1. El movimiento de un coche puede representarse mediante la siguiente gráfica.

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1 CINEMÁTICA. 4ºESO.. El movimiento de un coche puede representarse mediante la siguiente gráfica. a) Razonar el tipo de movimiento en cada tramo. b) Deducir las ecuaciones del movimiento el móvil para cada uno de los tramos. c) Calcular el espacio recorrido por el móvil en cada uno de los tramos y explica el trayecto seguido por el coche. a) Podemos responder a la primera pregunta de dos maneras: () Por la simple observación de la gráfica, o bien, () Obteniendo las ecuaciones correspondientes a cada tramo y comparándolas con las que ya conocemos, que es lo que haremos en el apartado b). En el primer tramo (t=0 a t=4s) podemos ver como a medida que aumenta el tiempo va aumentando linealmente el espacio recorrido, es decir que recorre espacios iguales en tiempos iguales la velocidad es constante el tramo corresponde a un movimiento uniforme. Además podemos ver como en el momento t=0, s=0, es decir que inicialmente está en el origen y que al final del tramo t=4 ha recorrido m. En el segundo tramo (t=4s a t=8s) podemos ver que el móvil siempre está en la misma posición (a m) por tanto se encuentra en reposo. En el tercer tramo (t=8s a t=0s) vemos como inicialmente está en la posición s=m y que a medida que pasa el tiempo la distancia al origen se hace cada vez más pequeña hacerse nula la velocidad es constante, pero ahora se mueve en dirección opuesta el tramo corresponde a un movimiento uniforme. b) La ecuación general de una recta es y = mx + n, donde n representa la ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y). La m representa la pendiente de la recta (tangente del ángulo que forma con el eje X ). En este caso las rectas tienen de ecuación v = mt + n La recta corta al eje de ordenadas en el punto 0 n=0 La pendiente se obtiene a partir de un triángulo rectángulo cualquiera, por ejemplo el que está en naranja, dividiendo el cateto opuesto al ángulo entre el cateto contiguo: m= /4 =3 La ecuación de la recta es: s = 3 t

2 Comparando la ecuación obtenida con la ecuación general del espacio de un movimiento uniforme: s = s o +v t podemos concluir que en este tramo s o =0 y que v = 3 m/s. Con esto, las ecuaciones durante el primer tramo son: a = 0 v = 3 s = 3 t En el segundo tramo la recta es una paralela al eje, que lo corta en s =, que por tanto es su ecuación. Puesto que la posición durante este tramo no depende del tiempo el móvil está en reposo. En el tercer tramo la recta corta al eje de ordenadas en el punto, por tanto n=. La pendiente de la recta es m = /( ) = 6 La ecuación de la recta es: s = 6 t Comparando la ecuación obtenida con la ecuación general del espacio de un movimiento uniforme: s = s o +v t podemos concluir que en este tramo s o =m y que v = 6 m/s. Con esto las ecuaciones durante el tercer tramo son: a = 0 v = 6 s = 6 t c) El espacio recorrido en cada uno de los tramos puede leerse directamente en el eje de ordenadas de la gráfica, que corresponde al espacio o puede calcularse con las ecuaciones: Tramo Tramo Tramo 3 s = 3 t reposo s = 6t (*) = 3 4 m s = 6 = m s = t = 4 (*) Para calcular el espacio recorrido en un tramo concreto se suprime el espacio inicial, porque de lo contrario obtendríamos la posición respecto al comienzo del movimiento. El signo menos que se obtiene indica que ha recorrido metros hacia la izquierda. El espacio total recorrido es la suma de los valores absolutos: s Total = = 4 m Sumando con los signos obtendríamos la posición final. t=

3 Explicación del trayecto seguido: El móvil inicialmente se mueve hacia la derecha con velocidad constante de 3 m/s y recorre m. A continuación está parado durante 4 segundos Por último se mueve en sentido contrario con velocidad de 6 m/s y recorre otros metros en sentido opuesto, por lo que finalmente el móvil termina en el punto de partida.. Para estudiar el movimiento de un móvil se ha medido el tiempo que, partiendo del reposo, tarda en recorrer diferentes espacios, recogiéndose los resultados en la siguiente tabla: espacio tiempo 0 m 0,00 s m,5 s m,63 s 3 m,00 s 4 m,3 s 5 m,58 s a) Representar gráficamente el espacio en función del tiempo y a partir de la gráfica obtenida razonar el tipo de movimiento que tiene el móvil. b) A partir de los datos obtenidos escribe las ecuaciones del movimiento del móvil. c) Calcula la velocidad que tendría después de 5 segundos. d) Calcula el espacio que recorrería en 5 segundos. a) La curva obtenida corresponde a una parábola, lo que quiere decir que el espacio es una función del tiempo al cuadrado el movimiento es acelerado A la misma conclusión llegamos observado los datos, donde podemos ver que cada vez tarda menos tiempo en recorrer el siguiente metro la velocidad es cada vez mayor el movimiento es acelerado. b) Al tratarse de un movimiento acelerado podemos escribir las siguientes ecuaciones generales: a = cte v = v o + a t s = s o + v o t + ½ a t Teniendo en cuenta que nuestro móvil parte del reposo (porque nos lo dice el enunciado) y que el espacio inicial es cero (porque en los datos para t=0, s=0), podemos escribir que: a = cte v = a t s = ½ a t

4 Únicamente nos falta calcular el valor de la aceleración para particularizar las ecuaciones al caso de nuestro móvil. Para eso no tenemos más que fijarnos en un punto cualquiera de la gráfica, preferiblemente que tenga valores conocidos en los ejes, como es el caso del punto en rojo, para el que s=3m tiene t=s. Sustituyendo en la ecuación del espacio: s = ½ a t 3 = ½ a a = 6/4 =,5 m/s.. Por tanto las ecuaciones concreatas del móvil son: a =,5 v =,5 t s = 0,75 t c) La velocidad para t=5s es: v =,5*5 = 7,5 m/s d) El espacio para t=5s es: s = 0,75*5 = 8,75 m 3. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s. a) Cuál será su velocidad después de haber descendido 3 s?. b) Qué distancia habrá descendido en esos 3 s?. c) Cuál será su velocidad después de haber descendido 4 m?. d) Si el cuerpo se lanzó desde una altura de 00 m, en cuánto tiempo alcanzará el suelo?. e) Con qué velocidad lo hará?. Siempre que en un movimiento exista aceleración constante se trata de movimiento uniformemente acelerado (MUA). No importa si se mueve sobre una trayectoria recta o una trayectoria circular o de cualquier otra forma. En este caso, se trata de un movimiento rectilíneo (porque cae en línea recta y su trayectoria es rectilínea) y uniformemente acelerado porque la aceleración es constante. La de la gravedad, que vale 0 m/s. Siempre las fórmulas son las mismas y solo hay tres, únicamente 3, que son: a = cte # 0 v = v o + a. t s = s o + v t + o a t Con esas ecuaciones se pueden resolver todos los ejercicios que se pueden presentar, por muy difíciles que sean. Sin embargo, dependiendo de los datos, algunas veces es más sencillo utilizar otra ecuación, que no es una ecuación nueva, sino que es una combinación lineal de estas que se obtiene eliminando el tiempo entre ellas.: v = v o + a s Esta ecuación, como ya hemos dicho, no es necesaria pero a veces ayuda a que las operaciones sean más sencillas.

5 El siguiente paso, muy importante, elegir un sistema de referencia (el que quieras). Lo más sencillo siempre es tomar el centro del sistema de referencia en el lugar donde comienza el movimiento y con uno de los ejes en la dirección del movimiento. En ese caso el centro del sistema de referencia será arriba de esa torre o de ese acantilado desde donde se tiró la piedra: Fíjate en dos cosas muy importantes, y en las que a menudo nunca reparas: Hemos creado un sistema de referencia centrado en el lugar del disparo porque de esa forma el espacio inicial es cero. Hemos asignado sentido positivo al sentido en que se va a mover la piedra. (podría haberse elegido de otra forma y eso no cambia las soluciones del problema.) En ese sistema de referencia lo que va hacia abajo lo tomaremos como positivo y lo que va hacia arriba negativo, así que la velocidad inicial será +7 m/s y la aceleración +0 m/s. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son: v = v o + a. t v = 7 + 0*t v = 7 +0*t s = v t + o a t Estas son las ecuaciones de todos los movimientos uniformemente acelerados s = 7 t + 0 t s = 7 t + 5 t Estas son las ecuaciones de este movimiento en concreto. Si le damos un valor al tiempo obtienes lo que vale la velocidad y el espacio en ese instante. Y al contrario, si le damos un valor a la velocidad o al espacio podremos despejar el tiempo que necesita para tener esa velocidad o recorrer ese espacio. Vuelve a fíjate que tanto la ecuación de la velocidad como la del espacio nos dicen lo que valen en cada momento. No hay más que darle un valor a t para saber su velocidad en ese momento y el espacio recorrido en ese tiempo.

6 Y al contrario, si le damos un valor a la velocidad o al espacio podremos deducir el tiempo que tarda en alcanzar esa velocidad o el que tarda en estar en esa posición. a) Si se lanza una piedra con una velocidad inicial de 7 m/s, Cuál será su velocidad después de haber descendido 3 s?. Como ya hemos dicho, una vez que sabemos la ecuación de la velocidad basta con dar un valor al tiempo para conocer la velocidad en ese instante: v = 7 +0*t v = 7 +0*3 = 37 m/s b) Y lo mismo para conocer el espacio recorrido en un tiempo dado: s s Vamos a resolver el mismo ejercicio pero desde otro sistema de referencia y verás como los resultados son los mismos. Ahora vamos a elegir un SR centrado en el lugar del disparo (que es lo normal) pero el valor positivo va a ser hacia arriba, como es normal en los ejes cartesianos: = 7 t + 5 t = = 66 m de acuerdo a ese SR la velocidad inicial será 7 m/s y la aceleración 0 m/s. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son: v = v o + a. t v = 7 0*t v = 7 0*t s = v t + o a t s = 7 t + ( 0) t s = 7 t 5 t y la velocidad y el espacio a los 3 segundos sería: v = 7 0*t v = 7 0*3 = 37 m/s s = 7 t 5 t s = = 66 m Quiere decir que la velocidad vale 37 m/s y el signo menos nos indica que de acuerdo al SR elegido va hacia abajo. Que el espacio resulta 66m quiere decir que transcurridos 3 segundos el móvil ha recorrido 66m, y está en la posición (0, 66) del SR

7 c) Cuál será su velocidad después de haber descendido 4 m?. Es casi igual. Simplemente ahora primero calculamos el tiempo que tarda en recorrer 4m y luego, igual que antes, calculamos el valor de la velocidad en ese instante: s = 7 t + 5 t 4 = 7 t + 5 t t =,4 seg El otro valor del tiempo no vale porque es negativo. Ahora que sabes lo que tarda en recorrer esos 3 metros, podemos calcular la velocidad que tendrá sustituyendo en la primera ecuación: v = 7 + 0*t v = 7 + 0*,4 = 8,4 m/s Fíjate como hemos resuelto el apartado con las dos única fórmulas de siempre, pero para eso ha sido necesario resolver un sistema de ecuaciones. Cuando te ocurra eso, si no quieres hacerlo acuérdate entonces de esa tercera fórmula que te dije, que auque como ves no es imprescindible, pero sí que te ayuda a hacerlo más fácil. Verás: v = v + a s = ,4 m/s o = d) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7 m/s desde una altura de 00 m, en cuánto tiempo alcanzará el suelo?. Pues exactamente igual, porque se trata de saber qué tiempo tarda en recorrer 00m: s = 7 t + 5 t 00 = 7 t + 5 t t = 5,663 seg e) Con que velocidad llega al suelo?. Es como decir que velocidad tiene después de recorrer 00m, que ya sabemos que para ello tarda 5,663 seg, así que de la primera ecuación: v = t v = ,663 = 63,63 m/s También podía haberlo hecho con esa tercera fórmula: v = v + a s = ,63 m/s o = y ahora que sabes la velocidad con que llega al suelo podrías calcular el tiempo que tarda en caer aplicando la primera ecuación: v = t 63,63 = ,63 7 t t = = 5, 663seg 0

8 4. Se lanza una pelota desde lo alto de una torre de 0 m de altura con una velocidad hacia arriba de 5 m/s. Calcular: a) Qué velocidad tendrá al cabo de seg? Y al cabo de 3 seg? b) Qué espacio habrá recorrido al cabo de seg? Y al cabo de 3 seg? c) La altura máxima que alcanza y el instante en que ocurre d) El tiempo que tarda en llegar al suelo e) La velocidad con que llega al suelo. Ya sabes que lo primero es elegir el sistema de referencia y que puedes elegir el que quieras, pero siempre el más sencillo es uno que tenga el centro en el lugar del disparo y que tenga uno de los ejes en la dirección del movimiento, por ejemplo como el siguiente: en ese sistema de referencia lo que va hacia arriba lo tomaremos como positivo y lo que va hacia abajo negativo, así que la velocidad inicial será v o = +5m/s y la aceleración a= 0m/s. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son: v = v o + a. t v = 5 0*t v = 5 0 t s = v t + o a t Ecuaciones del MUA s = 5* t + * (-0)* t s = 5 t 5 t Ecuaciones de este movimiento concreto a) Para calcular el valor de la velocidad en un momento determinado no hay más que sustituir t por su valor en la ecuación de la velocidad: v t = 5 0 = 5 m/s = = = 5 m/s v t = 3 Observa que para t=s la velocidad es +5m/s, eso quiere decir que en ese momento vale 5m/s y que va hacia arriba. En el momento t=3s la velocidad vale 5m/s y ese signo menos de acuerdo a nuestro RS quiere decir va hacia abajo. Fíjate bien en la ecuación de la velocidad de este movimiento concreto v = 5 0*t

9 Como puedes ver, si le damos valores pequeñitos al tiempo, la velocidad resulta positiva. Eso quiere decir que está subiendo (recuerda que en el sistema de referencia es positivo lo que va hacia arriba). Es lo que hace la piedra al principio: subir. Hay un valor del tiempo, para el que la velocidad se hace cero. Ese valor corresponde al momento en que ha alcanzado la altura máxima y ahí está parado. Si le damos un valor al tiempo mayor, entonces la velocidad se hace negativa y el signo menos indica que ahora está bajando b) Para calcular el valor del espacio recorrido en un momento determinado no hay más que sustituir t por su valor en la ecuación del espacio: s = 5 5 = 0m t = s = m = t = 3 Observa que el espacio coincide con la coordenada Y del SR, es decir que nos da su posición en ese momento. En el momento t= a 0m y en el momento t= está otra vez en la posición de partida. c) La altura máxima que alcanza y el instante en que ocurre. Para calcularla recuerda que la velocidad v = 5 0*t se va haciendo cada vez menor hasta llegar a cero y luego comienza a tomar valores negativos indicando que va hacia abajo. Obviamente la altura máxima la alcanzará justo en el momento en que v=0, por tanto: v = 5 0 t = 0 t =,5 seg para ese valor del tiempo, el espacio recorrido, que será la altura máxima respecto de nuestro SR, será: s t=,5 = 5,5 5,5 =,5m d) El tiempo que tarda en llegar al suelo es el tiempo necesario para que el espacio sea s= 0m, ya que si observas el dibujo en nuestro SR el suelo tiene coordenada Y= 0. s = 5 t 5 t = 0 t = 4 seg e) La velocidad con que llega al suelo es la velocidad que tendrá para t=4s v t = 4 = = 5 m/s El signo menos indica que en el momento de llegar al suelo se movía hacia abajo. Obvio.

10 5. Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 40m/seg. a) Hallar qué velocidad lleva a los tres segundos. b) Cuánto tardaría la piedra en llegar al punto más alto y cuanto vale la altura máxima que alcanza? a) Ya sabes que lo primero es elegir el sistema de referencia y que puedes elegir el que quieras, pero siempre el más sencillo es uno que tenga el centro en el lugar del disparo y que tenga uno de los ejes en la dirección del movimiento, por ejemplo como el siguiente: en ese sistema de referencia lo que va hacia arriba lo tomaremos como positivo y lo que va hacia abajo negativo, así que la velocidad inicial será +40m/s y la aceleración 9,8m/s. Las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son: v = v o + a. t v = 40 9,8*t v = 40 9,8*t s = v t + o a t s = 40* t + * (-9,8)* t s = 40* t 4,9 * t * A los tres segundos, es decir en el momento t=3seg, pues no tienes mas que sustituir ese valor del tiempo en las ecuaciones y obtendrás el valor de la velocidad y el espacio que habrá recorrido en ese tiempo: v = 40 9,8*t v = 40 9,8*3 = 0,6 m/s s = 40* t 4,9 * t s = 40*3 4,9 *3 = 75,9 m

11 b) Cuánto tardaría la piedra en llegar al punto más alto y cuanto vale la altura máxima que alcanza? Pues como hemos quedado, en el punto más alto la velocidad vale cero, así que: 40 v = 40 9,8*t 0 = 40 9,8*t t = = 4,08seg 9,8 y ahora sustituyendo ese valor de tiempo en la ecuación del espacio obtendremos el espacio que ha recorrido que no es más que la altura subida s = 40* t 4,9 * t s = 40* 4,08 4,9* 4,08 = 8,63 m

12 6. Desde un acantilado de 00m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 40m/seg. Hallar cuánto tarda en llegar al suelo desde el momento del lanzamiento. Tomamos un sistema de referencia centrado en el lugar desde donde se dispara, como el de la figura: Fíjate que en ese sistema de referencia el punto del suelo tiene coordenada Y = 00 m, así que solamente tienes que escribir las ecuaciones del movimiento para esa piedra y te acuerdas? si le damos un valor al tiempo nos dan la velocidad y el espacio para ese tiempo. Y lo mismo, si le damos una valor la velocidad o al espacio, nos dan el tiempo que tarda en adquirir esa velocidad o recorrer ese espacio. v = v o + a. t v = 40 9,8*t v = 40 9,8*t s = v t + o a t s = 40* t + * (-9,8)* t s = 40* t 4,9 * t Ahora se trata de calcular el tiempo necesario para que el espacio sea s = 00 m. ( el signo menos es consecuencia del sistema de referencia, de que está por debajo del punto del disparo.) Así que: s = 40* t 4,9 * t 00 = 40* t 4,9 * t y de ahí se despeja el valor del tiempo, que resulta t = 0,7 seg. (hay otro valor t= seg que no vale y correspondería al caso de que en lugar de lanzar la piedra hacia arriba la hubiésemos tirado hacia abajo)

13 7. Lanzamos hacia arriba un objeto con una velocidad de 0 m/s. a) Calcular el tiempo que tarda en encontrarse a 5 metros sobre la posición inicial. b) Interpreta el resultado obtenido. Datos: g= 0 m/s a) Elegimos un SR centrado en el lugar del disparo. En ese SR las ecuaciones del objeto, que tiene un movimiento uniformemente acelerado por estar sometido a la aceleración de la gravedad, son: v = v o + a. t v = 0 0*t v = 0 0*t s = v t + o a t s = 0* t + * (-0)* t s = 0* t 5* t Sustituyendo en la ecuación del espacio s=5 podemos obtener el tiempo que tarda en alcanzar esa posición: s = 0 t 5 t 5 = 0 t 5 t Resolviendo esa ecuación de segundo grado 5t 0t + 5 = 0 con la fórmula: b ± b 4a c 0 ± ( 0) ± ( 0) t = = = a 5 5 Obtenemos dos valores para el tiempo: t=0,7s y t=3,73s 0 ± 7,3 = 0 b) Interpretación: Los dos valores obtenidos para el tiempo son correctos y ambos corresponden al tiempo necesario para que el objeto esté a 5m de altura sobre el lugar del disparo: El valor más pequeño es el tiempo que tarda en llegar y el mayor corresponde al tiempo que tarda en volver a estar en la misma posición, después de que haya alcanzado la altura máxima.

14 8. Un coche lleva una velocidad de 0 m/s (7km/h) cuando frena bruscamente. Si la aceleración de frenado es de 4 m/s, calcular: a) El tiempo de frenado. b) El espacio que el coche recorre antes de detenerse. Elegimos un SR centrado en el lugar donde comienza a frenar, como el de la figura, donde hemos dibujado la aceleración en sentido contrario a la velocidad por tratarse de un movimiento de frenado. En ese sistema de referencia el punto en que se detiene el coche corresponde con el espacio que ha recorrido durante el frenado, es decir que en el momento en que v=0 el espacio recorrido para ese tiempo es igual al espacio de frenado. Las ecuaciones del movimiento del coche son: v = v o + a. t v = 0 4*t v = 0 4*t s = v t + o a t s = 0* t + * (-4)* t s = 0* t * t. Ahora se trata de calcular el tiempo necesario para que el que la velocidad se hace cero: v = 0 4*t 0 = 0 4*t t = 5 s. Ahora no hay más que sustituir ese tiempo en la ecuación del espacio para saber el espacio que recorre hasta pararse: s = 0* t * t s = 0 *5 *5 = t= 5,56 50 m Observa el espacio tan grande que necesita un coche para detenerse, por lo que es muy importante mantener la distancia de seguridad que aconseja la DGT. En realidad la distancia de frenado es aún mayor, ya que en este caso no hemos tenido en cuenta el tiempo de reacción del conductor que suele estar entre 0,5 y segundo. (En segundo un coche a 0 m/s, obviamente, recorre 0 m que habría que sumar a los 50m calculados.)

15 9. Un coche lleva una velocidad de 0 m/s (7km/h) cuando frena bruscamente. Si después de frenar recorre 50 antes de pararse, calcular: a) El tiempo de frenado. b) La aceleración con que ha frenado. Obviamente se trata del mismo ejercicio que hemos resuelto anteriormente, solo que en este caso conocemos el espacio que recorre hasta pararse y desconocemos el valor de la aceleración. Elegimos el mismo SR y aunque hemos dibujado la aceleración en sentido contrario a la velocidad, por tratarse de un frenado, más adelante confirmaremos esa suposición al obtener para la aceleración un valor negativo. Las ecuaciones del movimiento del coche son: v = v o + a. t s = v ot + a t v = 0 + a*t s = 0* t + * a * t En este caso, por lo pronto, no podemos terminar de concretar las ecuaciones del movimiento, sin embargo conocer la velocidad y el espacio en un momento concreto nos va a permitir calcular el valor de la aceleración y poder escribir las ecuaciones del movimiento: Teniendo en cuenta que en el momento en que v=0 el espacio recorrido es s=50m, podemos poner: 0 = 0 + a t 50 = 0 t + a t Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuyas soluciones son a= 4m/s y t=5s Para resolver el sistema de ecuaciones despejamos la aceleración de la primera ecuación (a= 0/t) y ahora sustituimos en la segunda ecuación: 0 ) t t = (- simplificando 50 0t 0t 50 0 t + = 50 = 0t t=5 seg 0 0 Sustituyendo el valor del tiempo en la expresión de la aceleración: a = = = 4 m/s t 5

16 0. Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una velocidad de 50m/seg. Hallar el tiempo que transcurre desde el lanzamiento hasta caer sobre un edificio de 30m de altura. Haremos como siempre. Después de elegir un sistema de referencia centrado en el lugar del disparo escribimos las ecuaciones de ese movimiento: v = v o + a. t v = 50 9,8*t v = 50 9,8*t s = v t + o a t s = 50* t + * (-9,8)* t s = 50*t 4,9*t Ahora fíjate que cuando caiga sobre el edificio el espacio, en este sistema de referencia, vale s = +30 m. Así que no hay más que igualar la ecuación del espacio a 30 y calcular el valor de tiempo. (Por cierto que ahora obtendremos dos valores buenos para el tiempo sabes el significado de cada uno? Piensa que por ese punto pasa dos veces.) s = 50* t 4,9 * t 30 = 50 * t 4,9 * t y de ahí se despeja el valor del tiempo, que resulta t = 9,56s y t = 0,63s El primer valor corresponde al tiempo que la piedra tarda en subir y estar a una altura de 30m y el segundo valor (que es mayor) es el tiempo que tarda en estar de nuevo en la misma posición, pero después de haber subido hasta lo más alto y vuelto. Fíjate bien en las palabras: Si te preguntasen Cuánto tiempo tarda en alcanzar una altura de 30m? la respuesta sería 0,63seg. Pero lo que te preguntan es cuanto tiempo tarda en caer sobre el edificio, así que se entiende que primero sube y luego cae a la vuelta y por tanto la solución que debes dar es: t=9,56 seg.

17 . Un observador situado a 40 m de altura ve pasar un cuerpo hacia arriba con una cierta velocidad y al cabo de 0 s lo ve pasar hacia abajo, con una velocidad igual en módulo pero de distinto sentido. a) Cuál fue la velocidad inicial del móvil?. b) Cuál fue la altura máxima alcanzada?. a) Tomamos el SR centrado en el lugar del disparo. Es como si el observador estuviese en el suelo y lanzara el cuerpo hacia arriba con una velocidad inicial de v o y después t segundos ha subido 40 m y tiene una velocidad +v B. Después de llegar al punto más alto vuelve a bajar y 0 segundos más tarde pasa por el mismo punto con una velocidad vb (menos porque ahora va para abajo). Aplicando las ecuaciones del movimiento cuando está a 40 metros de altura tendremos: Para t=t está subiendo v B = v o 0t 40 Para t=t+0 está bajando v = v 0 (t 0) = v ot 0t t=0,7446s; v o =57,44m/s; v B =50m/s B o + b) La altura máxima es el espacio recorrido en el momento en que v=0, por tanto: 0 = 57,44 t h.máx =5,744s s h.máx =57,44*5,774 5(5,744) =65m 0t h.máx Otra forma alternativa de razonarlo: Igual que antes, tomamos el SR centrado en el lugar del disparo. También, igual que antes, llamaremos a la velocidad v o =v A, a la velocidad que tiene después de subir 40 m la llamaremos v B Puesto que no hemos cambiado de SR las ecuaciones del movimiento son mismas: v = v o 0*t s = v t 5 t o

18 a) Cuando la piedra pasa delante del observador lleva una velocidad + v B. Como tarda 0seg en volver a pasar delante de él quiere decir, si no hay rozamiento, que ha tardado 5 segundos en llegar al punto más alto y otros 5 en volver. Podemos calcular la velocidad del cuerpo al pasar por el observador (punto B) teniendo en cuenta que sería exactamente igual que si se lanzara una piedra desde el punto B con una cierta velocidad inicial v B y estuviese subiendo 5 seg hasta pararse, por tanto: v = v o 0. t 0 = v B 0*5 v B = 0*5 = 50 m/s b) El espacio que ha recorrido en esos 5 segundos, que es la altura medida desde el punto B es: s = v ot 5t s = = 5m Si miras en la figura verás que en nuestro SR la altura alcanzada por la piedra sería: h = 5m + 40m = 65 metros Pero aun no hemos terminado, porque en el apartado a) lo que preguntan no es con qué velocidad ve pasar el observador la piedra (esa sería 50 m/s) sino lo que preguntan es con qué velocidad inicial se lanzó la piedra. La piedra se lanzó desde el suelo (punto A). Sabemos que cuando va por el punto B (es decir después de subir 40m) tiene una velocidad v B = 50 m/s, así es que aplicando la ecuación de la velocidad entre el punto A y el B (recuerda que la velocidad en el punto A es la velocidad inicial v o y la del punto B es 50 m/s) tendremos que: v = v o 0. t s = v t 5 t o 50 = v o 0*t AB 40 = 0 t 5 AB t AB despejando el tiempo de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera puede calcularse la velocidad inicial con que se tiró la piedra (la que tenía en el punto A). Pero si te acuerdas, para evitar resolver el sistema de ecuaciones podemos utilizar esa tercera ecuación, así que sería más fácil: v = v + a s 50 = v + ( 0) 40 v o = 3300 = 57,44m / s o o esa es la velocidad inicial con que debe lanzarse la piedra para que después de subir 40m pase delante del observador con una velocidad de 50 m/s y todavía continúe subiendo durante 5 segundos más hasta pararse y vuelva para abajo.

19 . Para averiguar la profundidad de un pozo, dejamos caer una piedra y oímos el ruido del impacto contra el agua,06 segundos después. Qué profundidad tiene el pozo, si se supone para el sonido una velocidad de propagación de 330 m/s? g = 0 m.s El tiempo que tardaremos en oír el ruido será el que la piedra tarda en caer por efecto de la gravedad (t ) (movimiento uniformemente acelerado) más el que el sonido tarde en subir (t ) (movimiento uniforme): s = gt v t s t = s g s v s = t = s sustituyendo: de donde resulta que s=0 metros teniendo en cuenta que el tiempo desde que dejamos caer la piedra hasta que escuchamos el sonido es,06 seg: + t,06 s 0 + s 330 =,06 t = 3. Dos cuerpos A y B separados una distancia de Km, salen simultáneamente y se mueven en la misma dirección, ambos con movimiento rectilíneo uniformemente variado, siendo la aceleración de B (el más lento) de 0,3 m/s.el encuentro se realiza a 3 05 Km del punto de partida de B. Se pide: a) tiempo invertido por ambos móviles b) aceleración de A c) la velocidad de ambos en el momento del encuentro. a) En el SR de la figura ambos coches parten del reposo y deben recorrer con MRUA exactamente el mismo espacio ( m) en el mismo tiempo hasta encontrarse, lo que pasa es que el coche B en el momento inicial ya tiene recorrido un espacio inicial s 0B =000m

20 Ecuaciones del coche A Ecuaciones del coche B v a At s A = a At v a t A = = B B B = 000 a Bt s + a) En el momento en que se encuentren s A =s B =505 m. Sustituyendo en la ecuación del espacio de cualquiera de los coches podemos obtener el tiempo. Lo haremos al coche B porque de él sabemos la aceleración: s + B = 000 a Bt = 0,3t t = 37,5 seg b) Ahora que sabemos el tiempo en encontrarse, sustituimos en la ecuación del espacio del coche A: s A = a At 505 = a A (37,5) a A = 0,53 m/s c) v A = a. A t = = m/s v B = a. B t = = 44 m/s 4. Desde lo alto de una torre se dejan caer libremente dos pequeñas piedras con un intervalo de 3s. Se mantendrá constante la distancia entre ellas durante la caída? Llamamos A a la piedra que lanzamos primero y B a la que lanzamos 3seg después. s A será el espacio que recorre la piedra A durante el tiempo que este cayendo: t A =t+3. s B es el espacio que recorre la piedra B durante el tiempo que esté cayendo: t B = t d = s A s B = s = + s B = g t A g (t 3) g (t + 3) g t = g (3 t + 4 5) No se mantiene la distancia, puesto que depende del tiempo: d = f (t). Además, como puedes ver, la distancia que separa las piedras se hace cada vez mayor.

21 5. Un cuerpo que se mueve en caída libre recorre en el último segundo de su caída la mitad del camino total. Calcula: a) la duración total de la caída. b) la altura h desde la que cayó Vamos a dividir la caída en dos tramos iguales. Como en recorrer la segunda mitad tarda seg., en la primera mitad tardará el tiempo total menos seg, es decir que t =t Por otro lado, fíjate que la velocidad inicial del primer tramo es cero, mientras que la velocidad inicial del segundo tramo es igual a la final del primer tramo, es decir = gt = g(t ) vo s = g(t ) s = v o t + g t = g(t ) + g = g t g + g = (gt g) m como s y s son iguales: g(t g 5.t 0 t + 5 = 0 t 5 ) =.t g de donde tenemos que 5 t 0 t + 0 = 0 y la solución es t = 3 4 seg (0 586 s no vale) b) Para calcular la altura no hay más que tener en cuenta que en recorrer h tarda 3,4 seg: h = g t = 9 8 m/s.3 4 s = 58 m aunque también se podría sustituir en el espacio de cualquiera de los tramos en los que habíamos dividido el movimiento: h = h =. g(t ) = g(t + t) = 58,m h = ( gt g) = g t g =. 9,8. 3,4 9,8 = 58, m

22 6. Un tractor se mueve con velocidad constante y las ruedas traseras, que tienen m de diámetro, dan 9 vueltas cada minuto. a) Calcular la velocidad angular de las ruedas traseras en unidades internacionales. b) Calcular la velocidad lineal del tractor. c) Imagina que en una rueda trasera se ha incrustado una piedra y el conductor escucha el ruido que hace al golpear el suelo cada vez que la rueda da una vuelta. Cuántos golpes escucharía en 0 segundos? d) Cuál será la velocidad lineal y la velocidad angular de las ruedas delanteras, sabiendo que tienen 60 cm de diámetro. vueltas π rad a) ω = 9 = 9 = 0rad / seg min. 60 seg b) v = ω R v = 0*0,5 = 0 m/s c) La frecuencia es el número de vueltas que da en segundo. Por tanto los golpes (vueltas) que dará en 0 segundos será igual a 0 veces la frecuencia. π ω = = π f 0 = *π*f f = 3,8 Hz T Las vueltas que la rueda dará en 0 seg (golpes que escuchará en 0 seg) = 3,8 golpes d) La rueda delantera y la rueda trasera tienen la misma velocidad lineal, ya que ambas recorren el mismo espacio en el mismo tiempo (a menos que se desarme el tractor), por tanto: v r.trasera = v r.delantera = 0 m/s Sin embargo, la rueda delantera al tener distinto radio tendrá distinta velocidad angular: v = ω R 0 = ω r.delantera *0,3 ω r.delantera = 33,3 rad/s

23 7. En una bicicleta, que tiene unas ruedas de 30 cm de radio, la cadena está en el plato de 0 cm y en el piñón de 4 cm de radio. El ciclista pedalea dando 0,8 vueltas de pedal cada segundo. Calcular: a) La velocidad angular del plato en unidades internacionales. b) La velocidad lineal de los dientes del plato. c) La velocidad angular de los dientes del piñón. d) La velocidad de la bicicleta. Observaciones: En la bicicleta los pedales son solidarios al plato y, por tanto, ambos giran con la misma velocidad angular. La cadena arrastra simultáneamente al plato y al piñón, haciendo que los dientes de ambos recorran el mismo espacio en el mismo tiempo, por tanto, los dientes de ambos discos tienen la misma velocidad lineal. El piñón es solidario con la rueda trasera y, por tanto, ambos giran con la misma velocidad angular. vueltas π rad a) ω Plato = ωpedales = 0,8 = 0,8 = 5 rad / seg seg seg b) v Plato = ω Plato R Plato v Plato = 5*0,0 = 0,5 m/s c) Como los dientes del plato y del piñón tienen la misma velocidad lineal. v Piñón = v Plato = 0,5 m/s v Piñón = ω Piñón R Piñón 0,5 = ω Piñón *0,04 ω Piñón = 0,5/0,04 =,5 rad/s d) Como la rueda es solidaria al piñón, ambos tienen la misma velocidad angular: ω Rueda = ω Piñón =,5 rad/s v Rueda = ω Rueda R Rueda v Rueda =,5*0,30 = 3,75 m/s (3,5 Km/h)

24 CINEMÁTICA. REPASO. Ejercicios similares semiresueltos o con soluciones. Un coche tiene una velocidad de 90 km/h, cuando ve a lo lejos a un tractor que marcha a 36 km/h y al que no puede adelantar. a) Calcular el tiempo que debe accionar el freno para circular a la misma velocidad que el tractor, sabiendo que la aceleración de frenado es de 3 m/s. b) Calcular el espacio que necesita para realizar esa frenada (sería la distancia mínima a la que debería accionar el freno para no chocar con el tractor). v o = 90 Km/h = 5 m/s; v final = 36 Km/h = 0 m/s a) v = v o + a t 0 = 5 3 * t t = 5 seg. b) s = s o + v o t + ½ a t s = 5 * 5 3 * 5 = 50 m En los accidentes de tráfico la guardia civil determina la velocidad que llevaba el coche en el momento del accidente a partir de las huellas de frenado y teniendo en cuenta la aceleración de frenado que se estima, con la ayuda de unas tablas, a partir del estado del asfalto y de los neumáticos. a) Calcular la velocidad que tenía un coche en el momento de frenar sabiendo que las huellas que dejó en el asfalto tienen 50 metros y que la aceleración de frenado estimada es de 6,5 m/s. b) Calcular el tiempo que ha tardado en frenar. v = v o + a t 0 = v o 6,5 * t s = s o + v o t + ½ a t 50 = v o* t 3,5 * t Resolviendo el sistema de ecuaciones (*) obtenemos las soluciones v o = 5 m/s y t = 4 seg. (*)Despejamos v o de la primera ecuación: v o = 6,5 * t Sustituimos v o en la segunda ecuación: 50 = (6,5 * t )*t 3,5 * t operando: 50 = 6,5 * t 3,5 * t 50 = 3,5 * t t = 4 t = 4 seg. Un hombre conduce a una velocidad de 36 km/h. De pronto acelera con una aceleración de 6 m/s durante 57 metros. a) Calcular el tiempo que tardará en recorrer esos 57 m. a) Calcular la velocidad máxima que alcanzará.

25 v o = 36 Km/h = 0 m/s a) s = s o + v o t + ½ a t 57 = 0 * t + 3 * t t = 3 seg. b) v = v o + a t v = * 3 = 8 m/s (00,8 Km/h) Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 50m/seg. Hallar el espacio recorrido a los segundos. Sol: Debes obtener que para t=seg, el espacio recorrido es s=80,4m y la velocidad que tiene en ese instante es v=30,4 m/s Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 60m/seg. Hallar que velocidad lleva a los 0seg. Sol: (La velocidad a los 0 segundos es 38 m/s y el signo menos indica que va hacia abajo Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg; hallar la distancia recorrida a los 0seg. Sol: Debes obtener que para t=0seg, el espacio recorrido es s=30m y la velocidad que tiene en ese instante es v= 8 m/s Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 70m/seg; hallar a qué altura se encuentra del suelo a los seg. Sol: Debes obtener que para t=seg, el espacio recorrido es s=34,4m y la velocidad que tiene en ese instante es v= 47,6 m/s Desde el suelo se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil con una velocidad de 80m/seg. Se desea saber qué velocidad lleva cuándo ha recorrido 300m. Sol: Cuando sube (t=5,836s) v = 80 9,8*t v = 80 9,8*5,836 =,80 m/s Cuando baja (t=0,49s) v = 80 9,8*t v = 80 9,8*0,49 =,80 m/s Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto y a los seg va subiendo con una velocidad de 80m/seg. Hallar: a) la altura máxima alcanzada. b) la velocidad que lleva a los 5seg. Sol: a) t h.máx = 0,6seg; h máx =506,3m b) v t=5 = 47,4 m/s

26 Se lanza verticalmente y hacia arriba un móvil que tarda 0 segundos en llegar al punto de partida. Hallar: a) la altura máxima alcanzada. b) qué velocidad lleva a los 3seg. Sol: a) h máx =,5 m b) v=9,6m/s Se dispara verticalmente hacia arriba un objeto, de forma que a los segundos lleva una velocidad de 60m/seg. Hallar: a) la velocidad con la cual se disparó el objeto, b) a qué altura se encuentra a los segundos. c) cuánto tiempo ha de transcurrir para que llegue a la parte superior de la trayectoria. Sol: a) v o =79,6m/s b) s=39,6m c) t=8,seg; h máx =33,7m

27 EL MOVIMIENTO Y SU DESCRIPCIÓN EJERCICIOS PROPUESTOS. De una persona que duerme se puede decir que está quieta o que se mueve a km/h (aproximadamente la velocidad de la Tierra alrededor del Sol). Indica la situación de los observadores que miden las velocidades dadas. Si el observador se encuentra en la misma habitación, puede decir que la persona que está durmiendo está en reposo. Sin embargo, si el observador se encontrase en un punto del sistema solar, en reposo con respecto al Sol, vería como el que duerme se mueve a la velocidad dada.. Si te encuentras en un tren parado en una estación esperando a que arranque y se pone en movimiento el tren que está paralelo, en la vía de al lado, podrás asegurar que sigues parado? Cómo lo compruebas? No podemos asegurar quién se mueve hasta encontrar algún punto de referencia estático en la estación..3 Determina la posición en la trayectoria del coche teledirigido en los instantes t s, t 3 s, t 7 s y t s. Sustituyendo en la ecuación del movimiento los distintos tiempos encontramos que el coche dirigible en el instante t s estará en s 3 m, o sea, 3 m antes de la fuente. Para t 3 s, se encuentra en s m; para t 7 s, en s 9 m; y para t s, s 9 m..4 Calcula la ecuación del movimiento del coche teledirigido si en el instante inicial se encuentra m a la derecha de la fuente. El dato que cambia es la posición inicial, que ahora es s 0 m. La ecuación será: s t..5 El conductor de un coche ve un semáforo en rojo y empieza a frenar. Tarda en pararse 5 s y mientras se para recorre 50 m. a) Qué velocidad media ha llevado? b) Cuando empezó a frenar, su velocidad era mayor o menor que la calculada? a) La velocidad media se calcula dividiendo el espacio recorrido entre el tiempo empleado en recorrerlo. v m e t m/s 5 b) Cuando empezó a frenar, la velocidad instantánea era mayor que la velocidad media..6 Una persona viaja en automóvil de Madrid a Sevilla (500 km) en 5 h. a) Qué velocidad media ha llevado? b) Sabiendo que en las autopistas el límite de velocidad es de 0 km/h, puedes asegurar que ha cumplido las normas de Tráfico? a) v m e t km/h 5 b) No podemos asegurar que ha cumplido las normas pues podría haber ido en algún momento a más de 0 km/h y en otros momentos a velocidad inferior a 00 km/h..7 Un coche parado en un semáforo se pone en marcha cuando este se abre. Tomando el semáforo como origen, indica si la gráfica s-t sería recta o curva y por qué. Obligatoriamente debe ser curva, ya que el movimiento es variado, pues debe cambiar su velocidad desde cero hasta el valor al que circule después.

28 .8 Dadas las gráficas s-t de dos movimientos uniformes, cómo podemos saber cuál de ellos tiene mayor velocidad? Por qué se puede asegurar que son uniformes? Tendrá mayor velocidad el movimiento representado por la gráfica de mayor pendiente. Para asegurar que los movimientos son uniformes su pendiente debe ser constante ya que así no cambia la velocidad..9 El agua de un río aumenta de velocidad al pasar por un estrechamiento. Deduce cuál de las gráficas corresponde al movimiento del agua en el tramo más ancho del río y cuál al tramo más estrecho. La que corresponde al tramo más estrecho es la que tiene más pendiente, pues el agua se mueve más rápidamente. La velocidad coincide con la pendiente de la gráfica s-t, y es mayor cuanto más inclinada esté la recta..0 Un avión pasa por Valencia en dirección norte a 900 km/h, y otro lo hace sobre Bilbao en dirección este, también a 900 km/h. Representa el vector velocidad de los aviones, e indica qué tienen en común y en qué se diferencian. 900 km/h 900 km/h Ambos vectores tienen en común el módulo de la velocidad. Si no cambian, el módulo de su velocidad recorrerán en h, 900 km. Lo que los diferencia es la dirección de la velocidad, ya que cada uno se dirige en una dirección diferente.. La gráfica s-t de los dos movimientos, tendrá la misma o distinta pendiente? Razona la respuesta. Las gráficas s-t de los dos movimientos de los aviones tendrán la misma pendiente, 900 km/h, ya que el módulo de su velocidad es el mismo.. De las siguientes magnitudes, indica las que son vectoriales y las que son escalares. Masa, velocidad, fuerza, temperatura, densidad. Son escalares la masa, la temperatura y la densidad, ya que no tienen dirección ni sentido. Son vectoriales la fuerza y la velocidad, pues tienen módulo, dirección, sentido y punto de aplicación..3 Dibuja a escala :00 de forma aproximada la trayectoria que sigues desde tu clase al patio de recreo. Supón que desde que sales por la puerta de la clase hasta que llegas al patio vas a 0,5 m/s. a) Indica si el movimiento que llevas es uniforme o variado b) Indica si el movimiento es rectilíneo o curvilíneo. La trayectoria será distinta para cada alumno. Deben tener en cuenta que cada centímetro del papel representa m de la realidad. a) Es uniforme, pues es un dato dado que la velocidad sea 0,5 m/s. b) Depende de cómo sea la trayectoria que trace. Lo más fácil es que no sea completamente recta, en cuyo caso el movimiento será curvilíneo.

29 .4 Dibuja de nuevo a escala : 00 la trayectoria que sigues desde la clase al laboratorio de física. Supón que desde que sales por la puerta de la clase hasta que llegas al laboratorio vas a 0,5 m/s. Tomando en este ejercicio y en el anterior el origen en la salida de la clase, realiza y compara las gráficas s-t de ambos casos. Serán iguales los dos movimientos? Razona la respuesta. De nuevo, la trayectoria será personal para cada aula en cada centro. Las gráficas son iguales. Empezamos a contar en el origen, por lo que la ordenada en el origen es 0, y la velocidad es constante (0,5, que será la pendiente de la recta s-t). La ecuación del movimiento en los dos casos es s 0,5 t con s en metros y t en segundos. Los movimientos no son iguales por no serlo sus trayectorias. Uno de los elementos del movimiento, la relación s-t es igual, pero no el otro, la trayectoria..5 Un leopardo que persigue a una presa en un tramo recto de su movimiento va a 00 km/h. Si tomamos para t 0 s, s 0 0 m, escribe la ecuación del movimiento e indica, razonadamente, qué tipo de movimiento es. Compara la velocidad del leopardo con la de un águila en vuelo a 44 m/s. En el tramo recto que nos indican, llevará movimiento rectilíneo. Al ser su velocidad 00 km/h y no depender del tiempo, el movimiento es uniforme, su ecuación es una recta, y como empezamos a contar en el origen, la ordenada en el origen es 0. Por tanto la ecuación es: s 00 t; donde s está expresado en km y t en horas. Para comparar ambas velocidades, las expresamos en las mismas unidades. v leopardo 0 0 ( ( km) h) 0 00 (m) ( h) 7,78 m (km) (s) s Como se ve es mayor la velocidad del águila que la del leopardo..6 Un autobús va a 40 km/h en un tramo del movimiento. Representa la gráfica v-t y calcula el desplazamiento y el espacio recorrido en un cuarto de hora. Representa la misma gráfica cuando ese tramo se recorre en sentido contrario y calcula de nuevo las mismas magnitudes. v (km/h) v (km/h) 40 0 _ 0 0,50,5 0,75 t (h) _ 40 0,50,5 0,75 t (h) El desplazamiento coincide con el área encerrada entre la gráfica y el eje de los tiempos. Ida: v t 40 0,5 0 km Vuelta: v t ( 40) 0,5 0 km El espacio recorrido es el mismo en ambos casos, 0 km.

30 CIENCIA APLICADA.7 Calcula, con los supuestos anteriores, la distancia de seguridad para un coche que va a 90 km/h. Si el conductor tarda en reaccionar 0,6 s, Cuánto ha aumentado el espacio total de frenado? Cambiamos las unidades de la velocidad: v 90 ( k ( m) h) 0 00 (m) (h) 5 m ( km) (s) s. Como el tiempo de reacción es de 0,4 s, en ese tiempo recorre e 5 0,4 0 m. Si frena disminuyendo v en 9 m/s cada segundo tarda en detenerse: t 5,78 s. 9 Haciendo la gráfica v-t, calculamos el espacio recorrido hasta parar sin más que hallar el área encerrada en dicha gráfica. v (m/s) A = 0, ,75 44,75 m Por tanto, el coche recorre 44,75 m antes de pararse. Si el tiempo de reacción aumenta a 0,6 s, el área del triángulo se mantiene, pero la del rectángulo varía: e 0,6 5 5,78 49,75 m. El espacio de frenado aumenta 5 m. 3 4 t (s).8 Entre los factores que influyen en la distancia de frenado, indica sobre cuáles podemos actuar. Podemos actuar sobre la velocidad a la que viajamos, sobre el estado de los neumáticos y de los frenos para reducir el tiempo de frenado y controlar nuestro cansancio al volante para reducir el tiempo de reacción al mínimo. EJERCICIOS DE APLICACIÓN.9 Mientras Ramón y Alicia corren por la mañana, entrenándose para la próxima carrera, uno al lado del otro, Guillermo los ve pasar desde un banco del parque leyendo el periódico. a) Qué observador puede decir que Alicia está en reposo? b) Para quién está Alicia en movimiento? c) Para Alicia, quién está en reposo y quién en movimiento? a) Alicia está en reposo para Ramón, que va a su misma velocidad. b) Para Guillermo, Alicia está en movimiento. c) Para Alicia, Ramón está en reposo y Guillermo en movimiento..0 Pepe ve salir a su hija Ana hacia el colegio y se da cuenta de que ha olvidado el bocadillo. Lo coge y sale corriendo para alcanzarla. Se lo da, espera a que lo guarde y vuelve andando a casa. a) Cuál de las siguientes gráficas s-t se adapta mejor a esta situación? Razona la respuesta. b) Calcula el desplazamiento y el espacio recorrido por Pepe en todo el movimiento estudiado. s(m) 0 s(m) 0 a) De las gráficas s-t dadas, la que corresponde al movimiento de Pepe es la a) ya que al salir corriendo, la pendiente de la gráfica es mayor al principio, luego se detiene en la misma posición y por último regresa hasta casa. La b) no puede ser, ya que Pepe vuelve a casa y la distancia final al origen es a) t (s) b) t (s) b) El desplazamiento de Pepe es la posición final menos la inicial, luego s s Al final, está en el mismo sitio que al inicio, no se ha desplazado. El espacio recorrido es de 40 m, pues ha ido hasta donde está Raquel, que en el momento que le da alcance son 0 m y regresa caminando nuevamente los 0 m.

31 . La ecuación del movimiento de un tren cuando arranca de una estación es s 0,6 t hasta que alcanza la velocidad de 00 km/h. Suponiendo que saliera siguiendo una trayectoria recta, dibújala y sitúa el tren a los 5 y a los 0 s. s (m) t (s) A los 5 s, se encuentra en s 0,6 5 5 m. A los 0 s, s 0, m.. Una persona que pasea por la playa quiere conocer cuál es su velocidad. Para ello sitúa dos señales a 700 m de distancia y mide el tiempo que tarda en recorrerlos sin cambiar su ritmo. Lo hace primero paseando por arena seca, y después repite el paseo por la arena húmeda. La gráfica s-t del camino hecho por la arena seca es: s (m) 700 Arena seca 573 t (s) a) Calcula la velocidad que llevó en m/s, y también en km/h. b) Razona y dibuja en la misma gráfica s-t cómo sería la recta que representase el movimiento sobre arena húmeda. s (m) Arena seca Arena húmeda t (s) a) La velocidad es la pendiente de la recta: 7 00, m/s 573 En km/h, v, ( m) ( km) (s) 0 00 (m) ( (s) h) 4,4 k m. h b) La gráfica s-t cuando se pasea por arena húmeda tiene menos pendiente, pues camina más despacio.

32 .3 Observando la gráfica s-t del paseo por la arena seca descrito en el ejercicio : a) Dibuja su gráfica v-t. b) Si el paseo por arena húmeda se hace en 686 s, calcula la velocidad que lleva y represéntala en la misma gráfica v-t. c) Calcula los espacios recorridos en 500 s sobre arena seca y húmeda por dos métodos: mediante el área de la gráfica v-t y con la ecuación del movimiento uniforme. d) Suponiendo que el camino es un tramo recto de la playa, cómo son los movimientos? e) Cómo debería ser la trayectoria para que el movimiento fuese curvilíneo y uniforme? a) v (m/s) Seca Húmeda 0, t (s) b) La velocidad por la arena húmeda es: v 7 00,0 m/s. 686 c) s (m) Seca Húmeda 0, t (s) s s 0 v t; como s 0 0 m s seca, m s húmeda, m A seca, m A húmeda, m d) El movimiento es rectilíneo y uniforme. e) Basta con que el movimiento se realice con velocidad constante, pero no se haga en línea recta, sino en curva.

33 PROBLEMAS DE SÍNTESIS.4 Un coche va por una autopista en la que recorre 00 km a 0 km/h. Sale de ella para seguir por una carretera general en la que realiza otros 00 km a una velocidad de 70 km/h. a) Qué velocidad media ha llevado el coche en los 00 km? b) Qué tiempo emplea en la autopista? c) Y en la carretera general? d) Representa en una gráfica v-t el movimiento. e) Calcula el espacio recorrido en todo el trayecto. f) Calcula la velocidad media con la expresión v m e y comprueba que coincide con la que calculaste en el apartado a). t a) Para hallar la velocidad media no podemos sumar las velocidades y dividir entre, pues no circula con cada velocidad el mismo tiempo. Hay que hallar el espacio total recorrido y dividirlo entre el tiempo empleado. Si ha ido 00 km por autopista a 0 km/h, entonces t e v 00 0,83 h. 0 En el siguiente tramo, t e v 00,43 h. 70 Por tanto, en total ha recorrido 00 km en,6 h, ha hecho 00 una media de v m = 88,5 km/h., 6 b) Por la autopista circula durante 0,83 h. c) Por la carretera general durante,43 h. d) v (km/h) t (h) e) En todo el camino ha recorrido 00 km. f) La velocidad media es 00 v m = = 88,5 km/h, 6.5 Susana lleva un movimiento s 0,6 t. a) Sitúa a Susana al comienzo del movimiento y en los segundos, 4 y 6. b) Indica su velocidad y dibuja el vector velocidad a los 6 s. c) Representa las gráficas s-t y v-t. d) Calcula el desplazamiento y el espacio recorrido por Susana entre los segundos y 6. Escala : 00 a) Calculamos la posición de Susana a partir de esta ecuación, que representamos en las gráficas del apartado c). s 0 m; s 0,6, m; s 4 0,6 4 3,4 m; s 6 0,6 6 4,6 m b) La velocidad es la pendiente de la recta, v 0,6 m/s. c) s (m) v (m/s) t (s) 0, t (s) d) Como el movimiento es uniforme y la velocidad no cambia su valor, el desplazamiento coincide con el espacio recorrido y vale vt 0,6 (6 ),4 m.