Diferencial Total. se define. en el punto x

Transcripción

1 Dierecial Total El propio ombre derivada parcial os debiera idicar que e cotraposició al caliicativo parcial eiste otro que lo complemeta Tal ombre el correspodiete cocepto eiste se le llama dierecial total E cotraste mietras la derivada parcial os permite estudiar la razó de cambio de ua ució e la direcció de alguo de los vectores caóicos del espacio vectorial R ; la dierecial total como su ombre lo idica persigue estudiar lo que pasa a la ució cuado todas las variables idepedietes de la ució cambia al mismo tiempo Nuestra presetació se apoará uertemete e la geeralizació de lo que ocurrió e cálculo de ua variable Iiciamos co alguas ideas que tiee la iteció de recordarte lo que e su mometo ue discutido e los libros de cálculo de ua variable Para empezar recuerda que la derivada de ua ució por medio del siguiete límite siempre que éste eista: () e el puto se deie '( ) lim ( ) ( ) Recuerda tambié que si la ució es derivable e tagete que pasa por el puto está dada por ( ) ( ) '( ) etoces la ecuació de la recta E la siguiete igura se muestra tato la gráica de la ució como el de su recta tagete Observa que si la variable idepediete cambia e ua catidad etoces la ució cambia e ua catidad mietras que el cambio e la ordeada de la recta tagete es siguietes deiicioes ( ) ( ) ( ) '( ) Nos deteemos u mometo para establecer las Deiició Icremeto de ua ució El icremeto de ua ució es el cambio que sure la ució cuado la variable idepediete cambia ua catidad pasado de a ( ) ( ) está dado por: Deiició Dierecial de ua ució Sea () ua ució derivable e el itervalo ( ab ) u puto e el itervalo A la epresió: d( ) = ( ) se le llama la dierecial de e el puto

2 Iterpretació geométrica de la dierecial Observa que si idetiicamos h d podemos escribir la dierecial como: d '( ) d Por otra parte de acuerdo co las deiicioes de derivada de icremeto de ua ució teemos: De dode ( ) ( ) '( ) d ( ) '( ) d d ( ) Es decir el icremeto se puede aproimar co la dierecial Como puedes observar e la igura aterior para ua ució derivable e etre meor sea la aproimació ( ) d ( ) será mejor Relacioado co este resultado se tiee el siguiete teorema que es cosecuecia directa de la deiició de la derivada e Teorema: Sea tal que si ua ució diereciable e etoces ( a b) Para e ) ( ( ) ( )( )) ( ( a b) eiste El teorema idica que la dierecial estará ta cerca como queramos del icremeto (meor que ua distacia ) co sólo pedir que la dierecia etre sea pequeña (meor que ) Es decir el teorema epresa simplemete que podemos aproimar mu bie a la ució origial cerca de por ua ució lieal si os limitamos lo suiciete e el domiio de la ució De orma simple para valores cercaos a Aproimació lieal por recta tagete ( ) ( ) '( ) se tiee que: E lo que sigue proporcioamos ua completa aalogía co lo aterior Cocretamete:

3 Sea U u cojuto abierto de R P U ua ució de varias variables Si cada ua de las variables idepedietes sure u cambio deotamos este cambio por etoces: i Deiició Icremeto de ua ució El icremeto de ua ució P idepedietes cambia ua catidad es el cambio que sure la ució cuado las variables i P ( P ) ( P ) pasado de dode i a i i está dado por: El siguiete teorema cua demostració omitimos es la base de la siguiete deiició que epresa lo que etederemos por dierecial total Teorema Sobre la relació que eiste etre el icremeto de ua ució sus derivadas parciales Si P U parciales cotiuas e U Etoces: & : U R es ua ució de varias variables co derivadas P P P P d d d Dode i cuado su correspodiete actor i Si la cosideras como ua órmula la epresió que aparece e el cuadro de arriba es mu importate porque dice que si los icremetos de las variables idepedietes so pequeños etoces el icremeto de la ució puede calcularse aproimadamete por medio de: P P P d d d E clara aalogía co lo que ocurría e el caso de ua variable A esta última epresió es a la que llamaremos dierecial total de la ució es decir: Deiició Dierecial total de ua ució e P U & : U R ua ució de varias variables co derivadas parciales cotiuas e U Etoces a Sea U ua regió del espacio R P P P P d P d d d se le llama dierecial total de e el puto se le deota por d P

4 Auque ha sido señalado co palabras vale la pea resaltar lo siguiete Nota: E geeral: Plao Tagete P d P Pero las aalogías o termia co lo aterior La igura cotiee ua idea mu importate que buscaremos reproducir para el caso de varias variables os reerimos a la liealizació local de la ució E eecto e el caso de ua variable la recta tagete a la gráica de la ució e está dada por si haces la correspodiete aalogía ( ) '( ) verás que lo coducete para el caso de varias variables sería: P P P w P d d d Ó si escribimos P a a a U : P P P w P a a a Notarás que por la orma que tiee la ecuació aterior estamos hablado de u plao e dimesioes supericie a la que se le llama hiperplao Otra orma de abordar la misma idea desde ua perspectiva dierete es a través de la cosideració de la dierecial total Desde este eoque la idea sigue siedo la misma: coseguir ua aproimació local lieal de ua ució de varias variables Como vimos e el desarrollo sobre dierecial total: P ( P ) ( P ) Dode P d P P P P & d P d d d Así el icremeto de ua ució puede hallarse aproimadamete por la aproimació lieal: P P P p P d d d

5 Epresió e la cual d i i i ai A la epresió lieal que aparece e el miembro derecho de la ecuació aterior lo llamamos plao tagete esto es: Deiició Plao tagete La liealizació de ua ució diereciable es e u puto P a a dode es P P P p P a a a Al miembro derecho de la ecuació se le llama plao tagete Esta ució (la del lado derecho de la aterior ecuació) proporcioa ua ecelete aproimació de la ució cerca del puto de cotacto Ejemplo Determia la ecuació del plao tagete a la supericie Solució: Buscamos ua ecuació que tiee la orma: 4 e el puto Teemos: De dode: z 4 4 La ecuació del plao tagete es z Si graicamos la ució dada el plao tagete correspodiete e el puto ( ) obteemos el aspecto de la siguiete igura

6 Dado que el plao tagete proporcioa ua aproimació local de la ució e la cercaía de e pricipio es posible aproimar el valor de ua ució e putos cercaos a P Ejemplo Cosidera la siguiete tabla de valores de la ució ( ) \ P a) Determia la ecuació del plao tagete e el puto b) Estima el valor de (3 8) P 3 Solució: E primer lugar requerimos calcular las derivadas parciales de la ució para lo cual debido a que o cotamos co ua órmula para la ució recurrimos a la deiició Claro aquí ha u asuto que debemos cosiderar a saber si el puto que os iteresa es P 3 buscamos ua aproimació tomaremos los putos para el cálculo aproimado de la derivada apoádoos e los putos más cercaos Así: a) De aquí resulta que la ecuació del plao tagete es b) Etoces: 38 z (3 8) z Auque el valor aterior sólo os orece ua estimació del verdadero valor o obstate tiee la vetaja de o requerir igú ajuste a ua órmula de la ució Plao tagete para ucioes implícitas Si la ució z esté deiida implícitamete por la codició F( z) costate es posible que o podamos epresar a de orma eplícita E este caso os resultaría imposible utilizar la órmula de los Ejemplos E estos casos utilizamos la siguiete idea importate z C ;C

7 Supó que la ecuació C es ua curva sobre la supericie F t t z t C para t F( z) que ésta viee epresada por e cierto itervalo I (ver la siguiete igura) Supó ahora que el plao es tagete a la supericie e el puto P z por el que pasa la curva e el tiempo t t que V represeta el vector tagete a la curva C e t t Etoces por la regla de la cadea: d d F t t z t C d t d t O bie Por lo tato e t t : F d F d F d z d t d t z d t F P d F P d F P d z d t d t z d t t t t t t t Es decir F P t t z t F P V Esto sigiica que el vector gradiete de la ució ortogoal al vector la ució V F( z) F( z) C e P z De la misma maera repitiedo el argumeto el vector gradiete de C e P es ortogoal al vector V Como V V es determia el plao cocluimos que el vector F P es u vector ortogoal al plao Lo que acabamos de discutir os lleva a varios resultados que será de suma utilidad e la medida que avacemos

8 Teorema Otra iterpretacioes geométricas del vector gradiete: Sea F( z) C P z u puto de la supericie ua ució diereciable descrita por la propia ució F Etoces: El vector gradiete es ortogoal a cualquier supericie de ivel descrita por la ecuació Lo mismo puede decirse para las curvas de ivel de ua ució de dos variables idepedietes La ecuació del plao tagete a la supericie descrita por F e el puto está dado por: F( z) C F P P P dode Ejemplo 3 Obté la ecuació del plao tagete a la supericie P 3 Solució: E este ejercicio 8 F 3 P z z z 8 Utiliza tu resultado para obteer u valor aproimado de F z z z Teemos: ( ) 8 F z F z 3 9 Fz z Por lo tato F z cuado P e el puto 3 Lo primero que haremos será calcular Co base e este cálculo determiamos que la ecuació del plao tagete está dada por: F P P P z z 36 De aquí resulta la ecuació buscada E cuato a la aproimació si sustituimos 3 8 obteemos: z z 54 de dode z 35