Análisis Estructural Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal

Transcripción

1 Análisis Estructural - 9 Enunciado Dada la estructura de la Figura, idealizada mediante un marco con vigas rígidas y columnas inextensibles, sometida a una carga armónica lateral de 8 t, se pide: ) Determinar desplazamientos máximos en ambos niveles ) Momento flector, corte y esfuerzos normales máximos debidos a carga lateral en todos los elementos. tn EI=977 t m tn.9 m P(t)=8 t sin (3rad/s t) t (s) EI=977 t m.9 m 4.75 m Figura. Idealización estructural Procedimiento ) Determinación de modos y frecuencias naturales ) Determinación de coordenadas modales 3) Determinación de desplazamientos máximos 4) Determinación de diagramas para modos y 5) Determinación de momento flector, corte y esfuerzo normal máximos para columnas de planta baja. ) Determinación de frecuencias y modos naturales Considerando que las columnas y vigas son inextensibles, y que las vigas son infinitamente rígidas a flexión. 48 E I 4E I h 3 h 3 K := K = 4E I 4E I h 3 h t m

2 Análisis Estructural - 9 EI/h 3 EI/h 3 K = - 4EI/h 3 EI/h 3 EI/h 3 EI/h 3 EI/h 3 K = +48EI/h 3 EI/h 3 EI/h 3 K = + 4EI/h 3 EI/h 3 EI/h 3 K = - 4EI/h 3 Figura. Determinación de la matriz de rigidez condensada La matriz de masa, por otra parte, es obtenida dividiendo los pesos por la gravedad: t M := M = g.. t m En primera instancia, se determinan las frecuencias naturales resolviendo la ecuación característica que resulta de igualar el determinante de K-ω M a cero: ω ω +.589ω La soluciones de la ecuación bi-cuadrática son las frecuencias naturales del primer y segundo modo:

3 Análisis Estructural - 9 ω 8.88 rad ω := f := f =.879Hz T := T =.347s π f ω rad ω := f := f = 7.536Hz T := T =.33s π f Puede verse que el período fundamental es.347 s, mientras que el segundo modo tiene un período de.33 s. Las formas modales son obtenidas resolviendo el sistema singular que resulta de reemplazar las frecuencias naturales en las ecuaciones de equilibrio dinámico para vibraciones libres: Para el modo se plantea: ω. φ φ φ φ Dado que el sistema es singular, se establece el valor de una de las componentes del vector φ, para así obtener un sistema determinado. De esta manera, se elige la segunda componente (piso superior) con un valor unitario para obtener la forma modal del primer modo: φ := φ := φ =.68 La forma modal está graficada en la Figura 3. Modo fundamental. Segundo modo Figura 3. Modos naturales de vibración El segundo modo puede obtenerse en forma análoga al primero, utilizando la frecuencia circular correspondiente al segundo modo: φ ω φ. φ φ

4 Análisis Estructural - 9 Dado que el sistema es singular, se escoge el valor de una de la componente del piso superior con valor unitario: φ := φ := φ ) Determinación de coordenadas modales Modo La masa y rigidez generalizadas del modo resultan: =.68 ( ) M ii m:= φ i, m.55 s m t k := ω m k 57.7 m t i La amplitud del vector de cargas generalizado del modo resulta: 8 P := tonne Q := φt P Q = ( 4.944) tonne Dado que se trata de una carga armónica, la solución en régimen viene dada por: ( ) q() t γ Q sin Ω t θ k donde: 3 rad β := β =.659 γ := θ := atan ω ( β ) + ξ β ( ) ( ξ β) ( β ) 4 8 γ( β) θβ ( ) deg 6 β β γ =.569 θ = deg De esta manera: q( t) :=.55m sin( 3t

5 Análisis Estructural - 9 Modo La masa y rigidez generalizadas del modo resultan: ( ) M ii m:= φ i, m.55 s m t k := ω m k m t i La amplitud del vector de cargas generalizado del modo resulta: Q := φ T P Q = ( 8) tonne La solución en régimen viene dada por: ( ) q() t γ Q sin Ω t θ k donde: 3 rad β := β =.634 γ := θ := atan ω ( β ) + ξ β ( ) ( ξ β) ( ) β 4 8 γ( β) θβ ( ) deg 6 β β γ =.66 θ = 6.4deg De esta manera: ( ) q( t) :=.38m sin Ω t 6.4deg 3) Determinación de desplazamientos máximos Los desplazamientos se obtienen multiplicando las coordenadas modales por los respectivos modos:

6 Análisis Estructural - 9 Ut ( ) := q()φ t + q()φ t u( t) :=.55m.68 ( sin( 3t) cos ( 74 cos ( 3t) sin( 74 ) +.38m ( sin( 3 t) cos ( 6 cos ( 3 t) sin( 6 ) u( t) :=.4m sin( 3t).75m cos ( 3t) umax:= (.4m ) + (.75m ) umax=.9m u( t) :=.55m ( sin( 3t) cos ( 74 cos ( 3t) sin( 74 ) +.38m.68 ( sin( 3 t) cos ( 6 cos ( 3 t) sin( 6 ) u( t) :=.78m sin( 3t).3m cos ( 3t) umax:= (.78m ) + (.3m ) umax=.78m 4) Determinación de diagramas de esfuerzos para modos y Las fuerzas elásticas en los miembros pueden calcularse para cada modo utilizando la matriz de rigidez multiplicada por los desplazamientos en los nudos. Esto es numéricamente equivalente a obtener las fuerzas como el producto de la masa de cada grado de libertad por el cuadrado de la frecuencia circular del modo, por la amplitud modal y por la coordenada modal: ω.57 q M φ =.34 t Kq φ = t ω 9.64 q M φ = 5.94 t Kq φ = t La Figura 4 muestra las fuerzas elásticas para cada modo. Los diagramas de esfuerzo pueden ser directamente obtenidos para cada modo resolviendo la estructura mediante métodos ya vistos. er Modo.34 t do Modo t.57 t 9.67 t Figura 4. Fuerzas elásticas en primer y segundo modo Los diagramas de esfuerzos pueden ser determinados mediante alguno de los métodos ya vistos en el curso. Sin embargo, para el caso en consideración, los mismos pueden ser obtenidos considerando que se trata de columnas biempotradas en los distintos niveles. De esta manera, los diagramas de momento flector resultan triangulares, con valores opuestos en los extremos e iguales al producto del corte por la mitad de la altura (ver ra columna de matriz de rigidez de viga).

7 Análisis Estructural - 9 Los momentos flectores en las vigas resultan iguales a los momentos desequilibrados en los nudos con las columnas. Los esfuerzos normales en las columnas son los necesarios para equilibrar los momentos de extremo en las vigas. Por último, los esfuerzos de corte en las vigas resultan del equilibrio vertical de los distintos nudos, iguales a la diferencia de esfuerzos axiales en las columnas de los distintos pisos. Las reacciones para cada modo se obtienen de los diagramas determinados en el punto anterior, considerando el extremo inferior de las columnas..645 t.7 t.6 t.66 t.645 t Corte tm.386 tm.475 tm 3.86 tm Momento.475 tm.6 t.6 t.386 tm.34 t.57 t.46 t.46 t.645 t.645 t Normal.386 tm.386 tm.46 t.46 t Reacciones Figura 5. Diagramas resultantes y reacciones del primer modo

8 Análisis Estructural tm.837 t.97 t.84 t.693 t Corte.837 t.97 t 4.39 tm.645 tm.664 tm Momento.664 tm 4.39 tm t.84 t.84 t 9.67 t.57 t.57 t.837 t.837 t.664 tm.664 tm.57 t.57 t Normal Reacciones Figura 6. Diagramas resultantes y reacciones del segundo modo 6) Esfuerzos máximos en columnas Los esfuerzos finales pueden determinarse por superposición de los modos de la siguiente manera: Et ( ) := E sin 3 rad t 74 deg + E sin 3 rad t 6 deg Siendo E el esfuerzo (normal, corte o momento) en el modo y E el esfuerzo en el modo. Desarrollando el seno de la diferencia de ángulos, la expresión anterior puede reescribirse como:

9 Análisis Estructural - 9 Et ( ) := ( E cos ( 74 + E cos ( 6 ) sin 3 rad t De esta manera, el valor máximo instantáneo del esfuerzo resulta: ( E sin( 6 + E sin( 74 ) cos 3 rad t Emax:= ( E cos( 74 + E cos( 6 ) + ( E sin( 6 + E sin( 74 ) Reemplazando de los diagramas, los valores máximos de los esfuerzos en las bases de las columnas resultan: Nmax:= (.46 cos( cos ( 6 ) + (.57 sin( sin( 74 ) Nmax= 4.77 Mmax:= (.386 cos ( cos ( 6 ) + (.664 sin( sin( 74 ) Mmax =.596 Qmax:= (.645 cos ( cos ( 6 ) + (.837 sin( sin( 74 ) Qmax=.4