1. Teorema del Valor Medio

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1 1. l Valor Medio Uno de los teoremas más importantes del cálculo diferencial de funciones reales de una variable real es el l Valor Medio, del que se obtienen consecuencias como el Taylor y el estudio de extremos de una función. Este teorema se puede generalizar para funciones vectoriales de varias variables. Empezamos por recordar el l el caso de funciones reales de una variable: Sea f : [a, b] R una función continua, derivable en (a, b); existe un punto c (a, b) tal que f(b) f(a) = f (c)(b a) o f (c) = f(b) f(a) b a f(b) f(a) a α c b α Geométricamente esto significa que hay un punto del intervalo en el que la recta tangente a la gráfica de f tiene la misma pendiente que la recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))

2 Otro ejemplo: Si f(t) representa la longitud que hemos recorrido hasta el instante t, la velocidad media entre t = a y t = b es f(b) f(a), y la velocidad en un instante t es f (t). Según b a el teorema del valor medio, si la velocidad media es de 60 km/h, en algún instante entre a y b hemos circulado exactamente a 60 km/h. En el caso de funciones vectoriales, F : [a, b] R m, (m > 1) parece fácil generalizar el teorema: podríamos estudiar si existe un punto c en (a, b) en el que la recta tangente a la imagen de F sea paralela a la recta que pasa por F (a) y por F (b) F (c) = F (b) F (a) b a R m a c Fc) F c) F (b) F b F (a)

3 El dibujo parece convincente, sin embargo el resultado no es cierto: Consideremos la función F (x) = (x 2, x 3 ) definida en el intervalo [0, 1]. Buscamos un punto x [0, 1] que verifique F (1) F (0) = F (x)(1 0) donde F (1) = (1, 1), F (0) = (0, 0), y F (x) = (2x, 3x 2 ). La ecuación anterior es realmente un sistema de dos ecuaciones, una por cada coordenada { 1 0 = 2x 1 0 = 3x 2 que no tiene solución, ya que tendría que ser x = 1/2 y x = 1/ 3 a la vez. En cambio el teorema si se puede generalizar al caso de funciones reales de varias variables, y es lo que vamos a demostrar en este capítulo. Utilizaremos en el teorema el segmento entre dos puntos: dados x e y en, el segmento [x, y] de x a y es el conjunto de puntos [x, y] = {x + t(y x); t [0, 1]} = {ty + (1 t)x; t [0, 1]}

4 Teorema (l ). Sea U un conjunto abierto de, y f : U : R una función diferenciable en todo U. Sean x e y dos puntos de U tales que el segmento [x, y] esté totalmente contenido en U. Entonces existe un punto z [x, y] tal que f(y) f(x) = df(z)(y x) =< f(z), y x > Demostración: (Saltar al final de la demostración) x x + t(y x) y Escribimos el segmento [x, y] como imagen de una función: Sea Φ : [0, 1] definida por Φ(t) = x + t(y x). Φ es continua, su imagen es el segmento [x, y], y es diferenciable, con dφ(t) = (y x) en cualquier punto t [0, 1]. Para estudiar el comportamiento de f sobre el segmento, consideramos la composición de las

5 dos funciones, g(t) = f Φ(t). Esta función g es ahora una función de [0, 1] en R, continua y derivable, por lo que podemos aplicar el teorema del Valor Medio para ese tipo de funciones, y tenemos g(1) g(0) = g (c)(1 0) = g (c) donde c es algún punto en [0, 1]. Ahora bien, g(1) = f(φ(1)) = f(y), g(0) = f(φ(0)) = f(x), y aplicando la regla de la cadena dg(c) = df(φ(c)) dφ(c) es decir, escribiendo la igualdad entre las matrices correspondientes g (c) =< f(φ(c)), y x > Sustituyendo en la ecuación anterior queda f(y) f(x) =< f(φ(c)), y x > donde Φ(c) = z es un punto de [x, y], lo que prueba el resultado. (Volver al enunciado)

6 Como hemos visto por el ejemplo antes del teorema, no se puede generalizar al caso de funciones vectoriales, con valores en R m. En este caso, sólo se puede aplicar a cada componente por separado: si F : U : R m es diferenciable, F (f 1,..., f m ), y [x, y] U, entonces para cada componente f j existirá un punto z j [x, y] tal que f j (y) f j (x) = df j (z j )(y x) =< f j (z j ), y x > pero no se puede asegurar que sea el mismo punto z j para todas las componentes de f. Aún así, esto es suficiente para demostrar otra generalización a funciones de varias variables de un resultado bien conocido de las funciones reales de una variable real: si una función derivable tiene derivada cero en un intervalo, entonces es constante en él. Corolario 1. Sea U un conjunto abierto conexo de, y F : U R m una función diferenciable en U, tal que la diferencial df (x) es cero en todos los puntos de U (esto es, df (x) es la aplicación lineal cero, cuya matriz está formada sólo por ceros). Entonces F es constante en U. Demostración: Evidentemente bastará demostrar que cada componente de F es constante, así que vamos a utilizar el teorema del valor medio aplicado a cada componente f j de F por separado. De la hipótesis df (x) = 0 para todo x de U, se deduce que las filas de la matriz de la diferencial son todas cero, es decir, df j (x) = (0,..., 0) para todo x En primer lugar, supongamos que x e y son dos puntos de U tales que el segmento [x, y] U.

7 Aplicando el l Valor Medio a f j, existirá un punto z j [x, y] tal que f j (y) f j (x) = df j (z j )(y x) = 0 luego f j (y) = f j (x) U x x 1 x 2 y Sean ahora x e y dos puntos cualesquiera de U. Como U es abierto conexo, existe una poligonal P = {x = x 0, x 1, x 2,..., x k = y} que une x e y y está contenida en U. Aplicando el paso anterior a cada segmento [x i 1, x i ] tenemos f j (x i ) = f j (x i 1 ) para todo i, 1 i k, luego f j (y) = f j (x k ) = = f j (x 1 ) = f j (x 0 ) = f j (x) Es decir, f j vale lo mismo en todos los puntos de U: es constante.

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