b 11 cm y la hipotenusa
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- David Peralta Murillo
- hace 7 años
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1 . RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS UNIDAD : Trigonometría II Resolver un triángulo es conocer la longitud de cada uno de sus lados y la medida de cada uno de sus ángulos. En el caso de triángulos rectángulos, ya sabemos la medida de uno de sus ángulos, 90º, el ángulo recto. Dado un triángulo rectángulo como el dela figura, se cumple que: 90º sen = b a, cos = c, a tg = b c Teorema de Pitágoras: b c a Ejemplo: En un triángulo rectángulo se conocen un cateto elementos. b cm y la hipotenusa a 0 cm. Halla los demás Por el teorema de Pitágoras podemos calcular el otro cateto: c 0 c 00 c c 79 6'7 Por la definición de seno, por ejemplo, tenemos que: sen = 0'55 0 (usando la calculadora) º '.5'' Por último, como 90º º '.5'' 90º 56º 7'58.75'' Ya tenemos por tanto nuestro triángulo resuelto: Ejemplo: En un triángulo rectángulo del que se conocen elementos. B 50º, y un cateto c 5 cm, calcula los demás Tenemos que: 50º C 90º C 0º b tg 50º b 5 tg 50º b = 7'88 cm cos 50º a a = ' cm a cos 50º UNIDAD : Trigonometría II
2 Ejemplo: Si queremos que una cinta transportadora de 5 metros eleve una carga hasta una altura de 5 metros, qué ángulo se deberá inclinar la cinta? Tenemos una situación como la siguiente: a = 5 es la longitud de la cinta transportadora b = 5 es la altura que queremos que eleve el material B, es lo que queremos calcular. Por la definición de seno, 5 sen B (usando la calculadora) B 6º 5'.6'' 5 Ese es el ángulo de inclinación. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS - Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos Se tiene que: sen = sen cos cos sen cos = cos cos - sen sen tg tg tg = - tg tg Ejemplo: Calcula las siguientes razones trigonométricas sin usar calculadora: a) sen 75º = sen 5º 0º = sen 5º cos 0º cos 5º sen 0º sen 75º = sen 75º = b) cos 75º = cos 5º 0º = cos 5º cos 0º - sen 5º sen 0º cos 75º = - cos 75º = tg 5º tg 0º tg 75º = tg 5º 0º = = = - tg 5 tg 0º c) tg 75º = racionalizamos tg 75º = tg 75º = tg 75º = 6 6 UNIDAD : Trigonometría II
3 - Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos Se tiene que: sen = sen cos - cos sen cos = cos cos + sen sen tg - tg tg = + tg tg Ejemplo: Calcula las siguientes razones trigonométricas sin usar calculadora: d) sen 5º = sen 5º 0º = sen 5º cos 0º - cos 5º sen 0º sen 5º = - sen 75º = e) f) cos 5º = cos 5º 0º = cos 5º cos 0º + sen 5º sen 0º cos 5º = + cos 5º = tg 5º - tg 0º tg 5º = tg 5º 0º = = = + tg 5 tg 0º tg 5º = racionalizamos tg 75º = tg 5º = tg 5º = 6 6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD - Razones trigonométricas del ángulo doble - Razones trigonométricas del ángulo mitad Se tiene que: sen = sen cos cos = cos - sen tg tg = - tg Se tiene que: cos sen = cos cos = cos tg = cos (Dependiendo del cuadrante donde se encuentre, tomaremos el signo + o el correspondiente) UNIDAD : Trigonometría II
4 Ejemplo: Sabiendo que tg =, y que II Cuadrante, calcula: a) sen b) cos c) tg d) sen Lo primero que vamos a hacer es calcular las razones correspondientes al ángulo. e) cos f) tg Como 5 6 tg cos cos cos 6 cos 5 6 cos cos (como es del º Cuadrante, el + no es válido) 5 5 Ahora como a) sen tg tg cos = sen sen = cos 5 sen = sen cos sen = 5 5 b) sen = 5 sen = cos = cos - sen cos = c) 6 6 tg tg = tg = - tg d) Como II Cuadrante I Cuadrante cos sen = (el - no es válido pues es del I Cuadrante) tg =- 7 cos 5 7 cos = 5, y con ello podemos elegir bien los signos. Todos son positivos sen = + sen = sen = sen = 0 sen = (racionalizamos) 0 0 sen = sen = 0 UNIDAD : Trigonometría II
5 e) cos cos = (el - no es válido pues es del I Cuadrante) cos = + cos = cos = cos = 0 cos = (racionalizamos) 0 f) 0 cos = 0 0 cos tg = (el - no es válido pues es del I Cuadrante) cos 0 cos = tg = + = 5 tg tg = 5 tg = NOTA: Podíamos haber calculado la tangente por la definición, de una manera más rápida quizás sen 0 tg = tg = 0 cos 0 0. TEOREMA DE LOS SENOS Y DEL COSENO tg = tg = Estos teoremas se usan para resolver triángulos que no sean rectángulos. Será necesario el uso de la calculadora. Teorema de los senos: En un triángulo cualquiera como el de la figura, se cumple que: a b c sen A sen B sen C O bien sen A sen B sen C a b c Se aplica cuando conocemos: - Dos ángulos y un lado - Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos A veces puede haber dos soluciones, pues entre 0º y 80º hay dos ángulos con el mismo seno, uno agudo y otro obtuso. 5 UNIDAD : Trigonometría II
6 Ejemplo: En un triángulo ABC Resuélvelo. conocemos la longitud del lado c 6 m y los ángulos A 8º y B º. Ejemplo: Resolver el triángulo donde conocemos Por el teorema de los senos, Hemos dibujado el triángulo, y ahora pasamos a resolverlo. a m, b 5 m y A BC80º 8º+º+ 80º Aplicamos ahora el teorema de los senos: a b 6 sen 8º sen º sen 55º C C 55º a 6 6 sen 8º a sen 8º sen 55º sen 55º a 76, m b 6 6 sen º b 5, 6 m b sen º sen 55º sen 55º B 0º sen A sen 0º sen C, obtenemos de la primera igualdad que: 5 c sen A sen 0º sen 0º sen A sen A 0, 5 5 soluciones, la solución A A B C 56º 5'8.56'' 0º C 80º A º'.'' A 56º 5'8.56'' 56º 5'8.56'' no es válida pues en ese caso De estas dos posibles, daría un ángulo C negativo y eso no es posible. C Por tanto A º'.'', de ahí obtenemos C : º'.'' 0º 80º C 6º 5'8.56'' Por último calculamos el lado que nos falta: c 8,05 m sen 0º sen 6º 5'8.56'' 5 sen 6º 5'8.56'' c 5 c sen 0º Teorema del coseno: En un triángulo cualquiera como el de la figura, se cumple que: a b c b c O bien cosa b a c a c cos B O bien c a b a b cos C Se aplica cuando conocemos: - Los tres lados - Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos - Dos lados y el ángulo que forman Se usan conjuntamente los dos teoremas para resolver triángulos. 6 UNIDAD : Trigonometría II
7 Ejemplo: Resuelve el triángulo de la figura: Aplicamos el teorema del coseno para calcular el lado b b a c a c B b cos cos08º b cos08º 56,98 m b Aplicamos ahora el teorema del seno para calcular el ángulo A sen A sen B sen A sen 08º 00 sen 08º sen A sen A 0,79 a b 00 56,98 56,98 es válida la solución del ángulo agudo, pues con la otra sumarian más de 80º Nos falta calcular C C 80º 08º 6º 9'6'' 5º0''' 6º 9'6'' A º0'''. Por tanto, A 6º 9'6'' Sólo NOTA: El cálculo del ángulo A se podía haber realizado con el teorema del coseno, así: a b c b c cos A 00 56, , cos A 56, cos A cos A 0,68 A 6º 9'5.7'' 56, el efecto de los redondeos Ejemplo: Resuelve el siguiente triángulo:. No sale exactamente lo mismo por Vamos a aplicar el teorema del coseno para calcular el ángulo B b a c a c cos B cos B cos B cos B 6 8 cos B 00 6 cos B B 8º57'8.09'' 8 Lo mismo para el ángulo A, aunque también lo podríamos hacer por el teorema del seno, pero tendríamos que tener en cuenta que entonces nos salen dos soluciones y una sería desechable. 7 UNIDAD : Trigonometría II
8 8 6 a b c b c cos A cos A cos A A 6º'.87'' 8 6 Y por último el ángulo C, aplicando que la suma de los tres ángulos ha de ser 80º C 80º A B C 80º 6º '.87'' 8º 57'8.09'' 0º 8'9.0'' C 5. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Se trata de ecuaciones donde aparecen las razones trigonométricas actuando sobre un ángulo que hay que calcular. El resultado se dará en grados o radianes según el enunciado del problema. Para resolverlas no hay un método concreto, se trata, pues, de ir aprendiendo con la práctica y los conocimientos adquiridos. Veamos mediante ejemplos como se realiza la resolución Ejemplo: Resuelve la ecuación trigonométrica: sen x 0 Solución: Preparamos la ecuación, sen x Dado que el enunciado no especifica nada daremos las soluciones en grados sexagesimales. Una solución como ya sabemos es, pero tiene más soluciones. Los ángulos suplementarios tienen el seno igual, por tanto otra solución es Podríamos terminar diciendo que las soluciones son dos soluciones. Los ángulos que difieren un nº entero de vueltas ( decir, los ángulos de x 60º x 0º x 60º x 0º k 60º, pero no sería del todo correcto, pues hay más ) tienen las mismas razones trigonométricas, es 0º 60º 60º,780º 60º 60º, 80º 0º 60º,80º 0º 60º, 00º 60º ( ) 60º,... también tienen por seno Por tanto, tiene infinitas soluciones, y la forma de expresarlo matemáticamente es: x 60º k 60º con k x 0º k 60º, donde k es el nº de vueltas que da el ángulo Este mismo ejemplo pero dando su solución en radianes sería: x k con k, que se suele poner de la siguiente forma: x k x k con k x k Ejemplo: Resuelve cos x Solución: Los ángulos cuyo coseno es añadir las vueltas, luego: y son menores que son: 7 (suma con ) y le hemos de 8 UNIDAD : Trigonometría II
9 x k con k 7 x k x k con k 7 x k x 0 k 6 con k x k x x k con k k Ejemplo: Resuelve cos x cos x + Solución: Lo primero que hacemos es convertir la ecuación trigonométrica en una ecuación donde sólo aparezcan el seno o el coseno de x cos x cos x cos x sen x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x cos x 0 cos x cos x 0 x 90º k 60º x 70º k 60º con k x 60º k 60º x 00º k 60º cos x cos x cos x 0 cos x 0 cos x 0 cos x Ejemplo: Resuelve el sistema: sen x sen y sen x sen y Solución: Resolvemos el sistema por Gauss sen x sen y sen x sen y sen x sen y (hacemos E +E ) sen x sen y sen x sen x sen y sen y Resolvemos ya cada ecuación: sen x sen x sen x x 90º k 60º con k sen y y 0º k 60º con k y 50º k 60º 9 UNIDAD : Trigonometría II
10 Ejemplo: Resuelve la ecuación: Solución: Operamos 5 cos x + sec x con 80º x 70º 5 cos x 5 cos x cos + cos 5 cos x x x cos x cos x cos x cos x 5 cos x 0 5 cos x cos x cos x 5 cos x cos x (no existe solución de aquí pues - cos x) Sólo nos queda: x cos x x 80º x 70º 0º k 60º 0º k 60º De todas estas posibles soluciones, solo hay una que cumple la condición dada por el problema. Luego, la solución es x 0º 0 UNIDAD : Trigonometría II
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