. Geometría (I).Ecuaciones de recta y plano

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1 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Unidad. Geometía (I).Ecuaciones de ecta plano. Intoducción. Espacio fín... Vecto en el espacio. Vecto libe fijo... Opeaciones con vectoes.. Dependencia e independencia de vectoes. ase.. Relación ente punto vecto. oodenadas. Ecuaciones de la ecta en el espacio.. Ecuación vectoial.. Ecuaciones paaméticas.. Ecuación en foma continua.. Ecuación en foma implícita o intesección de dos planos... aso paticula. onociendo dos puntos de la ecta.. Ecuaciones del plano.. Ecuación vectoial.. Ecuación en paaméticas.. Ecuación geneal o implícita.. aso paticula conociendo puntos del plano.. Posiciones elativas.. Dos planos.. Tes planos.. Recta plano.. Dos ectas Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

2 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano. Intoducción. Espacio fín.. Vecto en el espacio. Vecto libe fijo. omo hemos estudiado en el tema anteio el conjunto de los vectoes en el espacio, con las opeaciones de la suma de vectoes el poducto escala de vecto po un númeo es espacio vectoial. De hecho la definición matemática de espacio vectoial suge paa intepeta las popiedades de las magnitudes físicas vectoiales (velocidad, aceleación, fuea ) sí (R,, ) es espacio vectoial, donde R {(,,):,, R}. El conjunto de los elementos que foman pate de R se llaman vectoes en el espacio. Distinguiemos dento de los vectoes ente vectoes fijos libes: a. Vecto fijo de oigen etemo, es el segmento oientado caacteiado po tene las siguientes pates: - Diección: es la ecta que une los dos puntos o cualquiea paalela - Sentido: es la oientación que tiene, desde hasta - Modulo: es la longitud del segmento oientado - Punto de aplicación: el punto Recta de diección oigen etemo oodenadas de vecto fijo: Si ( a, a, a ), ( b, b, b ) son las coodenadas de los puntos que foman el vecto, las coodenadas del vecto son las que se obtiene estando las coodenadas de menos las de : -( a, a, a )-( b, b, b ) ( b - a, b - a, b - a ) Módulo del vecto: es igual a la distancia ente. Utiliando Pitágoas tendemos que l ) ( ) ( ) ( ) ( b a b a b a a b b - a b - a l b - a Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

3 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano b. Vecto libe: Sean los vectoes con igual módulo, diección (situadas en ectas paalelas) sentido (,, ), estos vectoes se llaman equipolentes. Todos los vectoes equipolentes tienen mismas coodenadas. El conjunto de todos los vectoes equipolentes a uno dado definen un vecto libe v. Se suele epesenta como el vecto fijo equipolente situado en el oigen. v.. Opeaciones con vectoes libes Veamos las opeaciones más impotantes con los vectoes..suma Es la opeación intena desde el punto de vista de espacio vectoial. La suma de dos vectoes v v ' (,,)(,, )(,, ) La intepetación geomética de esta opeación puede vese como el vecto que esulta de pologa v ' al etemo de v, o po la egla del paalelogamo: v ' v v v v' Puedes velo visualmente viendo la fuea esultante de dos fueas (que son vectoes) con distinta diección (po ejemplo dos caballos aastando una baca cada uno po una oilla)..poducto escala Es la opeación etena desde el punto de vista de espacio vectoial. El poducto de un vecto v po una constante es: v (,,)(,,). v ' La intepetación gáfica es tal que si: a) > es un vecto con misma diección, sentido de módulo v v b) < es un vecto con misma diección, sentido contaio de módulo v v c) el vecto nulo (,,) Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

4 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano.. Dependencia e independencia lineal. ase. El concepto de linealmente independiente dependiente es el mismo que el estudiado en el tema anteio. sí como el de base. Recodemos que la dimensión de R es, así que el númeo de vectoes que foman la base seía de. l se de dimensión el númeo máimo de vectoes linealmente independientes es, tal que si tenemos o más vectoes seguo que son linealmente dependientes. Tes vectoes son linealmente independientes si cumplen alguno de los siguientes equisitos: a) v v v unica solución la tivial b) v μ v μ v, v μ v μ v, v μ v μ v ' '' c) ang( ' '' ) ' '' Dos vectoes son linealmente independientes si cumplen alguno de los siguientes equisitos: c) v v d) v μ v, v μ v ' c) ang( ' ) ' Paa que un conjunto de vectoes sea base ha de cumplise que sean sean linealmente independientes, a que entonces también genean... Relación ente punto vecto. oodenadas. Paa localia un punto en el espacio necesitamos un sistema de efeencia, es deci ectas (genealmente pependiculaes) que se cotan en un punto llamado oigen. El sistema de efeencia más utiliado es el sistema de efeencia catesiano, este está fomado po tes vectoes unitaios (modulo ) pependiculaes que foman base. La notación usada es la siguiente: {, i, j, k }, siendo i (,,), j (,,), k (,, ). En este sistema de efeencia tenemos tes ectas o ejes catesianos que contienen cada uno de los tes vectoes. Estos ejes se denotan OX (eje de las ) que contiene a i, OY (eje de las ) que contiene a j OZ (eje de las Z) que contiene a k. oodenadas en un punto un vecto: Todo punto en el espacio se puede detemina conociendo la posición que ocupan sus poecciones sobe los ejes, es deci las coodenadas del punto. Los puntos se suelen denota po letas maúsculas P(,, ) Las coodenadas de un vecto nos muestan el gado de avance de dicho vecto en las tes diecciones del espacio, así v (,-,) implica una unidad de avance en el sentido positivo del eje X, en el negativo del eje Y no avana en el eje Z Se cumple que las coodenadas del punto P son las mismas que las coodenadas del v vecto v OP (,, ) (,, i j k ) Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

5 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano P i k v v OP j oodenadas del puno medio de un segmento: Sea un segmento, con ( a, a, a ) ( b, b, b ) los etemos del mismo. El punto medio M seá el que esta en el segmento tal que la distancia de a M sea la misma que de M a. es deci M M. Paa ve las coodenadas de M veamos la siguiente figua: M i k v j O OM O M ( -, -, - ) ( M -, M -, M - ). Luego las coodenadas del punto medio son: M, M, M Ejecicios :.Pag 6 a) (,,8 ) (,,) (,, 8) (,, ) b) Tenemos que busca dos puntos D tal que las coodenadas de D sean (-,-,). Fijando un punto obtendemos el oto. Po ejemplo si (,,) D(-,-,). c) EF (, 6, 9) (,,) E(-,,-6) d) GH (,,9 ) (,,) G(,,6) Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

6 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano ejecicio, Pag 6 a) u (,,); v (,,); u v (,, ) u u v v b) (,, ) u v (,,) (,,) (9,,) (9,-,) c) u (,,6) u v (, 6,9 ) (, 6,). Ecuaciones de la ecta en el espacio Las ectas son vaiedades lineales de dimensión ( paámeto libe). Quedan deteminadas po: a) Un punto de la ecta un vecto paalelo a la ecta (vecto diecto de la ecta) b) Dos puntos no coincidentes de la ecta. Fomas de epesa la ecta en el espacio:. Foma vectoial catesiana. Paaméticas. Ecuación continua. Ecuación geneal o como intesección de dos planos... Ecuación vectoial: P, un punto cualquiea de la ecta, con vecto diecto (todo vecto paalelo a la ecta) v ( v, v, v ). La ecuación vectoial de la ecta es: X OP v,,, v, v, v con R (paámeto libe). Sea (, ), o ( ) ( ) ( ), Veamos un ejemplo del punto de la ecta (,,) con - (,,) v OP o P o v Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com) 6

7 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano.. Ecuaciones paaméticas: Patiendo de la ecuación vectoial, opeando e igualando coodenada a coodenada, v : v R (paámeto libe) v.. Ecuación en foma continua: Despejando de las tes ecuaciones paaméticas e igualando se obtiene la foma continua de la ecta. : v v v Nota: cuando alguna o algunas de las coodenadas del vecto diecto de la ecta son nulas la foma de epesenta la ecuación en continua se modifica paa no dividi ente. Paa ve como se modifica veamos el siguiente ejemplo: P(,-,), v (,-,) : ;.. Ecuación geneal o como intesección de dos planos: Patiendo de la ecuación en foma continua, se esuelven las dos ecuaciones: v v ( ) v ( ) ( ) v ( ) ' ' D D' omo se veá en el apatado siguiente, se coesponde con las ecuaciones de planos que se cotan en esta ecta. Se cumple que el vecto diecto de la ecta es pependicula de los vectoes diectoes de los dos planos se obtiene po el poducto vectoial de los vectoes que genean las coodenadas que multiplican a,, de los dos planos: v (,,) ( ',, ') ( ', ', ') omo veemos eisten infinitas paejas de planos cua intesección es la ecta, en todas se cumplen que el poducto vectoial de los vectoes diectoes de los dos planos. Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com) 7

8 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano.. aso paticula, conocido dos puntos de la ecta: Sean (,, ) (,, ) diecto de la ecta es v (, ) dos puntos po los que pasa la ecta. El vecto,. on el punto el vecto diecto v se puede escibi de cualquie foma la ecta. Po ejemplo, la foma contínua: EJEMPLO: Dada la ecta en foma de intesección de dos planos, detemina el vecto diecto de la misma un punto. Vamos a epesa la ecta en paaméticas, paa ello tenemos que epesa dos vaiables en función de ota vaiable, podemos hacelo po sustitución, igualación o educción:. Los valoes de son cietos paa cualquie valo de. Llamando a la ecta en paaméticas seá: :. sí el vecto diecto es,, misma es, po ejemplo, (,, ) que se obtiene haciendo que. o uno popocional: (,,). Un punto de la ompobemos que el vecto diecto es igual al poducto vectoial de los vectoes nomales de los dos planos: (,,-) (,,)(,--,- )(,-,-), que es,, popocional a ( ) Otas fomas de obtene la ecuación en paaméticas son: ) alculando puntos de la ecta. Los puntos de la ecta se obtienen esolviendo el sistema fijando un valo de (o cualquiea de las vaiables). ) alculando un punto de la ecta (de la foma indicada en ) el vecto diecto mediante el poducto vectoial de los vectoes nomales de los planos v(,,) (,, ) Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com) 8

9 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano P v P kv j i Intesección po dos planos: (,,) (,, ) P (v,v,v ) Ejemplos:. Epesa todas las ecuaciones de la ecta, en todas sus fomas posibles, sabiendo que pasa po el punto P (,-,) tiene como vecto diecto v (,,-) - Ecuación vectoial (,,)(,-,)(,,-) - Paaméticas: - En foma continua: 7 - Geneal: 7 Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com) 9

10 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano. Epesa la ecuación de la ecta en todas sus fomas posibles, sabiendo que pasa po el punto P (,-,) po el punto P (-,,). pati de los dos puntos podemos obtene un vecto. ogemos el punto P, el vecto P P (-,,-). - Ecuación vectoial (,,)(,-,)(-,,-) - Paaméticas: - En foma continua: -Geneal o intesección de dos planos: (). Halla las ecuaciones de la ecta en foma paamética () continua En foma paamética: esolvemos el sistema (compatible indeteminado) en función de la vaiable : ()()- - Sustituendo en () 7-.Llamando la ecuación en paaméticas es: 7 Un punto de la ecta es cuando P(,7,-) un vecto diecto es v (,,) Ejecicio 9 pag 6 Ecuación vectoial (,,)(6,,) Seis puntos: (,,) (7,7,7) - (-,-,-) (,,) - (-,-8,-) Ejecicio pag 6 v PQ (,,). Ecuación vectoial (,,)(,-,) Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

11 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Tema elaboado po José Luis Loente agón Ejecicio pag 6 Ecuación de la ecta que pasa po es. El punto alineado si petenece a la ecta, es deci si se cumple la siguiente igualdad: 6. omo la igualdad no es cieta, no petenece a la ecta que pasa po po tanto no están alineados. onclusión: puntos alineados si se cumple la igualdad: Ejecicio pag 6 Veamos la ecuación de la ecta en continuas:. Los demás puntos peteneceán a la ecta si sustituendo los valoes de,, de los puntos en la anteio igualdad esta se cumple, compobémoslo: (,-,) petenece, (,,-) petenece, (6,7,) 7 6 no petenece, (,,) no petence (6,-,) 6 petenece. Ejecicio pag 6 a) Un punto es P(,,) el vecto diecto ),, ( v Ecuación vectoial (,,)(,-,) Paaméticas ontinua: Geneal o intesección de dos planos: 6 b) Vamos a ve un método distinto, buscamos dos puntos de la ecta a pati de los mismos obtenemos las ecuaciones paaméticas vectoiales. Ejemplos: si -6/, /. si -8/, / ) /, / 8/ 6 /, ( v (,/,/) (,,) Ecuación vectoial (,,)(,-6/,/) Paaméticas / 6 / ontinua: / 6 /

12 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano c) Un punto es P(,,) un vecto v (,,) Vectoial: (,,)(,-,) ontinua Geneal o intesección de dos planos: Ejecicio pag 6 m n m m n n Ejecicio pag 6 7 Mediana vétice M c punto media (,, ) (,,). La mediana del punto pasa po M c : v M (,, ) (,,) :(,,)(,,)(,,). Ecuaciones del plano. Un plano queda deteminado po: a) Un punto P (,, ) un vecto pependicula al plano n Π (,,) b) Un punto P (,, ) vectoes paalelos al plano v ( v, v, v ), u ( u, u, u ) no popocionales. n Π v u c) Tes puntos no coolineales P (,, ), P (,, ), P (,, ). v P P, u P P Veamos las tes fomas de epesenta un plano en el espacio:.. Ecuación vectoial La ecuación vectoial de un plano que pasa po un punto P (,, ) tiene vectoes paalelos al plano v ( v, v, v ), u ( u, u, u ) no popocionales es: π OX (,, ) OP v μu (,, ) ( v, v, v ) μ( u, u, u ) :.. Ecuaciones paaméticas onsiste en sepaa la ecuación vectoial en coodenadas π : v v v μ u μ u μ u Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

13 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano.. Ecuaciones geneal o implícita Eliminando μ de dos de las tes ecuaciones de las paaméticas sustituendo en la tecea ecuación obtenemos la ecuación geneal: D. Esta ecuación se obtiene de desaolla el siguiente deteminante: v u v u v u Ota foma es obtene,, que son las coodenadas de un vecto pependicula v u (,, ). onociendo, obtene D obligando a que el punto P (,, ) peteneca al plano: D v P u n π.. aso paticula conociendo tes puntos del plano pati de tes puntos no colineales, podemos genea un punto fijo dos vectoes diectoes. Sean los puntos P, P P tendemos que podemos obtene cualquie ecuación del plano a pati de los siguientes elementos del mismo: un punto P, dos vectoes diectoes v P P, u P P. También podemos obtene el vecto nomal al plano n Π (,,) P P P P Ejemplos:. Epesa las ecuaciones del plano deteminado po los puntos P (,,) los vectoes diectoes v (,,) u (,,): - Vectoial: π : (,,)(,,)(,,)μ(,,) μ - Paamética π: μ - Geneal: π: -- Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

14 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Ota foma v u (,,)(,,)(-,,)(,,) π:-d Pasa po P (,,) -D D- π:--. Halla las ecuaciones del plano que pasan po los puntos (,,-), (,-,) (-,,-). Lo pimeo es obtene dos vectoes diectoes. Dejaemos fijo el punto (,,-) así u (,,6) v (,,). - Vectoial π: (,,)(,,-)(-,-,6)μ(-,,) μ - Paaméticas π: μ 6 - Implícita o geneal: π: 6 6. Halla la ecuación del plano que pasa po el punto (,,) es pependicula a la ecta :. v n π π Tenemos que el vecto diecto de la ecta es (,,-) que es igual al vecto nomal del plano n Π (,,-). Luego el plano tendá ecuación geneal la siguiente epesión: -D. omo pasa po (,,) -D D la ecuación geneal del plano es - Paa ponelo en paaméticas despejamos una vaiable en función de las otas dos:, llamando e μ tenemos la ecuación en paaméticas: μ μ Luego dos vectoes diectoes son u (,,) v (,, ) (se cumple que u v (,,) que es popocional a n (,,-). Π Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

15 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano. Halla la ecuación del plano que pasa po los puntos P(,,-), Q(,-,) tiene como vecto diecto u (,, ). Halla otos dos puntos Podemos obtene el segundo vecto diecto a pati de los dos puntos v PQ (,,). De esta foma la ecuación vectoial es: (,,) (,,-)(,,)μ(,-,). Los puntos se obtienen dando valoes a μ. Ejemplos (, μ) (,,) (, μ) (,-,) Ejecicio 7 pag 7 a) (,,)(,-,)(,,)μ(,-,) b) (,,)(,-,)(-,-,-)μ(,,) (,-,)(-,,)μ(,,) c) (,,)(,,)(-,--)μ(,-,-) Ejecicio 8 pag 7 Si contiene a la ecta el vecto diecto de la misma es vecto diecto del plano, peo todavía nos faltaía oto vecto diecto. Podemos toma un punto de la ecta foma oto vecto diecto con el oto punto que nos dan, no podemos hace lo mismo con dos puntos de la ecta a que seía vecto diecto popocional al oto vecto de la ecta. v (,,) Q(,,) u PQ (,6,) on esto la ecuación del plano seá (,,)(,-,)(,-,)μ(,6,) v P Q u Ejecicio pag 7 π: -. Tenemos que esolve la ecuación, es deci pone una vaiable en función de las otas dos: -., μ: π: μ μ Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

16 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Ejecicio pag 7 Vamos a pone una epesiones en foma paaméticas obtene puntos, si estos petenecen a la ota ecta seán la misma ecta. π : Veamos si ha dos puntos iguales en las dos ectas: (,-,), petenece a las dos ectas 8 (8,,-), petenece a las dos ectas Luego son la misma ecta. Ejecicio pag 7 Tenemos dos vectoes diectoes a pati de las dos ectas: De la pimea ecta tenemos el vecto diecto (-,,) el punto (,,). De la segunda ecta podemos halla el vecto diecto a pati del poducto vectoial de los vectoes nomales a los planos que la intesectan: (-,,7)(,-,) (,,-) La ecuación vectoial es entonces π: (,,)(,,)(-,,)μ(-,,7) Paa ve la intesección con los ejes pongamos la ecuación en foma algebaica: π π ote eje X () -9/ (-9/,,) ote eje Y () -9/ (,-9/,) ote eje Z () 9/8 (,,9/8) Ejecicio pag 7 La ecta pasa po P(,,) v (,, ) que son espectivamente un punto un vecto diecto del plano. El plano es paalelo al vecto que pasa po los punto R(,,) S(,,). Luego oto vecto diecto del plano es el que une los dos puntos RS u (,, ). pati de los datos anteioes tenemos que el plano vendá definido po las siguiente ecuación en paaméticas: R u S μ Π μ P v u Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com) 6

17 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Ejecicio 6 pag 7 pasa po P(,,-) v (,,) que son espectivamente un punto un vecto diecto de la ecta. Po oto lado el vecto nomal al plano, n (,,), es un vecto diecto del plano que buscamos, pues este vecto es π paalelo al plano. Luego oto vecto diecto del plano que buscamos es u n π (,, ). pati de estos datos tenemos que la ecuación del plano en paaméticas. μ Π' μ μ u P v n π u n π. Posiciones elativas.. Dos planos Sean dos planos de ecuaciones geneales: ZD ZD nalia las posiciones elativas de estos planos consiste en ve si estos se cotan, son paalelos o coincidentes. Podemos ealia el estudio a pati del teoema de Rouche-Föbenius, estudiando el ango de, mati de los coeficientes del sistema, de *, mati de la ampliada del mismo sistema. * D ' ' ' ' ' ' D' Según los angos tenemos los casos siguientes: ang() ang(*) Soluciones Posición elativa Relación coeficientes Infinitas oincidentes, D paámetos libe ( paámetos libes) ' ' ' D' Infinitas Se cotan en una ecta paámeto libe ( paámeto libe) / o ' ' ' ' D No solución Son planos paalelos ' ' ' D' Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com) 7

18 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano a) oincidentes b) Se cotan en una ecta c) Paalelos Ejemplo: Estudia la posición elativa de los siguientes planos: a) - - Son paalelos pues b) po tanto el ang() ang( * ) Se cotan en una ecta pues po tanto ang()ang( * ). La ecuación de la ecta es.. Posición elativa de tes planos Sean tes planos, cuas ecuaciones geneales son las siguientes: ZD ZD D Paa estudia las posiciones elativas de estos tes planos aplicamos el teoema de Rouche-Foubenius paa el sistema, siendo * las siguientes matices: ' ' ' ' ' ' * ' '' ' '' ' '' D D' D'' Según los angos tenemos los casos siguientes: Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com) 8

19 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano ang() ang(*) Soluciones Posición elativa Infinitas a) Los coincidentes paámetos libe ( paámetos libes) Infinitas b) Se cotan los en una ecta o paámeto libe c) coincidentes el º les cota (*) No solución d) Son planos paalelos o e) dos paalelos oto coincidente(**) No solución f) Los planos se cotan a dos o g) dos o son paalelos el oto les cota (***) Solución única h) Son planos secantes en un punto (*) se compueba si dos de ellos son coincidentes, es deci sus coeficentes el témno independiente popocionales. (**) Se compueba a pati de los coeficientes de los planos si son todos paalelos, o si alguno es coincidente a oto (dos ecuaciones popocionales). (***) Se compueba a pati de los coeficientes si dos de ellos son paalelos o no. a) oincidentes en un plano b) Se cotan en una ecta c) Dos coincidentes el oto les cota d) Tes planos paalelos e) Dos coincidentes el oto paalelo f) Se cotan dos a dos g) Dos paalelos el oto secante h) Secantes en un punto Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com) 9

20 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Tema elaboado po José Luis Loente agón Ejemplo: Estudia la posición elativa de los siguientes tes planos (ejecicio 7a Pg 8) a) Π Π Π '' ' * ang() ang( ). demás ningún plano es coincidente con oto (no son popocionales los coeficientes) luego son tes planos coincidentes en una ecta de ecuaciones en foma geneal: b) Π Π Π '' ' * ang()ang( * ) cotan en un punto. Paa ve el punto debemos esolve el sistema. Si nos fijamos bien tenemos un sistema homogeneo, luego la solución es, es deci los tes planos se cotan en el oigen (,,) c) Π Π Π '' ' * ang(), ang( * ). No puntos en común. Puede se dos casos, o se cotan dos a dos o dos paalelos el oto cota a los dos. En este caso como los coeficientes de,, no son popocionales en ninguna paeja de planos, entonces no son paalelos po tanto es el pime caso... Posición elativa de una ecta un plano onsideemos la ecta epesada como intesección de dos planos, el plano de foma implícita: D D D π Haciendo uso del teoema de Rouche-Röbenius estudiando el ango de de * tendemos las siguientes posiciones elativas D D D *

21 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Tema elaboado po José Luis Loente agón ang() ang(*) Soluciones Posición elativa Infinitas paámeto libe La ecta contenida en el plano No solución Recta plano son paalelos solución Se cotan en un punto a) Recta contenida en el plano b) Recta plano son paalelos c) Se cotan en un punto Ejemplos a) : : Π * ang() ang( * ) son paalelos b) 7 : : Π 7 7 * ang()ang( * ) se cota en un punto Resolviendo el sistema tenemos que, 8/7. Luego el punto intesección es P(,8/7,).. Posición elativa de dos ectas onsideando dos ectas epesadas en foma geneal, como intesección de dos planos: ' ' ' ' : ' ' ' ' : D D D D Las posiciones elativas de dos ectas en el espacio pueden se las siguientes, según el valo del ango de de *

22 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano ' ' ' ' ' * ' ' ' ' ' ' ' D D' D D' ang() ang(*) Soluciones Posición elativa Infinitas Los ectas son coincidentes paámeto libe ( paámeto libe) No solución Son paalelas solución Se cotan en un punto No solución Se cuan en el espacio Ota foma de ve su posición elativa mas sencillamente es a pati de estudia el ango de los siguientes vectoes: v (v,v,v ) vecto diecto de la ecta u u, u, u ) vecto diecto de la ecta ( PQ (w,w,w ) vecto que une un punto P de con oto Q de ang( v,u ) ang( v,u, PQ ) Soluciones Posición elativa Infinitas Los ectas son coincidentes paámeto libe ( paámeto libe) No solución Son paalelas solución Se cotan en un punto No solución Se cuan en el espacio a) oincidentes b) Paalelas c) Se cotan en un punto d) Se cuan Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

23 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Tema elaboado po José Luis Loente agón Ejemplos: Estudia la posición elativas de las siguientes dos ectas a) : : * ang()ang( * ), se cotan en un punto. Estudiando la solución po ame (eliminando ecuación) es /,, -/. Luego el punto de cote es R(/,,-/). Vamos a hacelo a pati de la ecuación en paaméticas: -, --- P(,,), u (,-,-) estando las ecuaciones -/,/ / / μ μ Q(/,,-/), v (,,) Veamos la elación de incidencia a pati de lo siguientes angos: ang(u, v ) ang ang(u, v, PQ )ang / / El punto de cote se hace igualando,, de las dos ectas: () /μ () -μ De () /, sustituendo en () o en () μ () --/ Luego sustituendo en o μ en /,, - R(/,,-/) b) Las ectas: 6 6 de la ecta P(-,,-), ) (,, u de la ecta Q(,,6), ) (6,, v Estudiando los angos obtenemos la elación afin de ambas ectas: ang(u, v )ang 6, ang(u, v, PQ )ang 6 misma ecta.

24 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Ejecicio 8 pag 8: : v (,, ), P(,,) s: u (,,), Q(,,) PQ (,,) ang ( u, v ) ang ang ( u, v, PQ) Si ang ( u, v ) ang( u, v, PQ ), entonces las dos ectas se cuan. Ejecicio pag 8: * m m n Estudia la posición elativa de los tes planos no es sencillo al habe dos paámetos, lo que si es mas sencillo es obliga a que los tes planos se coten en una ecta:. ang()ang( * ) que ningún plano sea coincidente. ang() m m- ang( * ) entonces se tienen que anula todos los menoes de oden (con m): n n n n n n n Luego si n todos los menoes de oden tes se anulan po tanto ang( * ). Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

25 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Ejecicio pag 9: El vecto diecto de la ecta es el mismo que al se paalelas v (,,), el punto P(,,) (,,)(,,)(,,). Veamos la intesección con el plano π:-. Sustituendo en la ecuación de π las ecuaciones en paaméticas de la ecta tendemos el valo de, a pati del cual podemos obtene el punto de cote: ()-() 6- -/6 (-/6)-/8 (-/6)-9/6 (-/6)-/6 Luego el punto de cote es (-/8,-9/6,-/6) Ejecicio 9 pag 7 Tenemos posibilidades:. Sean paalelas: tomamos el vecto diecto de una de las ectas (que son popocionales) obtenemos el oto vecto diecto del plano a pati de dos puntos, uno de cada ecta.. Se cotan, los vectoes diectoes de las dos ectas no son popocionales, po tanto son los dos vectoes diectoes del plano buscado.. Se cuan, entonces no eiste ningún plano que pase po las dos ectas Paa ve en cual de las situaciones nos encontamos veamos el ango de los dos vectoes diectoes de los mismos el vecto que se obtiene de uni un punto de cada ecta. Paa ve los vectoes diectoes de las ectas alguno de sus puntos pasemos las ecuaciones a paaméticas: estando las dos ecuaciones ()-() -- /. Sustituendo en () (/)/. De esta foma en paaméticas : v (,, ) (,,), P(,, ) s ()-(): -7-7 /7. sustituendo en () -(/7)-8/ : u (,, ) ( 8,7,), Q(,, ) PQ (,,) ang ( u, v ) ang ( u, v, PQ) Se cuan po tanto no ha ningún plano que las contenga Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com)

26 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Ejecicio pag 9 Ha dos opciones: a) Los planos se cotan en una ecta la ecta buscada es paalela a ésta: b) Los dos planos son paalelos o coincidentes, entonces eisten infinitas ectas que pasan po el punto paalelas a los planos: Estamos en el pime caso, a que los planos se cotan ( ), veamos el vecto diecto de la ecta en la que se cota, cuas ecuaciones geneales vienen dadas po las ecuaciones de los dos planos : v (,,) (,,)( -, -, - )(,-,-). Ota foma ea obteniendo la ecuación en paaméticas: conociendo el vecto diecto de la ecta s, v (,-,-) un punto de la misma P(,,) la ecuación de la ecta en paaméticas viene dado po s:(,,)(,,)(,-,-) Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com) 6

27 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Tema elaboado po José Luis Loente agón 7 Ejecicio pag 9 Vamos a obtene las coodenadas del vecto diecto de la ecta, a pati de las ecuaciones en paaméticas: Restando las dos ecuaciones se nos va la vaiable : -- -, sustituendo en la ª ecuación tenemos (-)- : ) (,, v. Luego la ecuación de la ecta buscada tiene mismo vecto diecto (es paalela) pasa po el punto P: s:(,,)(,,6)(,,) Ejecicio pag 9 : : n m π a) ote a π: ang()ang( * ) m, n m * ang() m-m7m m -/7 ang( * ) siempe que el ango de sea, luego, paa que se cote m -/7, n R. b) Paalelos, entonces ang() m-/7 ang( * ), es deci alguno de los menoes de oden de la mati * es distinto de ceo. Veamos los valoes de n que hacen que el ango de * sea : 9 7 n n n 9/ n n n 9/ n n n 9/7.

28 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Luego ecepto cuando n9/7 que se anulan los menoes el ango de * es. Luego paa que π paalelas n R-{9/7} m-/7 c) está contenido en π si ang()ang( * ), que ocue si m-/7 n9/7. Ejecicio pag 9 Paa obtene las ecuaciones del plano buscado tenemos que obtene dos vectoes diectoes. omo la ecta contenida en el plano el vecto diecto de es vecto diecto de π. Podemos obtene oto vecto diecto uniendo el punto del plano P con un punto cualesquiea de la ecta, siempe que P no peteneca a dicha ecta, a que si así fuese este vecto popocional al pimeo. Pasemos la ecta a paaméticas ()() 9-7 7/9/9 Sustituendo en () -(7/9/9)- /9/ : v 7 (,, ) (,9,), Q (,, ) u PQ (,, ) (7,, ) 9 9 pati de estos datos la ecuación geneal del plano es : 7 π : π: -7-7 Ejecicio 7 pag 9 Este ejecicio es equivalente al ealiado en el tema (sistemas de ecuaciones), sólo que tenemos que da una intepetación al esultado cuando las ecuaciones coesponden a dos ectas. * m ang() ang( * ) si * * m6 m -. Si m ang( * ). m- m R-{-} Rang() Rang( * ) otan en un punto Se cuan Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com) 8

29 Unidad.Geometía (I).Ecuaciones de la ecta el plano Resumen posiciones elativas PLNOS π D π ' ' ' ' D' angom angom* angom angom* angom angom* oincidentes Paalelos Secantes π,π ' angom angom* oincidentes POSIIONES RELTIVS EN EL ESPIO PLNOS π D π ' ' ' ' D' π '' '' '' '' D'' RETS P Q ' u v RET Y PLNO D D π D angom angom* angom angom* angom angom* angom angom* ango( u, v) ango( u, v, PQ) ango( u, v) ango( u, v, PQ) ango( u, v) ango( u, v, PQ) ango( u, v) ango u, v, PQ ( ) angom angom* angom angom* angom angom* coincidentes paalelo paalelos Secantes en una ecta paalelos secante Secantes a Secantes en un punto oincidentes Paalelas Secantes uadas ontenida en el plano Paalela al plano Secante al plano Tema elaboado po José Luis Loente agón (loentejl@gmail.com) 9