La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas

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1 Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve) Jesús González (jesusmg@ciens.ul.ve) Deprtmento de Mtemátic. Fcultd de Ciencis Universidd de Los Andes, Mérid, Venezuel. Modern mthemtics tends to obliterte history: ech new school rewrites the foundtions of its subject in its own lnguge, which mkes for fine logic but poor pedgogy. R. Hrtshorne Resumen El desrrollo último de l Mtemátic h llegdo un punto tl de bstrcción que los conceptos más básicos de ls diferentes estructurs se presentn totlmente bstrctos, jenos sus orígenes y viniendo muchos de estos conceptos de l geometrí perdemos l esenci de ests ides. El objetivo de este mteril es totlmente pedgógico y está destindo llenr, o más bien recuperr, l geometrí de los conceptos que quí trtmos y que no vemos usulmente en los textos que trtn el tem. Plbrs y frses clve: Norms, funciones continus, geometrí. Abstrct The recent development of mthemtics hs reched level of bstrction such tht the more bsic concepts of the different structures re presented in purely bstrct wy, fr wy from its origins, nd lthough mny of these concepts come from geometry, its essence is lost. The gol of these mteril is totlly pedgogicl; it is destined to fill, or better to recover, the geometry of the treted concepts, usully bsent in the textbooks. Key words nd phrses: Norms, continuous functions, geometry. Recibido 2002/12/15. Aceptdo 2003/06/15. MSC (2000): primry 46-01, Secondry 46E15,

2 72 Arístides Arellán, Jesús González 1 L norm f Denotremos por C [,b] el espcio de ls funciones continus C [,b] = { f : [, b] R : f es un función continu } L función f = sup{ f(x) : x [, b] } es un norm del espcio C [,b], llmd l norm del supremo. Geometrí de l norm f : El número f mide (o determin) l myor bertur que tiene el gráfico de l función f respecto l eje de ls bsciss, usndo pr ello l composición f : 0 f Ejemplo 1.1 En el espcio (C [ 1 2,2], ) considermos l hipérbol básic f(t) = 1 t 2 L hipérbol es un función decreciente, su vlor máximo lo reliz en el extremo x = 1 2 = 0, Por lo tnto f = f( 1 2 ) = Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1 (2003), pp

3 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus 73 Ejemplo 1.2 En el espcio (C [0,1], ) considermos un función que depende de un prámetro: f(t) = nt n + t. L derivd de l función f: f (t) = n 2 > 0, pr todo 0 t 1. (n + t) 2 Como l derivd de l función es positiv entonces l función es creciente, f reliz su máximo en el extremo x = 1: f = f(1) = n n L norm del espcio C [,b] gener en el mismo conjunto l siguiente métric: d (f, g) = f g = sup{ f(x) g(x) : x [, b] } L métric d, se llm l métric del supremo en el espcio C [,b]. El número d (f, g) mide (o determin) l myor bertur entre los gráficos de ls funciones f y g: d (f, g) b Ejemplo 1.3 En el espcio métrico (C [0,1], d ) considermos ls siguientes funciones: f(t) = t, g(t) = t 2, h(t) = t 3 y q(t) = 0, pr 0 t 1. Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1 (2003), pp

4 74 Arístides Arellán, Jesús González Determinemos ls siguientes distncis: d (f, g), d (g, h) y d (h, q) 1 t 2 t 3 El número d (f, g) mide l myor bertur entre los gráficos de f y g. Pr clculrlo debemos determinr el máximo de ϕ(t) = t t 2 = t t 2 en el intervlo [0, 1]. L derivd ϕ (t) = 1 2t se nul en el punto t = 1 2. Luego, el máximo vlor de l función ϕ es el número ϕ( 1 2 ) = 1 4, sí d (f, g) = 1 4. Pr clculr d (g, h) debemos determinr el máximo de l función ϕ(t) = t 2 t 3 = t 2 t 3 en el intervlo [0, 1]. L derivd ϕ (t) = 2t 3t 2 se nul t = 2 3 y en t = 0. El máximo vlor de l función ϕ se tiene en el número ϕ( 2 3 ) = 4 27, sí d (g, h) = Por otr prte, l distnci de h hst q = 0 es l norm que h, h = d (h, q) = Ejemplo 1.4 Pr cd función f del espcio C [0,1] y cd ξ > 0, se cumple que: d (f, f + ξ) = ξ. f + ξ f L función f + ξ corresponde subir el gráfico de f un cntidd de ξ uniddes. Luego, l distnci entre los gráficos es exctmente ξ. Por lo tnto d (f, f + ξ) = ξ... Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1 (2003), pp

5 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus 75 2 L norm f 1 = b f(x) dx Otr norm muy usd en el espcio de ls funciones continus C [,b] es l función: f 1 = b f(x) dx Geometrí de l norm f 1 : Pr un función f del espcio C [,b], l integrl b f(x) dx el número f 1 represent el áre de l región cotd por el gráfico de l función f, ls rects x =, x = b y el eje de ls bsciss. f 0 Ejemplo 2.1 Pr l función constnte f(x) = 2 del espcio C [ 1,1], se tiene que l norm f 1 = 4. 2 L región encerrd por el gráfico de f, ls rects x = 1, x = 1 y el eje X es un rectángulo de bse 2 y ltur 2, el áre de l región cotd es Por lo tnto f 1 = 4... Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1 (2003), pp

6 76 Arístides Arellán, Jesús González Ejemplo 2.2 Pr l función f(x) = x 2 del espcio C [0,2], se tiene que l norm f 1 = 1. 2 L región cotd por el gráfico de f, ls rects x = 0, x = 2 y el eje de ls bsciss es un triángulo de bse 1 y ltur 2, el áre de l región cotd es = 1. Por lo tnto f 1 = Ejemplo 2.3 Pr l función f(x) = 1 x 2 del espcio C [ 1,1], se tiene que l norm f 1 = π 2. 1 L región determind por el gráfico de l función f, ls rects x = 1, x = 1 y el eje es un semicírculo de rdio 1, el áre de l región cotd es f 1 = π Por lo tnto f 1 = π Ejemplo 2.4 En el espcio C [0,2], pr l función f(x) = { x, pr x en [0, 1]; x + 2, pr x en [1, 2]. 1 L región determind por el gráfico de l función f, ls rects x = 0, x = 2 y el eje Ox es un triángulo de Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1 (2003), pp

7 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus 77 bse 2 y ltur 1. El áre de l región cotd es 2 1 = 1. 2 Por lo tnto f 1 = 1... Ejemplo 2.5 Pr l función f(x) = sin (x) del espcio C [0,π], se tiene que l norm f 1 = π El áre de l región indicd viene dd por l integrl π 0 sin(x) dx Por lo tnto f 1 = 2... L norm 1 gener en C [,b] l siguiente métric: d 1 (f, g) = f g 1 = b f(x) g(x) dx L métric d 1 represent el áre de l región cotd por los gráficos de ls funciones f y g y por ls rects x = y x = b. 0 Ejemplo 2.6 Pr ls funciones f(x) = 2 y g(x) = 3 del espcio C [ 1,1], se tiene que l distci d 1 (f, g) = 6. Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1 (2003), pp

8 78 Arístides Arellán, Jesús González L región cotd por los gráficos de ls funciones f y g, es un rectángulo de bse 2 y ltur 1, el áre de l región es 2: d 1 (f, g) = Ejemplo 2.7 Pr un función f del espcio C [,b] y un número ξ > 0, l distnci d 1 (f, f + ξ) = ξ (b ). f + ξ Áre de l región: f b f(x) + ξ f(x) dx Luego, d 1 (f, f + ξ) = ξ (b ).. Ejemplo 2.8 Pr ls funciones f(x) = 1 x 2 y g(x) = 1 x 2 del espcio C [ 1,1], se tiene que l distnci d 1 (f, g) = π. 1 1 L región determind por los gráficos de ls dos funciones es un circulo de rdio 1, luego el áre es d 1 (f, g) = π Por lo tnto d 1 (f, g) = π... Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1 (2003), pp

9 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus 79 3 L norm f 2 = b f(x) 2 dx Otr norm del espcio de ls funciones continus C [,b] es l función: b f 2 = f(x) 2 dx Geometrí de l norm: Pr un función f del conjunto C [,b], l integrl b π f(x) 2 dx represent el volumen de l sólido que se gener l rotr l región determind por el gráfico de f, ls rects x = y x = b lrededor del eje de bsciss. L función v : C [,b] R, dd por: v(f) = b π f(x) 2 dx cumple con tods ls propieddes de un norm excepción de l propiedd: λx = λ x (1) Ahor, tomndo l ríz de l integrl: b v 2 (f) = π f(x) 2 dx Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1 (2003), pp

10 80 Arístides Arellán, Jesús González v 2 cumple con l propiedd 1 y ls restntes propieddes de un norm, sí v 2 es un norm del espcio C [,b]. Por otr prte, es conocido que si N es un norm de un espcio X, entonces α N(x) tmbién es un norm de X, pr α > 0, de lo nterior se obtiene que 2 es un norm del espcio de ls funciones continus C [,b], y est norm tiene l siguiente propiedd: pr cd función continu f C [,b], el número π f 2 2 es el volumen de l región cotd por el gráfico de f, el eje X y ls rects x =, x = b, cundo l girmos lrededor del eje de l bsciss. Ejemplo 3.1 Pr l función f(x) = r 2 x 2 del espcio C [ r,r], se tiene que l norm f 2 = 2r r. 3 Cundo girmos l región que determin est función f, lrededor del eje, se gener l esfer de rdio r. El volumen de un esfer de rdio r está ddo por el número 4πr3 3. Luego, π f 2 2 = 4πr3 3 Por lo tnto f 2 = 2r r Ejemplo 3.2 Pr r > 0 y l función constnte f(x) = r del espcio C [0,h], se tiene que l norm f 2 = r h. Cundo girmos l región lrededor del eje de ls bsciss se gener el cilindro circulr recto de rdio r y ltur h. El volumen del cilindro está ddo por el número πr 2 h. Luego, π f 2 2 = πr2 h Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1 (2003), pp

11 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus 81 Por lo tnto f 2 = r h.... Ejemplo 3.3 Pr l función constnte f(x) = x del espcio C [0,r], se tiene que l norm f 2 = r r. 3 [ Cundo girmos l región lrededor del eje de ls bsciss se gener el cono circulr recto de rdio r y ltur r. El volumen del cono está ddo por el número π r3 3. Luego, π f 2 2 = πr3 3 Luego, f 2 = r r L norm 2 gener l siguiente distnci en el espcio C [,b] : b d 2 (f, g) = f g 2 = f(x) g(x) dx De mner similr l norm, l métric cumple con l propiedd de que el número π d 2 (f, g) 2 es el volumen del sólido que se gener l girr l región determind por ls funciones f y g lrededor del eje de ls bsciss. Ejemplo 3.4 Pr ls funciones constntes f(x) = 1 y g(x) = 2 del espcio C [0,h], se tiene que l distnci d 2 (f, g) = 3h. [ Cundo girmos l región determind por ls funciones lrededor del eje de ls bsciss se gener el cono circulr recto hueco, de rdio externo Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1 (2003), pp

12 82 Arístides Arellán, Jesús González 2, rdio interno 1 y ltur h. El volumen de este cilindro viene ddo por el número 3πh. Luego, πd 2 2 (f, g) = 3πh Luego, d 2 (f, g) = 3h.... Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1 (2003), pp