ESPACIO AFÍN 2.- SISTEMAS DE REFERENCIA: COORDENADAS DE UN PUNTO. 3.- VARIEDAD LINEAL: ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO.

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1 ESPACIO AFÍN 1.- CONCEPTO DE ESPACIO AFÍN. 2.- SISTEMAS DE REFERENCIA: COORDENADAS DE UN PUNTO. 3.- VARIEDAD LINEAL: ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO. 4.- PROBLEMAS DE INCIDENCIA. 5.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS. 1.- CONCEPTO DE ESPACIO AFÍN CONCEPTO DE VECTOR FIJO, MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO. Sean A y B dos puntos del espacio geométrico E, se llama vector fijo al segmento cuyos extremos se dan en cierto orden. Al primer extremo del segmento se le denomina origen del vector y al segundo extremo. A la longitud del segmento módulo del vector. El sentido de un vector origen A a su extremo B. La dirección del vector que lo contiene. se le llama es aquel que va de es la de la recta VECTORES LIBRES EN EL ESPACIO. En el conjunto de vectores fijos del espacio F, definimos una relación R de equipolencia. Así diremos que dos vectores fijos están relacionados o son equipolentes si tienen igual dirección, módulo y sentido. La relación R es de equivalencia ya que verifica: Por todo lo visto anteriormente un vector fijo queda perfectamente determinado por su origen, módulo, dirección y sentido. Al conjunto de vectores fijos en el espacio le denotamos con la letra F. La relación de equipolencia en E nos permite clasificar a los vectores fijos del plano, cada una de las clases de equivalencia formadas por todos los vectores equipolentes a uno dado de denomina vector libre del espacio. IES CRISTÓBAL COLÓN. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 1

2 1.3.- CONSTRUCCIÓN DEL ESPACIO AFÍN. Vamos a construir el espacio afín en tres pasos: Primero definiremos una biyección entre los puntos del plano y los vectores libres del espacio que asocia a cada punto del espacio una vector libre del espacio. Segundo veremos el isomorfismo entre el espacio vectorial de los vectores libres y R 3 que asocia a cada punto del espacio una terna de números reales. Y tercero, mediante la composición de las dos aplicaciones biyectivas se asocia a cada punto del espacio E una terna de números reales, que son las coordenadas de dicho punto, y una definición de espacio afín. a) Biyección entre el conjunto de puntos del espacio y el conjunto de vectores libres del espacio. Sea E el conjunto de puntos del espacio geométrico: c) El Espacio Afín Sea E el conjunto de puntos del espacio y V 3 el espacio vectorial de los vectores libres, definimos la siguiente aplicación: E={A,B,C,D,O,...} Sea V 3 el espacio vectorial de los vectores libres del espacio: y O un punto fijo del espacio geométrico que llamamos origen. Establecemos la correspondencia que a cada punto A del espacio le asocia el vector libre es decir : Al vector fijo OA se le llama vector de posición del punto A respecto del origen O. Evidentemete esta correspondencia es una aplicación biyectiva. Por qué? b) Isomorfismo entre el los espacios vectoriales (V 3, +,.R) y (R 3, +,.R) Consideremos una Base B ={ u1,u2,u3} de V 3, cualquier vector libre del espacio se podrá expresar como combinación lineal de los vectores de B : Se llama Espacio Afín a la terna ( E, V 3, f) donde: E es el conjunto de puntos en el plano. V 3 es el espacio vectorial de los vectores libres del espacio. f es la aplicación de E x E en V 3 Definimos la correspondencia Claro está, la correspondencia es una aplicación inyectiva y sobreyectiva, pero tambien es una aplicación lineal entre espacios vectoriales, seguro?, que al ser biyección se denomina isomorfismo. Con este isomorfismo se traduce toda relación geométrica a relación numérica, esta traducción es la esencia de la Geometría Analítica iniciada por Descartes. IES CRISTÓBAL COLÓN. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 2

3 2.-SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO AFÍN SISTEMA DE REFERENCIA. Sea O un punto fijo del espacio afín, al que llamaremos origen de coordenadas, entonces en el espacio afín, todo punto A determina un vector mediante la aplicación f: Diremos que es el vector de posición de A respecto al punto O. ( Como ves hemos pasado del espacio afín al espacio vectorial V 3, que es lo que conocemos...) Sea una base del espacio vectorial y Un sistema de referencia en el espacio afín es una cuaterna de puntos, donde O es el origen de referencia y son tales que con i=1,2,3 y se denominan ejes coordenados. Los planos que determinan un para de ejes se llama planos coordenados CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA. afín Dados dos sistemas de referencia del espacio y y un punto P cualquiera, se pretende hallar las relaciones que existe entre las coordenadas de este punto respecto de cada uno de los sistemas. Sea (x,y,z) y (x',y',z') las coordenadas de P respecto de los dos sistemas de referencia. Para obtener las relaciones es necesario conocer las coordenadas del punto O respecto a O' ( o del punto O' respecto a O ), así como las coordenadas de los vectores respecto de la base. Las coordenadas de un punto respecto de un sistema de referencia afín son las coordenadas del vector de posición del punto respecto de la base del espacio vectorial asociado. Esto es, la composición de dos de las aplicaciones vistas en 1: Las ecuaciones buscadas son : Escríbelo en forma matricial!! IES CRISTÓBAL COLÓN. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 3

4 3.- VARIEDAD LINEAL: ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO 3.1.-CONCEPTO DE VARIEDAD LINEAL. Sea E el espacio afín y V 3 el espacio vectorial asociado. Si P es un punto de E y F un subespacio de V 3, se llama Variedad lineal que pasa por P y dirección F,L(P;F) al conjunto de puntos que verifican que f(p,x)=px pertenece a F. Si un punto X está en la variedad lineal L, se dice que L es incidente con X, o que X pasa por L. La dimensión de la variedad lineal es la del subespacio vectorial F asociado. Dos variedades son iguales si pasan por el mismo punto y tienen la misma dirección. En R 3, las variedades lineales son: - Puntos ( variedad lineal de dimensión 0) - Rectas ( variedad lineal de dimensión 1) - Planos ( variedad lineal de dimensión 2) - Espacio ( variedad lineal de dimensión 3) ECUACIONES DE LA RECTA: FORMAS DIVERSAS. La recta afín "r" de E queda determinada por un punto A y un vector v, al punto A se le llama punto base y a v vector director de la recta r(a,v), determinación de la recta: Dos determinaciones distintas (A,v) y (A',u) pueden dar la misma recta r siempre que A y A' sean puntos de r,y u y v sean dependientes o coincidan. A) ECUACIÓN VECTORIAL Sea r(a, v) una determinación de la recta r y R{O; U1,U2,U3} un sistema de referencia de E. Cualquier punto X de r es tal que Si llamamos B) ECUACIONES PARAMÉTRICAS Sea la recta y sea R{O;U1,U2,U3} el sistema de referencia en E. Sea =(a 1, a 2, a 3 ), =(x,y,z) y =(v 1,v 2,v 3 ) se tiene que: (x,y,z) = (a 1,a 2,a 3 ) + t.(v 1,v 2,v 3 ) t e R Ecuación vectorial de r (1) Ejercicio: Halla la ecuación vectorial de los ejes de coordenadas. D) ECUACIÓN DE UNA RECTA DADA POR DOS PUNTOS DISTINTOS Sean A y B dos puntos que determinan la recta r. Tomando =(a 1,a 2,a 3 ) y =(b 1,b 2,b 3 ) como vectores de posición de A y B se tiene que: + AB =, esto es = - Si X es un punto de la recta r, entonces: x = + t. ( - ) Ecuación vectorial Repitiendo el razonamiento para la determinación de una recta por un punto y un vector puedes hallar el resto de formas de la ecuación de la recta r dada por dos puntos A y B. Ejercicio: Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-1,1,0) y B(2,-3,1) x = a 1 + t.v 1 y = a 2 + t.v 2 Ecuaciones paramétricas de r. z = a 3 + t.v 3 (2) C) FORMA CONTINUA define una dirección siempre y cuando no sea el vector (0,0,0). De la expresión (2) despejando t en cada ecuación se obtiene: Ejercicio: Halla la recta que pasa por A(1,1,1) y u(1,2,3) IES CRISTÓBAL COLÓN. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 4

5 3.2.-ECUACIONES DEL PLANO. Se llama plano afín a la variedad lineal asociada a un subespacio vectorial de dimensión dos: u y v deben ser linealmente independientes, son una base del subespacio vectorial asociado, del plano. Se dice que (A, u, v) determinan el mismo plano que (A',v',u') si A y A' están en el plano y L(v, u)=l(v',u') A) ECUACIÓN VECTORIAL Sea (A, v, u) el plano y R = {O, U1,U2,U3} un sistema de referencia de E. Sea X un punto del plano, entonces: Observa el paralelismo que existe entre la ecuación del plano en el espacio y la ecuación de la recta en el plano afín: A X X π A IES CRISTÓBAL COLÓN. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 5

6 B) ECUACIONES PARAMÉTRICAS Sea =(a 1,a 2,a 3 ), =(x,y,z), =(v 1,v 2,v 3 ) y =(w 1,w 2,w 3 ) se tiene: E) ECUACIÓN NORMAL DEL PLANO Sea A un punto del plano, y un vector normal al plano, una determinación del plano es la dada por el punto a y el vector normal(perpendicular). Sea X un punto cualquiera del plano, el vector perpendicular a, por tanto: ha de ser C) ECUACIÓN EN FORMA DE DETERMINANTE Puesto que el vector tiene que estar en el plano determinado por v y u, es combinación lineal de ellos (como se vio en las ecuaciones vectoriales) por tanto el determinante de det( D) ECUACIÓN CARTESIANA, v, u)=0 Desarrollando el determinante anterior por adjuntos: y haciendo operaciones se obtiene la Ecuación Cartesiana. A.x + B.y + C.z +D = 0 Ejercicio: Halla las ecuaciones del plano que pasa por A(-1,0,2) u(1,-1,1) y v(2,1,-1). Ejercicio: Halla las ecuaciones del plano determinado por tres puntos no alineados A,B,C. IES CRISTÓBAL COLÓN. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 6

7 4.-PROBLEMAS DE INCIDENCIA INCIDENCIA DE PUNTO Y RECTA: INCIDENCIA DE RECTA Y PLANO Un punto P incide con la recta "r", ó la recta "r" pasa por P, si P pertenece a la recta, ó que el punto P verifica las ecuaciones de la recta. Dados dos puntos siempre existe una recta que pasa por ellos y es única. Se llama haz de rectas que pasan por un punto P al conjunto de rectas que pasan por P. Dados n puntos del espacio E no siempre existe una recta que pase por ellos, la condición es que: por qué? Una recta "r" es incidente con un plano Π si el plano contiene a la recta. Teorema: Sea r(a, ) y Π (b,, ) se dice que r es incidente con Π si y solo si un punto P de r es incidente con Π y es del subespacio generado por y. Corolario: La recta r es incidente con el plano Π sii rang (,, )=2 Se llama haz de planos de base la recta r al conjunto de planos que pasan por la recta r INCIDENCIA DE PUNTO Y PLANO. Un punto P es incidente con un plano Π, si P verifica la ecuación del plano Π. Π :Ax+By+Cz+D=0 P(a,b,c) pertenece a Π sii Aa+Bb+Cc+D=0 Si r viene dada como el haz de rectas seria: ecuaciones implicitas, Sabemos que tres puntos no alineados determinan un plano único; sin embargo dados n puntos del espacio E no siempre existe un plano que pase por ellos para que ocurra: Se llama radiación de planos que pasan por un punto P al conjunto de planos que pasan por P. IES CRISTÓBAL COLÓN. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 7