Función exponencial y Logaritmos

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Función exponencial y Logaritmos"

Transcripción

1 Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Función exponencial y Logaritmos Nivel: 4 Medio Función exponencial y Logaritmos 1. Funciones exponenciales Existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial; por ejemplo, un papel que se dobla sucesivamente en 2 partes iguales. La hoja de un determinado grosor tendrá al primer doblez un grosor igual al doble del primero; y en el segundo doblez tendrá un grosor equivalente a cuatro veces el primer grosor, y luego grosor 8, 16, 32, 64, etc. En otro ejemplo práctico, vemos crecimiento exponencial en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. Al contrario, vemos que las partículas radiactivas tienen una función exponencial que da cuenta la desintegración de la partícula inicial en el tiempo. 1.1 Definición de función exponencial Se llama función exponencial de base a, a aquella cuya forma genérica es f (x) = a x, siendo a un número positivo distinto de 1. Por lo tanto, en una función exponencial la variable independiente (absisa) es el exponente de la función. Por su propia definición, el dominio de toda función exponencial es el conjunto de los números reales R. 1.2 Función exponencial según el valor de la base. - Si 0 < a < 1, entonces f(x) = a x es decreciente, puesto que la base es una fracción positiva o decimal menor que 1. Luego si el exponente aumenta, entonces el valor de a x disminuye. Por ejemplo: Para la función y = 0,2 x Si x = 2, entonces y = 0,2 2 = 0,04 Si x = 3, entonces y = 0,2 3 = 0,08. Y así sucesivamente, su valor es cada vez más pequeño. - Si a > 1 entonces f(x) = a x es creciente, puesto que la base es un número positivo mayor que 1. Luego, si el exponente aumenta, entonces el valor de a x también aumenta.

2 Por ejemplo: Para la función y = 5 x Si x = 2, entonces y = 5 2 = 25 Si x = 3, entonces y = 5 3 = 125. Y así sucesivamente, su valor es cada vez más grande. - La base no puede ser igual a 0 porque cualquier número exponencial de base cero es igual a 1, resultando la función y = 1 x, la cual no tendría sentido, debido a que su valor es constantemente igual a 1, con lo que gráficamente es una función constante y = 1 (recta paralela al eje X en el punto y = 1). - La base no puede ser negativa porque el valor de la función será positivo si x es par y negativo si el exponente es impar. Además, si x es una fracción como ½, entonces la función no tiene imagen en los reales. Por ejemplo: Para la función y = (-3) x Si x = 2, entonces y = 9 Si x = 3, entonces su imagen es -27 Si x = ½ entonces (-3) 1/2 es igual a la raíz cuadrada de -3, cuyo valor no es real. 1.3 Propiedades de las funciones exponenciales Toda función exponencial de la forma f(x) = a x, cumple las siguientes propiedades: 1. La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1: f (0) = a 0 = La función exponencial de 1 es siempre igual a la base: f (1) = a 1 = a. 3. La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función sobre cada valor por separado. f(m + n) = a m +n = a m a n = f (m) f (n). 4. La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la aplicación al sustraendo: p a f (p q) = a p q = q = f (p) : f (q) a 5. La función y = e x Qué representa el número e?. Un caso particularmente interesante de función exponencial es f (x) = e x. El número e, de valor aproximado 2, , se define matemáticamente como el límite al que tiende la expresión: (1 + 1/n) n En este caso, el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. Este número es la base elegida para los logaritmos naturales o neperianos. La función e x presenta algunas particularidades importantes que refuerzan su interés en las descripciones físicas y financieras y otras aplicaciones matemáticas.

3 2. Ecuaciones exponenciales En cursos anteriores ya se han resuelto este tipo de ecuaciones. Se llama ecuación exponencial a aquella en la que la incógnita aparece como exponente. Un ejemplo de ecuación exponencial sería a x = b. Para resolver estas ecuaciones se suelen utilizar dos métodos alternativos: - Igualación de la base: que consiste en aplicar las propiedades de las potencias para lograr que en los dos miembros de la ecuación aparezca una misma base elevada a distintos exponentes: Ax = Ay. x = y Ejemplo: 4 x+5 8 2x 12 = 1/16, aplicando las propiedades de potencias, recuerda que 4, 8 y 16 se pueden expresar en potencias de base 2 2 2(x +5) 2 3(2x 12) = 2 4 Aplicando propiedades de potencias, tendremos que 2 2(x +5) + 3 (2x 12) = 2 4 Por lo que 2 8x 26 = 2 4 Por tanto tenemos que si las potencias son iguales y sus bases son iguales, entonces los exponentes deben ser iguales también. 8x 26 = 4, por lo que se deduce que x = ( ):8 luego x = 22 : 8 x = 2,75 - Cambio de variable: consiste en sustituir todas las potencias que figuran en la ecuación por potencias de una nueva variable, convirtiendo la ecuación original en otra más fácil de resolver. 2 2x 5 2 x 14 = 0 t 2-5t 14 = 0 Luego se resuelve la ecuación de segundo grado. Como (t 7)(t + 5) = 0, entonces las posibles soluciones para t son : 7 y -5 Luego, se vuelve al cambio de variable. Esto es: 7 = 2 x o -5 = 2 x. La primera solución se identificará aplicando nociones de logaritmos y la segunda solución no es posible, pues 2 que es positivo, al elevarse a ningún valor resultará un número negativo (-5). Por otra parte, un sistema de ecuaciones se denomina exponencial cuando en alguna de sus ecuaciones la incógnita aparece como exponente. Para la resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales se aplican también, según convenga, los métodos de igualación de la base y de cambio de variable.

4 3 Logaritmos A cuánto hay que elevar el número 2 para obtener 7?, es decir, 2 x = 7. La respuesta es un número irracional entre 2 y 3. Este número, por definición, se denomina logaritmo en base dos de siete, lo que se anota log 2 7. En la expresión log a b, a se denomina base del logaritmo y b se llama argumento, con a y b positivos y a 1. Por lo tanto, la definición de logaritmo es: log a b = n a n = b (a > 0, b > 0, a 1) La función logarítmica puede considerarse como la inversa de la función exponencial, por cuanto se cumple que: Representación gráfica de varias funciones exponenciales. La representación de la función logarítmica es creciente, pero su crecimiento se va estancando en un valor de y. La función exponencial es creciente, pero no se estanca, sino que su curva crece cada vez más. Ejemplo: El gráfico de la función F(x) = log 2 x

5 Por tanto, el cálculo de logaritmos se aplicará en cuanto se quiere conocer el exponente de una expresión. A partir de esta definición, se pueden deducir las siguientes propiedades básicas. 3.1 Propiedades de logaritmos Las siguientes igualdades son válidas solo para aquellos valores donde esté definido el logaritmo, es decir: a > 0 1. log a a = 1 se demuestra con la definición: a 1 = a 2. log a 1 = 0 puesto que a 0 = 1 3. log a a n = n se demuestra con la definición: a n = a n 4. Para demostrar esta propiedad suponemos que a b = n (con a > 0). A partir de la definición de logaritmo, lo anterior es equivalente a: log a n = b. Si reemplazamos este valor de b en la igualdad anterior, obtenemos:, que es lo que se quería demostrar. 5. log c (ab) = log c a + log c b El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de cada factor. 6. El logaritmo de una división es igual a la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. 7. log c a n = nlog c a El logaritmo de una potencia equivale al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia. 8. Si log c a = log c b a = b 9. Si a = b log c a = log c b Para que se cumplan las propiedades anteriores es necesario que a > 0, b > 0 y c > 0. A continuación demostraremos solo una de estas propiedades. Demostración de propiedad (5) log c (ab) = log c a + log c b Supongamos que log c (ab) = x ; log c a = y ; log c b = z. Si demostramos que x = y + z, la propiedad (5) comprobada. Si log c (ab) = x c x = ab.

6 Si log c a = y c y = a y si log c b = z c z = b. Entonces: c y c z = ab, pero c y c z = c y + z. Por lo tanto c y + z = ab y c x = ab, de modo que: c x = c y + z x = y + z. Ejemplos: log 2 8 = log log 2 2 Lo que es correcto, ya que log 2 8 = 3 ; log 2 4 = 2 y log 2 2 = 1 y 3 = Logaritmos vulgares o de Briggs y logaritmos naturales: Cuando la base del logaritmo es 10, el logaritmo se llama logaritmo vulgar o de Briggs, y su base no se anota, (en la calculadora se reconoce como log) Los logaritmos naturales son en base de un número irracional llamado e cuyo valor aproximado es 2,7 (se reconoce en la calculadora por una tecla Ln). Este tiene gran importancia en aumentos de población, en el área comercial y en la naturaleza. log a = log 10 a A partir de esta base tenemos que: log 10 = 1 ; log 100 = 2 ; log 1000 = 3; etc. Si graficamos la función y = log x (estamos calculando logaritmos en base 10) y tenemos lo siguiente: La gráfica corresponde a una función creciente, es decir, si x > y, entonces log x > log y. Por otro lado, la curva se acerca indefinidamente al eje Y en la medida que x se acerca a 0. Por ejemplo: log 10-5 = -5; log 10-8 =-8, etc. Observa en la gráfica que cuando calculamos un logaritmo de un número comprendido entre 0 y 1 resulta un número negativo, es decir:

7 log (0,5) < 0; log (2/3) < 0, etc. Por el contrario, al calcular el logaritmo de un número mayor que 1, el resultado siempre es positivo: log (1,2) > 0 ; log (1,03) > 0, etc. Ejercicios resueltos: 1) Calcular log 4 8 Supongamos que log 4 8 = x, entonces por la definición 4 x = 8, igualando bases: 2 2x = 2 3, por lo tanto: log 4 8 = 2) Desarrollar la siguiente expresión utilizando las propiedades 5, 6 y 7 3) Expresar en un solo logaritmo la expresión: 2log a log b 3log c. En este ejercicio se solicita lo contrario que en el anterior: Primero ocupamos la propiedad 7: log a 2 log b log c 3 Ahora utilizamos la propiedad 6: Volviendo a utilizar la propiedad 6 obtenemos:

8 4) Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. log (0,2) + log (0,3) < 0. II. log 3 log (0,2) < 0. III. log 3 log (0,1) < 0. Por la propiedad 5: log (0,2) + log (0,3) = log (0,2 0,3) = log (0,06) < 0 I es verdadera. Por la propiedad 6: log 3 log (0,2) = > 0 II es falsa. log 3 > 0 y log (0,1) < 0, por lo tanto: log 3 log (0,1) < 0 III es verdadera. 3.2 Aplicaciones de los logaritmos Los logaritmos tienen variadas aplicaciones en modelos de fenómenos naturales y sociales. Una de ellas es la escala Richter. Escala Richter Una escala habitualmente utilizada en la medición de la intensidad de los sismos es la escala Richter. Los grados se calculan mediante la expresión, donde A es la amplitud medida en micrómetros (1 micrómetro = 10-4 cm) y P es el período medido en segundos. Ejemplo: Cuál es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 10-2 cm y su período es 1 segundo? Como 1 micrómetro = 10-4 cm, entonces 10-2 cm equivalen a 10 2 micrómetros. Entonces la cantidad de grados Richter es: ; Por lo tanto es grado 2.

9 4. Ecuaciones exponenciales Cuando no podemos igualar las bases en una ecuación exponencial aplicamos logaritmos a ambos lados de la ecuación, y después la propiedad (9) Ejemplo: Resolver la ecuación: 2 x + 1 = 3 Aplicamos logaritmo (en cualquier base) en ambos miembros. log (2 x + 1 ) = log 3 (x+1)log 2 = log 3 x log 2 + log 2 = log 3 Por tanto tenemos que: En las ecuaciones exponenciales generalmente se ocupa la base 10 (que se anota log) o logaritmo natural de base e (que se anota ln), puesto que los logaritmos en estas bases aparecen en las calculadoras científicas. e = 2, Ejemplo: Una población de bacterias crece según el modelo: P(t) = 2 3 t, donde t es la cantidad de minutos transcurridos. Cuántos minutos habrá que esperar para que el número de bacterias sea 1.000? Según el enunciado, debe cumplirse que: P(t) = 2 3 t = Aplicando logaritmo a ambos lados: log (2 3 t ) = log (1.000) log 2 + t log 3 = 3 5. Ecuaciones logarítmicas Una ecuación logarítmica se caracteriza porque la incógnita aparece en el argumento de una expresión logarítmica. Para resolverlas se trata de eliminar los logaritmos que aparezcan utilizando la propiedad (8) Ejemplo: Resolver la ecuación: log (x + 1) log (x 1) = log 2. Aplicando propiedad 6:

10 logaritmos,. Con la propiedad (8) podemos eliminar ambos por tanto x + 1= 2x 2 x = 3 Esta solución siempre se debe comprobar en la ecuación original para verificar si el valor de x satisface la igualdad, pues puede ser un número no real: Si reemplazamos el valor de x = 3 en la ecuación original, tenemos que: log (3 + 1) log (3 1) = log 4 log 2 = = log 2; por lo tanto, se afirma que x = 3 es la solución. Sitios sugeridos Si deseas ejercitación con propiedades de logaritmos y ecuaciones logarítmicas: Ejercicios de logaritmos a nivel avanzado: logaritmos.php Si deseas reforzar la gráfica de funciones logarítmicas y exponenciales en forma interactiva: garitmo_1.htm

Adivinanza o logaritmos?

Adivinanza o logaritmos? Nivel:.º Medio Sector: Matemática Unidad temática: Álgebra y funciones Actualmente un alumno está cursando el Cuarto Año Medio. Tiempo atrás estuvo de cumpleaños y recibió de regalo diferentes cantidades

Más detalles

Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. n N, ( a 0 ) m a. m Z, n N

Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. n N, ( a 0 ) m a. m Z, n N EXPONENCIALES Y LOGARITMOS FUNCIÓN EXPONENCIAL Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos. Potencias de eponente natural: a n = a. a. a... a n N n veces Potencias

Más detalles

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD

MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD MODULO PRECALCULO TERCERA UNIDAD Función Eponencial y Función Logarítmica 9 Alicia rió. "No sirve de nada intentarlo - dijo -; uno no puede creer cosas imposibles." - "Me atrevería a decir que no tienes

Más detalles

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS 3FUNCIONES LOGARÍTMICAS Problema 1 Si un cierto día, la temperatura es de 28, y hay mucha humedad, es frecuente escuchar que la sensación térmica es de, por ejemplo, 32. La sensación térmica depende de

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES INECUACIONES NOTA IMPORTANTE: El signo de desigualdad de una inecuación puede ser,, < o >. Para las cuestiones teóricas que se desarrollan en esta unidad únicamente se utilizará la desigualdad >, siendo

Más detalles

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-)

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) CÁLCULO MATEMÁTICO BÁSICO LOS NUMEROS ENTEROS Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) Si un número aparece entre barras /5/, significa que su

Más detalles

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es Matemáticas 1 o ESO David J. Tarifa García info@esobachilleratouniversidad.com.es 1 Matemáticas - 1 o ESO 2 Índice 1 Tema 1. Los números naturales 6 1.1 Suma de números naturales................................

Más detalles

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO

Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas 3º ESO Colegio Las Tablas Tarea de verano Matemáticas º ESO Nombre: C o l e g i o L a s T a b l a s Tarea de verano Matemáticas º ESO Resolver la siguiente ecuación: 5 5 6 Multiplicando por el mcm(,,6) = 6 y

Más detalles

Funciones exponenciales y logarítmicas

Funciones exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales y logarítmicas - Funciones exponenciales y sus gráficas Un terremoto de 85 grados en la escala de Richter es 00 veces más potente que uno de 65, por qué?, cómo es la escala de Richter?

Más detalles

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente.

De dos incógnitas. Por ejemplo, x + y 3 = 4. De tres incógnitas. Por ejemplo, x + y + 2z = 4. Y así sucesivamente. 3 Ecuaciones 17 3 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen ligados, mediante operaciones algebraicas, números y letras Las letras que aparecen en una ecuación se llaman incógnitas Existen

Más detalles

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Función exponencial

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Función exponencial LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. Función eponencial La función eponencial es de la forma f () = a, tal que a > 0, a El valor a se llama base de la función

Más detalles

3. Operaciones con funciones.

3. Operaciones con funciones. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente

Más detalles

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA... 4 1. OPERACIONES CON FRACCIONES...

Más detalles

La Función Exponencial y la Función Logarítmica

La Función Exponencial y la Función Logarítmica 1 Capítulo 7 La Función Exponencial y la Función Logarítmica M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodríguez S. Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

EJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2: Ing. Mario René De León García. 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL EJEMPLO 1: FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Por: Ing. Mario René De León García.. FUNCIÓN EXPONENCIAL Una función eponencial tiene la forma, donde a es la base de la potencia la variable es el eponente. Esta función

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 3 Ecuaciones y sistemas. Inecuaciones Elaborado por la Profesora Doctora

Más detalles

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =

Ejemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) = T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente

Más detalles

Unidad IV: Cinética química

Unidad IV: Cinética química 63 Unidad IV: Cinética química El objetivo de la cinética química es el estudio de las velocidades de las reacciones químicas y de los factores de los que dependen dichas velocidades. De estos factores,

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de una función Idea intuitiva de límite El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es

Más detalles

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano.

UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES. OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. UNIDAD 4: PLANO CARTESIANO, RELACIONES Y FUNCIONES OBJETIVO DE APRENDIZAJE: Representar gráficamente relaciones y funciones en el plano cartesiano. EL PLANO CARTESIANO. El plano cartesiano está formado

Más detalles

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO

FUNCIONES 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO 1. DEFINICION DOMINIO Y RANGO FUNCIONES Antes de definir función, uno de los conceptos fundamentales y de mayor importancia de todas las matemáticas, plantearemos algunos ejercicios que nos eran de utilidad

Más detalles

1. Definición 2. Operaciones con funciones

1. Definición 2. Operaciones con funciones 1. Definición 2. Operaciones con funciones 3. Estudio de una función: Suma y diferencia Producto Cociente Composición de funciones Función reciproca (inversa) Dominio Recorrido Puntos de corte Signo de

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Estas expresiones del área son expresiones algebraicas, ya que además de números aparecen letras. Son también expresiones algebraicas: bac,

Más detalles

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones

Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA. Funciones Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática CONARE-PROYECTO RAMA Funciones José R. Jiménez F. Temas de pre-cálculo I ciclo 007 Funciones 1 Índice 1. Funciones 3 1.1. Introducción...................................

Más detalles

Raíces cuadradas y radicales

Raíces cuadradas y radicales Raíces cuadradas y radicales Raíz cuadrada - la raíz cuadrada de x, donde x, es igual a c (donde c si c 2 = x. Se usa la notación para representar la raíz cuadrada principal de x. Al símbolo se le llama

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo:

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN I N D I C E. martilloatomico@gmail.com. Página. Titulo: Titulo: DOMINIO Y RANGO I N D I C E Página DE UNA FUNCIÓN Año escolar: 4to. Año de Bachillerato Autor: José Luis Albornoz Salazar Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario País de residencia: Venezuela

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES

EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES EJERCICIOS DE FUNCIONES REALES.- La ley que relaciona el valor del área de un cuadrado con la longitud de su lado es una función. Sabemos que la epresión que nos relacionas ambas variables es. Observa

Más detalles

1.4.- D E S I G U A L D A D E S

1.4.- D E S I G U A L D A D E S 1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y

Más detalles

DESIGUALDADES E INECUACIONES

DESIGUALDADES E INECUACIONES DESIGUALDAD DESIGUALDADES E INECUACIONES Para hablar de la NO IGUALDAD podemos utilizar varios términos o palabras. Como son: distinto y desigual. El término "DISTINTO" (signo ), no tiene apenas importancia

Más detalles

Ecuaciones e Inecuaciones

Ecuaciones e Inecuaciones 5 Ecuaciones e Inecuaciones Objetivos En esta quincena aprenderás a: Resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Resolver ecuaciones bicuadradas y factorizadas. Identificar y resolver inecuaciones de

Más detalles

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1 TEMA 10 - FUNCIONES ELEMENTALES 10.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN DEFINICIÓN : f es una función de R en R si a cada número real, x Dom, le hace corresponder

Más detalles

Ecuaciones de segundo grado

Ecuaciones de segundo grado 3 Ecuaciones de segundo grado Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar las soluciones de una ecuación. Reconocer y obtener ecuaciones equivalentes. Resolver ecuaciones de primer grado Resolver

Más detalles

Módulo 1: Números Reales

Módulo 1: Números Reales CURSO DE NIVELACIÓN Apunte teórico - práctico Módulo : Números Reales NÚMEROS REALES Teoría de conjuntos Se define a un conjunto como una colección de elementos. Para describir qué tipo de elementos pertenecen

Más detalles

Sistemas de numeración

Sistemas de numeración Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan

Más detalles

Álgebra y Trigonometría CNM-108

Álgebra y Trigonometría CNM-108 Álgebra y Trigonometría CNM-108 Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y funciones Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces

Más detalles

Tema 7. Límites y continuidad de funciones

Tema 7. Límites y continuidad de funciones Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Límites y continuidad de funciones 55 Límite de una función en un punto Tema 7 Límites y continuidad de funciones Idea inicial Si una función f está

Más detalles

FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M.

FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. FUNCIONES DE UNA VARIABLE Julián de la Horra Departamento de Matemáticas U.A.M. 1 Introducción Una de las primeras necesidades que surgen en las Ciencias Experimentales es la de poder expresar los valores

Más detalles

CAPÍTULO III. FUNCIONES

CAPÍTULO III. FUNCIONES CAPÍTULO III LÍMITES DE FUNCIONES SECCIONES A Definición de límite y propiedades básicas B Infinitésimos Infinitésimos equivalentes C Límites infinitos Asíntotas D Ejercicios propuestos 85 A DEFINICIÓN

Más detalles

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Capítulo 9 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.. Introducción El concepto de ite en Matemáticas tiene el sentido de lugar hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito. Veamos

Más detalles

Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas I. Luis Ignacio Sandoval Paéz

Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas I. Luis Ignacio Sandoval Paéz Cuadernillo de Apuntes de Matemáticas I Luis Ignacio Sandoval Paéz 1 Índice Números reales 1.1 Clasificación de los números reales. 5 1.2 Propiedades. 7 1.3Interpretación geométrica de los números reales.

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Página REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a,, b,, @ c,, 5 + d,, @ @ + e,, @ f,, 0 @ 0 @

Más detalles

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Tema 07. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Tema 07 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Límite de una función en un punto Vamos a estudiar el comportamiento de las funciones f ( ) g ( ) ENT[ ] h ( ) i ( ) en el punto Para ello, damos a valores próimos

Más detalles

Funciones elementales

Funciones elementales 10 Funciones elementales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Reconocer y distinguir algunas de las funciones más habituales. Utilizar algunas funciones no lineales: cuadráticas, de proporcionalidad

Más detalles

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES

AXIOMAS DE CUERPO (CAMPO) DE LOS NÚMEROS REALES AXIOMASDECUERPO(CAMPO) DELOSNÚMEROSREALES Ejemplo: 6 INECUACIONES 15 VA11) x y x y. VA12) x y x y. Las demostraciones de muchas de estas propiedades son evidentes de la definición. Otras se demostrarán

Más detalles

4.3 Función Logarítmica. Copyright Cengage Learning. All rights reserved.

4.3 Función Logarítmica. Copyright Cengage Learning. All rights reserved. 4.3 Función Logarítmica Copyright Cengage Learning. All rights reserved. Función Logarítmica La función que es inversa de la exponencial f (x) = b x es la función logarítmica. Introducimos el vocabulario

Más detalles

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

Juan Antonio González Mota Profesor de Matemáticas del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada FUNCIONES CONTINUAS. La mayor parte de las funciones que manejamos, a nivel elemental, presentan en sus gráficas una propiedad característica que es la continuidad. La continuidad de una función definida

Más detalles

Calcular con fracciones para todos

Calcular con fracciones para todos Calcular con fracciones para todos 1 Calcular con fracciones para todos M. Riat riat@pobox.com Versión 1.0 Burriana, 2014 Calcular con fracciones para todos 2 ÍNDICE DE CAPÍTULOS Índice de capítulos...

Más detalles

FUNCIONES DE VARIABLE REAL

FUNCIONES DE VARIABLE REAL CAPÍTULO II. FUNCIONES DE VARIABLE REAL SECCIONES A. Dominio e imagen de una función. B. Representación gráfica de funciones. C. Operaciones con funciones. D. Ejercicios propuestos. 47 A. DOMINIO E IMAGEN

Más detalles

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado.

+ 7 es una ecuación de segundo grado. es una ecuación de tercer grado. ECUACIONES Y DESIGUALDADES UNIDAD VII VII. CONCEPTO DE ECUACIÓN Una igualdad es una relación de equivalencia entre dos epresiones, numéricas o literales, que se cumple para algún, algunos o todos los valores

Más detalles

Ejercicios Resueltos del Tema 4

Ejercicios Resueltos del Tema 4 70 Ejercicios Resueltos del Tema 4 1. Traduce al lenguaje algebraico utilizando, para ello, una o más incógnitas: La suma de tres números consecutivos Un número más la mitad de otro c) El cuadrado de la

Más detalles

Funciones exponenciales y logarítmicas

Funciones exponenciales y logarítmicas 10 Funciones exponenciales y logarítmicas Objetivos En esta quincena aprenderás a: Conocer las características de la función de proporcionalidad inversa y los fenómenos que describen. Hallar las asíntotas

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

Funciones más usuales 1

Funciones más usuales 1 Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES. Curso de Formación en Matemáticas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES. Curso de Formación en Matemáticas UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES Curso de Formación en Matemáticas - 06 - Autor: Lic. Esp. Fernando Javier Quiroga Villegas OBJETIVOS DEL CURSO Objetivo General: Afianzar los conocimientos adquiridos

Más detalles

2 Potencias y radicales

2 Potencias y radicales 89 _ 09-008.qxd //08 09: Página Potencias y radicales INTRODUCCIÓN Los alumnos ya han trabajado con potencias de exponente positivo y han efectuado multiplicaciones y divisiones de potencias y potencias

Más detalles

1. Ecuaciones no lineales

1. Ecuaciones no lineales 1. Ecuaciones no lineales 1.1 Ejercicios resueltos Ejercicio 1.1 Dada la ecuación xe x 1 = 0, se pide: a) Estudiar gráficamente sus raíces reales y acotarlas. b) Aplicar el método de la bisección y acotar

Más detalles

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA ABIERTA MATEMÁTICAS II GUIA DE ESTUDIO

Más detalles

1.3 Números racionales

1.3 Números racionales 1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples

Más detalles

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

Más detalles

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

Funciones lineales. Objetivos. Antes de empezar. 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta quincena aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas

Más detalles

Tema 2 : NÚMEROS ENTEROS. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco.

Tema 2 : NÚMEROS ENTEROS. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. 2010 Tema 2 : NÚMEROS ENTEROS. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. Manuel González de León mgdl 01/01/2010 INDICE: 01. DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS NÚMEROS ENTEROS. 02. VALOR

Más detalles

Funciones. Capítulo 1

Funciones. Capítulo 1 Capítulo Funciones En la base de muchos modelos matemáticos se halla el concepto de función. La descripción de un fenómeno que evoluciona con respecto al tiempo se realiza generalmente mediante una función

Más detalles

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS SUMA REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES (N) 1. Características: Axiomas de Giuseppe Peano (*): El 1 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor (el siguiente

Más detalles

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA

4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA 4º ESO 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

Gráficas de funciones

Gráficas de funciones Apuntes Tema 1 Gráficas de funciones 1.1 Gráficas de funciones a) Función constante: f(x) = k b) Recta vertical: x = k c) Función lineal: f(x) = mx Todas pasan por el origen O(0, 0). 2 d) Función afín:

Más detalles

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones

Límites y Continuidad de funciones CAPITULO Límites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11

f( x) = ( x)2 + 11 x + 5 = 0 = x2 + 11 = 0 = No hay solución y = 0 + 11 0 + 5 = 11 1. y = x + 11 x + 5 a) ESTUDIO DE f: 1) Dominio: Como es un cociente del dominio habrá que excluir los valores que anulen el denominador. Por tanto: x + 5 = 0 x = 5 ) Simetría: A simple vista, como el

Más detalles

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento.

Deseamos, pues, al alumno el mayor de los éxitos en su intento. INTRODUCCIÓN Todo debería hacerse tan sencillo como sea posible, pero no más Albert Einstein, físico Cuanto más trabajo y practico, más suerte parezco tener Gary Player, jugador profesional de golf E studiar

Más detalles

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias

Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional

Más detalles

martilloatomico@gmail.com

martilloatomico@gmail.com Titulo: OPERACIONES CON POLINOMIOS (Reducción de términos semejantes, suma y resta de polinomios, signos de agrupación, multiplicación y división de polinomios) Año escolar: 2do: año de bachillerato Autor:

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema Representación gráfica de funciones reales de una variable real Elaborado

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones

Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y

Más detalles

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente

Más detalles

Números Reales. MathCon c 2007-2009

Números Reales. MathCon c 2007-2009 Números Reales z x y MathCon c 2007-2009 Contenido 1. Introducción 2 1.1. Propiedades básicas de los números naturales....................... 2 1.2. Propiedades básicas de los números enteros........................

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 1 ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS Se da la relación entre dos conjuntos mediante el siguiente diagrama: (, ) (2, 3) (, 4) (, 2) (7, 8) (, ) (3, 3) (5, ) (6, ) (, 6)........ 5 6......... 2 5 i) Observa la correspondencia

Más detalles

NÚMEROS REALES MÓDULO I

NÚMEROS REALES MÓDULO I MÓDULO I NÚMEROS REALES NUEVE planetas principales constituyen el sistema solar. Si los ordenamos de acuerdo a su distancia al Sol Mercurio es el que está más cerca (58 millones de Km ) Plutón el más lejano

Más detalles

Capítulo 6. Logaritmos y funciones logarítmicas

Capítulo 6. Logaritmos y funciones logarítmicas Capítulo 6 Logaritmos y funciones logarítmicas Así como la resta es la operación inversa a la suma y la división lo es a la multiplicación, pues son operaciones que deshacen lo que las otras hicieron,

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 11 Teorema Fundamental

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

Área Académica: Matemáticas (Cálculo Diferencial) Tema: Números reales y clasificación de funciones. Profesor(a):Mtra. Judith Ramírez Hernández.

Área Académica: Matemáticas (Cálculo Diferencial) Tema: Números reales y clasificación de funciones. Profesor(a):Mtra. Judith Ramírez Hernández. Área Académica: Matemáticas (Cálculo Diferencial) Tema: Números reales y clasificación de funciones Profesor(a):Mtra. Judith Ramírez Hernández. Periodo: Enero Junio 2012 Topic: Real Numbers and classification

Más detalles

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar. 1.Expresiones algebraicas pág. 64 De expresiones a ecuaciones Valor numérico Expresión en coeficientes 4 Polinomios Objetivos En esta quincena aprenderás: A trabajar con expresiones literales para la obtención de valores concretos en fórmulas y ecuaciones en diferentes contextos. La regla de Ruffini. El

Más detalles

UNIDAD I NÚMEROS REALES

UNIDAD I NÚMEROS REALES UNIDAD I NÚMEROS REALES Los números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cada punto de la recta numérica. Los números reales se dividen en números racionales y números

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. > Función matemática El concepto de función matemática o simplemente función,

Más detalles

Polinomios. Antes de empezar

Polinomios. Antes de empezar Antes de empezar Utilidad de los polinomios Los polinomios no solo están en la base de la informática, en economía los cálculos de intereses y duración de las hipotecas se realizan con expresiones polinómicas,

Más detalles

RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2014 /2015 DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS MATERIA: RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS CURSO:

RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2014 /2015 DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS MATERIA: RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS CURSO: RESUMEN INFORMATIVO PROGRAMACIÓN DIDÁCTICA CURSO 2014 /2015 DEPARTAMENTO: MATEMÁTICAS MATERIA: RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS CURSO: 2º ESO OBJETIVOS: Resolver problemas con enunciados relacionados con la

Más detalles

TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN

TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN TEMA II: ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN En este capítulo veremos los métodos matemáticos que se disponen para las operaciones relacionadas con los circuitos digitales, así como las funciones más básicas de la

Más detalles

QUÉ ES UN NÚMERO DECIMAL?

QUÉ ES UN NÚMERO DECIMAL? QUÉ ES UN NÚMERO DECIMAL? Un número decimal representa un número que no es entero, es decir, los números decimales se utilizan para representar a los números que se encuentran entre un número entero y

Más detalles

9 Funciones elementales

9 Funciones elementales Solucionario 9 Funciones elementales ACTIVIDADES INICIALES 9.I. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios. a) P() 4 b) Q() 3 6 a) Se resuelve la ecuación 4 0. Las raíces son 6 y, y P() ( 6)(

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles