DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL"

Transcripción

1 Drivación una función ral variabl ral DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Autor: Patrici Molinàs Mata José Francisco Martínz Boscá ESQUEMA DE CONTENIDOS Crciminto una función Dfinición Intrprtación gométrica y sntio físico DERIVADA DE UNA FUNCIÓN n un punto Función rivaa Cálculo la rivaa funcions Rgla la cana Drivación implítica Rgla l Hôpital para l cálculo límits intrminaos Drivación múltipl Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

2 Drivación una función ral variabl ral INTRODUCCIÓN La rivación constituy una las opracions mayor importancia cuano tratamos funcions rals variabl ral pusto qu nos inica la tasa variación la función n un instant trminao o para un valor trminao la variabl, si ésta no s l timpo. Por tanto, la rivaa una función para un valor la variabl s la tasa variación instantána ica función y para l valor concrto la variabl. D co, una variación n un instant timpo trminao o para un valor concrto la variabl rivación s pu ntnr como una variación mia cuano l intrvalo usao para la obtnción ica mia tin a cro. Así la rivaa s l límit la tasa variación mia alror un valor la variabl cuano l intrvalo mición tin a cro. Amás sabr calcular la rivaa una función n un punto, s convnint sr capaz trminar rápiamnt la función rivaa cualquir función. La rivaa nos informará con qué clria va cambiano l valor la función n l punto consirao. Est Matblock stá icao prcisamnt a aprnr tanto a calcular l valor la rivaa una función n un punto como a sabr obtnr la función rivaa la original. Por st motivo icarmos spcial atnción a como rivar funcions compustas, funcions implícitas así como a fctuar ivrsas rivacions sobr una misma función. Una las aplicacions las rivaas s la Rgla l Hôpital qu prmit rsolvr límits intrminaos miant rivación. OBJETIVOS DOCENTES Introucir l concpto rivaa, proporcionar su intrprtación gráfica ilustrar su intrprtación física. Sabr istinguir n qué puntos una función s rivabl y n qué puntos no amit rivaa. Familiarizars con l cálculo automático rivaas, con la rgla la cana para la rivación funcions compustas, con la rivación múltipl y finalmnt con la rivación implícita. Aquirir strza n l cálculo límits funcionals miant la rgla l Hôpital basaa n la rivación funcions. CONOCIMIENTOS PREVIOS Dao qu la rivación una función s una opración consistnt n l cálculo un límit n un punto on la función s continua, s rcomnabl prviamnt a la lctura st Matblock l abr ralizao un stuio tallao los siguints tmas: Funcions rals variabl ral. Límits funcions. Continuia n una imnsión. Asimismo también s muy aconsjabl qu s tnga un conociminto mínimo l programa Matca, qu incluya como calcular límits funcions. Por lo tanto, rcomnamos qu trabajéis los Matblocks: Uso básico l Matca n Análisis (I): cálculo simbólico y analítico, Funcions una variabl, Límits funcions y Continuia n una imnsión, ants mpzar con ést. Dspués abr trabajao st Matblock poéis aborar l Aplicacions las rivaas. Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

3 Drivación una función ral variabl ral CONCEPTOS FUNDAMENTALES La rivaa una función n un punto: finición Dcimos qu una función f () s rivabl n un punto a si ist l siguint límit: f ( a ) f ( D co sto quival a qu ista st otro límit: a f ( ) f ( a basta con substituir a. El valor stos límits, qu son quivalnts, rcib l nombr la ' ' rivaa la función f () n l punto a y s rprsnta f ( o f ( ). La rivaa una función n un punto s un númro ral qu mi cómo stá crcino la función n rlación con la variabl, n ico punto la variabl. Es important stacar qu si una función prsnta una iscontinuia n un punto, no ist la rivaa la función n aqul punto. Dico otra manra, si una función s rivabl n un punto, tin qu sr continua n st punto. a Intrprtación gométrica la rivaa: crciminto y crciminto La rivaa una función f n un punto a s pu rprsntar como la pnint la rcta tangnt a la gráfica f n l punto ( a, f a ). Por lo tanto, ( ). Allí on la gráfica f s ascnnt al rcorrrla izquira a rca, la función s crcint, la rcta tangnt tin pnint positiva y la rivaa s positiva.. Don la gráfica s scnnt, la función s crcint, la rcta tangnt tin pnint ngativa y la rivaa s ngativa.. En los puntos n qu la función ni sub, ni baja (qu son, ntr otros, las cumbrs y las onanaas), la tangnt n l grafo f s orizontal y, por tanto, la rivaa val cro. Intrprtación física la rivaa Daa una función y f () pomos calcular l cocint incrmntal ica función n a, s cir, l cocint ntr l incrmnto qu sufr la función y f ( ) f ( f ( a ) f (, al moificar la variabl un a con a. El cocint incrmntal o tasa mia variación la función y f () n l intrvalo a vin aa por: y f f ( ) f ( a ) a Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

4 Drivación una función ral variabl ral La rivaa s sta tasa mia variación cuano l incrmnto la variabl tin a cro alror un punto a o tasa instantána variación la función y f () n l punto a : y f a f ( ) f ( a Las siguints notacions son quivalnts para la rivaa qu mos prsao también como trs límits istintos: y a f '( ) a f a La primra notación s b a Libniz, la sguna s qu solmos usar n matmáticas mornas y la última s la utilizaa por Nwton. Función rivaa Es ncsario qu istingamos claramnt la rivaa una función n un punto, qu s un númro, y la función rivaa, qu s una función. La función rivaa una función f (qu s rprsnta como f ' ) s la qu nos a, para caa valor la variabl, la rivaa f '( ),. En algunas ocasions s utiliza la prsión rivaa f, tanto n l sntio rivaa numérica com n l función rivaa. Cálculo rivaas Aora qu ya tnmos una ia bastant clara lo qu s la rivaa y cuál s su utilia, tnmos qu acr un rsumn las rramintas qu nos van a prmitir calcularlas sin tnr qu aplicar la finición. Es cir aplicamos la finición para, por jmplo, l caso gnral suma os funcions y sabrmos qu para cualquir suma os funcions, la rivaa sra la suma las os rivaas. Función constant La rivaa una función constant s cro: f ( ) const. f '( ) Suma os funcions La rivaa una suma funcions s la suma las rivaas las funcions: f ( ) g( ) g ( ) f '( ) g'( ) g '( ). Esto también s cumpl para la ifrncia. Vamos a mostrar sta propia como jmplo mostración propias rivación. Empcmos scribino la rivaa la suma funcions: f ( a ) f ( g ( a ) g ( a ) g ( g ( Proycto -Mat 4 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

5 Drivación una función ral variabl ral al agrupar términos: g( a ) g( g ( a ) g ( g'( g '( como quríamos mostrar. Proucto os funcions La rivaa l proucto os funcions, f ) g( ) g ( ), s calcula sgún: ( f '( g'( g ( g( g '( En conscuncia, si c s una función constant tnmos: cf ( ) c f ( ) Función potncial Es fácil ucir la fórmula la rivaa una función potncial f ( ). Basta para llo utilizar la fórmula l proucto rivaas qu acabamos ar para, 4,, tc: n La rivaa, aplicano la rgla l proucto s: ( ) ; Utilizano l rsultao qu acabamos obtnr, la rivaa s: ( ) y la 4, substituyno l rsultao acabao obtnr: ( ) 4 Así, a partir la información sta scuncia, pomos llgar a infrir la prsión l término gnral: n n n Proycto -Mat 5 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

6 Drivación una función ral variabl ral Funcions trigonométricas Las funcions rivaas las principals funcions trigonométricas son las siguints: (sin( )) cos ( ) (arcsin( )) (cos( )) sin ( ) (arccos( )) (tan( )) cos ( ) (arctan( )) Funcions ponncial y logarítmica Las rivaas las funcions ponncial y logarítmica son las siguints: ( a ) a ln a (log a ) ln a y n particular, cuano utilizamos como bas l númro : ( ) (ln ) Rgla la cana Si tnmos una función compusta f ( ) g( g ( )), la rivaa srá: f '( ) g'( g ( )) g '( ) En notación ifrncial, si z s función y y s función, tnmos: z z y Encontraréis un jmplo rivación miant la sta rgla n Casos prácticos con softwar. y Drivación implícita La técnica la rivación implícita para calcular y' ( ) consist n rivar caa lao la prsión rspcto tnino n cunta n too momnto qu y s función. Esta técnica sirv para obtnr la rivaa cuano s imposibl spjar la y( ). Encontraréis un jmplo rivación implícita n Casos prácticos con softwar. Proycto -Mat 6 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

7 Drivación una función ral variabl ral Drivación múltipl Son mucas las aplicacions n las qu utilizamos la rivaa una rivaa. Llamamos a la rivaa la rivaa f, rivaa sguna f y s scrib f ''. En notación ifrncial, la rivaa sguna s scrib como: y y y s l rivaa sguna y rspcto os vcs. Análogamnt pomos finir la rivaa n-ésima y rspcto n vcs qu scribirmos: ( n) f n y n Rgla l Hôpital San f y g funcions rals variabl ral, continuas, tals qu f ( ) y g( ) o a bin qu ambos límits son nulos: f () y g(). Si ist a f ( ) también ist l, y ambos coincin: a g ( ) a f '( ) g a a '( ) ntoncs f ( ) a g( ) f '( ) a g'( ) Esta rgla s muy útil para rsolvr límits intrminaos como mostramos, n un jmplo, n Casos prácticos con softwar. CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE Cálculo rivaa una función n un punto a partir la finición rivaa Utilizano la finición rivaa, avriguarmos si las siguints funcions son rivabls n : f ( ) sin( ) b) g( ) ( ) c) ( ) En l caso qu san rivabls, proporcionarmos una intrprtación gométrica a las rivaas calculaas. La rivaa una función n un punto s la tasa instantána crciminto n ico punto: Proycto -Mat 7 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

8 Drivación una función ral variabl ral f '( f ( a ) f ( En a y para la función f() tnmos qu ambos límits latrals istn y son iguals a, ntoncs la rivaa n ico punto ist y s igual a : f ( ) sin( ) sin ( ) sin( ) La rivaa corrspon a la pnint la rcta tangnt a ico punto como pomos comprobar con la gráfica la función y su tangnt (z) n : ( ) j :.. :.( j ) y : sin z : j j j j j y z Para g() mos ralizar los siguints límits latrals utilizano la finición valor absoluto ( si > y si < ): ( ) ( ) ( ) ( ) Dao qu ambos límits no coincin, la rivaa n no ist. Vmos con Matca qu las rctas tangnts a g() por la izquira (z) y por la rca (z) ( pnints y -, rspctivamnt) no coincin: Proycto -Mat 8 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

9 j :.. :.( j ) y j j j Drivación una función ral variabl ral : ( ) z : z : j j j j y z z 5 5 Para l trcr jmplo con (), los límits latrals l cocint incrmntal coincin y pomos obtnr l valor la rivaa n : '( ) ( ) Con Matca obsrvamos qu la rcta tangnt (z) a la función n s fctivamnt una rcta orizontal pnint nula (igual a la rivaa n ico punto). j :.. :.( j ) y : z : j j ( j ) j y z La rivaa como tasa instantána crciminto: aplicacions cm Supongamos qu incamos un balón isotrópicamnt a un ritmo constant 6, y nos s prguntamos cual s la variación tmporal l raio cuano ést val actamnt cm. Suponino qu l raio l balón s cro n l instant inicial t, calcularmos también la tasa mia crciminto ntr los instants qu l raio l balón mia cm y 4cm. Proycto -Mat 9 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

10 Drivación una función ral variabl ral 4 Calculmos n primr lugar la función V(r), volumn l balón, V ( r) πr. Por la finición rivaa, sabmos qu la rivaa V(r) rspcto al timpo corrspon al ritmo qu sguimos cuano incamos l balón. Por lo tanto: V ( r) cm 6 () t s Utilizano la rgla la cana: V ( r) r r t cm 6 s La variación instantána l raio l balón qu tnmos qu calcular s prcisamnt r'( t) r t 6cm / s V / t 6cm / s 4π ( r( t)) Nos la pin cuano l raio mi cm. Substituyamos pus n la última prsión: 6cm / s 6cm / s r'( t, r cm) cm s 4π ( r( t)) 4π 9cm π Para obtnr la tasa mia crciminto ntr los instants n qu l raio val cm y 4cm basta iviir l incrmnto raios ntr l incrmnto timpos corrsponint. Intgrano la cuación () ntr r r(t ) y r f r(t f ) para r, y ntr t y t f para t obtnmos: 4 π ( r f r ) 6 t 4π Como mos supusto qu r t, ntoncs: t f r f. Los timpos buscaos son: 6 8π 64π t( r cm) s y t( r 4cm) s. La tasa mia crciminto l raio ntr stos os instants 7 7 corrspon a: r t ( t) π 7 cm s 8π 8 π 7 Cálculo automático rivaas. Rgla la Cana y rivación implícita Calculmos las rivaas las siguints funcions: Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

11 Drivación una función ral variabl ral ( ) b) f cos g( ) c) ( ) tg ) i ( cos ) Pomos rscribir f() como la composición trs funcions g((i())) on ( i) i y g( ). Aplicano la rgla la cana: i( ), g i ( g( ( i( )) ) ( ) i i( ) i ( ) i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Drivarmos utilizano la prsión para la rivaa l cocint funcions f f ' g fg' : g g cos ( sin )( cos ) ( cos )(sin ) sin cos ( cos ) ( cos ) c) Efctumos la sguna rivaa tg : cos sin cos cos 4 cos ( tg) cos ( sin ) sin cos tg cos ) A fin rivar la prsión y tommos logaritmos (nprianos para más comoia al rivar) n ambos laos la cuación ln( y) ln. Drivano implícitamnt rspcto obtnmos: y' ln y s cir: y' y(ln ) (ln ) Comprobamos las cuatro rivaas con Matca utilizano la rivación simbólica y las utilias simplify y substitut para consguir comparar con las prsions analíticas: Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

12 Drivación una función ral variabl ral p p b) ( cos () ) ( cos() ) sin() ( cos () ) ( cos() ) sin() ( cos() ) simplify sin() cos () cos () ( ) sin() substitut ( cos() cos(), cos() cos() ) ( cos () ) sin() ( cos () ) c) tan() ( ) tan() tan() substitut, tan() tan() cos () tan() sin() substitut, tan() sin() cos() cos () cos () cos () tan() cos() ) ( ln() ) Aplicación l cálculo ifrncial al computo límits: Rgla l Hôpital Calculmos los siguints límits: α β b) p p con p y q > q q utilizano la rgla l Hôpital. El límit n tin a cuano y, por lo tanto, pomos aplicar la rgla l Hôpital. Drivano l numraor y l nominaor obtnmos: Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

13 Drivación una función ral variabl ral β α β α β α β α β α )' ( )' ( Fijaros qu no calculamos los límits latrals por sparao pusto qu coincin como poéis comprobar. En l caso b) también pomos aplicar la rgla l Hôpital pusto qu l límit tin a cuano : q p q q p p q q p p qu simplificano nos conuc a: p q p q Comprobamos ambos rsultaos con Matca: α β α β b) p p ( ) q q ( ) p q Proycto -Mat Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

14 Drivación una función ral variabl ral CONCLUSIONES Hmos visto como pomos calcular la rivaa una función n un punto, qu nos inica la variación ica función n aqul punto. S trata una gnralización l concpto tasa variación mia para un ntorno l punto, muy pquño. La finición rivaa rposa n l co acr tnr a cro l tamaño ico intrvalo. La rivaa s pus la tasa variación instantána una función n un punto. La rivaa s intrprta gométricamnt como la pnint la rcta tangnt a la función n l punto consirao. Drivano una función n toos los puntos su ominio, pomos construir otra función qu llamarmos la función rivaa la primra función. Hmos prsntao rglas rivación automática qu nos prmitn rivar una prsión sin ncsia utilizar la finición. Para funcions compustas, s gran utilia la rgla la cana, mintras qu n aqullos casos n qu no s posibl spjar la función, bmos optar por la rivación implícita. Finalmnt mos prsntao la rgla l Hôpital para la rsolución límits funcions. Esta rgla, basaa n la rivación, s una las más comúnmnt utilizaas para rsolvr límits. BIBLIOGRAFÍA [] J. M. Ortga (99): Introucción al Análisis Matmático, Manuals la Univrsia Autónoma Barclona, Bllatrra. [] V.A. Kuryasvtsv an B.P. Dmiovic (98): A brif cours of Higr Matmatics, Mir Publisrs, Moscú, p [] T.A. Apostol (98): Calculus: Cálculo con funcions una variabl, con una introucción al álgbra linal, Rvrté, Barclona, p [4] M. R. Spigl (97): Manual Fórmulas y Tablas Matmáticas, Sri Compnios Scaum, McGraw-Hill, Mico, p [5] R. Calm, N. Coll, y M.R. Estla (99): Problmas cálculo, Micromar, Barclona, p [6] R. Courant an F. Jon (976): Introucción al Cálculo y al Análisis Matmático, Limusa, Méico, p y -4. [7] S. Martín Monllví (): Las ias básicas l cálculo, Eiuoc, Barclona, p [8] B. Dmiovic (978): Problmas y Ejrcicios Análisis Matmático, Paraninfo, Mari, p [9] T.M. Apostol (979): Análisis Matmático, Rvrté, Barclona, p Proycto -Mat 4 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

15 Drivación una función ral variabl ral ENLACES [W] [W] [W] [W4] [W5] [W6] [W7] [W8] [W9] ttp://www.sat.uma.s/matap/svral Página wb Salvaor Vra Ballstros, profsor l Dpartamnto Matmáticas Aplicaas la Univrsia Málaga. Contin apunts y problmas sobr rivación funcions rals una variabl. ttp://www.ugr.s/~pto_am/ocncia/ci_mat_calculo/apunts.tml Apunts, jrcicios, ámns y prácticas rivación n una imnsión. ttp://www.monografias.com/trabajos/monogrr/monogrr.stml Artículo sobr la iáctica las matmáticas n ingniría. Trata la rivación. ttp://mat.uprm.u/ Rsumn conciso las propias las sris potncias. Incluy rivación intgración. ttp://www.unizar.s/analisis_matmatico/analisis/apunts/ Apunts sris rivaas. ttp://www.unizar.s/analisis_matmatico/analisis/problmas/ Problmas y jrcicios rivaas. ttp://plantmat.org/ncyclopia/drivativ.tml Página wb PlantMat.org icaa a la rivación. S trata un rsumn muy prciso n inglés. ttp://www.lafacu.com/apunts/matmatica/riva/fault.tm Apunts sobr l cálculo la rivaa. ttp://www.lafacu.com/apunts/matmatica/varios/rivabilia.tm Apunts sobr rivabilia una función. [W] ttp://www.lafacu.com/apunts/matmatica/ri_conc/fault.tm Apunts sobr aspctos gométricos la rivaa. [W] ttp://www.lafacu.com/apunts/matmatica/funcions_rivabls/fault.tm Apunts sobr funcions rivabls. Proycto -Mat 5 Financiao por la Scrtaría Estao Eucación y Univrsias (MECD)

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D

LIMITES DE FUNCIONES EN 1D LIMITES DE FUNCIONES EN D Límits d funcions n D Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.du), José Francisco Martínz Boscá (jmartinzbos@uoc.du) ESQUEMA DE CONTENIDOS Dfinición Límits latrals LÍMITE DE

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Calcular los dominios d dfinición d las siguints funcions: a) f( ) 6 b) f( ) c) f( ) ln d) f( ) arctg 3 4 ) f( ) f) f( ) 5 g) f( ) sn 9 h) 4 4

Más detalles

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. FUNCIÓN EXPONENCIAL n Hmos stado manjando n st trabajo prsions dl tipo n dond s una variabl llamada bas n una constant llamada ponnt, si intrcambiamos d lugar

Más detalles

NÚMEROS COMPLEJOS. Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezb@uoc.edu) NÚMEROS COMPLEJOS

NÚMEROS COMPLEJOS. Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezb@uoc.edu) NÚMEROS COMPLEJOS Númros complos NÚMEROS COMPLEJOS Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.du), José Francisco Martín Boscá (martinb@uoc.du) MAPA CONCEPTUAL Dfinición Fórmula d Cardano NÚMEROS COMPLEJOS Rsolución d cuacions

Más detalles

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c)

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO., entonces existe algún punto c (a, b) tal que f ( c) TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Torma d Roll Si f () s continua n [a, b] y drivabl n (a, b), y si f (, ntoncs ist algún punto c (a, b) tal qu Intrprtación gométrica: ist un punto al mnos d s intrvalo, n l qu

Más detalles

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2

COMPUTACIÓN. Práctica nº 2 Matmáticas Computación COMPUTACIÓN Práctica nº NÚMEROS REALES Eistn algunos númros irracionals prdfinidos n Maima como son l númro π l númro qu s corrspondn con los símbolos %pi % rspctivamnt. Otros númros

Más detalles

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7

GESTIÓN ACADÉMICA GUÍA DIDÁCTICA 7 VERSIÓN:.0 FECHA: 19-06-01 I.E. COLEGIO ANDRÉS BELLO PÁGINA: 1 d 9 Nombrs y Apllidos dl Estudiant: Docnt: ALEXANDRA URIBE Ára: Matmáticas Grado: UNDÉCIMO Priodo: TERCERO GUIA 7 Duración: 0 horas Asignatura:

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES.

LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITES DE FUNCIONES. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Sa y una unción ral d variabl ral. D una manra intuitiva y oco rcisa, dirmos qu l it d s L, cuando s aroima a, si ocurr qu cuanto más róimo sté

Más detalles

REPRESENTACION GRAFICA.

REPRESENTACION GRAFICA. REPRESENTACION GRAFICA. Calcular puntos notabls así como intrvalos d monotonía y curvatura d: ² - = 0 ; ² = ; = son los valors d qu anulan l dnominador D = R- y () = 0 ; - 4 = 0 ; = 0 posibl ma, min Monotonia:

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS.

FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS. Prof., Enriqu Matus Nivs Doctorano n Eucación Matmática. FUNCIONES EXPONENCIAL, LOGARÍTMICA Y SUS DERIVADAS. Una función ponncial s aqulla n la qu la variabl stá n l ponnt. Algunos - - -5 jmplos funcions

Más detalles

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN

INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODOS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN El almán Gottfrid Libniz (66-76), quin, junto con su antagonista l inglés Isaac Nwton (6-77), fu l crador dl cálculo infinitsimal. MATEMÁTICAS II

Más detalles

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CURSO: MODELOS DE SISTEMAS CÁLCULO DE RESIDUOS Y SUS APLICACIONES INSTITUTO TENOLÓGIO DE OSTA RIA ESUELA DE INGENIERÍA ELETRÓNIA URSO: MODELOS DE SISTEMAS ÁLULO DE RESIDUOS Y SUS APLIAIONES ING. FAUSTINO MONTES DE OA FEBRERO DE álculo d Rsiduos y sus Aplicacions INDIE

Más detalles

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos:

Convocatoria de Febrero 26 de Enero de 2007. Nombre y Apellidos: Univrsidad d Vigo Dpartamnto d Matmática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria d Fbrro 6 d Enro d 007 Nombr y Apllidos: DNI: (4.5 p.) ) S considra la función f(x) = x ln(x). (0.5 p.) (a) Calcular

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5

GRUPOS Y SEMIGRUPOS. Unidad 5 GRUPOS Y SEMIGRUPOS En sta unidad studiarmos algunas d las structuras algbraicas qu s utilizan n Toría d Codificación y también n l studio d máquinas d stado finito, como por jmplo los autómatas qu vrmos

Más detalles

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN

ANÁLISIS DEL AMPLIFICADOR EN EMISOR COMÚN ANÁLISIS DL AMPLIFIADO N MISO OMÚN Jsús Pizarro Pláz. INTODUIÓN... 2. ANÁLISIS N ONTINUA... 2 3. TA D AGA N ALTNA... 3 4. IUITO QUIALNT D ALTNA... 4 5. FUNIONAMINTO... 7 NOTAS... 8. INTODUIÓN l amplificador

Más detalles

APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN EN MONEDA EXTRANJERA AGOSTO 2008 LIMA PERÚ

APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN EN MONEDA EXTRANJERA AGOSTO 2008 LIMA PERÚ Capítulo Nº 8: La rntabilidad n monda nacional d una invrsión n monda xtranjra Marco Antonio Plaza Vidaurr APUNTES DE CLASE MACROECONOMÍA CAPÍTULO Nº 8 LA RENTABILIDAD EN MONEDA NACIONAL DE UNA INVERSIÓN

Más detalles

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES

Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES Marclo Romo Proaño Escula Politécnica dl Ejército - Ecuador Capítulo V CONDICIONES DE FRONTERA Y MODELAMIENTO NUMÉRICO EN ECUACIONES DIFERENCIALES 5. CONDICIONES DE FRONTERA: Dbido a qu muchos problmas

Más detalles

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO

9 TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS EN EL PLANO 9 TRSLINES, GIRS SIMETRÍS EN EL PLN EJERIIS PRPUESTS 9. ibuja un parallogramo y razona qué pars d vctors dtrminados por los vértics son quipolnts. Son quipolnts los qu son parallos y dl mismo sntido, y

Más detalles

Para que exista límite de una f(x) en un punto han de coincidir los límites laterales en dicho punto.

Para que exista límite de una f(x) en un punto han de coincidir los límites laterales en dicho punto. REPASO LÍMITES º BACH. RECORDAR: Para qu ista límit d una f() n un punto han d coincidir los límits latrals n dicho punto. A fctos dl f() no tnmos n cunta lo qu ocurr actamnt n a, sino n las a proimidads.

Más detalles

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA

VARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA AIAIÓN DE IMPEDANIAS ON A FEUENIA EN IUITOS DE OIENTE ATENA Fundamnto as impdancias d condnsadors bobinas varían con la frcuncia n los circuitos d corrint altrna. onsidrarmos por sparado circuitos simpls.

Más detalles

Funciones de Variable Compleja

Funciones de Variable Compleja Funcions d Variabl Complja Modlos d Sistmas II Smstr 2008 Ing. Gabrila Ortiz L 1 Función Concpto Matmático Considrando los conjuntos X Y una función comprnd una rlación o rgla qu asocia a cada lmnto x

Más detalles

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas

Ejercicios resueltos Distribuciones discretas y continuas ROBABILIDAD ESADÍSICA (Espcialidads: Civil-Eléctrica-Mcánica-Química) Ejrcicios rsultos Distribucions discrtas y continuas ) La rsistncia a la comprsión d una mustra d cmnto s una variabl alatoria qu s

Más detalles

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezbos@uoc.edu) ESQUEMA DE CONTENIDOS Cálculo de los límites laterales

Más detalles

Tema 3 La economía de la información

Tema 3 La economía de la información jrcicios rsultos d Microconomía. quilibrio gnral y conomía d la información rnando Prra Tallo Olga María odríguz odríguz Tma La conomía d la información http://bit.ly/8l8u jrcicio : na mprsa d frtilizants

Más detalles

Ecuación para cirquitones en líneas de transmisión con carga eléctrica discreta. K. J. Candía

Ecuación para cirquitones en líneas de transmisión con carga eléctrica discreta. K. J. Candía Ecuación para cirquitons n ínas d transmisión con carga éctrica discrta. K. J. Candía Dpartamnto d Ectrónica, Univrsidad d Tarapacá, Arica, Chi Emai: kchandia@uta.c Rsumn En sta Chara s mustra un mcanismo

Más detalles

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm

Problemas Resueltos. el radio de la órbita circular, y la energía tiene el valor GMm 2 = a GM. 0. Es decir, 2 T 4π. GMm Problmas sultos.0 Un satélit dscrib una órbita circular n torno a la Tirra. Si s cambia d rpnt la dircción d su vlocidad, pro no su módulo, studiar l cambio n su órbita y n su príodo. Al cambiar sólo la

Más detalles

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación

ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y representación LÍMITES Cálculo y rprsntación...... 7. 8. - + + - - + + - + - ( + ) - + + - - + + 9. + - +. + - + - 9. + -. + + + - +. + + +. + + + -. +. + - ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Cálculo y rprsntación. y = - +.

Más detalles

( ) 2. Pendiente de una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en x. 1. Para definir la pendiente de la recta tangente ( )

( ) 2. Pendiente de una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en x. 1. Para definir la pendiente de la recta tangente ( ) Derivaa e una Función Ínice.. Introucción.. Peniente e una recta tangente.. Derivaa e una función. 4. Derivaas laterales. 5. Derivaa e una función compuesta (Regla e la Caena). 6. Tabla e erivaas usuales.

Más detalles

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler.

5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. 5. Convgncia d intgals impopias. Las funcions Γ y Β d Eul. La foma haitual d calcula una intgal impopia, po jmplo dl intgando, aplica

Más detalles

MANUAL DE BUENAS PRÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DE OBJETOS DE APRENDIZAJE VERSIÓN 1

MANUAL DE BUENAS PRÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DE OBJETOS DE APRENDIZAJE VERSIÓN 1 MANUAL DE BUENAS PRÁCTICAS PARA EL DESARROLLO DE OBJETOS DE APRENDIZAJE VERSIÓN 1 Chil, agosto d 2005 El prsnt manual rprsnta la visión dl quipo d profsionals prtncints al Proycto FONDEF Aprndindo con

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas y x 12x 2 y log 2 x ln x e e y ln 1 x . Drivar las siguints funcions simplificar l rsultado n la mdida d lo posibl. ) 4) 7) ) 4 5 5 5 7 5) 8) ) 5 6) 5 9) 4 5 0) ) 7 ) ) 4) 4 5) 6) 7) 8) 9) ) 5) 0) 4 ln ) ln log 6) ln 8) ln ) 9) ) 5) 4) 7)

Más detalles

Mercados Financieros y Expectativas Profesor: Carlos R. Pitta CAPÍTULO 8. Macroeconomía General

Mercados Financieros y Expectativas Profesor: Carlos R. Pitta CAPÍTULO 8. Macroeconomía General Univrsidad Austral d Chil Escula d Ingniría Comrcial Macroconomía Gnral CAPÍTULO 8 Mrcados Financiros y Expctativas Profsor: Carlos R. Pitta Macroconomía Gnral, Prof. Carlos R. Pitta, Univrsidad Austral

Más detalles

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2. 5.1. Introducción. 5.2. Reducción de orden APITULO 5. EUAIONES DIFERENIALES DE ORDEN N 5.. Introducción Una cuación difrncial d sgundo ordn s una prsión matmática n la qu s rlaciona una función con sus drivadas primra sgunda. Es dcir, una prsión

Más detalles

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8

Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias). Soluciones de los problemas propuestos. Tema 8 Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 7 TEMA 8 Drivadas Tormas Rgla d L Hôpital Problmas Rsultos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula

Más detalles

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Matmáticas º Bachillrato. Prosora: María José Sánchz Quvdo REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Para l studio y rprsntación d una unción s sigun los siguints pasos:. Dominio d dinición y d continuidad.. Corts con

Más detalles

RESUMEN MOTORES CORRIENTE CONTINUA

RESUMEN MOTORES CORRIENTE CONTINUA RESMEN MOTORES CORRENTE CONTNA Los motors léctricos convirtn la nrgía léctrica n nrgía mcánica. Así, la corrint léctrica tomada d la rd rcorr las bobinas o dvanados dl motor, n cuyo intrior s cran campos

Más detalles

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Autor: Patrici Molinàs Mata (pmolinas@uoc.edu), José Francisco Martínez Boscá (jmartinezbos@uoc.edu) ESQUEMA DE CONTENIDOS Definición FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Ejemplos

Más detalles

1 TEODORO AGUSTíN LÓPEZ y LÓPEZ

1 TEODORO AGUSTíN LÓPEZ y LÓPEZ -----------.------------ CALENDARIOS Y FESTIVIDADES 1 TEODORO AGUSTíN LÓPEZ y LÓPEZ Ants d qu l concpto «timpo» fus objto d studio n la historia dl pnsaminto grigo, surgn sistmas difrnts d mdir l timpo

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 2011 IES Fco Ayala d Granada Sptimbr d 0 (Modlo ) Grmán-Jsús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 0-0 MATEMÁTICAS II Opción A Ejrcicio opción A, modlo Sptimbr 0 k si

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES

PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES PROBLEMAS RESUELTOS DE RECTAS TANGENTES Y NORMALES ) (Part d un problma d Slctividad d Cincias y Tcnología 007) Sa f: R R la función dfinida por f() =. Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica

Más detalles

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco

UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Maritza de Franco UNA INVITACIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. Marita d Franco A Francisco José, Shrl, Marión, Paola, Constanc, Luis Migul Migul. AGRADECIMIENTOS Al Ing. Pdro Rangl por su comprnsión,

Más detalles

Becas INSTITUTO, CIUDEN-ULE PARA LA REALIZACION DE PROGRAMAS DE POSGRADO 2013.

Becas INSTITUTO, CIUDEN-ULE PARA LA REALIZACION DE PROGRAMAS DE POSGRADO 2013. lón él Bcas INSTITUTO, CIUDEN-ULE PARA LA REALIZACION DE PROGRAMAS DE POSGRADO 2013. BASES El Instituto Ciun-UL Tcnologías CAC y Dsarrollo Trritorial convoca cuatro bcas para ralización, n Institucions

Más detalles

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS

CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS CAPÍTULO 14: LAS EXPECTATIVAS: LOS INSTRUMENTOS BÁSICOS 14-1 Los tipos d intrés nominals y rals Slid 14.2 Los tipos d intrés xprsados n unidads d la monda nacional s dnominan tipos d intrés nominals. Los

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE MURCIA JUNIO 2012 (GENERAL) MATEMÁTICAS II SOLUCIONES Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos ----------

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE MURCIA JUNIO 2012 (GENERAL) MATEMÁTICAS II SOLUCIONES Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos ---------- IES ASTELAR BADAJOZ A nguino PRUEBA DE AESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE URIA JUNIO (GENERAL) ATEÁTIAS II SOLUIONES Timpo máimo: hors minutos Osrvcions importnts: El lumno drá rspondr tods ls custions d un d

Más detalles

TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES

TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES TEMAS 3-6: EJERCICIOS ADICIONALES Asignatura: Economía y Mdio Ambint Titulación: Grado n cincias ambintals Curso: 2º Smstr: 1º Curso 2010-2011 Profsora: Inmaculada C. Álvarz Ayuso Inmaculada.alvarz@uam.s

Más detalles

26 EJERCICIOS de LOGARITMOS

26 EJERCICIOS de LOGARITMOS 6 EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.

Más detalles

EMPRÉSTITOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ECONÓMICA, FINANCIERA Y ACTUARIAL. División de Ciencias Jurídicas, Económicas y Sociales

EMPRÉSTITOS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ECONÓMICA, FINANCIERA Y ACTUARIAL. División de Ciencias Jurídicas, Económicas y Sociales MPRÉSTITOS Carn Badía, Hortènsia Fontanals, Mrch Galisto, José Mª Lcina, Mª Angls Pons, Trsa Prixns, Dídac Raírz, F. Javir Sarrasí y Anna Mª Sucarrats DPARTAMNTO D MATMÁTICA CONÓMICA, FINANCIRA Y ACTUARIAL

Más detalles

TERMODINAMICA 1 1 Ley de la Termodinámica aplicada a Volumenes de Control

TERMODINAMICA 1 1 Ley de la Termodinámica aplicada a Volumenes de Control TERMODINAMICA 1 1 Ly d la Trmodinámica aplicada a Volumns d Control Prof. Carlos G. Villamar Linars Ingniro Mcánico MSc. Matmáticas Aplicada a la Ingniría CONTENIDO PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA PARA

Más detalles

PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DE LOS M.C.I.A.

PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DE LOS M.C.I.A. PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DE LOS M.C.I.A.. CONCEPTO DE DOSADO. PARÁMETROS GEOMÉTRICOS 3. PARÁMETROS INDICADOS 4. PARÁMETROS EFECTIVOS 5. PARÁMETROS DE PÉRDIDAS MECÁNICAS 6. RESUMEN DE PARÁMETROS 7. OTROS

Más detalles

CONTROL DE TRAYECTORIA SEUDO-DINÁMICO PARA VEHÍCULOS SUBACUÁTICOS

CONTROL DE TRAYECTORIA SEUDO-DINÁMICO PARA VEHÍCULOS SUBACUÁTICOS CONTROL DE TRAYECTORIA SEUDO-DINÁMICO PARA VEHÍCULOS SUBACUÁTICOS Euaro Sbastián Lab. Robótica y Exploración Plantaria, Cntro Astrobiología, Ctra. Ajalvir Km.4, Torrjón Aroz, Spain Email: sbastianm@inta.s

Más detalles

Enfrentando Comportamientos Difíciles Usando el Sistema de Guía

Enfrentando Comportamientos Difíciles Usando el Sistema de Guía Enfrntando Comportamintos Difícils Usando l Sistma d Guía R s o u r c & R f r r a l H a n d o u t Agrsión Obsrvación - Prguntas Trata la niña d hacr contacto d una manra inapropiada? Está tratando d sr

Más detalles

Valledupar como vamos: Demografía, Pobreza y Pobreza Extrema y empleo.

Valledupar como vamos: Demografía, Pobreza y Pobreza Extrema y empleo. Valldupar como vamos: Dmografía, Pobrza y Pobrza Extrma y mplo. Tradicionalmnt l programa Valldupar Cómo Vamos, lugo d prsntar la Encusta d Prcpción Ciudadana (EPC), raliza la ntrga d Indici d Calidad

Más detalles

Diseño de un controlador de velocidad adaptativo para un MSIP utilizando inteligencia artificial

Diseño de un controlador de velocidad adaptativo para un MSIP utilizando inteligencia artificial Disño un controlaor vlocia aaptativo para un MSIP utilizano intligncia artificial Omar Aguilar-Mjía Rubén Tapia-Olvra Iván Rivas-Cambro Hrtwin Minor-Popocatl Univrsia Politécnica Tulancingo División posgrao

Más detalles

núm. 109 miércoles, 11 de junio de 2014 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL DIPUTACIÓN PROVINCIAL DE BURGOS UNIDAD DE CULTURA

núm. 109 miércoles, 11 de junio de 2014 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL DIPUTACIÓN PROVINCIAL DE BURGOS UNIDAD DE CULTURA III. ADMINISTRACIÓN LOCAL DIPUTACIÓN PROVINCIAL DE BURGOS UNIDAD DE CULTURA C.V.E.: BOPBUR-2014-04183 Mdiant acurdo d Junta d Gobirno númro 6, d fcha 23 d mayo d 2014, s aprobó la «Convocatoria pública

Más detalles

DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA

DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA DISPERSIÓN - ESPECTRÓMETRO DE PRISMA OBJETIVOS Invstigación d la rgión visibl dl spctro dl átomo d Hidrógno y dtrminación d la constant d Ridbrg. Calibración d la scala dl spctrómtro d prisma. Dtrminación

Más detalles

12 Representación de funciones

12 Representación de funciones Rprsntación d funcions ACTIVIDADES INICIALES.I. Factorizando prviamnt las prsions, rsulv las siguints cuacions: a) 6 7 5 0 6 c) 0 7 b) 6 d) 0 a) 6 7 5 0 ( )(6 5) 0 5 6 5 0, b) 7 6 ( )( ) 6 6 ( ) 7 ( )

Más detalles

núm. 76 miércoles, 22 de abril de 2015 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL AYUNTAMIENTO DE BURGOS

núm. 76 miércoles, 22 de abril de 2015 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL AYUNTAMIENTO DE BURGOS III. ADMINISTRACIÓN LOCAL AYUNTAMIENTO DE BURGOS C.V.E.: BOPBUR-2015-03235 465,00 GERENCIA MUNICIPAL DE SERVICIOS SOCIALES, JUVENTUD E IGUALDAD DE OPORTUNIDADES Concjalía d Juvntud Mdiant rsolución d la

Más detalles

Escaleras escamoteables, rectas y de caracol

Escaleras escamoteables, rectas y de caracol Escalras scamotabls, rctas y d caracol Índic Escalras scamotabls AET 3 ISO madra 3 tramos 3 NORM 8/2 ISO madra 2 tramos 3 EM-3 ISO lacada 3 tramos 4 K-4 mtálica galvanizada 4 tramos 4 Escalras d tijra

Más detalles

LA ORGANIZACIÓN DEL DEPARTAMENTO FINANCIERO

LA ORGANIZACIÓN DEL DEPARTAMENTO FINANCIERO LA ORGANIZACIÓN DEL DEPARTAMENTO FINANCIERO 1. INTRODUCCIÓN No importa l tamaño d la mprsa n la qu dsarrollmos nustra labor profsional. No importa l númro d prsonas qu compongan l dpartamnto al qu nos

Más detalles

Aspectos Fiscales Venezolanos Cross-Border de las Inversiones en el Sector del Gas. Luis Eduardo Ocando B. (luis.ocando@ve.ey.com)

Aspectos Fiscales Venezolanos Cross-Border de las Inversiones en el Sector del Gas. Luis Eduardo Ocando B. (luis.ocando@ve.ey.com) Intrnational Tax Srvics Aspctos Fiscals Vnzolanos Cross-Bordr d las Invrsions n l Sctor dl Gas Luis Eduardo Ocando B. (luis.ocando@v.y.com) Tabla d Contnidos Introducción Planificación Fiscal n Vnzula

Más detalles

XVI.- COMBUSTIÓN pfernandezdiez.es

XVI.- COMBUSTIÓN pfernandezdiez.es XVI.- COMBUSTIÓN XVI.1.- INTRODUCCIÓN S ntind por combustión a toda racción química qu va acompañada d gran dsprndiminto d calor; pud sr sumamnt lnta, d tal manra qu l fnómno no vaya acompañado d una lvación

Más detalles

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones Ejrcicios rsultos d Introducción a la Toría Económica Carmn olors Álvarz Alblo Migul Bcrra omínguz Rosa María Cácrs Alvarado María dl Pilar Osorno dl Rosal Olga María Rodríguz Rodríguz Tma 3 La lasticidad

Más detalles

Reporte Nº: 05 Fecha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE

Reporte Nº: 05 Fecha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE Rport Nº: 05 Fcha: JULIO 2012. ANÁLISIS DE SITUACIÓN MIGRATORIA DE EXTRANJEROS DE NACIONALIDAD HAITIANA 1. DESCRIPCIÓN DEL REPORTE El prsnt inform tin como objtivo spcífico stablcr los movimintos migratorios

Más detalles

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx.

( ) 2. 1. Calcula las siguientes integrales. Soluciones. 1 x. arctan. x 4x + 13. sen x dx. x 2. 11arctan. x dx + 2. e x. e arctan e. e dx. Albrto Entro Cond Mait Gonzálz Juarrro Intgral indfinida Cálculo d primitivas Calcula las siguints intgrals Solucions A d A d + + + ln( + + ) A d arctan + A sn sn d A d ln ( ) 6A d cos tan + arctan + ln(

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD SYLLLABUS SIGLA: ECJP CODIGO: 251007

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD SYLLLABUS SIGLA: ECJP CODIGO: 251007 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD SYLLLABUS 1 INFORMACIÓN GENERAL DEL CURSO ESCUELA O UNIDAD: Escula Cincias Jurídicas y políticas NIVEL: SIGLA: ECJP Profsional CAMPO DE FORMACIÓN: Disciplinar

Más detalles

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS TEMA 8 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 8. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límit d una función n un punto f () = l S l: El it cuando tind a c d f() s l c Significa:

Más detalles

Implantación de estrategias docentes ECTS en la docencia de grado y postgrado de Biología Celular en la Universidad de Barcelona

Implantación de estrategias docentes ECTS en la docencia de grado y postgrado de Biología Celular en la Universidad de Barcelona Trcras Jornadas sobr la Docncia d la Biología Clular: Prsnt y Futuro Univrsidad d Córdoba (1.12.06) Implantación d stratgias docnts CTS n la docncia d grado y postgrado d Biología Clular n la Univrsidad

Más detalles

Ofertas y Contratos Agiles

Ofertas y Contratos Agiles Ofrtas y Contratos Agils algunas idas xtraídas dl libro Obra bajo licncia Crativ Commons los pilar s d transp arncia, ins adaptación pc, junto con l nfoqu d ción y continua q mjora u forman part d lo Agils,

Más detalles

El Verdadero Cálculo de la Devaluación

El Verdadero Cálculo de la Devaluación El vrdadro alulo d la Dvaluaión El Vrdadro Cálulo d la Dvaluaión Riardo Botro G. rbgstoks@hotmail.om Casi a diario nontramos n la prnsa onómia inormaión omo sta El día d ayr la tasa rprsntativa dl mrado

Más detalles

Aplicaciones de la distribución weibull en ingeniería

Aplicaciones de la distribución weibull en ingeniería COLMEME UAN Aplicacions d la distribución wibull n ingniría Raqul Salazar Morno 1 Abraham Rojano Aguilar 2 Esthr Figuroa Hrnándz Francisco Pérz Soto 1. INTRODUCCIÓN la salud n la vida d una prsona. La

Más detalles

Asamblea Nacional Secretaría General TRÁMITE LEGISLATIVO 2014-2015

Asamblea Nacional Secretaría General TRÁMITE LEGISLATIVO 2014-2015 Asambla Nacional Scrtaría Gnral TRÁMITE LEGISLATIVO 2014-2015 ANTEPROYECTO DE LEY: 106 PROYECTO DE LEY: 171 LEY: GACETA OFICIAL: TÍTULO: QUE ESTABLECE EL RECICLAJE DE PAPEL, LATAS DE ALUMINIO Y BOTELLAS

Más detalles

Programa Nacional de Inglés en Educación Básica

Programa Nacional de Inglés en Educación Básica rograma Nacional Inglés n ucación ásica signatura statal: lngua aicional Inglés tapa pruba (vrsión n spañol) 1 FNDamntos.in 1 1/7/10 11:24:43 SCÍ D DCCIÓN ÚLIC lonso Lujambio Irazábal SSCÍ D DCCIÓN ÁSIC

Más detalles

El Riesgo de Interés

El Riesgo de Interés Juan Mascarñas Univrsidad Complutns d Madrid Vrsión inicial: mayo 4 - Última vrsión: nro 8 - El risgo d intrés, - La duración modificada como mdida dl risgo d intrés, 4 - El risgo d rinvrsión, . EL RIESGO

Más detalles

Anexo V "Acuerdos de Sistemas para la Facturación' del Convenio poro la Comercialización o Reventa de Servicios

Anexo V Acuerdos de Sistemas para la Facturación' del Convenio poro la Comercialización o Reventa de Servicios Anxo V "Acurdos d Sistmas para la Facturación' dl Convnio poro la Comrcialización o ANEXO V ACUERDOS DE SISTEMAS PARA LA FACTURACIÓN QUE SE ADJUNTA AL CONVENIO PARA LA COMERCIALIZACIÓN O REVENTA DE SERVICIOS

Más detalles

INTERCAMBIADORES TUBO Y CARCAZA: ANÁLISIS TÉRMICO

INTERCAMBIADORES TUBO Y CARCAZA: ANÁLISIS TÉRMICO OPERCIONES UNIRIS PROF PEDRO VRGS UNEFM DPO ENERGÉIC Disponibl n: wwwopracionswordprsscom INERCMBIDORES UBO Y CRCZ: NÁLISIS ÉRMICO NÁLISIS ÉRMICO, CONSIDERCIONES GENERLES nts d scribir las cuacions qu

Más detalles

Tuberías plásticas para SANEAMIENTO

Tuberías plásticas para SANEAMIENTO Tubrías plásticas para SANEAMIENTO SANIVIL Tubos compactos d PVC con Rigidz Anular SN 2 y SN 4 kn/m 2 d color tja para sanaminto sin prsión sgún UNE-EN 1401 y con prsión marca DURONIL sgún UNE-EN ISO 1452

Más detalles

Fernando Cervantes Leyva

Fernando Cervantes Leyva INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL Mastría n Cincias con Espcialidad n Sistmas Digitals Adaptación d malla n l análisis d disprsión n guías d onda

Más detalles

Simulación en el software Mathematica de un robot 2 GDL usando dos rotaciones de los números complejos

Simulación en el software Mathematica de un robot 2 GDL usando dos rotaciones de los números complejos Ninth LACCEI Latin Amrican and Caribban Confrnc (LACCEI 20), Enginring for a Smart Plant, Innovation, Information Tchnology and Computational Tools for Sustainabl Dvlopmnt, August 3-5, 20, Mdllín, Colombia.

Más detalles

CAPITULO 3 PER: UN INDICADOR PARA MEDIR VALOR

CAPITULO 3 PER: UN INDICADOR PARA MEDIR VALOR CAPITULO 3 : UN INDICADOR PARA MEDIR VALOR Valor s la prcpción d bnficio o utilidad qu da un bin a una prsona (vr capítulo 1). En invrsions l valor sta dado por l dinro futuro qu gnra un capital n l día

Más detalles

VI. JUSTICIA. i. - JUSTICIA CRIMINAL.

VI. JUSTICIA. i. - JUSTICIA CRIMINAL. VI. JUSTICIA. i. - JUSTICIA CRIMINAL. Utilizando la d la Administración d Justicia n l o años di 883, i 884 y i 885, publicada por l Ministrio d Graci a minto d lo prvnido n cl Ral dcrto d 18 d marzo d

Más detalles

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES

CARACTERÍSTICAS EXTERNAS y REGULACIÓN de TRANSFORMADORES CARACTERÍSTCAS EXTERNAS y REGLACÓN d TRANSFORMADORES Norbrto A. Lmozy 1 CARACTERÍSTCAS EXTERNAS S dnomina variabl ntr a una magnitud qu stá dtrminada ntr dos puntos, tal como una difrncia d potncial o

Más detalles

Escaleras escamoteables, rectas y de caracol

Escaleras escamoteables, rectas y de caracol Escalras scamotabls, rctas y d caracol Índic Escalra scamotabl d tramos Modlo ET 3 IO madra 3 tramos Escalras scamotabls d tramos ET 3 IO madra 3 tramos 3 ET 2 IO madra 2 tramos 3 EM-3 IO mtálica lacada

Más detalles

Inform d Gass Efcto Invrnadro Página 1 d 9 1. INDICE 1. INDICE. 3 3. CUANTIFICACIÓN DE EMISIONES DE GEIS 3 4. LÍMITES OPERATIVOS Y EXCLUSIONES 5 5. AÑO BASE 6 6. METODOLOGÍA DE CUANTIFICACIÓN 6 7. INCERTIDUMBRE

Más detalles

Fundamentos Físicos de la Ingeniería Segundo Parcial / 2 abril 2009

Fundamentos Físicos de la Ingeniería Segundo Parcial / 2 abril 2009 undamntos sicos d a Ingnira Sgundo Parcia / abri 9. Una aria rctina y uniform, d masa m y ongitud ca ibrmnt n posición horizonta. En instant n qu su ocidad s, a aria gopa ásticamnt bord d una cuchia rgida

Más detalles

núm. 85 miércoles, 7 de mayo de 2014 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL AYUNTAMIENTO DE ROA DE DUERO

núm. 85 miércoles, 7 de mayo de 2014 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL AYUNTAMIENTO DE ROA DE DUERO III. ADMINISTRACIÓN LOCAL AYUNTAMIENTO DE ROA DE DUERO C.V.E.: BOPBUR-2014-03110 Por rsolución d Alcaldía d fcha 16 d abril d 2014, s aprobó la contratación d dos plazas d monitor d gimnasio municipal

Más detalles

Núm. 36 Martes, 22 de febrero de 2011. III. ADMINISTRACIÓN local. DIpuTACIÓN provincial De burgos. secretaría general

Núm. 36 Martes, 22 de febrero de 2011. III. ADMINISTRACIÓN local. DIpuTACIÓN provincial De burgos. secretaría general III. ADMINISTRACIÓN local DIpuTACIÓN provincial D burgos scrtaría gnral cv: BOPBUR-2011-01058 El Plno d la Excma. Diputación Provincial, n ssión ordinaria clbrada l día 16 d novimbr d 2010, adoptó ntr

Más detalles

OPCIÓN A. Días de lectura Total de páginas Quijote Eva E D ED Marta E 5 D + 14 (E 5).( D + 14) Susana E 11 D + 44 (E 11).( D + 44)

OPCIÓN A. Días de lectura Total de páginas Quijote Eva E D ED Marta E 5 D + 14 (E 5).( D + 14) Susana E 11 D + 44 (E 11).( D + 44) IES Mditrráno d Málg Solución Junio Jun Crlos lonso Ginontti OPCIÓN..- Ev Mrt Susn son trs jóvns migs qu s compromtn lr El Quijot st vrno. Cd un por sprdo n unción dl timpo dl qu dispon dcid lr un mismo

Más detalles

núm. 51 lunes, 16 de marzo de 2015 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL AYUNTAMIENTO DE MERINDAD DE VALDEPORRES

núm. 51 lunes, 16 de marzo de 2015 III. ADMINISTRACIÓN LOCAL AYUNTAMIENTO DE MERINDAD DE VALDEPORRES III. ADMINISTRACIÓN LOCAL C.V.E.: BOPBUR-2015-01676 AYUNTAMIENTO DE MERINDAD DE VALDEPORRES Bass para la bolsa d trabajo para sustitucions d Auxiliars d Griatría, Cocinros/as y Prsonal d Limpiza d la rsidncia

Más detalles

,,.., ' ,. :!, :*,. ' I. INFORME TÉCNICO P~REVIO DE EVALUACIÓN DE SOFTWARE No 0020-2007-GT1000

,,.., ' ,. :!, :*,. ' I. INFORME TÉCNICO P~REVIO DE EVALUACIÓN DE SOFTWARE No 0020-2007-GT1000 :! :* ' ; ' NFORME TÉCNCO P~REVO DE EVALUACÓN DE SOFTWARE No 0020-2007-GT000 "HERRAMENTA PARA ELMODELAMENTO DE APLCACONES CON UML" : ' - 8 ' : / '! +- j: i 4 *?!: ;* L NOMBRE DEL ÁREA: Grncia d Tcnologías

Más detalles

Digital Photo Professional Ver. 3.5 Instrucciones

Digital Photo Professional Ver. 3.5 Instrucciones ESPAÑOL Softwar d procsado, visualización y dición d RAW Digital Photo Profssional Vr.. Instruccions Contnido d stas instruccions DPP s utiliza para Digital Photo Profssional. En stas instruccions, las

Más detalles

8 Límites de sucesiones y de funciones

8 Límites de sucesiones y de funciones Solucioario 8 Límits d sucsios y d ucios ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Calcula l térmio gral, l térmio qu ocupa l octavo lugar y la suma d los ocho primros térmios para las sucsios siguits., 6,,,..., 6, 8,,...,,,,...

Más detalles

CÁLCULO DEL EMBUTIDO RECTANGULAR EMPLEANDO EL CONCEPTO DE DIÁMETRO EQUIVALENTE

CÁLCULO DEL EMBUTIDO RECTANGULAR EMPLEANDO EL CONCEPTO DE DIÁMETRO EQUIVALENTE ÁLULO DEL EMBUTIDO RETANGULAR EMPLEANDO EL ONEPTO DE DIÁMETRO EQUIVALENTE Pro Jsús García Zugasti, Arturo Mnoza Razo, Yolana Roríguz orpus Instituto Tcnológico San Luis Potosí Av. Tcnológico s/n, P. 78437,

Más detalles

Análisis del caso promedio El plan:

Análisis del caso promedio El plan: Aálisis dl caso promdio El pla: Probabilidad Aálisis probabilista Árbols biarios d búsquda costruidos alatoriamt Tris, árbols digitals d búsquda y Patricia Listas sip Árbols alatorizados Técicas Avazadas

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD

LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUDAD Signiicado dl it Ejrcicio nº.- Rprsnta gráicamnt y plica l gniicado d la prón: Ejrcicio nº.- Eplica l gniicado d la guint prón y rprséntalo gráicamnt: 9 Ejrcicio nº.- Escrib

Más detalles

r t a r r e e d a l r o m e n i t

r t a r r e e d a l r o m e n i t a r t x d s c o la r para l d s a r r o l lo da aritmética mntal i iv t c a m n t a l www.alohaspain.com índic Si hacs plans para un año, simbra arroz. Si los hacs para dos lustros, planta árbols. Si los

Más detalles

Escaleras escamoteables, rectas y de caracol

Escaleras escamoteables, rectas y de caracol Escalras scamotabls, rctas y d caracol Índic Escalra scamotabl Modlo ET 3 IO madra 3 tramos Escalras scamotabls ET 3 IO madra 3 tramos 3 NORM 8/2 IO madra 2 tramos 3 EM-3 IO lacada 3 tramos 4 K-4 mtálica

Más detalles

COPY. Digital Photo Professional Ver. 3.9 INSTRUCCIONES. Software de procesado, visualización y edición de imágenes RAW

COPY. Digital Photo Professional Ver. 3.9 INSTRUCCIONES. Software de procesado, visualización y edición de imágenes RAW Softwar d procsado, visualización y dición d RAW Digital Photo Profssional Vr..9 INSTRUCCIONES Contnido d stas instruccions DPP s utiliza para Digital Photo Profssional. En stas instruccions, las vntanas

Más detalles

IMPACTO DE LAS AVERÍAS E INTERRUPCIONES EN LOS PROCESOS. UN ANÁLISIS DE LA VARIABILIDAD EN LOS PROCESOS DE PRODUCCIÓN

IMPACTO DE LAS AVERÍAS E INTERRUPCIONES EN LOS PROCESOS. UN ANÁLISIS DE LA VARIABILIDAD EN LOS PROCESOS DE PRODUCCIÓN IMPACTO DE LAS AVERÍAS E INTERRUPCIONES EN LOS PROCESOS. UN ANÁLISIS DE LA VARIABILIDAD EN LOS PROCESOS DE PRODUCCIÓN IMPACT OF THE FAILURES AND INTERRUPTION IN PROCESS. AN ANALYSIS OF VARIABILITY IN PRODUCTION

Más detalles

Artículo de Ingeniería

Artículo de Ingeniería METODOLOGÍA PARA LA DETERMINACIÓN DE CRITERIOS DE EVASIÓN APLICABLES A UN ROBOT DE 2 GDL Autor: Francisco Javir Ochoa Estrlla, Coautors: Dr. Luis Rys, C. Dr. Eusbio Jiménz Lópz Instituto Tcnológico Suprior

Más detalles