ESTADISTICA II CURSO 2009

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1 LIBRO DE PRÁCTICAS DEL PRIMER SEMESTRE ESTADISTICA II CURSO 009 CONTENIDO PRACTICA 1: V. ALEATORIA, F. GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES... 3 PRÁCTICA : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS... 8 PRÁCTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS PRÁCTICA 4: VARIABLES ALEATORIAS MÚLTIPLES... 4 PRÁCTICA 5: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PRÁCTICA 6: CURVAS DE CONCENTRACIÓN Y NÚMEROS ÍNDICE PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO PRÁCTICA 8: MUESTREO PRIMERAS REVISIONES

2 GLOSARIO Las expresiones CALCULAR, HALLAR y ENCONTRAR se consideran equivalentes. En estos problemas se está solicitando al alumno que realice las operaciones necesarias para obtener una función, un parámetro, un número, un intervalo, una probabilidad o una distribución de probabilidad. Las expresiones DEDUCIR, PROBAR y DEMOSTRAR se consideran equivalentes. En estos problemas se trata de realizar una demostración formal, en la que se pueden utilizar, y en tal caso se deben explicitar, las propiedades y teoremas vistos en el curso y en los cursos previos del sector cuantitativo. RECONOCER UNA DISTRIBUCIÓN consiste en indicar a cuál de las distribuciones estudiadas en el curso corresponde la distribución en cuestión, explicitando el o los parámetros. Cuando se pide PLANTEAR, el alumno debe encontrar la expresión que permite, mediante operaciones posteriores, resolver un problema. En este caso no se pide resolver el problema, sino solamente encontrar la ecuación o la fórmula que lo resuelve. Cuando en un problema se dice MOSTRAR, se trata de encontrar un ejemplo o contraejemplo, sin necesidad de demostrar. Las expresiones EXPLICAR o INTERPRETAR se utilizan para solicitar al alumno que explique, en un caso concreto, cómo se debe entender el resultado obtenido en relación con el problema planteado. Por JUSTIFICAR o FUNDAMENTAR se entiende que el alumno debe encontrar los elementos teóricos, ejemplos o contraejemplos que validan un cierto resultado obtenido previamente. Cuando se pide ESTIMAR, dependiendo del caso concreto, se está haciendo referencia a uno de tres problemas: a) encontrar un estimador mediante la aplicación de un método, b) calcular una estimación puntual, c) calcular un intervalo de confianza.

3 PRáCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES PRÁCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES EJERCICIO 1 Calcular media y varianza de las siguientes variables aleatorias. Uniforme discreta p x (x, n) = 1/n x = 1,,3,.,n. Bernoulli p x (x, p) = p x (1-p) 1-x x = 0,1. 0 < p < 1 Binomial p x (x, n, p) = n C x p x (1-p) n-x x = 0,1,,3,.,n. Poisson p x (x,λ) = p(x,λ) = Geométrica e λ.( λ) x! x x = 0,1,,3,. λ R + p x (x, p) = p.(1-p) x x = 0,1,,3, 0 < p < 1 Uniforme continua ( f X x,a,b ) = 1 b a si a x b a,b R, a < b Normal 1 1 x µ f X ( x; µ, σ ) = exp - < µ < + ; σ > 0; - < x < + πσ σ Exponencial (también denominada Exponencial Negativa) λ exp( λx) x > 0, λ > 0 f ( x; λ) = 0 para cualquier otro valor 3

4 PRáCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES Beta Γ( α + β ) Γ( α ) Γ( β ) α 1 β 1 f ( x; α, β ) = x ( 1 x ) α > 0; β > 0; 0 < x < 1 Gama a λ x f ( x; a, λ) = Γ( a) 0 a 1 exp( λx) x > 0, a, λ > 0 para cualquier otro valor Weibull α α 1 α αλ x exp[ ( λx) ] x > 0; α, λ > 0 f ( x; α, λ) = 0 para cualquier otro valor Pareto α α. θ f X ( x, α, θ ) = α + 1 x si x > θ, α > 1 EJERCICIO a) Sea la V.A. X tal que p X (x) = 1/x con x = 1,, 4, 8, 16, Probar que E(X) no existe. b) Considere la distribución de Cauchy, = 1 1 f X ( x, µ ) π 1+ ( x µ ) - < <. Probar que E(X) no existe. EJERCICIO 3 Sea X una variable aleatoria absolutamente continua para la que existen todos sus momentos ordinarios. k k k M ( t ) M ( t ) 1. Demostrar que para k = 1,, 3,... es E( X ) = t = 0, siendo t = 0 k k t t derivada de orden k de la función generatriz de momentos de X evaluada en cero. la. Sea Y = ax +b con a y b R. Demostrar que la función generatriz de momentos de Y es bt M Y ( t ) = e M X ( at ). 4

5 PRáCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES EJERCICIO 4 Obtener la función generatriz de momentos para las variables del Ejercicio 1, exceptuando la Weibull y la Pareto. EJERCICIO 5 Sea X una variable aleatoria absolutamente continua para la que al menos existen sus dos primeros momentos ordinarios y g(x) creciente y no negativa x R. [ g(x) ] E 1. Teorema de Markov: Demostrar que ε > 0 se tiene que P( g(x) ε). ε. Teorema de Tchebycheff: Usando la parte anterior demostrar que: V(X) P( X E(X) > ε). ε EJERCICIO 6 Sea X una variable aleatoria. a) Encontrar la relación que vincula a µ 3 (X) = E[X E(X)] 3 con los momentos ordinarios de X hasta el orden 3. b) Idem entre µ 4 (X) y los momentos ordinarios de X hasta el orden 4. c) Sea X una variable aleatoria con distribución N(µ, σ ). Calcular µ 3 (X) y µ 4 (X). EJERCICIO 7 Sea X una variable aleatoria discreta con Rec(X) = { 3,, 1,0,1,, 3 } y con probabilidades iguales en todos los puntos del recorrido. a) Hallar recorrido y cuantía de Y = X. b) Hallar recorrido y cuantía de Z =X-3 z + 3 c) Verificar que FZ ( z ) = FX EJERCICIO 8 Sea F X (x) la función de distribución de una variable aleatoria X absolutamente continua. Hallar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria U, definida de la siguiente manera: U = F X (X). 5

6 PRáCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES EJERCICIO 9 (Examen dic/001) Sea la variable X tal que: f X ( x ) 1 = x 0 si x ( 01, ) en otro caso y sea la transformación Y = 10 X, se pide: a) Hallar la densidad de Y, su recorrido y reconocerla. b) Calcular E ( X ). c) El contenido (en toneladas) de los containers que se cargan en el puerto tiene distribución Y. Si se elige un contenedor al azar, cuál es la probabilidad de que su contenido supere E Y + σ? [ ( ) ] EJERCICIO 10 Y Sea X uniforme continua en el [0, 1] a) Calcular F X (x) b) Plantear la función de distribución acumulativa de Y = LX en función de F X (x) c) Hallar la densidad de Y. d) Calcular E(Y) de dos maneras distintas. EJERCICIO 11 Sea una variable aleatoria X y g una función continua, con derivada continua y estrictamente monótona, tal que Y = g(x) es también una variable aleatoria. Utilizando la relación F Y (y) = P(Y y) = P (g(x) y): a) Explicitar la fórmula general para pasar de f X (x) a f Y (y) para funciones monótonas. b) Sea X una variable aleatoria con función de densidad dada por: x xe si x > 0 f X ( x ) = 0 en otro caso Hallar la función de densidad de Y= X. EJERCICIO 1 Sea X ~ N (0,1), hallar la densidad de Y = X. 6

7 PRáCTICA 1: VARIABLE ALEATORIA, FUNCION GENERATRIZ DE MOMENTOS Y TRANSFORMACIONES EJERCICIO 13 (Examen feb/1997) La variable X = proporción de asientos contables erróneos en un conjunto muy amplio de asientos tiene una distribución cuya función de densidad puede modelarse adecuadamente por 1 θ θ x f = si 0 < x < 1 X ( x ) θ 0 en otro caso 1. Determinar el espacio paramétrico para θ.. Siendo Y = - Ln (X), plantear la función de distribución de Y en función de X. Hallar la distribución de Y. EJERCICIO 14 Sea X ~ Exp ( λ ). 1. Hallar la distribución de probabilidad de Y = [ X ] (Parte entera de X).. Hallar la distribución de Z = X Y. EJERCICIO 15 Sea la función F X (x) 0 si x < 1 = 1 1 si x 1 3 x 1) Probar, justificando, que F X (x) es una función de distribución. ) Existen todos los momentos ordinarios de X? Justificar la respuesta. 3) Existe la función generatriz de momentos de X? Justificar la respuesta. 7

8 PRACTICA : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS PRÁCTICA : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EJERCICIO 1 Los boletos de ómnibus tienen 5 cifras. La primera puede ser un número del 1 al 5, mientras que las 4 restantes pueden ser cualquiera de los 10 dígitos. Si todos los números permitidos en cada cifra del boleto son equiprobables, cuál es el valor esperado de la suma de las cinco cifras? EJERCICIO (CANAVOS 4.10) Supóngase que un examen contiene 15 preguntas del tipo falso o verdadero. El examen se aprueba contestando correctamente por lo menos nueve preguntas. Si se lanza una moneda para decidir el valor de verdad de cada pregunta, cuál es la probabilidad de aprobar el examen? EJERCICIO 3 A la consulta de un Médico de Medicina General se anotan 1 pacientes. Por distintos motivos sólo un 80% de los anotados finalmente concurre a la consulta. a) Cuál es la probabilidad que un día concurran a la consulta todos los anotados? b) Cuál es la probabilidad que un día no concurra ninguno de los anotados? c) Cuál es el número esperado de anotados que concurre efectivamente a la consulta? d) Cuál es el número más probable de anotados que concurre efectivamente a la consulta? EJERCICIO 4 (Primera Revisión 001) De nueve personas que tienen un teléfono celular con sistema prepago, 4 lo poseen de la empresa A y 5 de la empresa B. PARTE 1 Se seleccionan sin reposición tres de las nueve personas. a) Determine la probabilidad de que sólo una de ellas posea un celular de la empresa A. b) Sea X = número de personas seleccionadas que poseen celular de la empresa A. Determinar E(X). c) Determinar V(X). PARTE Se seleccionan con reposición tres de las nueve personas. a) Determine la probabilidad de que sólo una de ellas posea un celular de la empresa A. b) Sea Y = número de personas seleccionadas que poseen celular de la empresa A. Plantear la función generatriz de momentos Y. c) Determinar E(Y) a partir de la función generatriz de momentos de Y. d) Determinar V(Y) a partir de la función generatriz de momentos de Y. 8

9 PRACTICA : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EJERCICIO 5 Sea X ~ Geom(p). a) Calcular la probabilidad de que X tome como valor un número par. b) Demostrar que se verifica P(X k)=(1-p) k, k N. c) Demostrar que P(X k+x/x k) = P(X x) x Rec(X), k N. Cómo se debe interpretar este resultado? EJERCICIO 6 (Primera Revisión 000) En una distribución geométrica donde X mide la cantidad de fracasos antes del primer éxito, se sabe que P(X ) = a) Determinar el recorrido de la variable aleatoria X. b) Determinar la cuantía de la variable aleatoria X y hallar el valor de su parámetro. EJERCICIO 7 (CANAVOS 4.3) Un contador recientemente graduado pretende realizar el examen CPA. Si el número de veces que se toma el examen constituye un conjunto de eventos independientes con una probabilidad de aprobar igual a 0.6, cuál es la probabilidad de que no se necesiten más de cuatro intentos para aprobar el examen? Son válidas las suposiciones de independencia y probabilidad constante? EJERCICIO 8 (CANAVOS 4.1) El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservación sabe, por experiencia, que el 15% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 5 reservaciones pero solamente dispone de 0 mesas, cuál es la probabilidad que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa? EJERCICIO 9 (CANAVOS 4.7) Una compañía recibe un lote de 1000 unidades. Para aceptarlo se seleccionan diez unidades de manera aleatoria, y se inspeccionan. Si ninguna se encuentra defectuosa, el lote se acepta; de otro modo, se rechaza. Si el lote contiene un 5% de unidades defectuosas: a) Determinar la probabilidad de aceptarlo mediante el empleo de la distribución hipergeométrica. b) Aproximar la respuesta de la parte a) mediante el empleo de la distribución Binomial c) Aproximar la respuesta de la parte b) mediante el empleo de la distribución Poisson. 9

10 PRACTICA : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EJERCICIO 10 La llegada de autos a un peaje sigue una distribución de Poisson con un promedio de 3 autos por minuto. a) Cuál es la probabilidad que en un minuto no llegue ningún auto? b) Cuál es la probabilidad que lleguen exactamente 4 vehículos en dos minutos? c) Cuál es la probabilidad que en un minuto lleguen autos y en el minuto siguiente lleguen otros dos autos? d) Cuál es el número esperado de llegada de autos al peaje en media hora? e) Cuál es el número más probable de llegadas de autos al peaje en medio minuto? EJERCICIO 11 El número de automóviles que circulan por una autopista, durante una hora, sigue una distribución de Poisson de parámetro λ. Cada automóvil que circula por esta autopista tiene una probabilidad p de sufrir un accidente. Los accidentes, para cada automóvil que circula, son sucesos independientes. Hallar la distribución de la variable Y = número de accidentes ocurridos en la autopista durante una hora. EJERCICIO 1 (CANAVOS 4.1) Mediante estudios recientes se ha determinado que la probabilidad de morir por causa de cierta vacuna contra la gripe es de Si se administra la vacuna a 100 mil personas y se supone que éstas constituyen un conjunto independiente de ensayos, cuál es la probabilidad de que mueran no más de dos personas a causa de la vacuna? EJERCICIO 13 (Primera Revisión 1993) Los científicos de un centro espacial deciden investigar la superficie de Marte. Envían un robot de 4 metros de ancho para revisar el suelo marciano. El robot camina hacia adelante sin parar y sin doblar y tiene combustible para marchar 5 kms. Se sabe que en un km. cuadrado hay promedialmente 0 pequeños cráteres y que si el robot toca uno de ellos no funciona más. Los científicos necesitan conocer la probabilidad de que el robot recorra los cinco kms sin tocar ningún cráter. Sea X el número de cráteres en la faja que barre el robot. (Observar que esa faja es de 4*5000 = 0000 m es decir 0,0 km ) 1. Qué supuestos, en este caso específico, serán necesarios para que X se distribuya según Poisson?. Suponiendo que se dan los supuestos del punto anterior, escribir la cuantía de X. 3. Calcular la probabilidad que preocupa a los científicos. 4. Los científicos arreglan el robot para que pueda saltar el primer cráter con que se encuentra y siga caminando, calcular la probabilidad de que culmine con éxito su caminata de cinco kms. 5. En el caso 4 cuál es la probabilidad de que pueda recorrer por lo menos k kms (k = 1,,3,4)? 10

11 PRACTICA : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EJERCICIO 14 Un jugador de quiniela apuesta todas las semanas al número 6. a) Calcular la probabilidad que el jugador gane por primera vez recién en la semana 10. b) Cuál es la probabilidad que en la semana 15 gane por segunda vez? c) Cuál es la probabilidad que en la semana 0 gane por tercera vez? EJERCICIO 15 (Primera Revisión 1994) Un astillero vende un único modelo de barco, cuyo precio es P. Los compradores nunca adquieren más de un barco y la llegada de clientes compradores al local de ventas puede modelizarse adecuadamente a través de la distribución de Poisson con tasa λ. El mantenimiento del local de ventas implica una función de costos cuadrática de forma: c(t) = bt b>0 donde t = tiempo que el local de ventas permanece abierto. Sea B(t) los beneficios de la empresa (calculados como los ingresos por ventas menos los costos de mantenimiento). 1. Cuánto tiempo deberá el astillero mantener abierto el local de ventas para maximizar los beneficios esperados?. Se sabe que el riesgo se cuantifica a través de la varianza de los beneficios. Cuál es la duración del negocio que minimiza el riesgo? Interprete el resultado. 3. Si P = 0, λ = y b = 1. Cuál es la probabilidad de que una empresa, maximizadora de beneficios esperados, obtenga beneficios positivos? (Sugerencia: Utilizar la aproximación normal, es decir que una v.a. Poisson(α) se aproxima por una N(α,α)) 4. En el caso 3, cuál es la probabilidad de pagar más de 100 de costo antes que venga el primer cliente? EJERCICIO 16 (Primer Control 1995) Juan Quiniela tiene $ y Pedro Tómbola tiene $ 1. Juegan lanzando una moneda de la siguiente manera: si sale cara, Juan le paga a Pedro $ 1; si sale número, Pedro le paga a Juan $ 1. El juego termina cuando uno de ellos queda sin dinero. Sea X = el número de tiradas necesarias para terminar el juego. a) Hallar el recorrido de X. b) Calcular P(X=1), P(X=), P(X=3). c) Deducir la cuantía de X. 11

12 PRACTICA : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EJERCICIO 17 (Primera Revisión 1996) La cantidad de vehículos (N) que se reparan por hora en un taller mecánico es una variable aleatoria cuya función de cuantía es: P(N = n) = 0,1(0,9) n n = 0,1,,3,. Cada vehículo reparado le produce al taller mecánico una ganancia de $50. El costo fijo mensual es de $ El taller funciona 8 horas por día, 5 días al mes. 1. Analizar si con la cantidad esperada de vehículos reparados por mes se logrará cubrir el costo fijo. Del total de vehículos que se reparan por hora (N), una parte (también aleatoria) son reparaciones eléctricas. Sea X = Número de reparaciones eléctricas por hora de la cual se sabe que (X / N = n) ~ B(n;0,). a) Hallar la cuantía conjunta del par (X, N), con su recorrido. b) Demostrar que la cuantía marginal de X es geométrica de razón p y hallar el valor de p. k 1+ n n k Sugerencia: recordar que ( )q p = 1. + n= 0 n c) Si el costo fijo mensual de la sección electricidad del taller mecánico es de $ Es dicha sección rentable para el taller? EJERCICIO 18 (Examen May/1995) En un Banco se presentan diariamente cheques a cobrar, cuyas firmas son sometidas a un control de verificación. Los cheques llegan a razón de 300 por día a través de un proceso de Poisson. Además, la probabilidad de que un cheque presentado para su cobro tenga una firma falsa es Puede suponerse que los cheques se presentan por distintas personas, en forma independiente. 1. Plantear (sin calcular) la probabilidad de que en un día determinado se reciban para su cobro exactamente 350 cheques. Sabiendo que en un día llegaron exactamente 300 cheques, calcular la probabilidad de encontrar a lo sumo tres cheques con firmas falsas. 3. Plantear (sin calcular) la probabilidad que en un día determinado se presenten exactamente tres cheques con firmas falsas. 1

13 PRACTICA : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EJERCICIO 19 (Primera Revisión 1994) Para un viaje diario entre dos ciudades una compañía de aviación dispone de capacidad para 300 pasajeros. La demanda frecuentemente supera la capacidad del avión. Luego de adquirido el pasaje, la decisión de viajar o no es tomada independientemente por cada pasajero. La probabilidad que una persona que ha comprado el pasaje desista de viajar es constante e igual a 0.0 para cada comprador de pasajes. Sea n el número de pasajes comprados en un día y sea la variable aleatoria X i definida así: X i 1 si el comprador i decide viajar = 0 si el comprador i decide no viajar 1. Definir, en función de n y de las X i una variable aleatoria Y que indique el número de pasajeros que diariamente deciden viajar. Cuál es la distribución exacta de Y? Justificar. 3. Plantear la distribución aproximada de Y indicando por qué dicha aproximación vale en este caso. 4. Usando la aproximación anterior determinar cuántos pasajes como máximo puede vender la compañía diariamente para que, con probabilidad de 0,95 no quede ningún pasajero sin asiento. 5. Si la decisión de viajar no se tomara independientemente por cada pasajero (por ejemplo, la gente viaja en pareja o con su familia), este hecho afectaría los resultados obtenidos? Fundamentar. EJERCICIO 0 (Examen Mar/00) Un fabricante de telas, el Sr. Desmán Telar, desea conocer más acerca de la calidad de sus productos. Telar sabe que en 4 metros de tela se encuentra una falla en promedio y que el número de fallas, X, se distribuye Poisson. Telar vende la tela en cortes de 6 metros. 1. Hallar la probabilidad de encontrar a lo sumo fallas en un corte.. Cuántas fallas en promedio se espera encontrar en un corte de tela? Justifique su respuesta. 3. Sea T el metraje de tela entre fallas consecutivas. Hallar P(T=). 4. Cuánto vale la E(T) y qué significa en este caso? Justifique su respuesta. 13

14 PRACTICA : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS EJERCICIO 1 (Primera Revisión 1996) La Tienda Italiana tiene dos sucursales (A y B). La llegada de clientes a cada una de las sucursales es un proceso aleatorio con promedio λ 1 llegadas por hora en la sucursal A y promedio λ llegadas cada dos horas en la sucursal B. Cada sucursal permanece abierta 8 horas por día. Sean las variables aleatorias X 1 = número de clientes que llegan a la sucursal A en un día determinado (de 8 horas) X = número de clientes que llegan a la sucursal B en un día determinado (de 8 horas) 1. Explicite los supuestos necesarios para que X 1 y X tengan ambas distribución de Poisson. Especificar los respectivos parámetros.. Si se supone que X 1 y X son independientes, demostrar que la variable T = número total de clientes que llegan a las dos sucursales, tiene distribución de Poisson. Hallar el parámetro de la distribución de T. (Sugerencia: utilizar la función generatriz de momentos). 3. Sabiendo que λ 1 = 0.5 y λ = 0.5, a) Cuál es la probabilidad de que en un día determinado lleguen en total 6 clientes a las dos sucursales? b) Sabiendo que en un día determinado llegaron en total 6 clientes a las dos sucursales, calcular la probabilidad de que 4 de ellos hayan llegado a la sucursal A. EJERCICIO Un sistema electrónico contiene n componentes que funcionan independientemente entre sí. Los componentes están conectados en serie y por lo tanto el sistema funcionará si todos los componentes funcionan a la vez. Cada componente funciona bien durante un cierto número de períodos de tiempo hasta que se estropea. Suponer que para i = 1,,..., n el número de períodos en los que la componente i funciona bien es una variable aleatoria discreta con distribución Geom(p i ). Determinar la distribución del número de períodos en los que el sistema funciona bien. EJERCICIO 3 Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Si es falso, señale la respuesta correcta. 1. Para calcular probabilidades en una distribución binomial, debe conocerse el número de ensayos y la probabilidad de éxito.. La distribución probabilística de Poisson es una distribución continua. 3. Tanto la distribución Binomial como la de Poisson se ocupan de experimentos que sólo tienen dos posibles resultados, un éxito o un fracaso. 4. Si 0% de un grupo de personas son miopes ( corta de vista ), y se selecciona un gran número de muestras aleatorias de 0 personas, es razonable esperar que poco más de la mitad de las muestras contenga a lo sumo una persona corta de vista. 14

15 PRACTICA : VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 5. Si 0,1% (0,001) de las lámparas eléctricas producidas por una máquina son defectuosas, la probabilidad de no encontrar una lámpara defectuosa en una muestra de 100 es aproximadamente 0, Si el número de ensayos permanece constante, la forma de una distribución binomial tiende a volverse más simétrica conforme p aumenta. 7. Se sabe que las llegadas de camiones con basura a la usina de descarga siguen una distribución de Poisson. Por lo tanto, los kg. de basura que traen dichos camiones tienen distribución de Poisson. 8. La variable aleatoria Binomial cuenta el número de ensayos necesarios para observar k éxitos y la variable aleatoria Binomial Negativa cuenta el número de éxitos observados en n ensayos. 9. La cuantía Binomial Negativa puede escribirse como el producto de una Binomial donde se obtuvieron (k-1) éxitos por la probabilidad de obtener un éxito. 10. Si no leyó el tema y adivinó la respuesta a cada una de estas 10 preguntas de verdadero o falso, la probabilidad que haya adivinado las 10 en forma correcta es 1 en

16 PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS PRÁCTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS EJERCICIO 1 Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo ( 1, +1). a) Calcular el desvío estándar de X. b) Calcular P( X - µ X > σ X ). c) Calcular P(X >.σ X ). EJERCICIO (CANAVOS 5.1) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (a,b). Si E (X) = 10 y VAR (X) = 1, encontrar los valores de a y de b. EJERCICIO 3 (CANAVOS 5.9) La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribución normal con una media de 00 unidades y desviación estándar igual a 40 unidades. La demanda de otro producto B también tiene una distribución normal con media de 500 unidades y desviación estándar igual a 80 unidades. Un comerciante que vende estos productos tiene en su almacén 80 unidades de A y 650 de B al comienzo de un mes. Cuál es la probabilidad de que, en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos? Puede suponerse independencia entre ambos eventos. EJERCICIO 4 Los frascos de dulce de leche tienen un peso neto (en gramos) con distribución N(998, 5). Cuál es la probabilidad que un frasco elegido al azar tenga menos de 995 gramos? EJERCICIO 5 En la central telefónica de La Paloma, al estudiar la duración (T) de las llamadas telefónicas, se ha encontrado que la misma es, aproximadamente, una variable aleatoria con la siguiente función de densidad: 0 si t 0 f T (t)= βe -kt si t <0 (k > 0) a) Determinar β para que f T (t) sea una función de densidad. b) Suponiendo que k = 0,5 minutos, calcular la probabilidad de que una conversación dure más de dos minutos. c) Calcular la probabilidad de que la conversación dure entre 3 y 6 minutos. 16

17 PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS EJERCICIO 6 (Primera Revisión 1996) Un restorán está especializado en el jabalí asado. Tras larga experiencia se sabe que el peso de los jabalíes tiene una distribución normal donde el 33% de los jabalíes pesa menos de 7,8 kg. y sólo el 7,5% sobrepasan los 37, kg. El encargado de compras del restorán rechaza todo jabalí que pese menos de 6 kg. Si en un mes se adquieren 50 jabalíes, qué cantidad se espera que sean rechazados con el criterio del encargado de compras? Cuál es la probabilidad aproximada de que se rechacen por lo menos 50 jabalíes? EJERCICIO 7 (Primera Revisión 000) A un aeropuerto pequeño llegan, a través de un proceso de Poisson, un promedio de tres aviones por hora. a) A partir de un momento dado, cuál es la probabilidad de tener que esperar más de media hora hasta la próxima llegada de un avión? b) Calcular la probabilidad de que la demora entre dos llegadas consecutivas sea inferior a 15 minutos. c) Cuál es la probabilidad de que en los próximos 15 minutos no llegue ningún avión al aeropuerto, si se sabe que en los 15 minutos anteriores no hubo ninguna llegada? Fundamentar. d) Considere los siguientes sucesos: A = al aeropuerto llegan seis aviones en tres horas y B = al aeropuerto llegan tres aviones en la primera hora, dos aviones en la segunda hora y un avión en la tercer hora. Cuál de los dos sucesos tiene mayor probabilidad de ocurrencia? Fundamente su respuesta. EJERCICIO 8 Una linterna es alimentada por 5 pilas que funcionan de forma independiente, y cuyo tiempo de vida, para cada pila medido en horas, es una variable aleatoria exponencial con λ= La linterna deja de se útil cuando dejan de funcionar 3 o más pilas. Cuál es la probabilidad de que la linterna funcione durante más de 1000 horas? EJERCICIO 9 PARTE A Si X ~ Exp(λ). Demostrar que para los números a y b, con a>0 y b>0, se cumple: P(X>a+b/X>a)=P(X>b). PARTE B Un sistema consta de n componentes, que funcionan de forma independiente. El tiempo de vida de la componente i es una v.a. X i ~Exp(λ) i = 1,,..., n 1) Hallar el tiempo medio transcurrido hasta que falla la componente que se rompe primero. ) Hallar el tiempo medio hasta que fallan k componentes. (k n). 17

18 PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS EJERCICIO 10 La empresa MORDISCON, administradora de un servicio de telefonía celular, factura sus servicios de acuerdo a la duración de las llamadas. Se sabe que la duración de una llamada (medida en minutos) se puede modelar aproximadamente por medio de una v.a. X con función de densidad: λ e λx si x > 0 ( λ > 0) f X ( x) = 0 en otro caso a) Qué significado tiene λ en este problema? b) Si el precio de cada minuto es de $3 (más IVA), Cuál es el costo esperado por llamado? c) Si la empresa cambia su modo de facturar, pasando a cobrar el número de minutos que dura una llamada por exceso (o sea si dura.3 minutos cobra 3, si dura 3.5 cobra 4). Hallar el costo esperado por llamado (Considerar λ = 1/10, 1/, 1,, 10). d) Calcular el beneficio medio suplementario obtenido por modificar el sistema de cobro (Utilizar los mismos valores de λ del punto anterior). EJERCICIO 11 (Examen Dic/1999) En un hormiguero conviven 1000 hormigas. Todos los días 550 de ellas salen a buscar alimento. Cada una trae, en promedio, el doble del alimento que necesita para sobrevivir un día. Todas las hormigas tienen diariamente las mismas necesidades de alimento. Si la unidad representa el alimento necesario diario, la comida que trae cada hormiga es un variable aleatoria X que se distribuye N(,). Se sabe que la cantidad de alimento que consigue una hormiga es independiente de la que consiguen las demás. 1. Deducir (fundamentando) la distribución del alimento total diario que traen las 550 hormigas.. Cuál es la probabilidad de que el alimento total diario alcance para las necesidades de toda la población? 3. Un día aparece un oso hormiguero y se come exactamente 100 de las 550 hormigas que habían salido a buscar alimento. Cuál es la probabilidad de que el alimento, que traen las demás, alcance para las necesidades de la población resultante? 4. Ante la presencia del oso hormiguero las hormigas deciden organizarse de otra manera. En primer lugar, con certeza, toda hormiga que sale a buscar alimento, debe volver con una carga que exactamente duplique lo necesario para su sustento diario. En segundo lugar, al salir del hormiguero se habrán de dispersar de tal forma que la probabilidad de que una hormiga sea atrapada por el oso sea exactamente En tercer lugar, cada día habrán de salir exactamente la cantidad mínima de hormigas necesarias (n) para cubrir la demanda de alimento diario (K) con probabilidad no menor que Se trata de ayudar al hormiguero a calcular la cantidad de hormigas que deben salir en busca de alimento el día que han quedado 900 sobrevivientes. a) Sea W = número de hormigas que se come el oso ese día, plantear la distribución de W en función de n. b) Interpretar la expresión (n W) y determinar n. 18

19 PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS EJERCICIO 1 (CANAVOS 5.9) Sea X una variable aleatoria con distribución gama con a = y λ = 0.0. a) Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor al valor de la media? b) Cuál es la probabilidad de que X tome un valor mayor de dos desviaciones estándar con respecto a la media? c) Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor al de su moda? EJERCICIO 13 (CANAVOS 5.31) La edad a la que un hombre contrae matrimonio por primera vez es una variable aleatoria con distribución gama. Si la edad promedio es de 30 años y lo más común es que el hombre se case a los años, encontrar los valores de los parámetros a y λ para esta distribución. EJERCICIO 14 kx kxe si x 0 Sea: f : f ( x) = 0 si x < 0 1. Hallar k > 0 para que f sea una función de densidad de la variable aleatoria X.. Hallar el modo de la variable X y la E(X). 3. Sea Y = Número de piezas defectuosas en un lote. Su distribución de probabilidad puede aproximarse por la de X aplicando las correcciones de continuidad: 1 1 P ( Y = y) = P( y X y + ) Hallar P(Y>10). Aproximando a dos cifras decimales. 4. Se observa una M.A.S. c/r de 50 lotes. Hallar el número esperado de lotes que contienen más de 10 piezas defectuosas. 5. Cuál es el número esperado de piezas defectuosas en la muestra de 50 lotes? Usar la aproximación dada por (1). EJERCICIO 15 (Primera Revisión 1995) La demanda semanal (en kg.) de cierto producto se puede modelar aproximadamente por la siguiente función de densidad: x f e si x > 0 ( x X ) = 0 en otro caso A principios de cada semana se hace un aprovisionamiento de k kilogramos del producto. Por semana la demanda de kg. del producto produce una ganancia de ax unidades monetarias y el sobrante (que no es reutilizable) una pérdida de b(k-x) unidades monetarias. 1. Plantear la función de beneficio neto semanal en función de x y k. (Recordar que si no hay sobrante no hay pérdida y como máximo se pueden vender k kilogramos, aún cuando la demanda supere ese valor).. Hallar el valor de k que maximice el beneficio, neto semanal, esperado. 19

20 PRACTICA 3: VARIABLES ALEATORIAS ABSOLUTAMENTE CONTINUAS EJERCICIO 16 (Examen Feb/1997) En el camino a Paso de los Potros hay una sola estación de servicio con un surtidor de nafta. Don Margarito, quien la atiende, se entretiene anotando la hora en que llega cada vehículo a cargar nafta así como los litros que carga. De las anotaciones de Margarito se deduce que el número de vehículos que llegan a su estación es una variable (X) que puede modelarse adecuadamente por Poisson con media de 1 por hora. A su vez la cantidad de nafta que carga cada uno es una variable (Y) modelable por una N(15,400). X e Y son independientes y además los litros de nafta que carga un vehículo se suponen independientes de los que carga cualquier otro. 1. Calcular la probabilidad de que en una mañana de trabajo (4 horas) lleguen más de 3 vehículos.. Calcular la probabilidad de que el segundo y el tercer vehículo que llegan carguen más de 0 litros de nafta cada uno. Justifique. 3. Al comenzar la jornada de trabajo (de 1 horas), Margarito mide el contenido del depósito de combustible y verifica que tiene 800 litros. Si ese día llegan exactamente 40 vehículos, Cuál es la probabilidad de que se quede sin combustible antes de abastecer completamente a todos? Fundamentar cada paso. 4. Suponiendo que ese día en lugar de llegar 40 vehículos, llegan exactamente k vehículos, plantear la probabilidad pedida en el punto 3 en función de k y determinar el máximo k natural, para el cual dicha probabilidad es menor a 0.. (Sugerencia: para resolver la inecuación, hacer el cambio de variables k = u ) 5. Cuánta nafta debería tener el depósito de la estación al iniciar la jornada de manera que exista una probabilidad menor a 0.01 de que quede sin gasolina el día en que llegan un número de vehículos exactamente igual al máximo valor de k hallado en el punto anterior? 6. Calcular la probabilidad de que en una mañana de trabajo (4 horas) lleguen más de 3 vehículos. 7. Calcular la probabilidad de que el segundo y el tercer vehículo que llegan carguen más de 0 litros de nafta cada uno. Justifique. 8. Al comenzar la jornada de trabajo (de 1 horas), Margarito mide el contenido del depósito de combustible y verifica que tiene 800 litros. Si ese día llegan exactamente 40 vehículos, Cuál es la probabilidad de que se quede sin combustible antes de abastecer completamente a todos? Fundamentar cada paso. 9. Suponiendo que ese día en lugar de llegar 40 vehículos, llegan exactamente k vehículos, plantear la probabilidad pedida en el punto 3 en función de k y determinar el máximo k natural, para el cual dicha probabilidad es menor a 0.. (Sugerencia: para resolver la inecuación, hacer el cambio de variables k = u ) 10. Cuánta nafta debería tener el depósito de la estación al iniciar la jornada de manera que exista una probabilidad menor a 0.01 de que quede sin gasolina el día en que llegan un número de vehículos exactamente igual al máximo valor de k hallado en el punto anterior? 0

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