1.- Primitiva de una función ( )

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1 1.- Primitiva de una función ( ) 1.1. Definición. Sea f : I R. Se dice que F : I R es una primitiva de f si F es derivable y F = f en I. En ese caso escribimos F (x) = f(x)dx Si F es una primitiva de f en I, entonces f admite como primitivas a las funciones F + K, K R, y sólo a ellas. En efecto: a) Si F es primitiva de f, (F + K) = F = f. b) Si G = f, entonces (G F ) = G F = 0 = G F = K = G = F + K Condición necesaria para la existencia de primitiva. En La derivada como límite de derivadas (CI1, tema IV) se demostró lo siguiente: Sea f : I R, definida en I = [a, a+δ). Si f es continua en I, derivable en I \{a} y lím f (x), entonces f es derivable en a + y se cumple: f (a + ) = lím f (x) x a + x a + (análogamente para el caso correspondiente con a ). Esta es una condición suficiente. Si existe límite, f es derivable. Pero puede ocurrir que no exista límite y f sea derivable. Sea f derivable en I. Entonces f (x 0 ) x 0 I, luego f (x + 0 ) = f (x 0 ) = f (x 0 ). En este caso existen dos opciones: - x 0 I existen los límites laterales de f (x), que deben coincidir con f (x 0 ) por el teorema anterior, y la función f es continua en I. - En algún punto de I no existe alguno de los límites laterales, con lo que f tiene en dicho punto una discontinuidad de 2 a especie. Así pues, si una función es derivable, su derivada puede ser discontinua en algún punto, porque no exista algún límite lateral; pero no puede tener discontinuidades de salto (límites laterales distintos). Por lo tanto, que una función sea discontinua no impide que tenga primitiva, pero si f tiene una discontinuidad de salto en un punto a I, no tiene primitiva en I. { x 2 sen 1 Ejemplo 1: Sea la función f(x) = x, x 0 0, x = 0. Calculando la derivada, obtenemos f (x) = 2x sen x 1 cos x 1, x ( 0 y f (0) = 0. Esta función f no es continua en x = 0, pues: lím f (x) = lím cos 1 ). x 0 x 0 x A pesar de ello, tiene primitiva (f), continua y derivable en todo R. 0, 0 x < 1 Ejemplo 2: Compruébese que la función continua F (x) = x 1, 1 x < 2 2x 3, 2 x < 3 es primitiva de y = E(x) en los intervalos (0,1),(1,2) y (2,3). Sin embargo, F no es derivable en los puntos de discontinuidad de E(x).

2 Condiciones suficientes de integrabilidad a) Toda función monótona en [a, b] es integrable en [a, b]. Supongamos que f es monótona creciente y f(b) > f(a) (si f(b) = f(a) la función es constante y la demostración de su integrabilidad resulta trivial). Entonces, en cada subintervalo [x i 1, x i ], m i = inf f(x) = f(x i 1 ), M i = sup f(x) = f(x i ). Elegido ε > 0, tomamos una partición / x i < ε, con lo que f(b) f(a) ε S(P ) s(p ) = (M i m i ) x i < (M i m i ) = f(b) f(a) ε f(b) f(a) [f(x n) f(x n 1 ) + f(x n 1 ) f(x n 2 ) + + f(x 1 ) f(x 0 )] = ε. con lo que se cumple la condición de integrabilidad. b) Toda función continua en [a, b] es integrable en [a, b]. Si f es continua en [a, b], será uniformemente continua en [a, b], por lo que dado un ε > 0 cualquiera, existirá un δ tal que, para x, x [a, b] se cumple x x < δ = f(x) f(x ) < ε b a. (1) Sea P (x 0, x 1,..., x n ) una partición de [a, b] / x i < δ. Como f es continua, en cada intervalo [x i 1, x i ] alcanzará valores máximo y mínimo, es decir m i = f(x i) y M i = f(x i ) para ciertos x i, x i de [x i 1, x i ]. Entonces, al ser x i x i 1 = x i < δ, será x i x i < δ; luego, debido a (1), Por tanto, para la partición P, M i m i = M i m i = f(x i ) f(x i) < ε b a. S(P ) s(p ) = (M i m i ) x i < ε b a x i = ε (b a) = ε, b a con lo que se cumple la condición de integrabilidad. c) Toda función continua a trozos en [a, b] es integrable en [a, b]. Se dice que f es continua a trozos si tiene un número finito de puntos de discontinuidad, en ellos existen los límites laterales y son finitos. La demostración puede verse en J. Burgos, 296.

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4 Test de Autoevaluación (6 minutos) Nota: Se marcarán con V las afirmaciones que se consideren correctas y con F las consideradas falsas. Se puntuarán con +1 los aciertos, 1 los fallos y 0 las respuestas en blanco. 1.- Una función discontinua en I = [a, b] puede tener primitiva en I. La primitiva debe ser continua. 2.- Si la función f : I IR tiene una discontinuidad de salto en el punto a I, f no tiene primitiva en I. Es decir, F : I IR / F = f en I. 3.- Una función es integrable en I = [a, b] si y sólo si es continua. 4.- b Si f y g son integrables en I = [a, b], y se cumple f(x) g(x), x I, entonces b f(x)dx g(x)dx. a a 5.- Si f es continua en I = [a, b], su función integral F es primitiva de f en I. 6.- La Regla de Barrow puede aplicarse a la función Parte Entera de x. Nota (sobre 6):.

5 Test de Autoevaluación (6 minutos) SOLUCIONES 1.- V. Una función discontinua en I = [a, b] puede tener primitiva en I, siempre que la discontinuidad no sea de salto (ver apdo. 1.2, Condición necesaria para la existencia de primitiva). Pero si una función tiene primitiva, ésta será derivable; luego será también continua. 2.- V. La derivada de una función puede ser discontinua, siempre que la discontinuidad no sea de salto. Entonces, si f tiene una discontinuidad de salto, no puede ser la derivada de otra función, luego no tendrá primitiva (ver apdo. 1.2, Condición necesaria para la existencia de primitiva). 3.- F. Si es continua, es integrable; pero no viceversa. Por ejemplo, la función Parte Decimal y = x E(x) es discontinua en los puntos correspondientes a valores enteros de x. Y es integrable entre a y b, a, b IR. 4.- V. La integración de funciones conserva el orden (ver apdo. 2.4, Propiedades de la Integral de Riemann) 5.- V. Es lo que afirma el primer Teorema Fundamental del Cálculo (apdo. 4). 6.- F. La Regla de Barrow se aplica a funciones continuas.

6 Cuestión de autoevaluación (5 minutos) Cuestión. Hemos obtenido el concepto de integral definida para funciones acotadas en un intervalo compacto. Cómo procedemos para estudiar la integral de una función en un intervalo no acotado? Aplícalo a la integral impropia e x dx

7 Solución a la cuestión (5 minutos) Cuestión. Hemos obtenido el concepto de integral definida para funciones acotadas en un intervalo compacto. Cómo procedemos para estudiar la integral de una función en un intervalo no acotado? Aplícalo a la integral impropia Solución. e x dx En estos casos obtenemos la integral definida en un intervalo genérico [m, n] y calculamos el límite de dicha expresión cuando el o los extremos tienden a los valores no acotados. Si existe límite finito, la integral impropia es convergente. e x dx = lím e x dx = m m ( lím e 0 e m) = 1 lím m m em = 1

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