LA RECTA EN EL PLANO

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS INGENIERIA Y AGRIMENSURA U.N.R. LA RECTA EN EL PLANO E INECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES CATEDRA ALGEBRA Y GEOMETRIA I 9 RICARDO SAGRISTA PATRICIA CO MONICA DEL SASTRE MARIA INES GONZALEZ RAUL KATZ ERICA PANELLA

2 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R L ect en el plno - Intoducción Fijdo un sistem de coodends ctesins otogonles en el plno, cd punto P le coesponde un único p odendo (,) de númeos eles ecípocmente cd p odendo (,) le coesponde un único punto P del plno. Se estblece de este modo un coespondenci biunívoc ente puntos del plno (elementos geométicos) pes odendos de númeos eles (elementos lgebicos). Decimos que: (,) son ls coodends del punto P es l bscis del punto P es l odend del punto P. P (,) - Lug geomético Fig. Se llm lug geomético (en el plno o el espcio) un conjunto de puntos (del plno o del espcio) que cumplen con un o vis popieddes geométics. Son ejemplos de luges geométicos: El conjunto de todos los puntos P del plno (espcio) que equidistn de dos puntos fijos R Q. El conjunto de todos los puntos del plno (espcio) que equidistn de un punto fijo C. Qué epesent en el plno cd uno de los luges geométicos?. Dibuj lgunos puntos de cd conjunto puede ud encont l espuest..- Ecución de un lug geomético del plno Si (, ) son ls coodends de un punto culquie de un lug geomético del plno, l popiedd o ls popieddes que definen dicho lug se tducen po lo genel un ecución en ls vibles e que llmmos ecución ctesin del lug geomético ddo. Ejemplo : Hllemos l ecución del lug geomético de los puntos que equidistn de los puntos Q ( 3, ) R(, 4) { P QP RP } A / () Sen (, ) ls coodends de un punto P peteneciente A. Entonces ( 3, ) RP ( +, 4) QP. P A QP RP ( 3) ( 3) + ( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( 4) + ( 4) Págin de

3 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R o equivlentemente + () Hemos pobdo que todo punto P de coodends (, ) que petenece A veific l ecución + ecípocmente todo punto P cus coodends stisfcen +, petenece l conjunto A. En este cso decimos que + es l ecución (ctesin) del lug geomético A. L ecución () coesponde l ect meditiz del segmento detemindo po los puntos P Q. L ecución (ctesin) de un lug geomético en el plno es un ecución en ls vibles e, tl que todo punto P(,) del lug, l veific ó stisfce, ecípocmente todo punto del plno cus coodends veificn l ecución petenece l lug. Actividd : ) Petenece el punto P de coodends (,) l lug geomético de ecución ()?. Po qué? b) Encuente ls coodends de cinco puntos que petenecen l lug geomético. Ejemplo : Encontemos l ecución del lug geomético de los puntos del plno que se encuentn 3 uniddes del oigen de coodends. B { P / P se encuent 3uniddesdel oigen de coodends } Si notmos con O l oigen de coodends con P(, ) un punto bitio, entonces: P B OP 3 ( ) + ( ) (3) L ecución (3) coesponde l lug geomético plntedo epesent un cicunfeenci con cento en (,) dio 3. (, 3 ) ( 3, ) Fig. Págin de

4 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R Hemos pobdo que todo punto P de coodends (, ) que petenece B veific l ecución + 9, ecípocmente todo punto P cus coodends stisfcen + 9 petenece l conjunto B. Luego: B { P(, ) / + 3 } Actividd Cuál es l ecución del lug geomético de los puntos del plno que petenecen l ect bisectiz : ) del pime tece cudnte? b) del segundo cuto cudnte? 3. L ect como un lug geomético: Si P es un punto fijo del plno u un vecto no nulo, el lug geomético ddo po: P P { P P P // u } { } : P u Fig. 3 es el conjunto de todos los puntos del plno que petenecen l ect que contiene P es plel u. 3. Ecución vectoil de l ect en el plno Fijdo un sistem de coodends ctesins otogonles en el plno con l bse { i, j } socid, ddos un punto P (, ) un vecto u ( u, u ), eiste un únic ect que contiene P tiene l diección de u. P P P // u o P P P P t u p un cieto R t. P u P { P(, ) / P P t u ; R} t j i Fig. 4 L ecución: P P t u ; t R ecibe el nombe de Ecución vectoil de l ect. Como o bien: OP OP + P P, ó P P OP OP, dich ecución se puede escibi: OP OP t u OP OP + t u, t R (4), P descibi l ect usndo est ecución es necesio tene como dtos un punto P de l ect un vecto u plelo l mism. Págin 3 de

5 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R En pticul, si l ect contiene l oigen de coodends podemos elegi P (,) l ecución (4) se tnsfom en: OP t u, t R (5) Anlicemos el significdo geomético del pámeto t que pece en l ecución vectoil P P t u : P P t u en consecuenci: P P t u t u, t P P dist ( P, P ) u u El pámeto t, en vlo bsoluto, esult popocionl l distnci ente el punto P(,) de l ect que se obtiene p ese vlo de t el punto fijo P. En pticul si u, entonces t es dich distnci. Obsevmos que p cd vlo de t qued detemindo un punto P ecípocmente. L vible t se denomin pámeto no se epesent sobe un eje. Si en l ecución (4) eplicitmos ls componentes, se tiene: de modo que: (, ) (, ) + t ( u u ) t R, (, ) ( + t u + t u ),, L iguldd ente vectoes implic: + t + t u u t R Ls ecuciones obtenids se denominn: Ecuciones pmétics de l ect (6) coodends de un punto de l ect componentes de un vecto plelo l ect A u u se los llm coeficientes diectoes de l ect. Estos coeficientes no son únicos que h infinitos vectoes con l mism diección que. Si en pticul elegimos un vecto de módulo uno (veso) los coeficientes diectoes eciben el nombe de cosenos diectoes de l ect. Actividd ) Escib ls ecuciones pmétics de un ect que conteng l oigen de coodends. Qué epesent en este cso el pámeto t? ) Encuente ls ecuciones pmétics de l ect que es plel l vecto (,) contiene l punto (,3). Págin 4 de

6 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R 3) Hlle ls ecuciones pmétics de l ect que contiene l punto Q(-3,) es: ) plel l eje. b) plel l eje. Gfique mbs ects. t 4) Sen t R, ls ecuciones pmétics de un ect. + 4t ) Los puntos P (,5) Q (3,-) petenecen? b) P qué vlo del pámeto t se obtiene el punto (-,7)? c) P qué vloes de t se obtienen los puntos del segmento detemindo po ls intesecciones de l ect con los ejes coodendos? d) Clcule el áe el tiángulo que fom l ect con los ejes coodendos. e) Escib ots ecuciones pmétics de l mism ect. 3.3 Ecución genel de l ect en el plno Si de ls ecuciones pmétics (6), obtenemos: u t, Opendo lgebicmente esult: u ( (con : u u t de donde ) u ( ) u u ) u despejmos el pámeto t u u u u (7) u u + (u u ) u u Si eemplzmos po, po, b ( u u ) po c, obtenemos l ecución: ) + b + c que llmmos: Ecución Genel de l ect (8) Est es un ecución de pime gdo o linel en ls vibles e. Ls vibles e simbolizn ls coodends de un punto culquie de l ect. Asimismo, culquie punto del plno de coodends (, ) que veific l ecución (8) petenece l ect. A los númeos, b c se los llm coeficientes de l ecución, en pticul c se lo denomin témino independiente de l ecución, peo qué significn geométicmente? P encont espuest est pegunt le poponemos que gfique en un mismo sistem de n u (, b). coodends el vecto u (u, u ) (vecto plelo l ect) el vecto ( ), u Cómo son u n?. Veifique nlíticmente. Págin 5 de

7 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R Hech est veificción, podemos fim que el vecto n (, b) es un vecto pependicul (o noml) l diección de l ect. Po este motivo n se lo llm vecto noml l ect. Encontmos un significdo geomético p el p (, b), Busquemos ho signific geométicmente el coeficiente c. De l ecución (8) se tiene que: c + b (, b) (, ) n OP P (,) de donde: ( b) ( ) n OP c + b,, n OP cos n, OP n d (, ) n d (, ) j i Fig. 5 donde d (, ) simboliz l distnci de l ect l oigen de coodends. (Obsevción: el concepto de distnci de un punto un ect seá pecisdo más delnte) Si n, entonces c es l distnci del oigen de coodends l ect. Es deci, cundo en l ecución genel de un ect los coeficientes de l de l son ls componentes de un veso noml l ect entonces el vlo bsoluto del témino independiente es igul l distnci del oigen de coodends l mism. Si n : c n d (, O ) es popocionl l distnci de l ect l oigen. Siendo c c, esult: c c d(, O) si n X n d(, O) si n Actividd 3: ) Escib l ecución genel de un ect que conteng l oigen de coodends. ) Cómo son ls posiciones eltivs ente ls ects de ecuciones + b + b + c, con c? 3) Hlle l ecución genel de un ect gfíquel, si l mism cumple ls siguientes condiciones: ) es plel l eje. b) es plel l eje contiene l oigen de coodends. c) es plel l eje. d) es plel l eje contiene l oigen de coodends. 4) Si en l ecución + b + c, es ; b, qué puntos del plno l veificn? Págin 6 de

8 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R 5) Dd l ecución de l ect + 3, indique si los puntos P (-3,-3) P (4,-) petenecen o no ell. Detemine ls coodends de los puntos de intesección de l mism con los ejes coodendos. Repesente gáficmente. + 3t 6) Dd l ect ) t R, t ) epesente gáficmente b) hlle su ecución genel. c) encuente l ect pependicul l dd que conteng l oigen de coodends. 3.4 Ecución segmenti de l ect Si + b + c con, b c, entonces + b c. Dividiendo mbos miembos po Si llmmos c b c + c p ( c) esult: o bien: + c c b c con p q espectivmente, obtenemos l siguiente ecución: b + q que llmmos Ecución segmenti de l ect (9) (, b ) A pti de l ecución (9) es fácil detemin los puntos en que l ect intecept los ejes coodendos. Dichos puntos de muestn en el siguiente gáfico: (, q ) ( p, ) Fig. 6 Qué pticulidd tienen ls ects en cus ecuciones es, b c? Cundo l ect contiene el oigen de coodends, (c ), no es posible epesl en fom segmenti. Actividd 4: ) ) Hlle l ecución segmenti de l ect 3 5. b) Encuente ls coodends de los puntos de intesección con los ejes coodendos epesente gáficmente. Págin 7 de

9 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R ) Hlle l ecución segmenti de l ect que contiene los puntos (, 5) (-3, ). Repesente gáficmente l mism. 3.5 Ecución eplícit de l ect. Si de l ecución genel + b + c (con b ) despejmos l vible, obtenemos l siguiente ecución: Llmndo b c con m h espectivmente, esult: b b c b m + h que llmmos Ecución eplícit de l ect () Qué pticulidd tienen ls ects en cus ecuciones es b? Vemos el significdo geomético de los coeficientes m h. Significdo de h: En () p, esult h. Esto indic que h es l odend del punto de intesección de l ect con el eje. Po ello ecibe el nombe de odend l oigen de l ect. En cunto l significdo del coeficiente m : En l Fig. 7 se obsev que fom un ángulo α m+h R(,m+h) con el semieje positivo. Considendo el tiángulo ectángulo detemindo po los puntos P (,h), Q (,h) R (, m+h), tenemos que: P(,h) α (m+h) - h m Q(,h) ct. op. ( m + h) h m tgα m ct. d. ( α < π ) α h Fig. 7 Luego el vlo de m es l tngente tigonométic del ánguloα fomdo po l ect el sentido positivo del eje. Po est zón, se lo llm pendiente de l ect o coeficiente ngul de l mism. Actividd 5 π α < ) Al nliz el significdo de m tuvimos en cuent que ( ) ; Lleg l mism conclusión si el ángulo α que fom l ect con el sentido positivo del eje es tl que π < α π Sugeenci: ecuede l elción ente los vloes de ls tngentes de ángulos suplementios. ) Le poponemos que tbje sobe los siguientes csos pticules: ) Escib l fom eplícit de l ecución de un ect que contiene l oigen de coodends.?. Págin 8 de

10 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R b) Cuál es l fom eplícit de l ecución de un ect cundo m?, En qué posición eltiv los ejes coodendos se encuent?. Gfique. c) Anlice po qué no es posible escibi l ecución eplícit de un ect plel l eje. d) Si un ect bisec l pime tece cudnte, cuál es su ecución eplícit?, si bisec l segundo cuto cudnte?. Gfique mbs ects. 3) Teniendo como dto ls coodends de dos puntos del plno P (, ) P (, ), obteng l ecución eplícit de l ect que contiene estos dos puntos. 4) Escib l ecución eplícit de l ect que contiene A(,3) fom un ángulo de º con el eje. 5) Hlle l ecución eplícit de l ect que contiene los puntos P (, -3 ) P (, 5 ). 4. Ángulo ente dos ects Si dos ects son plels o coincidentes, entonces el ángulo ente ls misms es ceo. Si se cotn en un punto entonces fomn cuto ángulos. Dos culesquie de ellos o son opuestos po el vétice o suplementios. Conocidos n n vectoes pependicules (o vectoes plelos si se tbj con ls ecuciones α n n pmétics) espectivmente, uno de los ángulos detemindo po ls ects es el oto su suplementio: ( π α ). Si ls ecuciones de ls ects son + b + c ) + b + c, entonces cos n n ) α donde n (, b ) n (, b ) n n n α α n Fig. 8 Ejemplo 3: Vmos encont uno de los ángulos que fomn ls ects ) ) - 5-3: n, 5) n (, 5), ( (, 5) (, 5) cosα α 4º Condición de pependiculidd ente dos ects π n n n n, n, n () Si ls ects están epesds po su ecución genel l condición () se tduce : Págin 9 de

11 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R + b b Si ls ecuciones de ls ects están dds en fom eplícit, ) m + h ) m + h, se puede pob que l condición () qued epesd como: m m ( ) Anlice los csos m o m. 4. Condición de plelismo ente dos ects // n // n α / n α n () Si ls ects están epesds medinte sus ecuciones geneles, l condición () se tduce en: α ; b α b Si b no son nulos, entonces: b // n // n b Qué condición deben cumpli dos ects cus ecuciones están dds en fom genel p que esulten coincidentes?. Si ls ecuciones de ls ects están dds en fom eplícit entonces: // m m (`) Ejemplo 4: Dd ls ects de ecuciones: )3 + 4 ) ) ) es pependicul pues (-3 ). ) ) b) coincide con pues ) ) ) + 7 Págin de

12 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R ) c) es plel pues ) Les poponemos que epese ls ecuciones dds en fom eplícit veifique luego ls fimciones ), b) c). Actividd 6 ) Hlle el ángulo gudo que fomn ls ects: ) 3 + ) + b) + + ) ) ) ) Dds ls ects ) + 3 ) +, nlice si son o no plels. 3 3) Dds s ) t) 3 +, ) encuente el ángulo gudo ente ells. b) hlle l ecución de l ect que contiene l intesección de mbs fom un ángulo de 6º con el semieje positivo. 4) Puebe l condición ( ) con l siguiente ud: m tg α m tg β β 9º+α β α α Fig Distnci de un punto un ect L distnci de un punto un ect es l longitud del segmento detemindo po el punto po el pie de l pependicul tzd desde el punto l ect. P (, ) Dd l ect de ecución ) + b + c el punto : ) si P entonces d (P, ). b) Si P (, ) entonces: d (P, ) donde P, ) es culquie punto de. ( P o n P P, P o n P P n P Ls coodends de P (, ) veificn l ecución de P d (P, ) l ect, esto es: Fig. Págin de

13 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R + b c + ; de donde: c ( ) + b. (*) Hbímos visto que: P o n P P ( PP n ). n, P o n P P ( P P n ). n P P n n luego: P P n en consecuenci: P o n P P P P n d (P, ) (3) b Como PP (, ) n (, + b + b que: d ( P P P n, ) ), eemplzndo en (3) esult b b + + b + b + b + b + b + b + ( + b ) + b b + b (*) ( + b + b + c + b + b + b + b + b ) + c Le poponemos que epese ls distncis de P ( ) ), cundo:, ) b ; P ) + b + c P + ) ; b) Obsevción: Ls ecuciones + b + c + b + c + b son equivlentes (po lo tnto epesentn un mism ect). + b + c L ecución + b se llm Ecución nomlizd d l ect. Los coeficientes que multiplicn ls vibles e son ls componentes de un veso pependicul l ect. El témino independiente, de cuedo lo obtenido en l popuest b) epesent, slvo el signo, l distnci de l ect l oigen de coodends. Págin de

14 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R 6. Distnci ente dos ects plels L distnci ente dos ects plels es l longitud del segmento detemindo po los puntos de intesección de mbs con un ect pependicul ells. P clcul d (, ) bst tom un punto culquie de un de ls ects hll l distnci del mismo l ot ect. d (, ) Fig. Actividd 7 ) Hlle l distnci del punto P (-, 4) l ect ) Anlice si ls siguientes ects son plels. En cso de selo, encuente l distnci ente ells: ) 3 ) 5 3 3) Dos vétices de un ectángulo son los puntos A (,3) B (6,4). Hlle ls coodends de los otos dos vétices, sbiendo que un de sus digonles está contenid en l ect de ecuciones: + 3t 3 + 5t t R 4) Ddos los puntos R (9,-9), S (,) T (3,), hlle ls coodends del punto simético R especto de l ect detemind po S T.. 7. Intesección de ects Dds ls ects: ) + b + c ) + b + c deteminemos el conjunto de puntos intesección de mbs. Págin 3 de

15 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R Geométicmente puede dse sólo lgun de ests tes situciones: P(, ) { P, )} / ( ects plels ects secntes ects coincidentes Fig. Vemos que: { P, ) / + b + c } { P (, ) / + b + c } ( { P, ) / + b + c + b + c } ( Po lo tnto P(, ) petenece si sólo sí sus coodends veificn el sistem: + b + c + b + c (4) De est mne, el poblem geomético de detemin un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits. se tduce nlíticmente en esolve Es sencillo pedeci el tipo de solución del sistem (4) po simple inspección de los coeficientes de mbs ecuciones. Esto es: si se veific que si solución). α b α b c α c b c α α b α c ls ects esultn plels el sistem es incomptible (o no tiene entonces ls ecuciones son equivlentes, es deci epesentn l mism ect po lo tnto el sistem es comptible con infinits soluciones. Ls misms esultn se ls coodends de todos los puntos que stisfcen un culquie de ls dos ecuciones dds. si se veific que b b ls ects son secntes (compuébelo) el sistem es comptible con un únic solución. Ejemplo 5: Encontemos, de se posible, ls coodends del punto intesección de ls siguientes ects: Págin 4 de

16 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R ) + t) Como ls ects son secntes po lo tnto se cotn en un punto. P hll ls 3 coodends del mismo podemos utiliz culquie método de esolución de sistems de ecuciones, po ejemplo el de sustitución: De l pime ecución esult: (*). Reemplzndo po (*) en l segund ecución, qued 3 ( ) + 4, de donde esult que. 7 Reemplzndo en (*) el vlo clculdo p, se tiene que Luego:, Le poponemos que elice l epesentción gáfic de mbs ects veifique l solución encontd. Actividd 8 Hlle, si es posible, el conjunto intesección de los siguientes pes de ects: ) + ; b) 3 6 ; 6 c) + 5; + 8. Inecuciones lineles está fomdo po los puntos de un ect cu diección es pependicul l del vecto ). Est ect divide l plno en dos semiplnos ecibe el nombe de ect fonte. El conjunto { P (, ) / + b + c } n (, b Pobemos que los conjuntos: n (, b ) A { (, ) / + b + c > } P B { P (, ) / + b + c < } Fig. 3 se coesponden espectivmente con cd uno de los semiplnos ntedichos. P P ello, consideemos l ect ) + b + c ; los puntos P ( ) P(, ), donde, P los vectoes fijos P P, ) n (, b) (mbos con oigen en ). ( En l Fig. obsevmos que pueden pesentse dos situciones: P Págin 5 de

17 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R () los vectoes (b) los vectoes P P n están en el mismo semiplno. P P n no están en el mismo semiplno. P(, ) P o n P P n (, b) n (, b) P, ) P (, ) P, ( ( ) P o n P P () Fig. 4 (b) En el cso () los vectoes n opuestos. P P P tienen igul sentido, mients que en el (b) tienen sentidos o n P log nuesto objetivo clculemos el poducto escl: P P P P n (, ) (, b) ( ) + b ( ) + b ( + b ) Po ot pte, como P, esult que + b + c, po lo tnto P P n + b + c. El poducto escl clculdo es igul l pime miembo de ls inecuciones que pecen cundo se desciben los conjuntos A B. n Cundo los vectoes n P P P tienen igul sentido, P P n fomn un ángulo gudo, o n po lo tnto: P P n + b + c >. Cundo los vectoes n P o n P P tienen distinto sentido entonces P P n + b + c <. L iguldd: P P n + b + c no puede dse ddo que P no es un punto de l ect. En síntesis: { P, ) / n P o P P tienen igul sentido } { P(, ) / P P > } ( n n { P, ) / n P o P P tienen distinto sentido } { P(, ) / P P < } ( n n A B Po lo dicho obsevndo l Figu podemos conclui que el semiplno que se coesponde con el conjunto A es quel que contiene l etemo del vecto noml n (cundo su oigen está ubicdo en l ect) el semiplno que se coesponde con el conjunto B es quel que no contiene dicho etemo. Págin 6 de

18 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R Los puntos de l ect no petenecen ninguno de los dos conjuntos. Si en A en B cmbimos > < po, espectivmente, los puntos de l ect fonte quedn incluidos en mbos conjuntos. Ejemplo 6: Deteminemos los puntos P(, ) del plno cus coodends stisfcen l inecución: + 3 > Dibujmos l ect + 3 su vecto noml n (,3). L solución de l inecución son todos los puntos del semiplno que se epesent en l figu. n (,3) (, /3) Fig. 5 (/, ) Obsevciones: ) En l páctic podemos us un método sencillo que consiste en nliz si un punto culquie del plno, que no petenezc l ect, veific l inecución plnted. Volvmos l ejemplo nteio tomemos como punto de pueb l oigen de coodends. Vemos que l inecución plnted en el ejemplo no se stisfce p e que < es flso. Entonces (,) no petenece l conjunto solución de l inecución, lo que nos pemite fim que dicho conjunto esult se el semiplno que no contiene l oigen de coodends. ) Si en ejemplo nteio sustituimos el > po el el conjunto solución quedá detemindo po el semiplno l ect fonte. 9. Sistems de inecuciones lineles en dos vibles Nos poponemos epesent gáficmente l egión del plno fomd po todos los puntos cus coodends stisfgn simultánemente dos o más inecuciones lineles, es deci, un sistem de inecuciones lineles. Dich egión está fomd po l intesección de dos o más semiplnos, epesentdos cd uno de ellos po un de ls inecuciones dds. Ejemplo 7: Repesentemos l egión R del plno solución del siguiente sistem de inecuciones lineles: Págin 7 de

19 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R { P(, ) / ; ; + 3 6} R R puede se epesdo como l intesección de tes conjuntos de puntos: { P(, ) / } { P(, ) / } { P(, ) / + 3 6} R Notemos que cd uno de esos tes conjuntos epesent un semiplno (obseve figu 3): el pime conjunto define el semiplno l deech especto del eje o (incluido dicho eje). el segundo conjunto descibe el semiplno supeio especto l eje o (incluido dicho eje). el tece conjunto se coesponde con el semiplno que qued detemindo po l ect que contiene l oigen de coodends. L ect fonte está contenid en este conjunto. (,) n (,3) (3,) Fig. 6 L intesección de los semiplnos esult se el tiángulo ABC (Fig. 6); es deci, R es el conjunto de los puntos del plno que petenecen l egión limitd po los ldos del tiángulo (incluidos éstos). Po este motivo R se dice un conjunto cedo. B (,) n (,3) A R C (3,) Fig. 7 Se debe dveti que un sistem de inecuciones lineles puede tene como conjunto solución un egión del plno no cotd o no tene solución (incomptible). Actividd 9 Repesente gáficmente, si es posible, el conjunto solución de los siguientes sistems de inecuciones lineles: Págin 8 de

20 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R ) b) c) d) Ejecicios dicionles ) Repesente gáficmente ls siguientes ects: ) 3 4 b) c) / / 3 ) En cd cso, escib un ecución p l ect que cumple con ls condiciones pedids epeséntel gáficmente: ) contiene los puntos A(, ) B(3, 4). b) contiene l punto A(5, 3) es plel l eje. c) es pependicul l ect cot l eje en el punto (, ). d) es plel l ect que ps po los puntos P (, -3) Q (, ) cot l eje en el punto (-, ). 3) ) Hlle ls ecuciones pmétics de l ect que contiene l punto A(-,) es plel l vecto u (-.3). b) Detemine si el punto B(-4, ) petenece l ect. c) A pti de ls ecuciones obtenids en ) elimine el pámeto hlle un ecución genel p. 4) En cd cso nlice si ls ects son plels o pependicules ente sí, o clcule el ángulo gudo que fomn: ) + 3 ; b) + 5 ; + 3 c) + + ; 3/ 3/4 d) + - ; + 3 5) Hlle l ecución de un ect que diste uniddes del oigen se plel l ect de ecución Eiste únic solución?. Repesente gáficmente. 6) Ddos los puntos A(-3,), B(-,) C(,b); qué vlo debe tom b p que los tes puntos petenezcn un mism ect? 7) Considee el punto A(,3) l ect detemind po los puntos B(,) C(3,). Epese medinte un inecución el semiplno detemindo po que contiene l punto A, incluendo los puntos de. 8) Cd uno de los puntos A(,3) B(-,) fom con el oigen de coodends dos ects. Detemine si el punto C(-,3) petenece l ect bisectiz de lguno de los ángulos fomdos po ells. 9) L intesección de ) ) l ect bisectiz del ángulo gudo que fomn mbs ects. es el punto Q(3,). Ddos los puntos R(5,) de ) S(-,) de ), hlle Págin 9 de

21 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R ) Los puntos A(4,5); B(,) C(6,) deteminn el tiángulo ABC. ) Clcule: i) l medid de sus ángulos inteioes, ii) l ltu coespondiente l ldo AB, iii) su áe. ) Escib un sistem de inecuciones lineles cuo conjunto solución sen los puntos del tiángulo ABC. ) Dd l ect de ecución +, qué distnci se encuent del punto C(4,7)? ) ) Ddos los puntos A(3,) B(4,) detemine l ect que los contiene l ect plel ell que contiene C(,6). b) Detemine l ect que contiene B C del ítem ) l ect plel ell que contiene A. c) Hlle el peímeto de l figu que esult. 3) Ddos los puntos A(5,-) B(,) detemine l ect que los contiene l ect pependicul ell que ps po el punto medio del segmento AB. 4) Hlle ls ecuciones pmétics de l ect que contiene l punto P(3,4) que es pependicul l ect que ps po el punto C(,5) el oigen de coodends. 5) Hlle l ecución de l ect que ps po el punto (3,) fom un ángulo de 35º con el sentido positivo del eje. 6) Supongmos ubic un p de ejes coodendos sobe un mes de pool de mne que un ángulo de l mism quede podo en el oigen sus ldos sobe los ejes. De est fom podemos dle cd bol un ubicción tl como lo hcemos con los puntos en el plno. Así, un bol ubicd en el punto (3/,) mc su tectoi chocndo en el punto (,5) (sobe uno de los ldos de l mes) entndo en un hoo situdo en el punto (3,). Cuál es el ángulo descipto po l tectoi?. 7) ) Epese tvés de un sistem de inecuciones lineles, l egión tingul que qued detemind po ls siguientes ects. Gfique dich egión. w) s) ) + t t t R b) Clcule el punto de intesección ente ) w). Llámelo P. c) Clcule l distnci del punto P l ect s). d) Detemine el áe del tiángulo fomdo. ) Sen + b + c + b + c (, ) P punto. ls ecuciones de dos ects que se cotn en el ) Puebe que p cd R ( + b + c ) + k ( + b + c ) k., P (, ) epesent l ecución de un ect que contiene l punto. Págin de

22 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R ) En cd cso, hll l ecución de l ect que contiene l punto de intesección de ) ) ) Contiene l punto A (-3, - 5) b) Es plel l ect c) Es pependicul l ect que demás: ) Detemine p qué vloes de k R, l ect de ecución: ( k ) + (4 k) 3k 5 ) es plel s) b) ps po el oigen de coodends. c) es pependicul l ect t ) d) ps po el punto P(-,3). 3) Hlle l ecución de l ect que ps po A(4,) fom con los ejes coodendos un tiángulo de áe 8. 4) Detemine ls coodends de los puntos que están distnci 3 del punto A(,-) petenecen l ect de ecución: + t ) t t R 5) Epese, medinte un sistem de inecuciones lineles en e, el conjunto T de puntos del plno (incluid su fonte) ) (,4) (3,4) 4 (,) T 3 3º (3,) Págin de

23 Álgeb Geometí I L ect en el plno F.C.E.I.A.-U.N.R b) (,8) 3 // 3 α º 4 T α (3,) (6,) Págin de

24 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA I PRIMER CUATRIMESTRE 9 GUIA DE ESTUDIO Nº : RECTA EN EL PLANO Est guí tiene l intención de udte en el pendizje de los contenidos desolldos en el mteil de estudio L ect en el plno (utoes: Lic. Ptici Có otos). Tles contenidos se coesponden con l Unidd 5 del Pogm Anlítico de l Asigntu. UNIDAD 5 Geometí Linel del Plno 5.. L ect. Ecución vectoil. Ecuciones pmétics. Coeficientes cosenos diectoes. 5.. Ots foms de l ecución de l ect. L ecución genel. Significdo de sus coeficientes. Csos pticules. Ecuciones nomlizds segmentis. Fom eplícit. Coeficiente ngul. Ecución de l ect que ps po un punto po dos puntos Ángulo ente dos ects. Plelismo pependiculidd: Condiciones Distnci de un punto un ect Intesección de ects. Hz de ects Inecuciones lineles. Resolución vectoil del poblem. Sistems de inecuciones lineles. En l unidd nteio hs visto que eiste coespondenci biunívoc ente los puntos del plno los pes odendos de númeos eles ente los puntos del espcio ls tens odends de númeos eles, llmds coodends del punto. En ls póims uniddes encontás un coespondenci simil ente elementos geométicos, como cuvs del plno o supeficies del espcio elementos lgebicos, tles como ecuciones en dos tes vibles. En est unidd plicás los vectoes p deduci difeentes ecuciones de un ect en el plno. Sugeimos que comiences lee el mteil didáctico pestndo much tención ls nociones de: lug geomético ecución de un lug geomético, como tmbién los ejemplos que se pesentn ls ctividdes que se poponen en ls pimes tes págins. Posigue con l deducción de l ecución vectoil de un ect obsev cómo pti de l mism se obtienen ls ecuciones pmétics. Recued: Se llm pámeto un vible no ctesin, es deci un vible que no se epesent sobe un eje ctesino. Ecución genel de l ect L ecución genel ctesin de l ect se deduce pti de ls ecuciones pmétics.

25 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA I PRIMER CUATRIMESTRE 9 Obsev que est ecución dmite infinits foms equivlentes. Bst multiplic miembo miembo po un constnte distint de ceo. Así po ejemplo: son ecuciones equivlentes que epesentn l mism ect. Ecuciones segmenti eplícit Refleion sobe l impotnci de cd un de ests foms de pesent l ecución de un ect nliz el significdo de los coeficientes. No bst con que seps deci que en l ecución eplícit: m + h, m epesent l pendiente de l ect. Debes pode justificlo! Es peciso que loges compende que nte un incemento unitio de. m epesent el incemento en l odend Po ejemplo si 3 + 5, entonces: p esult p 3 esult 4 p 4 esult 7 Cd vez que ument en unidd, ument en 3 uniddes (vlo de l pendiente). Obsevciones cec de los páfos 4 5 Se bodn quí poblems de Geometí métic, es deci cálculo de ángulos distncis. Notás que ls fundmentciones que se elizn son plicciones de los vectoes. Tt de compende cd pso en cso de no loglo no dudes en cudi los docentes. No lcnz con conoce ls fómuls que te pemiten eliz los cálculos. Debes pode deducils compensivmente. No descuides spectos del lenguje. Se te pediá que epeses simbólic coloquilmente los difeentes esultdos. Intesección de ects Detemin, en cd cso, ls coodends del punto de intesección ente : ) ) + 3 ) 5 3t 3 + t

26 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA I PRIMER CUATRIMESTRE 9 + t b) ) 3 t ) 8 + 5s s Continú con l lectu de Inecuciones lineles Sistems de inecuciones lineles. Estos tems esultán de inteés en l pogmción linel p esolve poblems de optimizción (po ejemplo: minimiz costos, mimiz gnncis). En elción los ejecicios dicionles pest pticul tención l númeo 7. Recued: Ls ecución ( + b + c) + k ( + b + c ), o equivlentemente ( + k ) + ( b + k b ) + ( c + k c ) con k vindo en R, coesponde tods ls ects del plno que contienen l punto de intesección P (, ), con ecepción de l ect de ecución + b + c. Podás plic este esultdo p esolve el ejecicio 8. Popuests. Dds ls ects de ecuciones: t ), ) + 3 ) t 4 ) encuent l ecución de un cut ect, que detemine con ls tes nteioes, un ombo. Es l solución únic? b) Escibe ls ecuciones de ls ects que contienen ls digonles del ombo veific que son pependicules. c) Clcul el áe del ombo.. Se C (,) el punto de intesección de ls digonles de un cuddo, uno de cuos ldos está contenido en l ect de ecución Hll ls ecuciones de ls ects que contienen los otos tes ldos. 3. Clcul el áe de un ectángulo, uno de cuos vétices es el punto A (,), siendo ls ecuciones de ls ects que contienen dos ldos del mismo. 3