GEOMETRÍA ANALÍTICA AB CD CD AB CD

Transcripción

1 GEOMETRÍA ANALÍTICA.- Vectores..- Vectores fijos en el plano Llamaremos ector fijo a todo par ordenado de pntos del plano. Si los pntos son A y B conendremos en representar por AB el ector fijo qe determinan; al pnto A lo llamaremos origen y al pnto B extremo. Gráficamente se representará por na flecha qe empiece en A y acabe en B. Definimos la dirección de n ector fijo como la de la recta en qe está contenido. Por tanto, dos ectores fijos tienen la misma dirección si están sobre la misma recta o sobre rectas paralelas. Si dos ectores fijos tienen la misma dirección escribiremos AB CD. El ector fijo nlo (ector fijo en el qe coinciden origen y extremo) no tiene dirección definida. Diremos qe dos ectores fijos de la misma dirección tienen el mismo sentido cando al nir ss orígenes ss extremos pertenecen al mismo semiplano de los dos qe se determinan. En caso contrario diremos qe tienen distinto sentido. Si dos ectores fijos tienen el mismo sentido escribiremos AB CD y si lo tienen distinto AB CD. El ector fijo nlo no tiene sentido definido. Definimos el módlo del ector AB, y lo representaremos por AB, como la longitd del segmento AB. Si dos ectores tienen el mismo módlo escribiremos AB CD. Nótese qe el ector fijo nlo si tiene módlo y ale cero...- Eqipolencia de ectores fijos. Concepto de ector libre Diremos qe dos ectores fijos no nlos AB y CD son eqipolentes si tienen la misma dirección, el mismo módlo y el mismo sentido. Si dos ectores fijos son eqipolentes escribiremos AB~ CD. Es decir: AB CD AB~ CD AB CD AB CD Vectorialmente se tiene qe dos ectores son eqipolentes cando al nir los orígenes y los extremos de ambos ectores, se obtiene n paralelogramo. Apntillemos qe todos los ectores fijos nlos son eqipolentes entre sí. El ector libre determinado por el ector fijo AB lo notaremos también por AB, y se define como el conjnto de todos los ectores fijos qe son eqipolentes con AB : AB x: x~ AB Al ector fijo AB se le sele llamar representante de la clase. Cipri Departamento de Matemáticas

2 .3.- Operaciones con ectores El conjnto de los ectores pede ser enriqecido con las sigientes dos operaciones: - Sma de ectores libres. - Prodcto de n número real por n ector libre. Sma de ectores libres Para smar ectores libres basta tomar representantes con origen común y tilizar la regla del paralelogramo. La sma de ectores se pede definir también del sigiente modo: En el extremo del primer ector se toma n representante del segndo; El ector cyo origen es el del primer ector y cyo extremo es el del segndo ector es el ector sma de los dos. Nótese qe la sma de ectores libres es na operación interna. Prodcto de n número real por n ector libre El prodcto de n número real por n ector libre x se define como otro ector, qe representaremos x cyas características son: i) x x ii) x x si 0 y x x si 0 x iii) x x x, 0 x, 0.- Introdcción de coordenadas Coordenadas de n ector Las coordenadas del ector AB coordenadas del pnto origen Aa, a : AB b a, b a son las coordenadas del pnto extremo, B b b menos las Módlo de n ector Si el ector tiene por coordenadas,, s módlo iene dado por: Matemáticas 4º E.S.O. Opción B

3 Vectores eqipolentes, y, Los ectores decir, son eqipolentes cando ss coordenadas son igales, es Vectores paralelos, y, Los ectores cando ss coordenadas son proporcionales: son paralelos cando tienen la misma dirección, esto es, Sma y resta de ectores La sma y la resta de los ectores, y,,,,,,, ienen dadas por: Prodcto de n número real por n ector El prodcto del número real por el ector,,, iene dado por: Sma de n pnto y de n ector, La sma del pnto Aa a y del ector, ector : A a, a, a, a consiste en trasladar el pnto A según el 3.- La recta en el plano A a,a Llamaremos determinación lineal de na recta a la pareja formada por n pnto A de dicha recta y n ector qe marqe la dirección de esa recta., En general, na ecación de la recta es na relación entre las coordenadas x, y de n pnto genérico X del plano qe nos permita saber si ese pnto está o no en la recta. Ecación ectorial de la recta La primera forma de imponer dicha condición es a traés de la Geometría Vectorial: X r sii : AX Ecación ectorial de la recta Ecaciones paramétricas de la recta Si desarrollamos la ecación ectorial se obtiene: X r sii : AX OX OA OX OA x, y a, a, Cipri Departamento de Matemáticas 3

4 xa y a Ecaciones paramétricas de la recta Ecación contina de la recta Si en la ecación paramétrica eliminamos el parámetro se tiene lo sigiente: x a xa y a ya xa ya Ecación contina de la recta Ecación pnto-pendiente de la recta Si en la ecación contina se pasa al otro miembro, reslta: xa y a Ecación pnto-pendiente de la recta ya qe es la pendiente de la recta. Ecación general o implícita de la recta Si en la ecación contina se efectúan operaciones se obtiene: xa ya xaya xa ya xya a 0 Ax By C 0 Ecación general o implícita de la recta donde A, B y C a a., siendo B y A los coeficientes de y ý de x. Para sacar n pnto basta dar n alor a x (o a y ) y calclar el qe falta. El ector director de na recta dada en forma general es el ector B, A Ecación explícita de la recta Si en la ecación general despejamos y, obtenemos: A C Ax By C 0 y x B B y mx n Ecación explícita de la recta donde A C m y n B B. Al coeficiente m se le llama pendiente de la recta y s alor es m y n recibe el nombre de ordenada en el origen, qe da la coordenada y del pnto de corte de la recta con el eje OY. Matemáticas 4º E.S.O. Opción B 4

5 Ecación canónica o segmentaria de la recta A partir de la ecación general Ax By C 0, podemos escribir AxBy C. Si C 0 tenemos: Ax By x y (si A0 B) C C C C Así: x y Ecación canónica o segmentaria de la recta p n donde OX). C p es la abscisa en el origen (coordenada x del pnto de corte de la recta con el eje A Ecación de la recta qe pasa por dos pntos Para calclar la ecación de la recta qe pasa por dos pntos dados, basta tomar como pnto no de ellos y como ector director el ector qe determinan los dos pntos. Ecación pnto-pendiente de la recta Si r es la recta qe pasa por el pnto A x0, y 0 con pendiente m, y P x, y es n pnto calqiera sobre r, con x x, entonces y y0 m x x 0 (*) de donde se dedce qe y y m x x Ecación pnto-pendiente de la recta Cipri 0 0 y y0 En (*) hemos isto qe m, lo qe nos llea a dar la sigiente interpretación geométrica de x x 0 la pendiente: la pendiente es la ariación (positia o negatia) qe experimenta la coordenada y cando la coordenada x amenta na nidad, y por tanto, tiene qe er con la inclinación de la recta. Ecaciones de los ejes En rectas paralelas a los ejes algno de los denominadores de la ecación contina es cero, por lo qe dicha ecación adqiere n carácter simbólico; para obtener en estos casos la ecación general basta igalar a cero el correspondiente nmerador. 4.- Posiciones relatias de dos rectas en el plano Diremos qe n pnto P x, y es incidente con na recta r cando P r. Bastará er para ello si las coordenadas de P satisfacen algna ecación de la recta r. Diremos qe dos rectas son incidentes si tienen n pnto común. En tal caso, se dice qe las rectas son secantes. Para comprobar si dos rectas son incidentes bastará resoler el sistema formado por las dos ecaciones de las rectas dadas para er si tiene solción o no; si la tiene, la solción representará a n pnto qe satisfará ambas ecaciones y será por tanto el pnto de intersección. Si el sistema es incompatible, diremos qe las rectas son estrictamente paralelas. Ya qe el ector director es AP xx, y y 0 0. Departamento de Matemáticas 5

6 No obstante, para comprobar si dos rectas son paralelas o no, no es necesario resoler el sistema. En efecto, recrriendo a la geometría ectorial se tiene: r r s Si r es paralela a s los ectores directores han de ser proporcionales. Bastará pes sacar los ectores de dirección y comprobar esa condición. El procedimiento es particlarmente sencillo si las rectas ienen dadas por s ecación general. Sean éstas: r AxByC 0 r B, A s A' xb' yc' 0 s B', A' B A Si r s B ' A' A' B' Consecentemente, si las rectas será secantes. A' B ' C Si las rectas estarán en el caso triial de paralelismo: como las ecaciones son A' B' C' eqialentes, serán la misma recta. Podemos entonces confeccionar el sigiente esqema: C coincidentes A' B' C' paralelas o coincidentes A' B' estrictamente paralelas A' B' secantes A' B' En general, tenemos la sigiente clasificación: Posiciones Vectores directores Pendientes Coeficientes ec. Paralelas Proporcionales Igales B C m m' A' B' C' Coincidentes Proporcionales Igales B C m m' A' B' C' Secantes No proporcionales Distintas m m' A' B ' s Matemáticas 4º E.S.O. Opción B 6