Función exponencial y Logaritmos

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1 Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Función exponencial y Logaritmos Nivel: 4 Medio Función exponencial y Logaritmos 1. Funciones exponenciales Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial; por ejemplo, un papel que se dobla sucesivamente en 2 partes iguales. La hoja de un determinado grosor tendrá al primer doblez un grosor igual al doble del primero; y en el segundo doblez tendrá un grosor equivalente a cuatro veces el primer grosor, y luego grosor 8, 16, 32, 64, etc. En otro ejemplo práctico, vemos crecimiento exponencial en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. Al contrario, vemos que las partículas radiactivas tienen una función exponencial que da cuenta la desintegración de la partícula inicial en el tiempo. 1.1 Definición de función exponencial Se llama función exponencial de base a, a aquella cuya forma genérica es f (x) = a x, siendo a un número positivo distinto de 1. Por lo tanto, en una función exponencial la variable independiente (absisa) es el exponente de la función. Por su propia definición, el dominio de toda función exponencial es el conjunto de los números reales R. 1.2 Función exponencial según el valor de la base. - Si 0 < a < 1, entonces f(x) = a x es decreciente, puesto que la base es una fracción positiva o decimal menor que 1. Luego si el exponente aumenta, entonces el valor de a x disminuye. Por ejemplo: Para la función y = 0,2 x Si x = 2, entonces y = 0,2 2 = 0,04 Si x = 3, entonces y = 0,2 3 = 0,08. Y así sucesivamente, su valor es cada vez más pequeño. - Si a > 1 entonces f(x) = a x es creciente, puesto que la base es un número positivo mayor que 1. Luego, si el exponente aumenta, entonces el valor de a x también aumenta.

2 Por ejemplo: Para la función y = 5 x Si x = 2, entonces y = 5 2 = 25 Si x = 3, entonces y = 5 3 = 125. Y así sucesivamente, su valor es cada vez más grande. - La base no puede ser igual a 0 porque cualquier número exponencial de base cero es igual a 1, resultando la función y = 1 x, la cual no tendría sentido, debido a que su valor es constantemente igual a 1, con lo que gráficamente es una función constante y = 1 (recta paralela al eje X en el punto y = 1). - La base no puede ser negativa porque el valor de la función será positivo si x es par y negativo si el exponente es impar. Además, si x es una fracción como ½, entonces la función no tiene imagen en los reales. Por ejemplo: Para la función y = (-3) x Si x = 2, entonces y = 9 Si x = 3, entonces su imagen es -27 Si x = ½ entonces (-3) 1/2 es igual a la raíz cuadrada de -3, cuyo valor no es real. 1.3 Propiedades de las funciones exponenciales Toda función exponencial de la forma f(x) = a x, cumple las siguientes propiedades: 1. La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1: f (0) = a 0 = La función exponencial de 1 es siempre igual a la base: f (1) = a 1 = a. 3. La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función sobre cada valor por separado. f(m + n) = a m +n = a m a n = f (m) f (n). 4. La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la aplicación al sustraendo: p a f (p q) = a p q = q = f (p) : f (q) a 5. La función y = e x Qué representa el número e?. Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = e x. El número e, de valor aproximado 2, , se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión: (1 + 1/n) n En este caso, el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos. La función e x presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y financieras y otras aplicaciones matemáticas.

3 2. Ecuaciones exponenciales En cursos anteriores ya se han resuelto este tipo de ecuaciones. Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería a x = b. Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos: - Igualación de la base: que consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes: Ax = Ay. x = y Ejemplo: 4 x+5 8 2x 12 = 1/16, aplicando las propiedades de potencias, recuerda que 4, 8 y 16 se pueden expresar en potencias de base 2 2 2(x +5) 2 3(2x 12) = 2 4 Aplicando propiedades de potencias, tendremos que 2 2(x +5) + 3 (2x 12) = 2 4 Por lo que 2 8x 26 = 2 4 Por tanto tenemos que si las potencias son iguales y sus bases son iguales, entonces los exponentes deben ser iguales también. 8x 26 = 4, por lo que se deduce que x = ( ):8 luego x = 22 : 8 x = 2,75 - Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver. 2 2x 5 2 x 14 = 0 t 2-5t 14 = 0 Luego se resuelve la ecuación de segundo grado. Como (t 7)(t + 5) = 0, entonces las posibles soluciones para t son : 7 y -5 Luego, se vuelve al cambio de variable. Esto es: 7 = 2 x o -5 = 2 x. La primera solución se identificará aplicando nociones de logaritmos y la segunda solución no es posible, pues 2 que es positivo, al elevarse a ningún valor resultará un número negativo (-5). Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

4 3 Logaritmos A cuánto hay que elevar el número 2 para obtener 7?, es decir, 2 x = 7. La respuesta es un número irracional entre 2 y 3. Este número, por definición, se denomina logaritmo en base dos de siete, lo que se anota log 2 7. En la expresión log a b, a se denomina base del logaritmo y b se llama argumento, con a y b positivos y a 1. Por lo tanto, la definición de logaritmo es: log a b = n a n = b (a > 0, b > 0, a 1) La función logarítmica puede considerarse como la inversa de la función exponencial, por cuanto se cumple que: Representación gráfica de varias funciones exponenciales. La representación de la función logarítmica es creciente, pero su crecimiento se va estancando en un valor de y. La función exponencial es creciente, pero no se estanca, sino que su curva crece cada vez más. Ejemplo: El gráfico de la función F(x) = log 2 x

5 Por tanto, el cálculo de logaritmos se aplicará en cuanto se quiere conocer el exponente de una expresión. A partir de esta definición, se pueden deducir las siguientes propiedades básicas. 3.1 Propiedades de logaritmos Las siguientes igualdades son válidas solo para aquellos valores donde esté definido el logaritmo, es decir: a > 0 1. log a a = 1 se demuestra con la definición: a 1 = a 2. log a 1 = 0 puesto que a 0 = 1 3. log a a n = n se demuestra con la definición: a n = a n 4. Para demostrar esta propiedad suponemos que a b = n (con a > 0). A partir de la definición de logaritmo, lo anterior es equivalente a: log a n = b. Si reemplazamos este valor de b en la igualdad anterior, obtenemos:, que es lo que se quería demostrar. 5. log c (ab) = log c a + log c b El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de cada factor. 6. El logaritmo de una división es igual a la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. 7. log c a n = nlog c a El logaritmo de una potencia equivale al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia. 8. Si log c a = log c b a = b 9. Si a = b log c a = log c b Para que se cumplan las propiedades anteriores es necesario que a > 0, b > 0 y c > 0. A continuación demostraremos solo una de estas propiedades. Demostración de propiedad (5) log c (ab) = log c a + log c b Supongamos que log c (ab) = x ; log c a = y ; log c b = z. Si demostramos que x = y + z, la propiedad (5) comprobada. Si log c (ab) = x c x = ab.

6 Si log c a = y c y = a y si log c b = z c z = b. Entonces: c y c z = ab, pero c y c z = c y + z. Por lo tanto c y + z = ab y c x = ab, de modo que: c x = c y + z x = y + z. Ejemplos: log 2 8 = log log 2 2 Lo que es correcto, ya que log 2 8 = 3 ; log 2 4 = 2 y log 2 2 = 1 y 3 = Logaritmos vulgares o de Briggs y logaritmos naturales: Cuando la base del logaritmo es 10, el logaritmo se llama logaritmo vulgar o de Briggs, y su base no se anota, (en la calculadora se reconoce como log) Los logaritmos naturales son en base de un número irracional llamado e cuyo valor aproximado es 2,7 (se reconoce en la calculadora por una tecla Ln). Este tiene gran importancia en aumentos de población, en el área comercial y en la naturaleza. log a = log 10 a A partir de esta base tenemos que: log 10 = 1 ; log 100 = 2 ; log 1000 = 3; etc. Si graficamos la función y = log x (estamos calculando logaritmos en base 10) y tenemos lo siguiente: La gráfica corresponde a una función creciente, es decir, si x > y, entonces log x > log y. Por otro lado, la curva se acerca indefinidamente al eje Y en la medida que x se acerca a 0. Por ejemplo: log 10-5 = -5; log 10-8 =-8, etc. Observa en la gráfica que cuando calculamos un logaritmo de un número comprendido entre 0 y 1 resulta un número negativo, es decir:

7 log (0,5) < 0; log (2/3) < 0, etc. Por el contrario, al calcular el logaritmo de un número mayor que 1, el resultado siempre es positivo: log (1,2) > 0 ; log (1,03) > 0, etc. Ejercicios resueltos: 1) Calcular log 4 8 Supongamos que log 4 8 = x, entonces por la definición 4 x = 8, igualando bases: 2 2x = 2 3, por lo tanto: log 4 8 = 2) Desarrollar la siguiente expresión utilizando las propiedades 5, 6 y 7 3) Expresar en un solo logaritmo la expresión: 2log a log b 3log c. En este ejercicio se solicita lo contrario que en el anterior: Primero ocupamos la propiedad 7: log a 2 log b log c 3 Ahora utilizamos la propiedad 6: Volviendo a utilizar la propiedad 6 obtenemos:

8 4) Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. log (0,2) + log (0,3) < 0. II. log 3 log (0,2) < 0. III. log 3 log (0,1) < 0. Por la propiedad 5: log (0,2) + log (0,3) = log (0,2 0,3) = log (0,06) < 0 I es verdadera. Por la propiedad 6: log 3 log (0,2) = > 0 II es falsa. log 3 > 0 y log (0,1) < 0, por lo tanto: log 3 log (0,1) < 0 III es verdadera. 3.2 Aplicaciones de los logaritmos Los logaritmos tienen variadas aplicaciones en modelos de fenómenos naturales y sociales. Una de ellas es la escala Richter. Escala Richter Una escala habitualmente utilizada en la medición de la intensidad de los sismos es la escala Richter. Los grados se calculan mediante la expresión, donde A es la amplitud medida en micrómetros (1 micrómetro = 10-4 cm) y P es el período medido en segundos. Ejemplo: Cuál es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 10-2 cm y su período es 1 segundo? Como 1 micrómetro = 10-4 cm, entonces 10-2 cm equivalen a 10 2 micrómetros. Entonces la cantidad de grados Richter es: ; Por lo tanto es grado 2.

9 4. Ecuaciones exponenciales Cuando no podemos igualar las bases en una ecuación exponencial aplicamos logaritmos a ambos lados de la ecuación, y después la propiedad (9) Ejemplo: Resolver la ecuación: 2 x + 1 = 3 Aplicamos logaritmo (en cualquier base) en ambos miembros. log (2 x + 1 ) = log 3 (x+1)log 2 = log 3 x log 2 + log 2 = log 3 Por tanto tenemos que: En las ecuaciones exponenciales generalmente se ocupa la base 10 (que se anota log) o logaritmo natural de base e (que se anota ln), puesto que los logaritmos en estas bases aparecen en las calculadoras científicas. e = 2, Ejemplo: Una población de bacterias crece según el modelo: P(t) = 2 3 t, donde t es la cantidad de minutos transcurridos. Cuántos minutos habrá que esperar para que el número de bacterias sea 1.000? Según el enunciado, debe cumplirse que: P(t) = 2 3 t = Aplicando logaritmo a ambos lados: log (2 3 t ) = log (1.000) log 2 + t log 3 = 3 5. Ecuaciones logarítmicas Una ecuación logarítmica se caracteriza porque la incógnita aparece en el argumento de una expresión logarítmica. Para resolverlas se trata de eliminar los logaritmos que aparezcan utilizando la propiedad (8) Ejemplo: Resolver la ecuación: log (x + 1) log (x 1) = log 2. Aplicando propiedad 6:

10 logaritmos,. Con la propiedad (8) podemos eliminar ambos por tanto x + 1= 2x 2 x = 3 Esta solución siempre se debe comprobar en la ecuación original para verificar si el valor de x satisface la igualdad, pues puede ser un número no real: Si reemplazamos el valor de x = 3 en la ecuación original, tenemos que: log (3 + 1) log (3 1) = log 4 log 2 = = log 2; por lo tanto, se afirma que x = 3 es la solución. Sitios sugeridos Si deseas ejercitación con propiedades de logaritmos y ecuaciones logarítmicas: Ejercicios de logaritmos a nivel avanzado: logaritmos.php Si deseas reforzar la gráfica de funciones logarítmicas y exponenciales en forma interactiva: garitmo_1.htm