3.1. FUNCIÓN VECTORIAL 3.2. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

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1 .1. FUNCIÓN VECTORIAL.. GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR.1... DOMINIO DE UNA FUNCIÓN.. ESCALAR...4. CONJUNTO DE NIVEL LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.6. CONTINUIDAD.7. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR.8. DIFERENCIABILIDAD.9. GRADIENTE.1. LA DIFERENCIAL.11. REGLA DE LA CADENA.1. DERIVACIÓN IMPLICITA OBJETIVOS: Coceptualizar ucioes Vectoriales, Escalares Curvas Describir cojutos de iveles. Establecer límites, cotiuidad derivadas de ucioes de dos variables. Determiar si ua ució de dos variables es derivable o o. Determiar si ua ució de dos variables es diereciable o o. Obteer derivadas de ucioes compuestas. Obteer derivadas de ucioes implícitas. 69

2 .1 FUNCIÓN VECTORIAL.1.1 DEFINICIÓN m Ua ució del tipo : U R R se la deomia FUNCIÓN VECTORIAL o CAMPO VECTORIAL. Ejemplo. Sea : R R tal que (, ) (, +,+ 5) Esquemáticamete teemos: R R ( 1,1) ( 1,,8 ) (,) ( 4, 6) Si m 1, teemos U R R CAMPO ESCALAR, O FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES. :, se la deomia FUNCIÓN ESCALAR, Si Si : U R R, teemos ua FUNCIÓN DE DOS VARIABLES. Ejemplo. Sea : R R tal que (, ) 6 : U R R, teemos ua FUNCIÓN DE TRES VARIABLES. Ejemplo. Sea : R R tal que ( z,, ) + + z Si 1, teemos TRAYECTORIA o CURVA. m : U R R, la cual se la deomia 7

3 Ejemplo. Sea : R R tal que ( t) ( t, 4 + t, 1+ t) Teemos ua CURVA de R. Este capítulo lo dedicaremos al estudio de FUNCIONES ESCALARES... GRAFICA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR..1 DEFINICIÓN Sea : U R R. Se llama gráica de al cojuto de putos (,,, ( ) de Si teemos (, ), 1 +1 R, dode (,,, ) U 1. z ua ució de dos variables. Su gráica se,, z de R, tales que z (, ). El deie como el cojuto de putos lugar geométrico es llamado Supericie, como a se lo a aticipado. Alguas supericies que correspode a ucioes, a se a graicado e el capítulo aterior. Ejemplo. Para tales que : R R tal que (, ) 6 z 6 (u plao), su graico es el cojuto (,, ) z de R z 6 z 6 71

4 Elaborar gráicas de ua ució de dos variables o es ta secillo, se requeriría de u computador e la maoría de las ocasioes. Pero si podemos saber características de sus graicas aalizado su regla de correspodecia.. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN ESCALAR Sea : U R R, etoces su DOMINIO es el cojuto U Es decir, su DOMINIO está costituido por vectores de R, 1,,, para los cuales tiee setido la regla de correspodecia. Aquí a,, se las deomia VARIABLES INDEPENDIENTES. 1, Si U R R :, su domiio será u subcojuto del plao. Establecer el Domiio Natural, igual que para ucioes de ua variable, es ua ecesidad e mucas ocasioes. Ejemplo 1 Hallar el Domiio Natural para (, ) + SOLUCIÓN. Observe que la regla de correspodecia o tiee restriccioes, por tato se le puede dar cualquier valor real a las variables idepedietes, es decir Dom R. Además, se puede decir que el Domiio de ua ució de dos variables será la PROYECCIÓN QUE TENGA SU GRÁFICA EN EL PLANO. Recuerde que la gráica de z + es u paraboloide. z Por tato la proecció es todo el plao 7

5 Ejemplo Hallar el Domiio Natural para (, ) 9 SOLUCIÓN. Observe que la regla de correspodecia tiee setido cuado 9, para que se pueda calcular la raíz cuadrada lo iterior del radical debe ser u úmero positivo o cero. Despejado se tiee + 9 Es decir:. Dom / + 9 cetrada e el orige de radio a su iterior., los pares de úmeros que perteece a la circuerecia Además el gráico de z 9, es la semiesera: z Ejemplo Hallar el Domiio Natural para (, ) 1 + Solució. Para que la regla de correspodecia tega setido se ecesita que 1 Es decir Dom / 1.. 7

6 1 El gráico, aora es u lugar geométrico o coocido. Pero teemos u idicio de la regió e que abrá gráico. Ejercicios Propuestos.1 Dibújese la regió R del plao que correspode al Domiio Natural de la ució dada. 1. z.. 4. z e + z z z l ( 4 ) 6. z l ( ) 7. 9 w l 6 6 6, se l z arcse ( + ) 1. z arcse( + ) 11. z arccos l 1. ( 4 ), arcse ( + ) 1 Obteer trazas de las seccioes trasversales de la supericie es suiciete, e mucas ocasioes, para su aálisis.. 4. CONJUNTO DE NIVEL.4.1 DEFINICIÓN Sea : U R R. Se llama CONJUNTO DE NIVEL de, al cojuto de putos de R tales que (,,, ) k, dode k R 1 Si teemos z (, ) ua ució de dos variables. El Cojuto de Nivel es llamado CURVAS DE NIVEL sería las traectorias e el plao tales 74

7 que (, ) k. Es decir, sería las curvas que resulta de la itersecció de la supericie co los plaos z k, proectadas e el plao. Ejemplo 1 Para : R R tal que (, ) 6, su cojuto de ivel será putos de tales que 6 k. E este caso se llama CURVAS DE NIVEL. Si k, teemos el Nivel, 6 Si k 1, teemos el Nivel 1, 6 1 Si k, teemos el Nivel, 6 etc. z R 6 z 6 k : + k : + 4 k 1 : + 5 k : + 6 Las curvas de ivel se dibuja e el plao, para este caso sería: k : + 6 k 1 : + 5 k : + 4 k : + 75

8 Ejemplo. Graique alguas curvas de ivel para (, ) + Las curvas de ivel, para este caso, es la amilia de traectorias tales que + k. (Circuerecias cetradas e el orige) + C C 1 C 4 C 9 C 16 Si teemos w (,, z) ua ució de tres variables. El Cojuto de Nivel, ( z,, ) k, es llamado SUPERFICIES DE NIVEL Ejercicios Propuestos. Descríbase las curvas de ivel :, 6+ 1.,.. z 4 4. z + 5. (, ) 76

9 .5 LIMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Haciedo aalogía co ucioes de ua variable, para deiir el límite aora, primero empecemos geeralizado la deiició de etoro o vecidad otras deiicioes que os permitirá compreder el cocepto de límite..5.1 BOLA ABIERTA. Sea R R mu pequeño. Se llama Bola Abierta de cetro radio δ, deotada por B ( ; ) δ, al cojuto de putos de R tales que la distacia a es meor a. Es decir: B ; δ R / < Si 1 (como e ucioes de ua variable) ( ) { }, teemos B1( ; ) { R/ } δ < ; u itervalo Si, teemos: B, ; δ, R /,, < { } ( ) < <,.5. PUNTO INTERIOR Sea U R R, se dice que es u puto iterior de U, si sólo si > tal B está coteida e U. ( ; ) 77

10 .5. CONJUNTO ABIERTO U putos so iteriores a U. R es u cojuto abierto, si todos sus.5.4 PUNTO EXTERIOR. Sea U R R, se dice que es u puto Eterior de U, si sólo si > tal que B está totalmete uera de U. ( ; ).5.5 PUNTO DE FRONTERA Se dice que es u puto de rotera de U, si o es i iterior i eterior..5.6 CONJUNTO CERRADO. U R es u cojuto cerrado si su complemeto es abierto.5.7 CONJUNTO SEMIABIERTO. U R es u cojuto semiabierto si o es abierto tampoco cerrado..5.8 DEFINICIÓN DE LÍMITE Sea : U R R, dode U es u cojuto abierto, sea u puto iterior o de rotera de U, etoces: ξ, / ( ; ), lím L > > B L < ξ 78

11 Si teemos: lím, L ξ >, > / < + < (, ) (, ), L < ξ z L ( ( ξ ξ ( ) z, Es decir, que si tomamos a (, ) cercao a estará próimo a L. Ejemplo 4 Demostrar empleado la deiició que lím (, ) (. ) + Solució: Debemos asegurar que ( ) ( ), etoces (, ) ξ >, > / < + < < ξ + Recuerde que etoces 4 4 Por otro lado etoces Aora ote que:, < Se coclue ialmete que: Es decir tomado ζ, suiciete para cocluir que: lím (, ) (. ) + < 4 4 Lo aterior va a ser complicado acerlo e la maoría de las situacioes, por tato o vamos a isistir e demostracioes ormales. Pero si se trata de estimar si ua ució tiee límite cuál podría ser este, podemos acer uso del acercamieto por traectorias. 79

12 Ejemplo 1 Calcular lím (, ) (. ) + Solució: Aproimarse a (,), sigiica estar co, e ua bola de R + < (,) Si el límite eiste, sigiica que si os acercamos e todas las direccioes deberá teder al mismo valor. 1. Aproimémoos a través del eje, es decir de la recta Etoces, teemos lím lím1 1. (, ) (. ) +. Aproimémoos a través del eje, es decir de la recta Etoces, teemos lím lím. (, ) (. ) + Se observa que los dos resultados ateriores so dieretes. Por tato, se coclue que: lím (, ) (. ) + o eiste. Ejemplo Calcular lím (, ) (. ) 4 + Solució: Determiado la covergecia de, para diversas direccioes: 1. Eje ( ): lím lím 4 +. Eje ( ): lím lím 4 +. Rectas que pasa por el orige ( m) : lím ( m) m lím lím lím 4 ( m) + m ( + m ) ( + m ) m 4 + m 8

13 4. Parábolas que tega vértice el orige ( lím 4 + a ) 4 4 ( a ) a a lím lím a a ( 1+ a ) Por tato, lím NO EXISTE. (, ) (. ) 4 + a lím 1+ a a 1+ a El acercamieto por traectoria o os garatiza la eistecia del límite, sólo os ace pesar que si el límite eiste, ese debe ser su valor. Etoces cómo lo garatizamos?. Si la epresió lo permite podemos usar coordeadas polares. Ejemplo Calcular lím (, ) (. ) + Solució: Determiado la covergecia de, para diversas direccioes: 1. Eje ( ): lím lím +. Eje ( ): lím lím +. Rectas que pasa por el orige ( m) : ( m) m lím 4. Parábolas que tega vértice el orige ( m lím lím lím ( m) + m ( 1+ m ) ( 1+ m ) + a ) ( a ) ( 1+ a ) a 4 4 a a a lím lím lím lím a 1+ a Probemos co otra traectoria 5. a ( a ) 5 a 5 a a ( a ) + 4 a + ( a + 1) ( a + 1) lím lím lím lím Parecer ser que el límite es cero, pero todavía o está garatizado. Por qué? Demostrarlo, o es ua tarea secilla. Usemos coordeadas polares: ( r cosθ ) ( rseθ ) lím lím (, ) (.) + r r rseθcos θ lím r r lím rseθcos θ r E la parte última se observa que seθ cos θ es acotado por tato lím rseθ cos θ r Lo aterior quiere decir que e situacioes especiales ( cuáles?), podemos utilizar coordeadas polares para demostrar o allar límites. m 81

14 Ejemplo 1 se( + ) Calcular lím,. + Solució: Empleado coordeadas polares se + lím (, ) (.) + se( r ) 1 lím r r Ejemplo 5 Calcular lím (, ) (. ) Solució: Empleado coordeadas polares rcos θ rseθ lím (, ) (.) + r r cos θ + r se θ r r Aalicemos alguas traectorias: 5 lím,, lím (, ) (, ) 4 ( ) r cos θ se θ cos θ + r se θ r cos θ se θ θ No se puede cocluir. 5 r cos θ + rse lím lím lím (, ) (, ) ( ) lím lím lím ( ) ,, Aora, probemos co ua traectoria ueva origial) 5 ( ) ( ) lím lím , (,) 1 Por tato se coclue que el límite NO EXISTE. 5 (se la deduce observado la epresió 8

15 TEOREMA DE UNICIDAD. Sea : U R R, dode U es u cojuto abierto, sea u puto iterior o de rotera de U, etoces: L M etoces L M Si.5.8. TEOREMA PRINCIPAL. Si L g M 1... L 4. etoces: + g + g L+ M g g L M g g LM g g M ; M Por tato e situacioes elemetales, la sustitució basta. Ejemplo lím ( + ) 8, 1. Ejercicios Propuesto. 1. Calcular los siguietes límites: a) ( + ) 1 b) se c) d) π 4 k se k e 1 e) lím (, (,) ) + ) + se( + ) g),, 8

16 . Calcúlese el límite de (, ) cuado ( ) ( a, b), dode (, ) g ( ) b a) ( 1+ se)( 1 cos ) b) ( 1) ( ) 1 + 1, allado los límites: g ( ) a c) d) cos se 1 ( 1) e.6. CONTINUIDAD Sea : U R R, sea u puto U. Decimos que es cotiua e si sólo si: ( ) Ejemplo. Aalizar la cotiuidad de E el puto (, ). ;,, (, ) + ;,, Para que la ució sea cotiua se debe cumplir que ( ) Determiemos el límite. (, ) (, ) + Acercádoos por traectorias. ; ; ; + Etoces (, ) (, ) + 1,,, o eiste. Por tato, NO ES CONTINUA EN (, ). 84

17 .6.1 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO Sea : U R R. Se dice que es cotiua e todo U si sólo si es cotiua e cada puto de U Teorema Si g so cotiuas e, etoces tambié so cotiuas: + g, g, g, ( g( ) ) g. Ejercicios propuestos.4 Aalice la cotiuidad e (,) de las siguietes ucioes: a) (, ) b) (, ) c) (, ) d) (, ) e) ( ) ) (, ) g) (, ) ) se, (, ) (,) 1, (, ) (,) e, (, ) (,) 1, (, ) (,) cos( + ) 1, + + 8, + 1, + 1 1, + +, +, (, ) (,) (, ) (,),, (, ) (,) +, (, ) (,) +, (, ) (,) +, (, ) (,) 1 4, + 4 1,, + 4 > 1 85

18 .7. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ESCALAR. Para ucioes de ua variable, la derivada se la deiió como el cambio istatáeo que eperimeta la ució cuado cambia su variable idepediete. Aquí abía que cosiderar ua sola direcció, para ució de varias variables debería ser el cambio istatáeo que tiee la ució e todas las direccioes e la vecidad de u puto..7.1 DERIVADA DIRECCIONAL. Derivada de u campo escalar co respecto a u vector. Sea : U R R, dode U es u cojuto abierto, u puto de U. Sea v u vector de R. La derivada de e co respecto a v, deotada por ; v deie como: v + ; v v v o tambié D ( ) v, se Cuado este límite eiste etoces v u Aora bie, si decimos que v dode u u VECTOR UNITARIO de R, etoces: La derivada direccioal de e co respecto u es: u ; u + ( ) 86

19 Ejemplo 1 ; R. Calcular, v. u ( + ) ; v Sea + u + u + u + u + u u u + u u + u u u u Si : U R R (ua ució de dos variables), etoces: (, ) Ejemplo Sea ; u +. Hallar D ( 1, ) u (, ) Empleado la deiició: + (, ) u (, ) dode u, D ( 1, ) u 1 +,+ ( 1,) ( 1, ) +, ( 1, ) [ 5]

20 Ejemplo Sea ;,, (, ) +. ;(, ) (,) Hallar D (, ) dode u ( cos θ, seθ ) u Aplicado la deiició: D u ((, ) + ( cos θ, θ) ) (, ) se (, ) ( cos θ, seθ) (, ) ( cosθ)( seθ) cosθseθ E la última epresió: 1. π π Si θ,, π, etoces D (, ) u. π π Si θ,, π, etoces D (, ) o eiste. u Ejemplo 4 Sea ;,, 4 (, ) +. ;(, ) (,) Hallar D (, ) u Solució: Aplicado la deiició: se D (, ) u ( cosθ) ( seθ) 4 ( cosθ) + ( seθ) cos θseθ 4 ( cos θ + se θ) cos θseθ cos 4 θ + se θ E la última epresió: 1. Si θ, π ( seθ ) etoces D (, ). Si θ, π dode u ( cos θ, seθ ) ( cos θ, θ) (, ) u cos θ seθ etoces D (, ) ( eiste). u seθ 88

21 Más adelate daremos ua técica para allar derivadas direccioales si emplear la deiició. Ejercicios Propuestos.5 1. Determie la derivada direccioal de e el orige e la direcció del vector uitario ( ab, ). a) (, ) b) (, ) c) (, ) d) (, ) e) (, ) si (, ) (,) + si (, ) (,) si(, ) (,) + si(, ) (,) si (, ) (,) + si(, ) (,) +, (, ) (,) +, (, ) (,), (, 6 ) (,) +, (, ) (,) U caso especial de las derivadas direccioales es cuado cosideramos direcció co respecto a eje co respecto al eje..7. Derivada Parcial. Sea : U R R, dode U es u cojuto abierto, u puto de U, R. Sea e i (,,,1,,) u vector caóico uitario de R. La derivada parcial de e co respecto a e i (o co respecto a su ésima deotada por ( ) i i variable),, se deie como: e ( ) i + i Cuado este límite eiste ( ) 89

22 Si U R R : (ua ució de dos variables), etoces los vectores caóicos uitarios sería: e iˆ ( 1, ) e ˆj (,1) 1 parciales sería: (, ) 1 Deotada simplemete como: o tambié, es decir: ((, ) + ( 1, )) (, ) ( +, ) (, ) Y la otra derivada parcial sería: (, ) + (,1 ), (, ) Deotada simplemete como: o tambié, es decir: ( ) ( ) (, + ) (, ). Las derivadas Ejemplo 1, obteer Sea (, ). ( +, ) (, ) ( + ) ( + + ) ( + ) 9

23 Note que (, + ) (, ) ( + ) ( ) ( + + ) se obtiee como ua derivada para ució de ua variable, e este caso, cosiderado a la otra variable como costate. Aálogamete, si se desea obteer sólo a como variable. Ejemplo, obteer Sea (, ) se +, deberíamos derivar cosiderado. 1 ( + ) 1 cos + cos ( + ) ( ) E otros tipos de ucioes abrá que aplicar la deiició. Ejemplo Sea ;,, (, ) +. Hallar (, ) (, ) ;(, ) (,) Aplicado la deiició: a) (,) (,) + (, ) (, ) (, ) + b) (, ) 91

24 Ejercicios propuestos.6 1. Ecotrar, si : a) (, ) d) (, ) b) (, ) ( + ) loge ( + ), + e cos e) ( ) c) ( ) ( e ) se cos, cos se ) (, ) gtdt. Hallar (, ) (, ), para: a) (, ) b) (, ) c) (, ) d) (, ) si (, ) (,) + si,,,,, +,,, 1 +,,, ( ) se, (, ) (,) ( ) se ;,, + ;,,,, (, ) (,) +, (, ) (,) e) ) (, ),,, 6 +,,, 9

25 .7..1 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES Se a deiido la derivada tratado de que se etieda como la variació de la ució co respecto a ua direcció. Etoces la derivada parcial, será la pediete de la recta tagete paralela al plao z, observe la igura: z m (, ) ( ) z, (,, (, )) Δz Δ +, ( +, ), será la pediete de la recta tagete U vector director S de esta recta será de la orma: S 1,, E cambio, la derivada parcial paralela al plao z, observe la igura: z ( ) z, m (, ) (,, ( )), Δz Δ +, ( + ), U vector director S de esta recta será de la orma: S,1, 9

26 Ejemplo 1 Ecotrar la ecuació de la recta tagete a la curva de itersecció de la supericie que tiee por ecuació z + co el plao 1 e el puto (,1,5 ). Realizado u gráico, teemos: z z + 1 (,1,5 ) dz d m d (,1) S 1,, + at La ecuació de toda recta es de la orma l : + bt. z z + ct, z,1,5. El puto está dado:, Los vectores directrices so paralelos al plao z por tato so de la orma: S 1,,. Por qué? La pediete de la recta será m (,1) ; que deiirá la direcció de los vectores directores. d Aora bie, si z + etoces. Evaluado teemos: 4 Por tato S ( 1,, 4) + at + t Fialmete la ecuació de la recta buscada será: l : + bt 1+ t z z + ct 5 + 4t 94

27 .7. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Sea : U R R tal que z (, ). Supoga que las derivadas parciales eista. Etoces las Derivadas parciales de Segudo Orde se deie como: ( +, ) (, ) (, + ) (, ) ( +, ) (, ) (, + ) (, ) Cuado estos límites eista. A a se las deomia Derivadas Mitas o Derivadas Cruzadas. Ejemplo 1 Sea (, ) + e, obteer todas las derivadas parciales de segudo orde. Solució: Las Derivadas parciales de primer orde so: e e + e + + e e Por tato las derivadas parciales de segudo orde sería: e e + e + 4e 4e 4e e e + e + 4 e e e + e e e e + + e + 4 e e e e + 95

28 Note que las derivadas cruzadas so iguales TEOREMA DE SCHWARZ Sea : U R R, ua ució deiida e el abierto U de R. Si las derivadas parciales eiste so ucioes cotiuas e U, etoces: Aalicemos el siguiete ejemplo, dode se ace ecesario emplear las deiicioes de las derivadas parciales. Ejemplo ;(, ) (,) Sea (, ) + ;(, ) (,) Hallar a) (,) b) (,) (,) (, + ) (, ) a) (,) lím Necesitamos la derivada parcial de primer orde. Para la derivada e cualquier puto dierete de (, ) teemos: Para la derivada Etoces: ( )( + ) ( ) + + e (, ) teemos: (,) lím ( + ) ( +,) (,) lím ( ) lím + ( + ) 96

29 Evaluado Por tato: ;,, ;,, (, ) ( + ) ( + ) (, ) 4 (,) lím (, ) (,) lím 1 (,) lím Para la derivada b) (,) + ( +,) (,) e cualquier puto dierete de (, ) teemos: ( )( + ) ( ) + Para la derivada ( + ) e (, ) teemos: ( + ) Etoces: Evaluado: Por tato: (,) lím (, + ) (,) lím lím ( ) + (, ) ( + ) ;,, ;,, ( + ) (,) 4 (,) lím (, ) (,) lím 1 Note que las derivadas mitas o so iguales. Por qué? 97

30 Ejercicios propuestos.7 1. Calcular, si eiste, la derivada mita a) (, ) b) (, ) ( ) (,) si + si + si + si + (,) para: c) ( ), + si si (, ) (,) (, ) (,).8. DIFERENCIABILIDAD. Eiste ucioes que posee todas sus derivadas direccioales, si embargo o puede ser cosideradas diereciables debido a que o so cotiuas (ejemplo 4 de derivada direccioal), etoces deberá eistir u criterio más uerte para la diereciabilidad. Recordemos la deiició de dierecial para ució de ua variable, observe la gráica: ( + ) ( ) dδ r } } d }Δ + Note que Δ d + r, dode a r le vamos a llamar residuo. Reemplazado teemos: 98

31 Δ d + r + + r Dividiedo para tomado ite ( + ) r ( ) + Podemos decir que para que sea diereciable se debe dar que: r Haciedo aalogía para ucioes de dos variables. El puto debe ser (, ) debe ser u vector, digamos (, ) para la diereciabilidad debe ser de la orma: ((, ) (, )) (, ) , etoces la epresió + A + A + r Y deberá ocurrir que r Ecotremos A 1. Supoga que (, 1 ), etoces:, +,, A + A + r Dividiedo para 1 tomado límite: ( +, ) (, ) r A A1, Teemos que Aálogamete obtegamos A Supoga que (, ), etoces: (,, ) (, ) + A + A + r 1 Dividiedo para tomado límite: (, + ) (, ) r A + A, Teemos que Aora sí podemos propoer la siguiete deiició para la diereciabilidad. 99

32 Sea : U R R, ua ució deiida e el, U, si abierto U. es DIFERENCIABLE e ( ) sus derivadas parciales e (, ) (, ) (,) eiste si [ ( +, + ) (, )] [ (, )] 1 1, Ejemplo 1 Demuestre que (, ) + es diereciable e todo (, ) Aplicado la deiició, para que la ució sea diereciable el límite [ ( +, + ) (, )] [ (, )] (, ) 1 (, ) (,) 1 debe ser cero. Obtegamos primero las derivadas parciales: (, ) (, ) (, ) (, ) Reemplazado simpliicado: [ ( +, + ) (, )] [ ] 1,, ( 1, ) (,) + (, ) (,) 1 (, ) (,) 1 (, ) (,) 1 (, ) (,) ( + ) + ( + ) + [ ] [ ] Se observa que 1 +,, 1 Por tato ES DIFERENCIABLE EN TODO PUNTO. + 1 Ejemplo Sea (, ) ;, +,. ;(, ) (,) Determie si es diereciable e (, ) Aplicado la deiició: 1

33 (, ) (,) 1 [ ( +,+ ) (,) ] [ (,) ] (,) Las derivadas parciales a uero obteidas ateriormete: (,) (,) Reemplazado: [ (, ) (,) ] [ ] 1,, ( 1, ) (,) [ ] 1 [ ] 1 + ( 1, ) (,) ,, + ( 1 ) 1 Para este último límite, aalicemos la traectoria m1 m 1 1 m1 m m 1+ m 1+ m ( 1 1 ) Este límite o eiste, por tato NO ES DIFERENCIABLE e (, ). Recuerde que a se demostró que la ució o era cotiua e (, ), por tato se esperaba que o sea diereciable. Los siguietes teoremas permite sacar coclusioes rápidas..8.1 TEOREMA Si :, es diereciable e(, ) U,,. U R R etoces es cotiua e E ciertas ucioes, bastará co demostrar que so diereciables para cocluir que es cotiua. Ejemplo 1 + ;,, ( + ) se ;(, ) (,) Sea (, ) Determie si es cotiua e (, ), determiado su diereciabilidad e (, ) Primero calculemos las derivadas parciales: ( +,) (,) (,) lím 1 ( + ) se + lím 1 lím se (,) (,) (, + ) (,) lím 1 ( + ) se + lím 1 lím se, 11

34 Luego, empleado la deiició para la diereciabilidad: [ ] (, ) (,) 1,, ( 1, ) (,) ( 1 + ) se [ ] 1 [ ] 1 + ( 1, ) (,) se ( 1, ) (,) 1 + Calculado el límite empleado coordeadas polares: 1 1 rse r r Como el límite es cero, se coclue que la ució es diereciable e el orige, por tato será cotíua tambié..8. TEOREMA Sea : U R R. Si las ucioes derivadas, etoces es parciales so cotiuas e ( ) diereciable e (, ). Para ciertas ucioes, bastará co determiar la cotiuidad de sus derivadas parciales para cocluir que es diereciable. El recíproco del teorema aterior es also. Observe el siguiete ejemplo. Ejemplo Sea (, ) 1 + ;,, ( + ) se ;(, ) (,) Demuestre que las derivadas parciales de o so cotiuas e (, ), si embargo si es diereciable e ese puto. Primero allemos la derivada parcial co respecto a Si (, ) (,) ( ) ( 1 ) ( ) + se se + + cos se cos Si (, ) (,) 1 ( + ) se (,) (,) 1 (,) + se Etoces 1

35 1 1 se cos ;,, ;,, Veamos aora si es cotiua: 1 1 se cos (, ) (,) Pasado a coordeadas polares: 1 r cosθ 1 rcosθ se cos r r r r 1 1 rcosθ se cosθcos r r r No podemos cocluir, aalicemos para traectorias: Por tato 1 1 se cos se cos 1 1 se cos, o es cotiua e ( ) Aora allemos la derivada parcial co respecto a. Si (, ) (,) ( ) ( 1 ) ( ) + se se + + cos se cos Si (, ) (,) 1 ( + ) se (, ) (, ) 1 (, ) + se Etoces 1 1 se cos ;(, ) (,) ;(, ) (,) Veamos aora si es cotiua: 1 1 se cos (, ) (,) Aalicemos traectorias: 1 1 se cos se cos 1 1 se cos o es cotiua e (, ) Fialmete demostremos que es diereciable e (, ) Por tato 1

36 (, ) (,) 1 (, ) (,) 1 [ ] (, ) (,) (,) 1, ( + ) se [ ] [ ] 1 + se ( 1, ) (,) Pasado a polares: 1 rse r r Por tato es DIFERENCIABLE Ejercicios propuestos.8 1. Demostrar que si (, ) es diereciable e ( ab, ) etoces es cotiua e ( ab, ). Aalizar la diereciabilidad e el orige para: si(, ) (,) 1 a) (, ) ( + ) si(, ) (,) 1 ( ) se si(, ) (,) b) (, ) + si (, ) (,) c),,, (, ) +, (, ) (,) d) 1,,,, se +, (, ) (,) se( ), e) (, ) (,) (, ) +, (, ) (,) si (, ) (,) ) (, ) + si(, ) (,) g),,, (, ) +, (, ) (,) +, (, ) (,) ) (, ) +, (, ) (,) i),,, 6 (, ) +, (, ) (,) 14

37 j) (, ) 5,,, 4 1 +,,,.9. GRADIENTE. Sea : U R R ua ució diereciable. Se deie el vector gradiete de e, deotado por ( ) o ( ) Ejemplo grad, como el vector de ( ) R :,,,, 1 ( ) Sea (, ) ( 1) + ( 1). Hallar el gradiete de e (,),. (, ), 1, 1,, ( ).9.1 GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL E la epresió para el residuo. ((, ) + ( 1, ) ) (, ) [ (, )] 1+, + r Observe que (, ) es u vector uitario. Supoga que 1 lo podemos epresar como u, dode u que u ( u, u ) u, u 1 etoces 1 Aora, dividiedo para tomado límite: ((, ) + u) (, ) 1 r [ (, )] + (, ) + Si es diereciable etoces Co lo cual resulta: r. 15

38 Fialmete ((, ) + u) (, ) [ (, )] u + (, ) u D (, ) (, ) u u 1 Ejemplo Sea (, ) + Empleado lo aterior. Hallar D ( 1, ) u dode u, D ( 1, ) ( 1, ) u u Aora, el gradiete sería: 1,,,, 4 Reemplazado resolviedo D ( 1, ) ( 1, ) u (, 4 ), u 1, 1, Ejemplo Sea (, ) se ( ) +. Hallar la derivada de e el puto ( 1,1) que va desde este puto al puto Q (, ) P e la direcció Primero obtegamos u sus derivadas parciales e P ( 1,1) ( 1, 1) 1 PQ u, PQ ( 1,1) ( 1,1) 1,1 cos + cos 1,1 cos + cos Empleado la última deiició 1 6 D ( 1,1) ( 1,1) u ( cos,cos ), cos u Ejercicios propuestos.9 1. Halle la derivada direccioal de la ució e el puto P e la direcció de Q. a) (, ) + 4, P(,1), Q(1, 1) b) (, ) cos( + ), P(, π), Q(,) π,, z l + + z, P(1,,), Q(4,,1 c) ) z d) g(,, z) e, P(,4,), Q(,,) 16

39 . Dado el campo escalar R R a) ( X, v) : tal que ( X ) ' (Derivada direccioal de e la direcció de v) b) Si, allar todos los putos (,) e 6. Calcule la derivada de la ució 4 X, calcular: R para los cuales: ' ( i + j; i + j) 6 R para los cuales c) Si, allar todos los putos (,) e ' i + j + k; i + j + zk, se e el puto (,), e la direcció del vector tagete a la parábola e el puto (1,1).9. PROPIEDADES DEL GRADIENTE 1. El Gradiete es u vector ortogoal a los cojutos de ivel. D u D u cosθ. De la igualdad ( u ) u teemos θ ) Si el gradiete el vector uitario tiee la misma direcció ( etoces la derivada direccioal tedría el máimo valor sería: u D má Si el gradiete el vector uitario tiee direcció cotraria (θ π ) etoces la derivada direccioal tedría el míimo valor sería: Ejemplo u D mí Supoga que la distribució de temperatura detro de ua abitació está dada por 4 z (,, ) 5+, dode,, z se mide a partir del ricó T z e + +,,. a) E qué direcció aumeta la temperatura co maor rapidez? b) Cuál es el valor máimo? a) La temperatura aumetará co maor rapidez e direcció de su gradiete, es decir: T T T T,, (,,) + 4+ z + 4+ z + 4+ z e 1, e 4, e z ( () ) (,, ) ( 1, 4, ) b) El valor máimo sería DT,, T,, u má 17

40 Ejercicios propuestos La temperatura e el puto (, ) de ua placa viee dada por: T Hállese la direcció de maor crecimieto del calor desde el puto (, 4).. Se describe la supericie de ua motaña mediate la ecuació (, ) Supógase que u alpiista está e el puto (5,, 9). E qué direcció debe moverse el alpiista e orde a asceder lo más rápido posible?. Supoer que la temperatura e el puto P(,,z) e el espacio está dada por T,, z + + z sea ua partícula que viaja por la elice circular () t ( cos t, se t, t) σ sea T(t) su temperatura e el puto t. a. Cuál es el valor de T(t)?. b. Qué direcció debe tomar la partícula para avazar asta la regió de más baja temperatura?. 4. El Capitá América tiee diicultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la ave, cuado él está e la posició (,,z) estará dada por z T (,, z) e dode,, z se mide e metros. Si la ave del Capitá América se ecuetra e el puto (1,1,1). a. E qué direcció deberá avazar para dismiuir más rápido la temperatura? b. Desaortuadamete el casco de la ave se cuarteará si se ería a ua tasa maor de 14e grados por segudo. Describir el cojuto de direccioes posible e las que puede avazar para bajar la temperatura..9. VECTORES NORMALES Y PLANOS TANGENTE Cuado se iterpretó geométricamete las derivadas parciales, se deiió que u vector directriz de la recta tagete paralela al plao z,e u puto de la supericie z (, ), está dado por S1 ( 1,, ( )) ; u vector directriz de S,1,. la recta tagete paralela al plao z está dado por S,1, z ( ) S S 1 (,, (, )) S1 1,, ( ) z (, ), 18

41 Si multiplicáramos e cruz estos vectores obtedríamos u vector ormal a la supericie e ese puto i j k S1 S 1,,1 1 ( ) Por tato el plao tagete e ese puto tedría por ecuació [ ] ( )[ ] [ ] + 1 z z Ejemplo Hallar la ecuació del plao tagete la ecuació de la recta ormal a la supericie que tiee por ecuació z 1 (, ) e el puto ( 1,, 5 ). a) La ecuació del plao tagete estaría dada por: 1, 1 1, + 1 z 5 [ ] [ ] [ ] Las derivadas parciales sería: 1 1, 5 Reemplazado ( 1, ) ( 1,) 1 5 ( 1,) 5 ( 5)[ 1] [ ] + 1[ z 5] ( ) ( ) ( z ) z z b) La ecuació de la recta ormal estaría dada por: [ (, )] t (, ) t z z + [] 1 t Reemplazado: 1 [ 5] t 1+ 5t 5 5 t t + z 5 + t 19

42 .1. LA DIFERENCIAL.1.1 DEFINICIÓN Sea : U R R ua ució diereciable e U. Etoces para cada U se tiee: ( + ) + d+ d+ r A la parte d + d Se le deomia dierecial de, se la deota como d..1. APROXIMACIONES Si se dice que Δ d, etoces teemos: ( +Δ, +Δ) (, ) [ (, )] d+ (, ) d Como d Δ d Δ Teemos la ormula de aproimació: [ ( )] ( ) +Δ, +Δ, +, Δ +, Δ Ejemplo Aproimar el valor de.98 1, 8 Utilicemos la ució (, ) ( por qué? tomemos: 1 etoces Δ.8 4 etoces Δ. Las derivadas parciales sería: 1 1, 4 4 ( 1,4 ) ( ) ( 1,4) 1, 4 l Empleado la ormula de aproimació: 11

43 (, ) (, ) [ (, )], ( 1.8;.98) ( 1,4 ) + [ ( 1, 4) ].8 + ( 1, 4) (.) +Δ +Δ + Δ + Δ.98 4 ( 1.8) 1 + [ 4].8 + [ ](.) CALCULO DE ERRORES El error e ua ució se lo puede cosiderar como la variació de la ució, etoces teemos que: Δ Δ + Δ Ejemplo 1 Se desea calcular el volume de u coo, para lo cual se mide el radio de su base e 5 cm su altura e 1 cm, co u posible error de.1 cm. Aproime el error al calcular el volume. 1 El volume de u coo circular recto está dado por: V π r V V Por tato, el error e el cálculo del volume está dado por: ΔV Δ r+ Δ r Etoces: 1 ΔV πrδ r+ πr Δ 1 ΔV π( 5)( 1)( ±.1) + π ( 5) ( ±.1) ΔV ± 1.9 Ejemplo Determie la variació que eperimeta la desidad de ua esera sólida cuo radio mide 1 cm. su masa es de 5 gr., si el radio se icremeta e mm la masa dismiue.5 gr. La desidad volumétrica ρ esta dada por: m ρ V dode m es la masa V es el volume E este caso tedríamos: m m m ρ mr 4 V πr 4πr 4π Etoces: 111

44 ρ ρ 9m Δ ρ Δ m+ Δ r Δ m+ r Δ m r 4πr 4πr Reemplazado calculado: 9( 5) Δ ρ. + (.5) 4π 1 4π( 1) Δ ρ (. 7.5 ) 4π Δ ρ 1.79 La desidad dismiue 1.79 gr cm Ejemplo El radio r la altura de u cilidro circular recto se mide co u posible error del 4% % respectivamete. Aproime el error porcetual al calcular el volume. El volume de u cilidro circular recto está dado por: V π r Se sabe que los errores porcetuales e las medicioes de r so del 4% %, por tato 4 ±Δ r r 1 ±Δ 1. V V Por otro lado ΔV Δ r+ Δ r Reemplazado: ΔV ( πr)( 4 r) + ( πr )( 1 1 ) ΔV ( 8 )( πr ) + ( 1 1 )( πr ) 1 ΔV ( 1 ) π r V Por tato el error porcetual del volume sería : ΔV 1 1% V Ejercicios propuestos Calcular aproimadamete a).1 1. b) [ ] c) (1.) [(.98 ) (1.5 ) ]. La altura de u coo es cm, el radio de su base R 1cm. Cómo variará el volume de dico coo si H se aumeta mm R se dismiue 1 mm?. Calcule el valor aproimado de la ució (, ) e el puto (.1;1.9 ) 4. Dos lados de u triágulo mide 15 mts. Y el águlo que orma es de 6º. Sabiedo que los errores probables e la medició es de. mts. e la medida de los lados de 1º e la del águlo. Determie el máimo error probable que se puede cometer al evaluar su área. Determie tambié el error e porcetaje. 5. Aproimar el porcetaje e el cual crece el volume de u cilidro circular recto si el radio aumeta e u 1% la altura e u %. 11

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