DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

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1 Drivación una función ral variabl ral DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Autor: Patrici Molinàs Mata José Francisco Martínz Boscá ESQUEMA DE CONTENIDOS Crciminto una función Dfinición Intrprtación gométrica y sntio físico DERIVADA DE UNA FUNCIÓN n un punto Función rivaa Cálculo la rivaa funcions Rgla la cana Drivación implítica Rgla l Hôpital para l cálculo límits intrminaos Drivación múltipl Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

2 Drivación una función ral variabl ral INTRODUCCIÓN La rivación constituy una las opracions mayor importancia cuano tratamos funcions rals variabl ral pusto qu nos inica la tasa variación la función n un instant trminao o para un valor trminao la variabl, si ésta no s l timpo. Por tanto, la rivaa una función para un valor la variabl s la tasa variación instantána ica función y para l valor concrto la variabl. D co, una variación n un instant timpo trminao o para un valor concrto la variabl rivación s pu ntnr como una variación mia cuano l intrvalo usao para la obtnción ica mia tin a cro. Así la rivaa s l límit la tasa variación mia alror un valor la variabl cuano l intrvalo mición tin a cro. Amás sabr calcular la rivaa una función n un punto, s convnint sr capaz trminar rápiamnt la función rivaa cualquir función. La rivaa nos informará con qué clria va cambiano l valor la función n l punto consirao. Est Matblock stá icao prcisamnt a aprnr tanto a calcular l valor la rivaa una función n un punto como a sabr obtnr la función rivaa la original. Por st motivo icarmos spcial atnción a como rivar funcions compustas, funcions implícitas así como a fctuar ivrsas rivacions sobr una misma función. Una las aplicacions las rivaas s la Rgla l Hôpital qu prmit rsolvr límits intrminaos miant rivación. OBJETIVOS DOCENTES Introucir l concpto rivaa, proporcionar su intrprtación gráfica ilustrar su intrprtación física. Sabr istinguir n qué puntos una función s rivabl y n qué puntos no amit rivaa. Familiarizars con l cálculo automático rivaas, con la rgla la cana para la rivación funcions compustas, con la rivación múltipl y finalmnt con la rivación implícita. Aquirir strza n l cálculo límits funcionals miant la rgla l Hôpital basaa n la rivación funcions. CONOCIMIENTOS PREVIOS Dao qu la rivación una función s una opración consistnt n l cálculo un límit n un punto on la función s continua, s rcomnabl prviamnt a la lctura st Matblock l abr ralizao un stuio tallao los siguints tmas: Funcions rals variabl ral. Límits funcions. Continuia n una imnsión. Asimismo también s muy aconsjabl qu s tnga un conociminto mínimo l programa Matca, qu incluya como calcular límits funcions. Por lo tanto, rcomnamos qu trabajéis los Matblocks: Uso básico l Matca n Análisis (I): cálculo simbólico y analítico, Funcions una variabl, Límits funcions y Continuia n una imnsión, ants mpzar con ést. Dspués abr trabajao st Matblock poéis aborar l Aplicacions las rivaas. Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

3 Drivación una función ral variabl ral CONCEPTOS FUNDAMENTALES La rivaa una función n un punto: finición Dcimos qu una función f () s rivabl n un punto a si ist l siguint límit: f ( a ) f ( D co sto quival a qu ista st otro límit: a f ( ) f ( a basta con substituir a. El valor stos límits, qu son quivalnts, rcib l nombr la ' ' rivaa la función f () n l punto a y s rprsnta f ( o f ( ). La rivaa una función n un punto s un númro ral qu mi cómo stá crcino la función n rlación con la variabl, n ico punto la variabl. Es important stacar qu si una función prsnta una iscontinuia n un punto, no ist la rivaa la función n aqul punto. Dico otra manra, si una función s rivabl n un punto, tin qu sr continua n st punto. a Intrprtación gométrica la rivaa: crciminto y crciminto La rivaa una función f n un punto a s pu rprsntar como la pnint la rcta tangnt a la gráfica f n l punto ( a, f a ). Por lo tanto, ( ). Allí on la gráfica f s ascnnt al rcorrrla izquira a rca, la función s crcint, la rcta tangnt tin pnint positiva y la rivaa s positiva.. Don la gráfica s scnnt, la función s crcint, la rcta tangnt tin pnint ngativa y la rivaa s ngativa.. En los puntos n qu la función ni sub, ni baja (qu son, ntr otros, las cumbrs y las onanaas), la tangnt n l grafo f s orizontal y, por tanto, la rivaa val cro. Intrprtación física la rivaa Daa una función y f () pomos calcular l cocint incrmntal ica función n a, s cir, l cocint ntr l incrmnto qu sufr la función y f ( ) f ( f ( a ) f (, al moificar la variabl un a con a. El cocint incrmntal o tasa mia variación la función y f () n l intrvalo a vin aa por: y f f ( ) f ( a ) a Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

4 Drivación una función ral variabl ral La rivaa s sta tasa mia variación cuano l incrmnto la variabl tin a cro alror un punto a o tasa instantána variación la función y f () n l punto a : y f a f ( ) f ( a Las siguints notacions son quivalnts para la rivaa qu mos prsao también como trs límits istintos: y a f '( ) a f a La primra notación s b a Libniz, la sguna s qu solmos usar n matmáticas mornas y la última s la utilizaa por Nwton. Función rivaa Es ncsario qu istingamos claramnt la rivaa una función n un punto, qu s un númro, y la función rivaa, qu s una función. La función rivaa una función f (qu s rprsnta como f ' ) s la qu nos a, para caa valor la variabl, la rivaa f '( ),. En algunas ocasions s utiliza la prsión rivaa f, tanto n l sntio rivaa numérica com n l función rivaa. Cálculo rivaas Aora qu ya tnmos una ia bastant clara lo qu s la rivaa y cuál s su utilia, tnmos qu acr un rsumn las rramintas qu nos van a prmitir calcularlas sin tnr qu aplicar la finición. Es cir aplicamos la finición para, por jmplo, l caso gnral suma os funcions y sabrmos qu para cualquir suma os funcions, la rivaa sra la suma las os rivaas. Función constant La rivaa una función constant s cro: f ( ) const. f '( ) Suma os funcions La rivaa una suma funcions s la suma las rivaas las funcions: f ( ) g( ) g ( ) f '( ) g'( ) g '( ). Esto también s cumpl para la ifrncia. Vamos a mostrar sta propia como jmplo mostración propias rivación. Empcmos scribino la rivaa la suma funcions: f ( a ) f ( g ( a ) g ( a ) g ( g ( Proycto -Mat 4 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

5 Drivación una función ral variabl ral al agrupar términos: g( a ) g( g ( a ) g ( g'( g '( como quríamos mostrar. Proucto os funcions La rivaa l proucto os funcions, f ) g( ) g ( ), s calcula sgún: ( f '( g'( g ( g( g '( En conscuncia, si c s una función constant tnmos: cf ( ) c f ( ) Función potncial Es fácil ucir la fórmula la rivaa una función potncial f ( ). Basta para llo utilizar la fórmula l proucto rivaas qu acabamos ar para, 4,, tc: n La rivaa, aplicano la rgla l proucto s: ( ) ; Utilizano l rsultao qu acabamos obtnr, la rivaa s: ( ) y la 4, substituyno l rsultao acabao obtnr: ( ) 4 Así, a partir la información sta scuncia, pomos llgar a infrir la prsión l término gnral: n n n Proycto -Mat 5 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

6 Drivación una función ral variabl ral Funcions trigonométricas Las funcions rivaas las principals funcions trigonométricas son las siguints: (sin( )) cos ( ) (arcsin( )) (cos( )) sin ( ) (arccos( )) (tan( )) cos ( ) (arctan( )) Funcions ponncial y logarítmica Las rivaas las funcions ponncial y logarítmica son las siguints: ( a ) a ln a (log a ) ln a y n particular, cuano utilizamos como bas l númro : ( ) (ln ) Rgla la cana Si tnmos una función compusta f ( ) g( g ( )), la rivaa srá: f '( ) g'( g ( )) g '( ) En notación ifrncial, si z s función y y s función, tnmos: z z y Encontraréis un jmplo rivación miant la sta rgla n Casos prácticos con softwar. y Drivación implícita La técnica la rivación implícita para calcular y' ( ) consist n rivar caa lao la prsión rspcto tnino n cunta n too momnto qu y s función. Esta técnica sirv para obtnr la rivaa cuano s imposibl spjar la y( ). Encontraréis un jmplo rivación implícita n Casos prácticos con softwar. Proycto -Mat 6 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

7 Drivación una función ral variabl ral Drivación múltipl Son mucas las aplicacions n las qu utilizamos la rivaa una rivaa. Llamamos a la rivaa la rivaa f, rivaa sguna f y s scrib f ''. En notación ifrncial, la rivaa sguna s scrib como: y y y s l rivaa sguna y rspcto os vcs. Análogamnt pomos finir la rivaa n-ésima y rspcto n vcs qu scribirmos: ( n) f n y n Rgla l Hôpital San f y g funcions rals variabl ral, continuas, tals qu f ( ) y g( ) o a bin qu ambos límits son nulos: f () y g(). Si ist a f ( ) también ist l, y ambos coincin: a g ( ) a f '( ) g a a '( ) ntoncs f ( ) a g( ) f '( ) a g'( ) Esta rgla s muy útil para rsolvr límits intrminaos como mostramos, n un jmplo, n Casos prácticos con softwar. CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE Cálculo rivaa una función n un punto a partir la finición rivaa Utilizano la finición rivaa, avriguarmos si las siguints funcions son rivabls n : f ( ) sin( ) b) g( ) ( ) c) ( ) En l caso qu san rivabls, proporcionarmos una intrprtación gométrica a las rivaas calculaas. La rivaa una función n un punto s la tasa instantána crciminto n ico punto: Proycto -Mat 7 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

8 Drivación una función ral variabl ral f '( f ( a ) f ( En a y para la función f() tnmos qu ambos límits latrals istn y son iguals a, ntoncs la rivaa n ico punto ist y s igual a : f ( ) sin( ) sin ( ) sin( ) La rivaa corrspon a la pnint la rcta tangnt a ico punto como pomos comprobar con la gráfica la función y su tangnt (z) n : ( ) j :.. :.( j ) y : sin z : j j j j j y z Para g() mos ralizar los siguints límits latrals utilizano la finición valor absoluto ( si > y si < ): ( ) ( ) ( ) ( ) Dao qu ambos límits no coincin, la rivaa n no ist. Vmos con Matca qu las rctas tangnts a g() por la izquira (z) y por la rca (z) ( pnints y -, rspctivamnt) no coincin: Proycto -Mat 8 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

9 j :.. :.( j ) y j j j Drivación una función ral variabl ral : ( ) z : z : j j j j y z z 5 5 Para l trcr jmplo con (), los límits latrals l cocint incrmntal coincin y pomos obtnr l valor la rivaa n : '( ) ( ) Con Matca obsrvamos qu la rcta tangnt (z) a la función n s fctivamnt una rcta orizontal pnint nula (igual a la rivaa n ico punto). j :.. :.( j ) y : z : j j ( j ) j y z La rivaa como tasa instantána crciminto: aplicacions cm Supongamos qu incamos un balón isotrópicamnt a un ritmo constant 6, y nos s prguntamos cual s la variación tmporal l raio cuano ést val actamnt cm. Suponino qu l raio l balón s cro n l instant inicial t, calcularmos también la tasa mia crciminto ntr los instants qu l raio l balón mia cm y 4cm. Proycto -Mat 9 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

10 Drivación una función ral variabl ral 4 Calculmos n primr lugar la función V(r), volumn l balón, V ( r) πr. Por la finición rivaa, sabmos qu la rivaa V(r) rspcto al timpo corrspon al ritmo qu sguimos cuano incamos l balón. Por lo tanto: V ( r) cm 6 () t s Utilizano la rgla la cana: V ( r) r r t cm 6 s La variación instantána l raio l balón qu tnmos qu calcular s prcisamnt r'( t) r t 6cm / s V / t 6cm / s 4π ( r( t)) Nos la pin cuano l raio mi cm. Substituyamos pus n la última prsión: 6cm / s 6cm / s r'( t, r cm) cm s 4π ( r( t)) 4π 9cm π Para obtnr la tasa mia crciminto ntr los instants n qu l raio val cm y 4cm basta iviir l incrmnto raios ntr l incrmnto timpos corrsponint. Intgrano la cuación () ntr r r(t ) y r f r(t f ) para r, y ntr t y t f para t obtnmos: 4 π ( r f r ) 6 t 4π Como mos supusto qu r t, ntoncs: t f r f. Los timpos buscaos son: 6 8π 64π t( r cm) s y t( r 4cm) s. La tasa mia crciminto l raio ntr stos os instants 7 7 corrspon a: r t ( t) π 7 cm s 8π 8 π 7 Cálculo automático rivaas. Rgla la Cana y rivación implícita Calculmos las rivaas las siguints funcions: Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

11 Drivación una función ral variabl ral ( ) b) f cos g( ) c) ( ) tg ) i ( cos ) Pomos rscribir f() como la composición trs funcions g((i())) on ( i) i y g( ). Aplicano la rgla la cana: i( ), g i ( g( ( i( )) ) ( ) i i( ) i ( ) i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Drivarmos utilizano la prsión para la rivaa l cocint funcions f f ' g fg' : g g cos ( sin )( cos ) ( cos )(sin ) sin cos ( cos ) ( cos ) c) Efctumos la sguna rivaa tg : cos sin cos cos 4 cos ( tg) cos ( sin ) sin cos tg cos ) A fin rivar la prsión y tommos logaritmos (nprianos para más comoia al rivar) n ambos laos la cuación ln( y) ln. Drivano implícitamnt rspcto obtnmos: y' ln y s cir: y' y(ln ) (ln ) Comprobamos las cuatro rivaas con Matca utilizano la rivación simbólica y las utilias simplify y substitut para consguir comparar con las prsions analíticas: Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

12 Drivación una función ral variabl ral p p b) ( cos () ) ( cos() ) sin() ( cos () ) ( cos() ) sin() ( cos() ) simplify sin() cos () cos () ( ) sin() substitut ( cos() cos(), cos() cos() ) ( cos () ) sin() ( cos () ) c) tan() ( ) tan() tan() substitut, tan() tan() cos () tan() sin() substitut, tan() sin() cos() cos () cos () cos () tan() cos() ) ( ln() ) Aplicación l cálculo ifrncial al computo límits: Rgla l Hôpital Calculmos los siguints límits: α β b) p p con p y q > q q utilizano la rgla l Hôpital. El límit n tin a cuano y, por lo tanto, pomos aplicar la rgla l Hôpital. Drivano l numraor y l nominaor obtnmos: Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

13 Drivación una función ral variabl ral β α β α β α β α β α )' ( )' ( Fijaros qu no calculamos los límits latrals por sparao pusto qu coincin como poéis comprobar. En l caso b) también pomos aplicar la rgla l Hôpital pusto qu l límit tin a cuano : q p q q p p q q p p qu simplificano nos conuc a: p q p q Comprobamos ambos rsultaos con Matca: α β α β b) p p ( ) q q ( ) p q Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

14 Drivación una función ral variabl ral CONCLUSIONES Hmos visto como pomos calcular la rivaa una función n un punto, qu nos inica la variación ica función n aqul punto. S trata una gnralización l concpto tasa variación mia para un ntorno l punto, muy pquño. La finición rivaa rposa n l co acr tnr a cro l tamaño ico intrvalo. La rivaa s pus la tasa variación instantána una función n un punto. La rivaa s intrprta gométricamnt como la pnint la rcta tangnt a la función n l punto consirao. Drivano una función n toos los puntos su ominio, pomos construir otra función qu llamarmos la función rivaa la primra función. Hmos prsntao rglas rivación automática qu nos prmitn rivar una prsión sin ncsia utilizar la finición. Para funcions compustas, s gran utilia la rgla la cana, mintras qu n aqullos casos n qu no s posibl spjar la función, bmos optar por la rivación implícita. Finalmnt mos prsntao la rgla l Hôpital para la rsolución límits funcions. Esta rgla, basaa n la rivación, s una las más comúnmnt utilizaas para rsolvr límits. BIBLIOGRAFÍA [] J. M. Ortga (99): Introucción al Análisis Matmático, Manuals la Univrsia Autónoma Barclona, Bllatrra. [] V.A. Kuryasvtsv an B.P. Dmiovic (98): A brif cours of Higr Matmatics, Mir Publisrs, Moscú, p [] T.A. Apostol (98): Calculus: Cálculo con funcions una variabl, con una introucción al álgbra linal, Rvrté, Barclona, p [4] M. R. Spigl (97): Manual Fórmulas y Tablas Matmáticas, Sri Compnios Scaum, McGraw-Hill, Mico, p [5] R. Calm, N. Coll, y M.R. Estla (99): Problmas cálculo, Micromar, Barclona, p [6] R. Courant an F. Jon (976): Introucción al Cálculo y al Análisis Matmático, Limusa, Méico, p y -4. [7] S. Martín Monllví (): Las ias básicas l cálculo, Eiuoc, Barclona, p [8] B. Dmiovic (978): Problmas y Ejrcicios Análisis Matmático, Paraninfo, Mari, p [9] T.M. Apostol (979): Análisis Matmático, Rvrté, Barclona, p Proycto -Mat 4 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

15 Drivación una función ral variabl ral ENLACES [W] [W] [W] [W4] [W5] [W6] [W7] [W8] [W9] ttp://www.sat.uma.s/matap/svral Página wb Salvaor Vra Ballstros, profsor l Dpartamnto Matmáticas Aplicaas la Univrsia Málaga. Contin apunts y problmas sobr rivación funcions rals una variabl. ttp://www.ugr.s/~pto_am/ocncia/ci_mat_calculo/apunts.tml Apunts, jrcicios, ámns y prácticas rivación n una imnsión. ttp://www.monografias.com/trabajos/monogrr/monogrr.stml Artículo sobr la iáctica las matmáticas n ingniría. Trata la rivación. ttp://mat.uprm.u/ Rsumn conciso las propias las sris potncias. Incluy rivación intgración. ttp://www.unizar.s/analisis_matmatico/analisis/apunts/ Apunts sris rivaas. ttp://www.unizar.s/analisis_matmatico/analisis/problmas/ Problmas y jrcicios rivaas. ttp://plantmat.org/ncyclopia/drivativ.tml Página wb PlantMat.org icaa a la rivación. S trata un rsumn muy prciso n inglés. ttp://www.lafacu.com/apunts/matmatica/riva/fault.tm Apunts sobr l cálculo la rivaa. ttp://www.lafacu.com/apunts/matmatica/varios/rivabilia.tm Apunts sobr rivabilia una función. [W] ttp://www.lafacu.com/apunts/matmatica/ri_conc/fault.tm Apunts sobr aspctos gométricos la rivaa. [W] ttp://www.lafacu.com/apunts/matmatica/funcions_rivabls/fault.tm Apunts sobr funcions rivabls. Proycto -Mat 5 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

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