Funciones de Variable Compleja

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1 Funcions d Variabl Complja Modlos d Sistmas II Smstr 2008 Ing. Gabrila Ortiz L 1

2 Función Concpto Matmático Considrando los conjuntos X Y una función comprnd una rlación o rgla qu asocia a cada lmnto x X un solo lmnto d Y. S dic qu f mapa o transforma l lmnto x n l lmnto f : x f( x) ( x X ) Ing. Gabrila Ortiz L 2

3 Funcions d variabl complja Variabl indpndint s d la forma zx+j x,: Númros rals j -1 En gnral f(z) también s complja Si z x + j f( z) u + jv w Ing. Gabrila Ortiz L 3

4 Rprsntación gráfica Funcions rals Dibujamos x f(x) n un solo conjunto d js Funcions compljas Los valors d x, f(z) no s dibujan n un solo conjunto zx+j S dibuja n l plano z wf(z)u+jv s rprsnta n l plano w Ing. Gabrila Ortiz L 4

5 Funcions d variabl complja Dominio Conjunto d númros compljos C. Todo l plano z Rango Subconjunto d C Conjunto imagn pud sr sólo part dl plano w Ing. Gabrila Ortiz L 5

6 Funcions d variabl complja Cómo ncontramos la imagn n l plano w d, por jmplo, una rcta n l plano z? Dos formas d hacrlo Spara z w n sus parts ral imaginaria. Igualar las parts d z w Encontrar las curvas imágns n l plano w Rorganizar la xprsión para w dducir las propidads dl mapo dirctamnt Ing. Gabrila Ortiz L 6

7 Dscripcions Punto fijo S da cuando w z Mapo Invrso Equivalnt a función invrsa n R Dado un punto n l plano w podmos ncontrar d qu punto n l plano z provin Condicions para qu xista un mapo invrso zg(w) El punto n l plano w prtnc al conjunto imagn dl mapo f(z) Cada w dl conjunto imagn db ir a un punto z n l plano z Ing. Gabrila Ortiz L 7

8 Ing. Gabrila Ortiz L 8 Dscripcions Ecuación d una rcta Ecuación d un círculo compljas cts b a b z a z rals cts m c c mx +,, b t r t a t r t x r b a x r z z ) sin( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) (

9 Mapo Linal Es l mapo d la forma: w α z + β Dond w, z son variabls compljas α, β son constants compljas Ing. Gabrila Ortiz L 9

10 Mapo Linal (α0) Si α0+j0 ntoncs wβ sin importar l valor d z Propidads Todo l plano z s mapado a un punto β dl plano w El conjunto imagn s sólo un punto Particularmnt tnmos qu z β s mapa n w β. Entoncs β s un punto fijo d st mapo No tin mapo invrso Ing. Gabrila Ortiz L 10

11 Mapo Linal (β0, α 0) En st caso Propidads Orign s l único punto fijo w α z Mapa l orign dl plano z n l orign dl plano w. No ha traslación Exist mapo invrso Ing. Gabrila Ortiz L 11

12 Mapo Linal (β 0, α 0) Caso gnral Pud considrars n dos parts ζαz: S considra igual al caso d β0, α 0 w ζ+β: traslación Propidads w α z + β Rctas n l plano z son mapadas n rctas corrspondints n l plano w Círculos n l plano z son mapados n círculos n l plano w Ing. Gabrila Ortiz L 12

13 Ejmplo 1 El mapo wαz+β transforma l punto z1+j n l punto wj l punto z1 j n l punto w 1. Dtrmin α β (constants compljas) Encuntr la rgión n l plano w corrspondint al smiplano R{z} 0 n l plano z Encuntr la rgión n l plano w corrspondint al intrior dl círculo unitario z <1 n l plano z Encuntr los puntos fijos dl mapo Ing. Gabrila Ortiz L 13

14 Ejrcicio Considr la función w jz + 4 3j. Siguindo lo visto hasta ahora, dmustr con un diagrama qu l mapo s una combinación d traslación rotación Encuntr la imagn n l plano w d la lína 6x+2 n l plano z bajo l mapo dado. (zx+j) Ing. Gabrila Ortiz L 14

15 Mapo d Invrsión Es l mapo d la forma: w 1 z Al igual qu n l caso antrior, nos intrsa obsrvar la imagn d círculos rctas dl plano z bajo st mapo Ing. Gabrila Ortiz L 15

16 Mapo d Invrsión Imagn d un círculo n l plano z bajo l mapo w1/z Círculo n l plano z s mapado a círculos n l plano w bajo l mapo w1/z, xcpto cuando r z 0 n cuo caso tnmos una rcta n l plano w plano z plano w plano z plano w Ing. Gabrila Ortiz L 16

17 Mapo d Invrsión Imagn d una lína n l plano z bajo l mapo w1/z Si la rcta n l plano z pasa por l orign ntoncs la transformación dada por w1/z, s una rcta n l plano w qu pasa por l orign. plano z plano w plano z plano w Ing. Gabrila Ortiz L 17

18 Mapo d Invrsión Propidads Puntos fijos: En st mapo s dan cuando z1/z z 2 1 qu tin dos valors posibls z±1 z0 s mapado n l infinito n l plano w w0 s mapado n l infinito n l plano z Ing. Gabrila Ortiz L 18

19 Ejmplo 2 Dtrmin la tractoria imagn n l plano w corrspondint al círculo z 3 2 n l plano z bajo l mapo w1/z. Ing. Gabrila Ortiz L 19

20 Mapo Bilinal Es l mapo d la forma: Dond w a z + b cz + d w, z son variabls compljas a, b, c, d son constants compljas Si c 0 d 1, tnmos l mapo linal visto antriormnt Ing. Gabrila Ortiz L 20

21 Mapo Bilinal S pud intrprtar st mapo como una sucsión d los mapos antriors. Multiplicamos az por c/c sumamos ad/c ad/c xprsamos la cuación como: w c ( az) c ad + b + c cz + d ad c a c ( cz ad + d) c cz + d + b Ing. Gabrila Ortiz L 21

22 Mapo Bilinal El mapo bilinal s pud xprsar ntoncs como: w a c bc ad c( cz + d) Esta cuación rprsnta un mapo bilinal si l dtrminant d la cuación no s cro: a c b d + Ing. Gabrila Ortiz L 22 ad bc 0

23 Mapo Bilinal Si l dtrminant dl mapo s difrnt d cro, podmos dspjar l mapo invrso: z dw + b cw a Esta cuación rprsnta un mapo bilinal si l dtrminant d la cuación no s cro: d c b a da bc 0 Ing. Gabrila Ortiz L 23

24 Comportaminto mapo bilinal Partindo d: w a c bc ad c( cz + d) Dfinimos las siguints magnituds: Tnmos: + λ µ α a bc c cd c β µ w λ + α z + β 2 Ing. Gabrila Ortiz L 24 ad

25 Comportaminto mapo bilinal Ahora s pud dividir l mapo n: z 1 z 2 α z + β 1 z 1 w λ + µ z 2 Mapo Linal Mapo d Invrsión Mapo Linal Ing. Gabrila Ortiz L 25

26 Comportaminto mapo bilinal El mapo bilinal transforma o mapa círculos o rctas n l plano z n círculos o rctas n l plano w Ing. Gabrila Ortiz L 26

27 Ejmplo 3 Encontrar la imagn n l plano w dl círculo z 2 n l plano z bajo l mapo bilinal: w z z + j j Ing. Gabrila Ortiz L 27

28 Funcions Elmntals (1) Función xponncial Forma cartsiana z ( x+ j) x j Aplicando la idntidad d Eulr z x (cos + jsin ) z x cos + x jsin ) u( x, v( x, ) ) x cos Sparando x sin Ing. Gabrila Ortiz L 28 parts rals imaginarias

29 Funcions Elmntals (2) Función xponncial Forma polar z r Aplicando la idntidad d Eulr z r(cosθ + jsinθ) z R( r, ϕ ( r, θ θ ) ) r (cosθ) r Ing. Gabrila Ortiz L 29 jθ r rcosθ sin θ ( jsinθ)

30 Funcions Elmntals (3) Función sno Conocmos qu: sin x 2 j Aplicando l mapo w sin z tnmos jx jx w sin z 2 j( x+ j) j( x+ j) jx j jx 2 j 2 j j 2 w sin z jx 2 j Ing. Gabrila Ortiz L 30 jx

31 Funcions Elmntals (4) Función sno Aplicando la idntidad d Eulr sin z (cos x + j sin x) 2 j (cos x jsin x) ( )cos x + 2 j( j + )sin x Ing. Gabrila Ortiz L 31

32 Funcions Elmntals (5) Función sno Admás tnmos qu: cosh x Sustitundo: w Entoncs: x + 2 x sinh x cos xsinh sin z + j u( x, v( x, ) ) 2 sin xcosh j j Ing. Gabrila Ortiz L 32 sin xcosh cos xsinh x x

33 Funcions Elmntals (6) Función Logarítmica ln z ln r jθ ln r + ln jθ ln z ln r + jθ u( x, ) ln r ln x v( x, ) θ tan 1 x Ing. Gabrila Ortiz L 33

34 Ejmplo 4 Si z 2 dond z2 j(π+2nπ) ; n Z. Evaluar ln( 2) Ing. Gabrila Ortiz L 34

35 Rfrncias [1] Alvarado Moa, Pablo. Sñals Sistmas. Fundamntos Matmáticos. 1a Ed. Cartago, Costa Rica: Instituto Tcnológico d Costa Rica, Cntro d Dsarrollo d Matrial Bibliográfico, ISBN [2] R. V. Churchill, J. Ward Brown. Variabl Complja Aplicacions. McGraw Hill, 5 dition, [3] G. Jams. Matmáticas Avanzadas para Ingniría. Prntic Hall, 2 dition, [4] M. R. Spigl. Variabl Complja. Schaum. McGraw Hill, 1991 Ing. Gabrila Ortiz L 35

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