TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c)

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1 TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Torma d Roll Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), y si f (, ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu Intrprtación gométrica: ist un punto al mnos d s intrvalo, n l qu la tangnt a la curva s horizontal a c b a c b a c b En s punto c (n alguno d llos si hay varios) s da l máimo o l mínimo d f () n s intrvalo La función f ( ) vrifica las hipótsis dl torma d Roll n l intrvalo [, ], pus: s continua y drivabl n todo R; n particular n l intrvalo [, ] f ( ) 4 y f ( ) 4 Esto s, toma l mismo valor n los trmos dl intrvalo En conscuncia, ist un punto c (, ) n l qu su drivada val : f ( ) / Est s l valor c qu asgura l torma La función f ( ) no satisfac las condicions dl torma d Roll n l intrvalo [, ], pus no s drivabl n l punto d s intrvalo Torma dl valor mdio (Lagrang) Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), ntoncs ist algún punto c (a, b) tal f ( qu b a Intrprtación gométrica: ist un punto prtncint al intrvalo n l qu la tangnt a f () s paralla a la scant qu pasa por los puntos d abscisa a y b D otro modo: ist un punto dl intrvalo n l qu la tasa d variación instantána coincid con la tasa d variación mdia d todo l intrvalo Intrprtación física: si s raliza un traycto a vlocidad mdia v, n algún instant d s traycto s ha llvado sa vlocidad v

2 Ejmplo: La función f ( ) 3 6 s continua y drivabl n l intrvalo [, ] c, < c < f () f ( ) tal qu ( ) En fcto: ( ) 3 3 6, El valor qu cumpl l torma s, l númro qu prtnc a (, ) Divrsas formas d prsión dl torma f ( D f ( ( b b a Si s toma (a, b) pud scribirs: f ( ) f ( (, con c (a, ) Si s hac b a + h, s tndrá: f ( a h) f ( h, c (a, a + h) Si s toma a + h, s tndrá: f ( ) f ( h f ( a h), < <, c (a, ) Ejmplo: Aplicamos l torma d los incrmntos finitos al cálculo aproimado d Si s toma f ( ), para, a y h, s tin: f ( ) f () f ( ), pus f ( ) Como f ( ), 5, l valor aproimado pdido srá: +,5, NOTAS: El valor obtnido con la calculadora s:,995 La aproimación s muy buna Pud obsrvars qu aplicando la difrncial (véas) s llga al mismo rsultado Algunas conscuncias más A partir d cualquira d stas prsions pudn dmostrars fácilmnt algunas propidads d uso frcunt Entr llas: Si una función f () s tal qu f ( ) para todo d un intrvalo, ntoncs f () s constant n l intrvalo Si f ( ), d f ( ) f ( ( f ( ) f ( ct Si f () y g () vrifican qu f ( ) g ( ) para todo d un intrvalo, ntoncs f () y g () s difrncian n una constant (Pus f g cumpl qu f g ) 3 Si una función f () s tal qu f ( ) para todo d un intrvalo, ntoncs f () s crcint n l intrvalo Si f ( ), d f ( a h) f ( h f ( a h) f ( Análogamnt, si f ( ) para todo d un intrvalo, ntoncs f () s dcrcint n l intrvalo

3 3 Torma d Cauchy Si f () y g () son continuas n [a, b] y drivabls n (a, b), y si g( b) g( y f () y g () no son cros a la vz, ntoncs, ist un punto c (a, b) tal qu f ( g( b) g( Otra forma dl torma: Con las mismas hipótsis, si tomamos a < < b, ist un punto c (a, ) tal qu f ( ) f ( f ( ) f ( g ( f ( ) g( g( ) g( g ( APLICACIÓN AL CÁLCULO DE LÍMITES REGLA DE L HÔPITAL Indtrminacions: En l cálculo d its pudn aparcr sit prsions (formas) indtrminadas Son: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Las dos primras pudn rsolvrs aplicando la rgla d L Hôpital; las otras cinco formas habrá qu transformarlas prviamnt para podr aplicar dicha rgla g ( Rgla d L Hôpital para rsolvr la indtrminación Supongamos qu f ( ) y g( ), sindo g() n un ntorno d a, ntoncs, a a f ( ) f ( ) f ( ) si ist, s cumpl qu a g ( ) a g( ) a g ( ) (Esto s válido si a s sustituy por a +, a, +, o ) NOTA: La rgla dic qu l it d un cocint s igual al it dl cocint d las drivadas ; y NO al it d la drivada dl cocint sn aplicando la rgla d L Hôpital (L H) s tin: sn cos sn cos sn ERROR: (?) OJO: no s hac la drivada dl cocint 3tag tag / 4 tag 5 tag 3 (rcurda qu tag(/4) ) Aplicando L H s tin: / 4 3tag tag tag 5tag 3 / 4 6tag ( tag 4tag ( tag ) tag ) 5( tag 5 )

4 4 Rgla d L Hôpital para rsolvr la indtrminación f ( ) Si f () y g(), ntoncs, si ist, s cumpl qu a a a g ( ) f ( ) f ( ) a g( ) a g ( ) (Esto s válido si a s sustituy por a +, a, +, o ) ln / Rsolución d las formas [ ] y [ ] Para rsolvrlas s rducn, oprando prviamnt, a alguna d las formas o ( cos )cot ag (Rcurda qu cotag /tag / ) Sustituyndo cotag por /tag s tin: cos sn ( cos )cot ag ( ) L H tag tag [ ] Hacindo la rsta indicada s tin: ( ) (L H) (L H)

5 5 Rsolución d las formas [ ], [ ] y [ ] Si al intntar calcular f () a f ( ) aparc alguna d stas formas (sto s: f () a a, o f ( ) ) s calculará, si s pud, l it ln( f ( )) a a, o Con sto, la indtrminación inicial s transforma n otra dl tipo [ ], qu s rsolvrá como s ha indicado ants Una vz rsulto, si ln( f ( )) L, s tin qu l it buscado val a a L f ( ) NOTAS: Los its cumpln la siguint propidad: ln f ( ) ln f ( ) a a Rcuérds la dfinición d logaritmo, ln A L A L ; y la propidad: ln(b p ) p ln B (Aunqu rsult matmáticamnt chirriant, sta propidad justifica l paso d las formas [ ], [ ] y [ ] a la forma [ ] Véas un caso: ln[ ] L [ ]) Aplicando logaritmos: ln ln ln (transformando) (L H) Por tanto, NOTA: Est rsultado s toma como dfinición d Aplicando logaritmos: ln ln ( ) ln / (transformando) ( ) ( ) / L H / Por tanto, / ln 4 Aplicando logaritmos: / ln ln 4 4 ln 4 ln ln ln (L H) /( 4) 4 / 4 (L H) / ln Por tanto, 4

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