ESTIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN: CASO DE COSTA RICA

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1 BANCO CENTRAL DE COSTA RICA DIVISIÓN ECONÓMICA DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIONES ECONÓMICAS DIE-PI-06-95/R ESTIMACIÓN DE UNA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN: CASO DE COSTA RICA Elaborado por: Ana Georgina Azofeifa V. Marlene Villanueva S. Asistente: Rodney Pacheco P. Autorizado por: Hermógenes Arguedas T. MARZO, 1996

2 INDICE RESUMEN... 4 I. INTRODUCCION... 6 II. TEORIA DE LA PRODUCCION Y FUNCIONES DE PRODUCCION CONCEPTOS BASICOS Función de Producción Rendimientos a escala Cambio tecnológico BREVE DESARROLLO TEORICO DE ALGUNAS DE LAS PRINCIPALES FUNCIONES DE PRODUCCION Función de producción Cobb-Douglas Función de Producción con Elasticidad de Sustitución Constante (CES) Función de Producción Translog Función de Producción Trascendental Otras funciones de Producción Efecto de Variables Estado en las Funciones de Producción Justificación Teórica de la Importancia de Incorporar "Variables Estado" en la Función de Producción Agregada DESARROLLO DE LAS PRINCIPALES TEORIAS DEL CRECIMIENTO Generalidades Modelo Propuesto por Solow Hipótesis de Convergencia...31 III. CARACTERIZACION DE LAS VARIABLES UTILIZADAS EN LAS ESPECIFICACIONES E HIPOTESIS EVOLUCION HISTORICA DE LA ECONOMIA COSTARRICENSE DEFINICION DE LAS SERIES POR UTILIZAR Factores trabajo y capital Producción Variables Estado COMPORTAMIENTO HISTORICO DE LAS SERIES PIB, CAPITAL Y TRABAJO45

3 3.4. ANALISIS DEL MERCADO DE FACTORES PRODUCTIVOS (TRABAJO Y CAPITAL) Mercado de Trabajo Mercado del Factor Capital ANALISIS DE LA RELACION K T-1 /L, Q/L Y Q/K T PLANTEAMIENTO DE HIPOTESIS...57 IV. PRUEBAS ECONOMETRICAS Y ANALISIS DE RESULTADOS GENERALIDADES ASPECTOS METODOLOGICOS Y ANALISIS DE RESULTADOS DE LAS PRUEBAS DE INTEGRACION DE LAS VARIABLES RELEVANTES RESULTADOS PARA LA FUNCION COBB-DOUGLAS RESULTADOS ECONOMETRICOS PARA LAS FUNCIONES RESULTADOS PARA LA FUNCION TRANSLOGARITMICA RESULTADOS DE LA APLICACION DEL MODELO DE COEYMANS FUNCION DE PRODUCCION SELECCIONADA PARA COSTA RICA...72 V. CONSIDERACIONES FINALES...78 BIBLIOGRAFIA...82 ANEXOS...84

4 RESUMEN Este estudio tiene como objetivo aproximar una función de producción para Costa Rica, la cual brindará un mayor conocimiento de la contribución que hace cada uno de los factores a la producción total de la economía. Los objetivos específicos del proyecto son encontrar el tipo de rendimientos asociados con el proceso productivo y estimar la elasticidad de sustitución entre los factores. Los resultados obtenidos pueden ser una base para evaluar las características globales del crecimiento del país ya que permiten determinar el aporte de cada uno de los factores productivos a ese proceso de crecimiento. Como la estimación de una función de producción proporciona información de la productividad media de los factores, ésta también podría ser un elemento de juicio para comparar el desempeño sectorial de los recursos productivos, capital y trabajo, a la luz de los programas de ajuste estructural iniciados a mediados de los ochenta. También es una herramienta útil para evaluar las políticas de comercio internacional seguidas sobre el producto y el crecimiento. Al estimar la función de producción para Costa Rica se introdujo el enfoque de tecnología endógena de Mundlak, aplicado por J.E. Coeymans para el caso chileno en Dicho enfoque consiste en incorporar a la función de producción una serie de variables que indican el "estado" de la economía, las cuales influyen en las decisiones de los empresarios sobre qué, cómo y cuánto producir. Para su aplicación se estudiaron los principales rasgos de la evolución de nuestra economía. Estas variables "estado" no son propias de la función de producción pero sí influyen en el punto de producción donde se encuentra la economía. Se seleccionó una ecuación tipo Cobb-Douglas con rendimientos constantes a escala para representar el proceso productivo costarricense. Además se aplicó un modelo reducido (en términos de producto y capital por hora laborada), lo cual lo convierte en una base del modelo de crecimiento neoclásico de la economía costarricense. Se desea resaltar el efecto negativo del tipo de cambio efectivo real sobre la producción agregada como variable "estado", lo cual se puede deber a los siguientes aspectos: a. Liderazgo del sector no transables en el crecimiento del producto.

5 b. En un período de transición en donde se supone que se fomenta el crecimiento del sector transables, existen costos de ajuste y lenta movilidad de los recursos productivos que hacen que ante el traslado de los recursos de un sector a otro, haya un costo en términos de produto. Dada la necesidad de contar con una medida de subutilización de los factores de producción, se construyeron dos indicadores que aproximan esta medida, los cuales se incorporaron a la estimación de la función de producción. Las series respectivas se presentan en el anexo. Por otro lado, se comprobó que el factor trabajo muestra una mayor participación relativa en el producto con respecto al factor capital. Este aspecto está acorde con el supuesto de que el factor trabajo es más abundante. Para la selección de las especificaciones de funciones de producción, se aplicaron pruebas exhaustivas tanto teóricas como econométricas: a. Prueba de Lagrange que permite detectar problemas de autocorrelación. b. Pruebas de Arch y White, las cuales detectan la existencia de heterocedasticidad. c. Prueba de Ramsey, que permite determinar si la especificación es correcta. d. Pruebas para examinar la estabilidad de los coeficientes de regresión mediante los estadísticos Cusum y Cusum cuadrado. e. Prueba de Wald, para verificar restricciones en los coeficientes de regresión. f. Teóricamente se derivó una prueba para comprobar econométricamente que la función de producción seleccionada corresponde a una tipo Cobb- Douglas. Mediante este diagnóstico estadístico, se corroboró que las especificaciones seleccionadas cumplen con los supuestos econométricos y se consideran que los resultados son satisfactorios pese a la limitación de la información disponible. Por último, se desea destacar que de acuerdo a la literatura consultada, no existen antecedentes de estimaciones de funciones de producción a nivel agregado para Costa Rica, a excepción de un estudio realizado en el año 1971, por lo que este estudio constituye una contribución en el conocimiento de este tópico.

6 DIE-PI-06-95/R Página 6 I. INTRODUCCIÓN 1/ Este estudio constituye la etapa final de la investigación que persigue cuantificar y analizar la relación producto-insumo para Costa Rica. Las dos etapas previas tuvieron como objetivo diseñar una metodología para el cálculo de indicadores de productividad del factor capital y del factor trabajo cuyos resultados se presentaron en los documentos DIE-PI-01-90/R y DIE-PI respectivamente. La presente investigación tiene como propósito fundamental estimar una función de producción para la economía costarricense que permita mayor conocimiento de la contribución que tiene cada uno de los factores de producción: trabajo y capital, a la producción total de la economía, y los grados en que eventualmente se pueden llegar a sustituir o complementar. Dentro de los objetivos específicos se busca determinar el tipo de rendimientos a escala asociados con el proceso productivo, la elasticidad de sustitución de los factores de producción e identificar cuál es el factor de uso más intensivo en la producción agregada nacional. Otra aplicación de esta función de producción está relacionada con la implantación en Costa Rica de políticas de ajuste estructural, iniciadas a mediados de la década de los ochenta, para fortalecer el desarrollo del país mediante un uso más eficiente de los recursos productivos. En ellos se planteó la necesidad de contar con indicadores que permitan determinar los resultados desde el punto de vista de la productividad. La cuantificación de la función de producción para Costa Rica tiene también como objetivo formar parte de una serie de instrumentos que permitan dar un seguimiento a los programas de ajuste estructural. Dado que uno de los objetivos de estos programas es incrementar la eficiencia en el uso de los recursos productivos, una forma de evaluar los resultados sería mediante el análisis de la productividad de los factores. 1/ Agradecemos las observaciones y comentarios que realizaron a esta versión preliminar: Hermógenes Arguedas T. y Juan Muñoz G.; no obstante, cualquier error u omisión es responsabilidad nuestra.

7 DIE-PI-06-95/R Página 7 Así, algunos economistas costarricenses han planteado la necesidad en que el ajuste de los salarios se realice según el crecimiento de la productividad, de tal manera que se rompan los vínculos entre inflación y salarios a causa de que estos últimos dependen de la inflación pasada. Una función de producción proporciona información en forma agregada acerca de la productividad de cada uno de los factores y por tanto podría ser un instrumento por utilizar en la negociación de los incrementos salariales, aunque lo ideal es contar con estimaciones de funciones de producción sectoriales. Además, el estudio de las funciones de producción es de gran utilidad en el análisis del comercio internacional y del crecimiento económico. Una de las razones por lo que existe comercio entre países, es la presencia de distintas dotaciones de factores productivos que repercuten sobre los costos y los precios absolutos y relativos de esos países. Si se emplea un modelo reducido donde las variables que se incorporan en la función de producción se expresan en unidades de trabajo, se estaría frente a un modelo de crecimiento neoclásico. Por tanto, la función de producción sirve de base para determinar qué parte del crecimiento del producto se debe al crecimiento en la cantidad de factores productivos en la economía y qué parte corresponde al progreso tecnológico, ya sea endógeno o exógeno. Por último, la función de producción puede ser utilizada como base inicial para estimar el Producto Potencial 2/. Es importante destacar la experiencia adquirida en el estudio del comportamiento de las variables que intervienen en el proceso productivo. Para estimar el producto potencial, la base de datos utilizada en esta investigación podría adaptarse, realizando algunos ajustes a las variables que se consideran necesarias para hacer dicha estimación, tal es el caso del acervo de capital que podría reemplazarse por una serie de capital productivo (eliminar del acervo total, la parte correspondiente a la inversión habitacional). Otro ejemplo es incorporar la tasa de desempleo como medida de subutilización del factor trabajo. Es necesario mencionar que pese a la limitación de información -ya que se cuenta con pocas observaciones de las variables empleo y capital- se hicieron esfuerzos para estimar una función de producción para Costa Rica, debido a que en varias oportunidades economistas del ámbito nacional, entre ellos miembros de la Academia de Centroamérica y expresidentes del Banco Central, han manifestado su inquietud por conocer sobre este tema, dado lo poco que se ha investigado este tópico en el país. Especialmente, el enfoque planteado en este estudio permitirá observar el efecto de ciertas políticas económicas sobre el crecimiento del producto. Conforme se cuente con 2/ Proyecto compartido con el Departamento de Contabilidad Social, el cual se encuentra en proceso de elaboración.

8 DIE-PI-06-95/R Página 8 un período más amplio, se puede retomar este tópico y mejorar las estimaciones de la función que surjan de este documento, así por ejemplo agregar otras variables explicativas relevantes, las cuales no fue posible incorporar debido a los pocos grados de libertad. Esta investigación está estructurada en cinco capítulos. En el segundo se exponen los principales conceptos de la teoría sobre funciones de producción, un resumen de las teorías de crecimiento económico, así como un breve desarrollo teórico de algunas de las principales funciones de producción agregadas, los supuestos bajo las cuales se formulan, las propiedades de sus parámetros y las limitaciones prácticas que poseen. Además se analiza el efecto de las variables estado sobre la función de producción. El tercer capítulo contiene un breve desarrollo de la evolución histórica de la economía costarricense, así como una caracterización de las variables utilizadas en las especificaciones, el análisis de las relaciones capital/trabajo, producto/capital y producto/trabajo. El último punto de este capítulo se refiere al planteamiento de hipótesis. El cuarto presenta algunos aspectos metodológicos y el análisis de resultados de la aplicación de las pruebas de integración a algunas variables macroeconómicas relevantes en las especificaciones de funciones de producción. Además contiene la evaluación de los resultados de las pruebas econométricas y el análisis de la función de producción seleccionada. Finalmente se presenta un capítulo de consideraciones finales.

9 DIE-PI-06-95/R Página 9 II. TEORÍA DE LA PRODUCCIÓN Y FUNCIONES DE PRODUCCION 2.1. CONCEPTOS BÁSICOS Función de Producción En este capítulo, se exponen los conceptos básicos necesarios para el estudio de la teoría de la producción, así como un bosquejo de los principales avances obtenidos en el desarrollo de esta teoría, específicamente en la formulación de funciones de producción agregada. Según la teoría microeconómica una función de producción se define como la relación técnica que transforma los factores en producto. Representa la cantidad máxima de producción que se puede obtener aplicando eficientemente una cantidad dada de factores. Una función de producción puede ser representada matemáticamente como: Q = F(K, L) (1) en donde Q representa el nivel de producción, K el acervo de capital, L el nivel de empleo o trabajo. En especificaciones más desarrolladas se pueden incluir otros factores productivos, como la tierra, la materia prima y la capacidad empresarial. También se puede incorporar un parámetro para estimar el cambio tecnológico. En un contexto macroeconómico de una economía en particular, la producción (Q) puede representarse con el producto interno bruto o bien el producto nacional bruto, y los recursos productivos se pueden aproximar con el acervo de capital (K) y la fuerza laboral (L). En este caso la función se denominaría función de producción agregada.

10 DIE-PI-06-95/R Página 10 Una función de producción se puede representar gráficamente en un plano de dos o tres dimensiones en el espacio de insumos. En este espacio, con una combinación eficiente de factores, es posible producir una cantidad dada de producto. Sin embargo, ésta (la altura de la curva), se puede producir con otras posibles combinaciones de factores. En el análisis de isocuantas, se observa que en los procesos de producción que utilizan los recursos en proporciones variables, es posible sustituir un insumo por otro de forma que se puede producir la misma cantidad. Un concepto que representa esta relación es la Tasa Marginal de Sustitución (TMST), que mide en cuántas unidades se debe reducir el uso de un factor productivo al aumentar en una unidad el otro insumo, de forma que el nivel de producción se mantenga constante. Este concepto también puede expresarse como la razón de las productividades marginales de los insumos. TMST = DK, DL = L K PMg PMg L K (2) Según el grado de sustitución de los factores productivos, las funciones de producción pueden asumir una de las siguientes formas: a. Coeficientes fijos: la cual no permite la sustitución de los factores en términos de su relación capital-trabajo (K/L), pero sí admite que alguno de estos factores se utilice en una cantidad mayor aunque se seguirá produciendo lo mismo. En este caso, la función de producción es de la forma: ( K L ) Q min K L = b b, (3) donde ß i = coeficiente técnico del factor i, y dado que i= K,L b b (4) Q = * K = * L K L entonces K L = b b L K (5)

11 DIE-PI-06-95/R Página 11 b. Coeficientes variables o continuos: permite la sustitución capital-trabajo, en el proceso de producción, en cualquier proporción. Una propiedad importante de las funciones de producción es su grado de homogeneidad; por medio del cual es posible conocer el tipo de rendimientos a escala que poseen. Se dice que una función de producción es homogénea de grado n si cuando cada insumo es multiplicado por algún número l, el producto resultante corresponde a l n veces el producto original, esto es: n (, ) (, ) n F lk ll = l F K L = l Q (6) donde el exponente n es constante y denota el grado de homogeneidad y l es cualquier número real positivo. En relación con los factores productivos, es importante distinguir cuándo un factor puede ser tratado como fijo o variable. Frecuentemente se expresa que un recurso se categoriza como variable cuando se puede alterar su nivel de utilización. Por su parte, un recurso se clasifica como fijo cuando no se puede cambiar o alterar su cantidad empleada en un proceso productivo. La distinción entre insumos fijos y variables está relacionada con los conceptos de corto y largo plazo, de forma que en el corto plazo existen factores que se utilizan en una cantidad fija y otros que se utilizan en cantidad variable en la producción, mientras que en el largo plazo todos los factores son variables. Cuando existe un factor fijo y otro variable es importante hablar de la ley de rendimientos decrecientes, que se refiere básicamente al fenómeno de que, a partir de cierto nivel de producción, al agregar unidades adicionales de un insumo variable a una cantidad dada de insumos fijos, cada unidad de incremento del insumo variable produce cada vez menos. Esta ley se cumple sólo en el corto plazo y se debe a la saturación en el proceso productivo del factor fijo Rendimientos a escala Este concepto describe la reacción en la producción ante un aumento de todos los insumos utilizados. Si el producto aumenta en la misma proporción que los insumos, se dice que hay rendimientos constantes a escala. Si el producto aumenta en una proporción mayor que los factores entonces se tienen rendimientos crecientes a escala o economías de escala y si por el contrario la producción se incrementa en una proporción menor que los insumos entonces la función de producción se caracteriza por rendimientos decrecientes a escala o deseconomías de escala.

12 DIE-PI-06-95/R Página 12 El concepto de rendimiento se puede explicar mediante funciones de producción homogéneas como las que se especificaron anteriormente en la ecuación (6): si ambos insumos se aumentan por el factor l, el producto aumenta por el término l n. Por tanto los rendimientos son crecientes si n > 1, constantes si n = 1 y decrecientes si n<1. Otro concepto derivado de la teoría neoclásica es el coeficiente de elasticidad de sustitución. Este concepto lo introdujo Hicks en 1932 y "mide la reacción relativa de la relación capital-trabajo ante cambios porcentuales dados en la tasa marginal de sustitución técnica del capital por el trabajo" 3/. Se denota como: s = D D( K / L) TMST KL * TMST ( K / L) KL (7) La elasticidad de sustitución (s), bajo condiciones de competencia perfecta toma una forma particular. En ella, los factores productivos son utilizados de acuerdo con sus respectivas productividades marginales, de forma que la remuneración a cada factor es igual a sus respectivas productividades marginales. Q W= PMg L = L Si se definen las siguientes dos razones: Q R = PMg K = K (8) k = K w= W (9) L R donde k es la razón capital-trabajo, que mide la proporción en que se combinan los factores capital y trabajo para obtener cierto nivel de producción, y w es la razón de la remuneración trabajo-capital, el coeficiente elasticidad de sustitución toma la siguiente forma: s = k w Ł w łł k ł Esta relación se interpreta como el cambio porcentual en la razón capital-trabajo debido a cambios porcentuales en las remuneraciones de los factores de producción. (10) 3/ Ferguson, C.E. y Gould, J.P. (1978), página 393.

13 DIE-PI-06-95/R Página 13 Con los conceptos desarrollados anteriormente, la literatura referida a funciones de producción define una función de producción neoclásica como aquella que cumple con las siguientes condiciones: a. F (K,L) 0 para K 0, L 0, lo cual implica que el producto es positivo. b. Q / L > 0 y Q / K > 0, denota la primera derivada parcial. Lo anterior implica que las productividades marginales de cada factor son positivas. c. Las derivadas parciales de segundo orden con respecto a L y K existen, son continuas y menores que cero, en otras palabras, la producción que se obtiene de ellas es máxima. d. F (0,0) = 0, es decir, sin recursos no es posible obtener la producción. e. La función Q es homogénea de grado uno, esto es: (, ) (, ) F lk ll = lf K L = lq (11) Cambio tecnológico Es importante mencionar lo que se entiende por tecnología y cambio tecnológico. Naranjo (1971), expresa que la "tecnología es el conjunto de conocimientos utilizados por las empresas productoras. Consiste en el conocimiento y la aplicación de los principios que rigen a los fenómenos físicos y sociales, al proceso productivo y a las operaciones diarias relacionadas con la producción". Además, afirma que "una función de producción representa, para un nivel dado de tecnología, el producto máximo que puede ser obtenido utilizando cierta cantidad de insumos" 4/. 4/ Naranjo, Fernando (1971), páginas 5 y 6.

14 DIE-PI-06-95/R Página 14 El cambio tecnológico se define como un elemento central en el crecimiento económico, tal que existe la capacidad de obtener más producto sin cambiar las cantidades de trabajo y capital en el proceso de producción. Los modelos más simples de crecimiento económico asumen que el progreso tecnológico es "como caído del cielo". Sin embargo, en los modelos más sofisticados se asume que el cambio tecnológico viene incluido en el nuevo acervo de capital 5/. Por ejemplo, Naranjo caracteriza al cambio tecnológico como el avance en la tecnología utilizada para producir, el cual se presenta en forma de mejoras a uno o más insumos utilizados en el proceso productivo o en las mejoras en el método de producción. Generalmente, el cambio tecnológico se clasifica como cambio técnico ahorrador de trabajo, de capital y cambio técnico neutral. El primero se define como el "cambio en la función de producción de manera que el mismo nivel de producción puede obtenerse usando menos capital y trabajo; pero la reducción de porcentaje de capital es, sin embargo, menor" 6/. El segundo se define igual excepto que la reducción del porcentaje de trabajo es menor. Por su parte, el cambio técnico neutral es el cambio en función de producción de manera que la misma producción puede ser producida con reducciones iguales tanto en el insumo de capital como en el de trabajo; la proporción de los productos físicos marginales permanece igual" 7/. Usualmente, al estimar una función de producción con datos de corte transversal se supone que la tecnología es dada; sin embargo, al estimarla a partir de datos de distintos períodos productivos, el cambio tecnológico toma importancia. En la práctica, resulta difícil encontrar medidas directas que capturen el cambio de la tecnología a lo largo del tiempo. Algunas veces ésta se incorpora a la función de producción como una variable de tiempo, sin embargo, no es la medida más adecuada. 5/ Traducción libre de "The Mit Dictionary of Modern Economics", / Idem nota 4/. 7/ Le Roy Miller, R. (1980), página 265.

15 DIE-PI-06-95/R Página BREVE DESARROLLO TEORICO DE ALGUNAS DE LAS PRINCIPALES FUNCIONES DE PRODUCCION Función de producción Cobb-Douglas Esta es la función de producción más renombrada que se ha utilizado para representar procesos productivos. Fue utilizada por primera vez en un estudio empírico que trataba sobre la comparación de la productividad del trabajo y el capital en Estados Unidos 8/. La función de producción original se asumió homogénea de grado 1 en ambos factores, o con rendimientos constantes a escala. Su principal limitación es que no representa las tres etapas de la función de producción neoclásica. La especificación original fue de la siguiente forma: a Q = A* L K 1-a (12) en donde a es positivo y menor que 1 y corresponde a la elasticidad del factor trabajo (L). Por su parte la elasticidad del factor capital (K) corresponde al complemento 1-a, dada la existencia de los rendimientos constantes a escala. El parámetro A es una constante. Entre las principales características deseables que posee la función Cobb- Douglas estan el ser homogénea de grado 1, exhibir rendimientos marginales decrecientes para cada factor productivo y su facilidad de estimación. La forma general de la función Cobb-Douglas puede escribirse como: (, ) a Q = F L K = A* L K b (13) de forma que puede exhibir diferentes rendimientos a escala: a + b a b ( l l ) l ( ) l n Q = F L K = A * L K, (14) 8/ Véase Cobb, Ch. W; and Douglas P. (1928).

16 DIE-PI-06-95/R Página 16 Esto significa que si a +b >1, los rendimientos son crecientes, mientras que si a +b <1, estos rendimientos son decrecientes; y si a +b =1 existen rendimientos constantes a escala. Para estimar esta función se puede utilizar la transformación logarítmica: LogQ = LogA + a LogL + b LogK (15) La forma del mapa de isocuantas para esta función se obtiene a partir de la ecuación (12). Si fijamos la producción en algún nivel constante, y resolvemos para el capital en términos de trabajo se obtienen curvas con pendiente negativa y convexas con respecto al origen: Kb Q0 = K = Ø a AL 1 Q øb ºŒ AL a ßœ a K = Q b 0 A b L 0 (16) b (17) Las productividades marginales de cada factor, calculadas por la derivada parcial del producto respecto a cada factor son: Q a b a a L = -1 AL K = L Q Q a b-1 b = bal K = K K Q (18) las cuales son siempre decrecientes. Por su parte, la tasa marginal de sustitución entre el trabajo y el capital es igual al negativo del cociente de sus respectivas productividades marginales: PMgL K TMSTL, K = - = - a (19) PMg b L K

17 DIE-PI-06-95/R Página Función de Producción con Elasticidad de Sustitución Constante (CES) La función de producción con elasticidad de sustitución constante entre los factores de producción surgió como una necesidad de contar con un tipo de función que permita contrastar la sustitución entre factores productivos 9/. Entre sus rasgos principales, además del mencionado anteriormente, se encuentra el de que para un conjunto dado de parámetros, la elasticidad de sustitución puede ser la misma en cualquier punto a lo largo de una isocuanta, sin importar cual sea la relación en que son utilizados los insumos. Además, esta función se caracteriza por ser linealmente homogénea, sin embargo, se puede modificar para que muestre cualquier grado de homogeneidad, tal y como se define más adelante. La función puede expresarse como: - r - r [ + ( - ) ] Q = A K 1 L r d d (20) donde: K y L representan el factor capital y trabajo respectivamente, A es el parámetro de eficiencia y es mayor que cero, d el parámetro de distribución de los factores, que se encuentra entre cero y uno y r es el parámetro de sustitución. Puede verificarse fácilmente que la ecuación (20) es homogénea de grado uno, ya que al variar los factores K y L en la proporción l, la producción también varía en esa misma proporción: r [ ( ) ( ) ( ) ] r d l + 1- d l = dl + ( 1- ) A - - K L A [ K d l L ] A r r r r r r (21) r [ l ( d) + l ( 1- d) ] = A d + ( 1- d) - 1 [ ] r -r -r -r -r l -r -r (22) K L K L Por su parte la productividad marginal del factor trabajo toma la siguiente forma: simplificando: PMg L = Ø ºŒ d K r + A ( 1 - d ) L r ø ßœ 1 - d * L Ł r ł ( + r ) (23) 9/ Segura, J. (1969), página 43.

18 DIE-PI-06-95/R Página 18 L r - Ł ł - ( 1+ ) [ ( 1 r r r ) ] ( 1 ) PMg = A d K + - d L - d L (24) y la del factor capital: PMg K = Ø ºŒ d K r + 1+ Ł r ł ( 1 - d ) ( 1+ r ) L r A d ø ßœ 1 * K (25) K -(1+ 1 -r -r ) -(1+ r ) r PMg = A [ d K + (1 - d ) L ] d K (26) estas productividades marginales son siempre positivas. L TMST L, K = - PMg PMgk = - 1- d ( K d L ) 1+ r (27) Por definición, la tasa marginal de sustitución del trabajo por el capital está dada por el negativo del cociente de las productividades marginales de los factores productivos, de forma que sustituyendo (24) y (26) se obtiene: esta tasa es decreciente y convexa si r >-1 y su correspondiente elasticidad de sustitución es: s = 1 1+ r (28) donde el parámetro r está claramente relacionado con la elasticidad de sustitución ya que puede expresarse como: r s = 1- (29) s

19 DIE-PI-06-95/R Página 19 La forma del mapa de isocuantas depende tanto del valor que tome el parámetro de sustitución (r), como el de elasticidad de sustitución (s). Debido a esto se pueden presentar los siguientes casos: caso 1: r fi, s fi 0, la función de producción se transforma en una de coeficientes constantes o proporciones fijas. No existe la posibilidad de sustitución entre los factores, sino que se combinan como complementos perfectos y la forma de las isocuantas forman ángulos rectos. caso 2: r > 0, 0 < s < 1; existe sustitución entre los factores, aunque esta no se da tan fácilmente. Las isocuantas son asintóticas a algún valor de capital (K) y de trabajo (L) en vez de hacia los ejes. caso 3: r = 0, s = 1, para este caso especial la función de producción se convierte en la función Cobb-Douglas. caso 4: -1 < r < 0, s > 1, existe sustitución de los factores, las isocuantas cortan a los ejes de los factores, lo cual sugiere que es posible la producción con la ausencia de uno de los factores productivos. caso 5: r fi 0, s fi ; en el límite las isocuantas adoptan la forma de una línea recta, indicando sustitución perfecta entre los factores. La función de producción CES puede ser generalizada de manera que admita cualquier grado de homogeneidad y puede expresarse como 10/ : - -p -v / r r Q = A [ d K + (1 - d) L ] (30) donde V muestra el grado de homogeneidad y el resto de los parámetros son los mismos de la ecuación (20). 10/ Véase Henderson, J.M. y Quant, R.E. (1975), página 144.

20 DIE-PI-06-95/R Página Función de Producción Translog Esta función de producción se ha desarrollado para la estimación de las elasticidades de sustitución entre pares de insumos complementarios. Su especificación matemática toma la siguiente forma: Q = L ß gg 1 ß2 2 a K e lnl * lnk 1 lnq = lna + ß ln L + ß ln K + glnl * lnk (31) Esta función es similar a la Cobb-Douglas, en el sentido de que nunca alcanza un máximo en la producción, sin embargo, se diferencia en que ésta no siempre genera elasticidades de sustitución unitarias. La forma de las isocuantas de esta clase de funciones depende del parámetro γ, el cual representa el porcentaje de participación conjunta de los factores de producción. Si γ=0, la función genera isocuantas similares a la Cobb-Douglas, la tasa marginal de sustitución podría ser una función lineal de la relación de insumos (K/L), y la elasticidad de sustitución sería unitaria. En tanto γ se incrementa, las isocuantas presentan un arqueamiento hacia adentro, si el parámetro γ se incrementa más, éstas forman un ángulo recto, y la elasticidad de sustitución se vuelve cada vez menor. El producto marginal para el factor L es: 1 g PMg = [ + K( )]Q L ß L 2 y la correspondiente tasa marginal de sustitución: ln (32) 1 L L TMST L, K = - PMg PMg K ß 1 = - [ + K ( )] 1 g ln L 2 L ß 2 g 1 [ K + 2 lnl ( K )] (33)

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