ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

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1 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Sigla Curso MAT330 Nombre Curso Cálculo I Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT200 o MAT2001 Fecha Actualización Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum Carrera/s Todas N APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S) Dibuja gráficos de funciones elementales. Calcula imágenes de funciones eponenciales. Calcula imágenes de funciones logarítmicas. Calcula pre-imágenes de funciones eponenciales. Calcula pre-imágenes de funciones logarítmicas. Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones eponenciales. Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones logarítmicas. NOMBRE DE LA ACTIVIDAD Aplicaciones de la función eponencial y logarítmica Modalidad Presencial No Presencial Duración de la actividad (horas): Forma de trabajo: Individual Grupal - Tamaño del grupo: Recursos de información: Impreso Tecnológico Informático Lugar: Sala de clases Material de apoyo para la actividad: Laboratorio (especifique) Taller (especifique) Terreno (especifique) Otros (especifique) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación 1

2 FUNCIÓN LOGARITMO El logaritmo de un número es el eponente y al que hay que elevar la base dada b, para que nos de dicho número, es decir: log b y b y La base tiene que ser positiva y distinta de 1. El Dominio de la función logaritmo es: Los reales positivos ( ) Propiedades: a. log log y log ( y) a b. log a log a y log a a c. n log a n log a d. log 10 log e. log e ln a y FUNCION EXPONENCIAL Sea a un número real positivo. La función que a cada número real le hace corresponder la potencia a se llama función eponencial de base a y eponente. La más famosa de todas las funciones eponenciales es f ( ) a e. Donde e 2, El dominio de la función eponencial es: Todos los reales ( ) 2

3 OBSERVACION La función eponencial es la función inversa de la función Logarítmica (aplicadas en una misma base) y viceversa, es decir por ejemplo: ln( a. e ) log( ) c. 10 b. e ) ln( d. log( 10 ) I APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA 1. Una población de bacterias cambia según el modelo logarítmico P ln (1 0,25t) donde t es el tiempo en días. a) Cuál es la población inicial de bacterias? b) Cuál será la población de bacterias al cabo de 50 días? 2. En la escala de Richter, la magnitud M de un terremoto de intensidad I está dada por: ln(i) M ln(10) a) Encuentre la intensidad del terremoto de San Francisco de 1906, que midió M 8,3 en la escala de Richter. b) Encuentre la intensidad del terremoto de Valdivia de 1960, que midió M 9,1 en la escala de Richter. c) Si la intensidad de un temblor es de 4.320, cuál es su magnitud? 3

4 3. La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una fórmula para hallar el nivel de intensidad, en decibeles, que corresponde a intensidad de sonido I es: 10 log I I 0 donde I 0 es un valor especial de I que corresponde al sonido más débil que puede ser detectado por el oído bajo ciertas condiciones. Encuentre en los casos siguientes: a) I es veces más grande que I 0. b) I es veces más grande que I 0.( este es el nivel de intensidad promedio de la voz) c) Un nivel de intensidad del sonido de 141 decibeles produce dolor en un oído humano común. Cuántas veces, aproimadamente debe ser I más grande para que alcance este nivel? 4. Datos eperimentales han mostrado que el crecimiento en los niños entre las edades de 2 a 16 años puede ser aproimado por medio de la función: A 37, 1 P ( A) 18,6 ln A es la edad del niño en años. ; donde P es el porcentaje de la estatura de un adulto y a) Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño a la edad de 8 años? b) Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño a la edad de 14 años? c) A qué edad un niño logra el 80% de su estatura de adulto? 5. Los químicos usan un número denotado ph para describir cuantitativamente la acidez o la basicidad de ciertas soluciones. Por definición, ph log H donde [H+] es la concentración de iones hidrógenos en moles por litros. Aproime el ph de las siguientes soluciones dados sus correspondientes [H+]: a) Vinagre: [H+] = 6, b) Zanahoria: [H+] = 1, c) Agua de mar: [H+] = 5,

5 II GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA La gráfica de una función logaritmo f ( ) log es una curva que depende de b b 0 b 1 b 1 La gráfica pasa por el punto (1,0) ya que log b Un terremoto cuya lectura sismográfica mide milímetros tiene una magnitud M dada por: ( ) log(10 3 ) respuesta. M. Qué gráfico modela la situación?, fundamente su 5

6 7. Un constructor necesita saber en cuanto tiempo t se enfría totalmente un objeto que tiene temperatura T y para ello se rige por la siguiente función: 50 T t 2log. Cuál es el gráfico que modela la situación?, fundamente su 30 respuesta. 8. Se quiere saber cuántos años deberán pasar para que un auto tenga un valor de Vf millones de pesos, ya que este se deprecia pasados los t años. Vf 7log 0,03 t Cuál es el gráfico que modela la situación?. 6

7 9. La estatura de una planta, después de haber sido plantada, depende del agua proporcionada, y del clima en el cual se encuentre. Considerando que estas condiciones son las óptimas para su crecimiento, a medida que transcurran los días la planta incrementará su altura, de acuerdo a una epresión logarítmica, modelada a través del siguiente gráfico a) De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la epresión algebraica que modela la situación. Considere la epresión y a b log b) Qué altura alcanzará una planta al cabo de una semana de haber sido plantada? c) Si una plata tiene una altura de 11 centímetros, hace cuántos días fue plantada? 7

8 10. La sonoridad de un sonido S () medida en decibelios, se define, utilizando una epresión logarítmica, donde es el flujo de energía producida por unidad de área (intensidad), medida en watts por metro cuadrado W. 2 m a) De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la epresión algebraica que modela la situación. Considere la epresión y log a b) Cuál es la sonoridad producida por el tráfico vehicular, si la intensidad producida es de 90 W 2 m? c) Si la sonoridad producida por un concierto es de 5 decibelios, Cuál es intensidad? b 8

9 11. La magnitud M de una estrella, indica cual es su clasificación de acuerdo al brillo que esta posea. Esta magnitud se puede determinar conociendo el flujo luminoso de la estrella, a través de una epresión logarítmica, modelada a través del siguiente gráfico. a) De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la epresión algebraica que modela la situación. Considere la epresión y a b log b) Cuál es el la Magnitud de una estrella, que tiene flujo luminoso 9? c) Si la Magnitud de una estrella es 4,8, Cuál es su flujo luminoso? 9

10 III APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL La Función: V ( ) (1,09) Representa las ventas totales, en miles de pesos, días después de ingresar un nuevo artículo al mercado. Determine: a) Cuánto fue la venta después de una semana? b) Cuánto fue la venta total durante el pasado mes de Marzo? 13. Si se invierte un capital inicial V i pesos al i % de interés compuesto anual, al cabo de n años se tendrá una cantidad V f i Vi 100 n 1. Determine: a) Cuál será la tasa de interés para que $ se transforme en $ en dos años? b) Si decido invertir $ al 36% de interés anual, Cuál es la cantidad final después de 10 años? c) En cuánto tiempo debo invertir $ para producir $ al 33%? 14. Se ha proyectado que dentro de t años, la población de nuestro país será: a) Cuál es la población actual? P 0,02 t ( t) 17e Millones de habitantes. b) Cuál será la población dentro de 30 años? c) Si la población de nuestro país es de 51 millones de habitantes, cuántos años han transcurrido? 15. La población de una pequeña comunidad después de t años es aproimadamente kt de P( t) e. Si la población inicial aumenta 25% en 10 años, cuál será la población en 20 años? 10

11 16. Investigaciones recientes sugieren que el riesgo R (en porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado por la función R k ( ) Ae, sabemos que inicialmente el riesgo es del 6% y al suponer una concentración de 0,04 grados de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10%. a) Cuál es la función que modela esta situación? b) Cuál será el riesgo para una concentración de 0,17 grados de alcohol? c) Si el riesgo es del 20%, Cuál será la concentración?. IV GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL La gráfica de la función eponencial forma depende del valor de a f ( ) T a, con a 1 es una curva, cuya 0 a 1 a 1 La grafica Intersecta al eje y en 1, es decir, pasa por el punto (0,1). 11

12 17. Un almacén de aparatos electrodomésticos liquida mercancía con ligeros deterioros, mediante el sistema de reducir cada año el 35% del valor de la mercancía que va quedando. Si desea comprar un hervidor eléctrico, cuya variación de precio está reflejada en el siguiente gráfico. a) Cuál es el valor inicial del hervidor eléctrico? b) Cuál es el valor de un hervidor eléctrico que permanece 4 años almacenado? c) En qué porcentaje disminuye el valor del hervidor a los 4 años respecto del valor inicial? 18. En la ciencia de la pesca se conoce como cohorte al conjunto de peces que resulta de una reproducción anual. Se supone que el número de peces que sigue vivo cuando han pasado t años, con un máimo de 50 años, está representado en la siguiente gráfica. a) Cuál es el tamaño inicial del Cohorte? b) Cuántos peces viven después de 10 años? c) Cuál es el tamaño del cohorte a los 50 años? 12

13 19. El índice de contaminación aumenta a medida que transcurren las horas del día, 0,2t lo que está dado por la función I( t) 2,1 e, donde t son las horas transcurridas a partir de las 6 am Cuál es la gráfica que modela dicha situación?, fundamente su respuesta. 20. La ganancia anual G de una empresa, en miles de dólares, debido a los negocios con otras entidades, después de años que se realiza este negocio, es: 1 G Cuál es la gráfica que modela dicha situación?, 2 fundamente su respuesta. 13

14 21. Un taller se dedica a la venta de repuestos mecánicos nuevos y usados. El valor 0,2t V, en miles de pesos, de un repuesto está dado por la ecuación: V 60 e, donde t son los años de uso del repuesto Cuál es la gráfica que modela dicha situación?, fundamente su respuesta 22. Cristóbal de 28 años recién cumplidos, piensa en su vejez y decide depositar cierta cantidad de dinero a una tasa de interés compuesto anual, ofrecido por su banco. Según la siguiente gráfica donde representa los años invertidos del dinero, y la cantidad de dinero total. a) Determine la función eponencial que modela dicha situación. Considere la epresión y T a b) Cuánto dinero tendrá Cristóbal cuando tenga 50 años? c) Cuántos años aproimadamente tendría que tener invertido su dinero para retirar $ ? 14

15 23. Para el laboratorio de Informática se compró un equipo de cómputo; sin embargo se sabe que cualquier equipo sufre una devaluación a partir de su compra, la que está dada por una función matemática. En la gráfica siguiente, donde representa la cantidad de años e y representa el valor en pesos del equipo. a) Determine la función eponencial que modela dicha situación. Considere la epresión y T a b) Cuál será el valor aproimado del equipo cuando hayan pasado 7 años? c) Cuántos años aproimadamente tendrían que pasar para que el equipo tenga un valor de $ Una obra de arte de un famoso pintor chileno, vale cierta cantidad de dinero en la actualidad y este valor aumenta cada año según una función matemática. La siguiente gráfica representa dicha situación donde y representa el valor de la obra de arte y representa los años que han pasado desde la actualidad. a) Determine la función eponencial que modela la situación anterior. Considere la epresión y T a b) Qué valor tendrá la obra de arte cuando pasen 7 años? c) Cuántos años aproimadamente tendrían que pasar si el valor de la obra fuese de $ ? 15

16 SOLUCIONES 1. a) La población inicial es de bacterias. b) Al cabo de 50 días la población será de bacterias. 2. a) La intensidad es de 8,3 I 10 o 19, 1 I e b) La intensidad es de 9,1 I 10 c) La magnitud fue de 3,6 en la escala de Richter 3. a) La intensidad es de 30 decibeles b) La intensidad es de 40 decibeles c) I debe ser 14,1 10 veces más grande que I 0 4. a) El niño a los 8 años logra el 75,8% de su estatura de adulto. b) El niño a los 14 años logra el 90,9% de su estatura de adulto. c) El niño logra el 80% de su estatura de adulto apro. a los 10 años. 5. a) Vinagre 2,2 PH. b) Zanahoria 5 PH. c) Agua de Mar 8,3 PH. 6. Modelo Modelo Modelo 2. 16

17 9. a) La función es M( ) 5 3 log( ) b) La planta al cabo de una semana alcanza 7,54 cm. c) La planta fue plantada hace 100 días. 10. a) La función es S( ) log 10(1000). b) La sonoridad producida por el tráfico vehicular es de 4,95 decibelios. W m. c) La intensidad del concierto es a) La función es M( ) 6 2,5 log( ). b) La magnitud de la estrella es 3,6. c) El flujo luminoso de la estrella es a) La venta después de una semana es de $ b) La venta total en el mes de Marzo fue $ a) La tasa de interés anual es de un 20%. b) A los 10 años se obtiene un monto de $ c) debe invertir el dinero por apro. 17 años. 14. a) La población actual es de de habitantes. b) La población a los 30 años apro. es de de habitantes. c) Han transcurrido apro. 55 años. 17

18 5 ln , k ; P , Vicerrectoría Académica Respuesta: La población a los 20 años es aproimadamente habitantes. (Este valor puede variar dependiendo de las aproimaciones decimales, en el problema se consideraron 6 decimales para el valor de k) 16. a) La función es R( ) 6e 12,77 b) El riesgo para 0,17 grados de alcohol es 52,6%. c) Si el riesgo es del 20% la concentración de alcohol es 0,09 grados. 17. a) El valor inicial del hervidor es de $ b) El valor del hervidor a los 4 años es de $ c) El porcentaje de disminución es de 82,1%. 18. a) El tamaño inicial del cohorte es de peces. b) El tamaño del cohorte a los 10 años es de peces. c) El tamaño del cohorte a los 50 años es de peces. 19. Modelo Modelo Modelo a) La función es f ( ) ) (1,12. b) Cristóbal cuando tenga 50 años tendrá $ c) Debe tener invertido su dinero por 15 años. 18

19 23. a) La función es f ( ) ) (0,85. b) A los 7 años el valor será $ c) Deben transcurrir aproimadamente 10 años. 24. a) La función es f ( ) ) (1,1. b) A los 7 años el valor será $ c) Deben transcurrir aproimadamente 12 años. 19