MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77

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1 MATE 3031 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77

2 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 77 Qué es una función? MATE 3171 En esta parte se recordará la idea de función y su definición formal. En casi todos los fenómenos físicos se observa la dependencia de una cantidad sobre otra. Por ejemplo: 1 La altura es una función de la edad. 2 La temperatura es una función de la época del año. 3 Costo de una paquete es función de su peso.

3 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 77 Ejemplos MATE 3171 R1 Otros ejemplos: 1 El área de un círculo en función de su radio. 2 La potencia de un circuito es función de la corriente que fluye en el circuito. Definción Una función f es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento, f (x) en el conjunto B. Los conjuntos A y B son subconjuntos de los números reales. El símbolo f (x) se lee "f de x o f en x y es llamado el valor de f en x, o la imagen de x bajo f. El conjunto A es el dominio de la función y se define: Dom (f ) = {x R para cada x A existe un único f (x) B} El rango de f es el conjunto de todos los posibles valores de f (x) donde x Dom (f ), esto es: rango(f ) = {f (x) x Dom (f )} La variable x es la variable independiente.

4 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 4 / 77 MATE 3171 Se puede pensar una función como una máquina: O como:

5 Representación de funciones Una función se puede representar en: 1 Forma verbal 2 Algebraicamente 3 Visualmente en forma de una gráfica 4 Numéricamente en forma de tabla. Ejemplos R2 1. Dado f (x) = 9 x 2, evalúe: f ( 3) = 9 ( 3) 2 = 9 9 = 0 f ( 2) = 9 ( 2) 2 = 9 4 = 5 f ( 1) = 9 ( 1) 2 = 9 1 = 8 f (0) = 9 (0) 2 = 9 = 3 f (2) = = 9 4 = 5 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 77

6 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 77 { 3 si x < 0 7. Dado f (x) = x 3 si x 0 f ( 4) = f ( 1) = f (0) = f (1) = f ( 2) f (1) =, evalúe:

7 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / Si f (x) = 3x + 5, halle f (a + h) f (a) h Solución Se halla: f (a) = 3(a) + 5 = 3a + 5 f (a + h) = 3(a + h) + 5 = 3a + 3h + 5 f (a + h) f (a) h =

8 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / Halle el dominio de f (x) = x 3 3, 4 < x 6 Solución El dominio es: Dom (f ) = ( 4, 5] 4.Halle el dominio de f (x) = x 3 3 Solución Dom (f ) = R = (, ) El dominio de toda función polinómica es el conjunto de los números reales Halle el dominio de f (x) = 4x + 12 Solución El dominio de toda función racional es el conjunto de los números reales, excepto los valores que anulan al denominador. Dom (f ) = R { 3}

9 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 9 / 77 x 6. Halle el dominio de f (x) = 3 x 2 + x 12 Solución x f (x) = 3 x 2 + x 12 = f (x) = x 3 (x + 4) (x 3) Dom (f ) = 7. Halle el dominio de f (x) = x + 4 Solución El dominio de toda función radical cuyo índice es par, es un subconjunto de los números reales, para los cuales el argumento es mayor o igual que cero. Dom (f ) = {x R x + 4 0} = 8. Halle el dominio de f (x) = x 2 16 Solución Dom (f ) = { x R x } =

10 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / Halle el dominio de f (t) = 5 t 3 Solución El dominio de toda función radical cuyo índice es impar, es un subconjunto de los números reales, para los cuales el argumento está definido. Dom (f ) = R = x Halle el dominio de f (x) = x 2 Solución Dom (f ) = {x R x y x = 2} =

11 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / Halle el dominio de f (t) = 5 t + 2 Solución El dominio de toda función radical cuyo índice es impar, es un subconjunto de los números reales, para los cuales el argumento está definido. Dom (f ) = R = x Halle el dominio de f (x) = x 2 Solución Dom (f ) = {x R x 4 0 y x = 2} =

12 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 77 Gráficas de funciones MATE 3171 Para graficar una función f, se marcan los puntos (x, f (x)) en el plano coordenado. Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados {(x, f (x)) x A} graficados en el plano cartesiano. En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) tal que y = f (x) ; esto es, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f (x).

13 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 77 Tipos de funciones 1 Funciones lineales: y = f (x) = mx + b, su gráfica es una recta con pendiente m. 2 Función constante: y = c, su gráfica es una recta con pendiente m = 0.

14 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / Funciones potencia: f (x) = x n, n N

15 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 15 / Función valor absoluto: f (x) = x = { x si x 0 x si x > 0

16 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 16 / Funciones radicales: f (x) = x, f (x) = 3 x, f (x) = 4 x, f (x) = 5 x

17 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 17 / Funciones recíprocas: f (x) = 1 x, f (x) = 1 x 2

18 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 18 / Función mayor entero f (x) = [ x ]

19 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 19 / 77 Prueba de la vertical Una curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y solo si ninguna recta vertical intersecta a la curva más de una vez.

20 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 20 / 77 Ejemplos MATE 3171 R2 1 Haga un pareo entre entre las funciones y sus gráficas: a. f (x) = x 2 b. f (x) = x 3 c. f (x) = x d. f (x) = x

21 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 21 / Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = 5 2x x y = f (x) = 5 2x y rango(f ) = R 2

22 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 22 / Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = x 2 4 x y = f (x) = x 2 Eje X: y = 0 x = ±2; 4 Eje Y: x = 0 y = 4 y rango(f ) = [ 4, ) 5

23 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 23 / Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = x 3 1 x y = f (x) = x 3 Eje X: y = 0 x = 1; 1 Eje Y: x = 0 y = 1 y rango(f ) = R 5

24 5. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = x + 3 Domf (f ) = {x R x + 3 0} = [ 3, ) x y = f (x) = Eje X: y = 0 x = 3; x + 3 Eje Y: x = 0 y = 3 y rango(f ) = [0, ) 5 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 24 / 77

25 6. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: f (x) = x x { { x x si x 0 0 si x 0 f (x) = x x si x < 0 =, Domf (f ) = R 2x si x < 0 x < x y = f (x) = 2x y = f (x) = 0 Eje X: y = 0 x = 0;Eje Y: x = 0 y = 0 y rango(f ) = [0, ) 5 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 25 / 77

26 7. Trace la gráfica, { construyendo una tabla de valores: 1 x si x < 2 f (x) = f (x) =, Domf (f ) = R 2 si x 2 x < x y = f (x) = 1 x y = f (x) = 0 Eje X: y = 0 x = 1 / (, 2) ;Eje Y: x = 0 y = 3 y rango(f ) = P. Vásquez (UPRM) Conferencia 26 / 77 4

27 8. Trace la gráfica, construyendo una tabla de valores: x si x 0 y = f (x) = 9 x 2 si 0 < x < 2, Domf (f ) = R x 2 si x 2 x < < x < x y = x y = 9 x 2 y = x 2 Eje X: y = 0 x = 0, x = 2;Eje Y: x = 0 y = 0 y P. Vásquez (UPRM) Conferencia 27 / 77

28 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 28 / Indique cual de las siguientes curvas no representa a una función:

29 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 29 / Determine si la ecuación x 2 + y 2 = 5 representa a una función: no, no se puede despejar y 11. Determine si la ecuación x + y = 2 representa a una función: si, si se puede despejar y 12. Determine si la ecuación 2x + y = 2 representa a una función: no, no se puede despejar y

30 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 30 / Dada la gráfica de un función, a. Halle los máximos locales de f : x = 2; valor máximo f ( 2) = 3; x = 1; valor máximo f (1) = 2 b. Halle los mínimos locales de f : x = 1; valor mínimo f ( 1) = 0; x = 2; valor mínimo f (2) = 1 c. f crece en: (, 2), ( 1, 1), (2, ) d. f decrece en: ( 2, 1), (1, 2)

31 Razón de cambio promedio La razón de cambio promedio de una función y = f (x) entre x = a y x = b, es: P. Vásquez (UPRM) Conferencia 31 / 77 razón de cambio promedio (f av ) = cambio en y cambio en x = f (b) f (a) b a En otras palabras: la razón de cambio promedio de una función es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)).

32 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 32 / 77 Ejemplos MATE Dada la gráfica de una función: Determine la razón de cambio promedio entre los puntos indicados en la gráfica. f (5) f ( 1) f av = = 4 0 = 2 5 ( 1) 6 3

33 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 33 / Dada la función f (x) = 5 4x, halle la razón de cambio promedio entre x = 2 y x = 5 f av = f (5) f ( 2) 5 ( 2) = 4. Dada la función f (z) = 2 + z 2, halle la razón de cambio promedio entre z = 1 y z = 3 f av = f (3) f ( 1) 3 ( 1) =

34 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 34 / 77 MATE 3171 Transformaciones de funciones Traslación vertical Si se suma una constante c a una función, su gráfica se desplaza verticalmente hacia arriba si c > 0 y se desplaza verticalmente hacia abajo si c < 0. Suponga c > 0 : La gráfica de y = f (x) + c, se obtiene al mover c unidades hacia arriba la gráfica de y = f (x). La gráfica de y = f (x) c, se obtiene al mover c unidades hacia abajo la gráfica de y = f (x).

35 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 35 / 77 Ejemplos 1 Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la función conocida y luego aplique la transformación. f (x) = x y y 4 x^2 8 x^ x x

36 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 36 / 77 MATE 3171 Traslación horizontal Si se suma una constante c a x, su gráfica se desplaza horizontalmente hacia la derecha si c > 0 y se desplaza horizontalmente hacia la izquierda si c < 0. Si se conoce la gráfica de y = f (x), lo anterior se obtiene de la gráfica de y = f (x c). Suponga c > 0 : La gráfica de y = f (x c), se obtiene al mover c unidades hacia la derecha la gráfica de y = f (x). La gráfica de y = f (x + c), se obtiene al mover c unidades hacia la izquierda la gráfica de y = f (x).

37 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 37 / 77 Ejemplos 2 Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la función conocida y luego aplique la transformación. f (x) = (x + 3) 2 y y 4 4 x^ x x

38 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 38 / 77 Ejemplos 3 Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la función conocida y luego aplique la transformación. f (x) = (x + 3) 2 y y 4 4 x^ x x

39 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 39 / Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la función conocida y luego aplique la transformación. f (x) = x 2 y y x^ x

40 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 40 / 77 MATE 3171 Reflexiones Dada la gráfica de y = f (x), se desea conocer que sucede al graficar y = f (x) o y = f ( x). La gráfica de y = f (x), es el reflejo de la gráfica de y = f (x) sobre el eje X. La gráfica de y = f ( x), es el reflejo de la gráfica de y = f (x) sobre el eje Y.

41 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 41 / 77 5 Trace la gráfica de una función, sin tabular, graficando la función conocida y luego aplique la transformación. f (x) = x y g(x) = x y x^.5 ( x)^ x x x^

42 Composición de funciones P. Vásquez (UPRM) Conferencia 42 / 77

43 Composición de funciones P. Vásquez (UPRM) Conferencia 42 / 77 En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición de funciones, se inicia con un número x en el dominio de g

44 Composición de funciones P. Vásquez (UPRM) Conferencia 42 / 77 En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición de funciones, se inicia con un número x en el dominio de gy se halla la imagen g (x). Si este número está en el dominio de f, podemos calcular el valor de f (g (x))

45 Composición de funciones En general, dadas dos funciones f y g para determinar la composición de funciones, se inicia con un número x en el dominio de gy se halla la imagen g (x). Si este número está en el dominio de f, podemos calcular el valor de f (g (x)). El resultado es una nueva función h (x) = f (g (x)) que es obtenida sustituyendo g en f. Se le llama la composición de funciones y se denota por: f g y se lee f compuesta con g. Dadas dos funciones f y g, la función composición f g (también llamada composición de f y g) se define: (f g) (x) = f (g (x)) El dominio de f g es el conjunto de todos los x en el dominio de g talque g (x) está en el dominio de f. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 42 / 77

46 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77 1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x 2 4, halle: a. Halle (f g) (0)

47 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77 1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x 2 4, halle: a. Halle (f g) (0) = f (g (0)) = b. Halle (g g) ( 1)

48 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77 1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x 2 4, halle: a. Halle (f g) (0) = f (g (0)) = b. Halle (g g) ( 1) = g (g ( 1)) = c. Halle (f g) (2)

49 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77 1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x 2 4, halle: a. Halle (f g) (0) = f (g (0)) = b. Halle (g g) ( 1) = g (g ( 1)) = c. Halle (f g) (2) = f (g (2)) = d. Halle (f f ) (3)

50 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77 1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x 2 4, halle: a. Halle (f g) (0) = f (g (0)) = b. Halle (g g) ( 1) = g (g ( 1)) = c. Halle (f g) (2) = f (g (2)) = d. Halle (f f ) (3) = f (f (3)) = e. Halle (f g) (x)

51 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77 1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x 2 4, halle: a. Halle (f g) (0) = f (g (0)) = b. Halle (g g) ( 1) = g (g ( 1)) = c. Halle (f g) (2) = f (g (2)) = d. Halle (f f ) (3) = f (f (3)) = e. Halle (f g) (x) = f (g (x)) = f ( x 2 4 ) = f. Halle (g f ) (x)

52 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77 1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x 2 4, halle: a. Halle (f g) (0) = f (g (0)) = b. Halle (g g) ( 1) = g (g ( 1)) = c. Halle (f g) (2) = f (g (2)) = d. Halle (f f ) (3) = f (f (3)) = e. Halle (f g) (x) = f (g (x)) = f ( x 2 4 ) = f. Halle (g f ) (x) = g (f (x)) = g (4x + 6) = g. Halle (g g) (x)

53 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 43 / 77 1 Si f (x) = 4x + 6 y g (x) = x 2 4, halle: a. Halle (f g) (0) = f (g (0)) = b. Halle (g g) ( 1) = g (g ( 1)) = c. Halle (f g) (2) = f (g (2)) = d. Halle (f f ) (3) = f (f (3)) = e. Halle (f g) (x) = f (g (x)) = f ( x 2 4 ) = f. Halle (g f ) (x) = g (f (x)) = g (4x + 6) = g. Halle (g g) (x) = g (g (x)) = g ( x 2 4 ) =

54 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios

55 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios dom (f ) = (, 0) (0, ) ; dom (g) = (, )

56 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios dom (f ) = (, 0) (0, ) ; dom (g) = (, ) (f g) (x) = f (g (x))

57 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios dom (f ) = (, 0) (0, ) ; dom (g) = (, ) (f g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4 x +4

58 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios dom (f ) = (, 0) (0, ) ; dom (g) = (, ) (f g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4 x +4 dom (f g) = {x R x + 4 = 0} = (, 4) ( 4, )

59 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios dom (f ) = (, 0) (0, ) ; dom (g) = (, ) (f g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4 x +4 dom (f g) = {x R x + 4 = 0} = (, 4) ( 4, ) (g f ) (x)

60 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios dom (f ) = (, 0) (0, ) ; dom (g) = (, ) (f g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4 x +4 dom (f g) = {x R x + 4 = 0} = (, 4) ( 4, ) (g f ) (x) = g (f (x)) = g ( ) 4 x = 4 x + 4 dom (g f )

61 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios dom (f ) = (, 0) (0, ) ; dom (g) = (, ) (f g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4 x +4 dom (f g) = {x R x + 4 = 0} = (, 4) ( 4, ) (g f ) (x) = g (f (x)) = g ( ) 4 x = 4 x + 4 dom (g f ) = {x R x = 0} = (, 0) (0, ) (f f ) (x)

62 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios dom (f ) = (, 0) (0, ) ; dom (g) = (, ) (f g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4 x +4 dom (f g) = {x R x + 4 = 0} = (, 4) ( 4, ) (g f ) (x) = g (f (x)) = g ( ) 4 x = 4 x + 4 dom (g f ) = {x R x = 0} = (, 0) (0, ) (f f ) (x) = f (f (x)) = f ( ) 4 x = 4 4 = x x dom (f f )

63 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios dom (f ) = (, 0) (0, ) ; dom (g) = (, ) (f g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4 x +4 dom (f g) = {x R x + 4 = 0} = (, 4) ( 4, ) (g f ) (x) = g (f (x)) = g ( ) 4 x = 4 x + 4 dom (g f ) = {x R x = 0} = (, 0) (0, ) (f f ) (x) = f (f (x)) = f ( ) 4 x = 4 4 = x x dom (f f ) = {x R x = 0} = (, 0) (0, ) (g g) (x)

64 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios dom (f ) = (, 0) (0, ) ; dom (g) = (, ) (f g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4 x +4 dom (f g) = {x R x + 4 = 0} = (, 4) ( 4, ) (g f ) (x) = g (f (x)) = g ( ) 4 x = 4 x + 4 dom (g f ) = {x R x = 0} = (, 0) (0, ) (f f ) (x) = f (f (x)) = f ( ) 4 x = 4 4 = x x dom (f f ) = {x R x = 0} = (, 0) (0, ) (g g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8 dom (g g)

65 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 44 / 77 2 Si f (x) = 4 x y g (x) = x + 4, halle: f g, g f, f f, g g y sus dominios dom (f ) = (, 0) (0, ) ; dom (g) = (, ) (f g) (x) = f (g (x)) = f (x + 4) = 4 x +4 dom (f g) = {x R x + 4 = 0} = (, 4) ( 4, ) (g f ) (x) = g (f (x)) = g ( ) 4 x = 4 x + 4 dom (g f ) = {x R x = 0} = (, 0) (0, ) (f f ) (x) = f (f (x)) = f ( ) 4 x = 4 4 = x x dom (f f ) = {x R x = 0} = (, 0) (0, ) (g g) (x) = g (g (x)) = g (x + 4) = x + 8 dom (g g) = R = (, )

66 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 45 / 77 Funciones 1-1 MATE 3171 Las funciones que son 1-1 son importantes para el estudio de funciones inversas, observe el siguiente par de gráficas: DefiniciónUn función con dominio A se dice que es una función1-1 si cualquier par de elementos de A siempre tienen diferentes imágenes, es decir: f (x 1 ) = f (x 2 ) cuando x 1 = x 2

67 Función inversa MATE 3171 Toda función que es 1-1 posee inversa. DefiniciónSea f una función 1-1 con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f 1 tiene dominio B y rango A y se define por: f 1 (y) = x f (x) = y para cualquier y B. Se satisface: dom ( f 1) = rango (f ) y dom (f ) = rango ( f 1) Propiedad de función inversa Sea f una función 1-1 con dominio A y rango B. Su función inversa f 1 satisface las siguientes propiedades: f 1 (f (x)) = x f ( f 1 (x) ) = x para todo x A para todo x B Una función f 1 que satisface las ecuaciones anteriores es la inversa de f. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 46 / 77

68 Pasos para hallar la inversa de una función 1 Escriba y = f (x). 2 Resuelva la ecuación para x en términos de y (si es posible) 3 Intercambie x con y. La ecuación resultante es y = f 1 (x). Nota: La gráfica de f 1 se obtiene reflejando la gráfica de f en la recta y = x. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 47 / 77

69 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 48 / 77 Ejemplos 1 La gráfica de una función f es dada,: Indique cual de ellas es 1-1:

70 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 49 / 77 2 Determine si la función dada es 1-1: a. y = f (x) = 6x + 2, si es 1-1, recuerde su gráfica es una recta, además: para cualquier par: f (x 1 ) = 6x 1 + 2, 6x = f (x 2 ) 6x = 6x si x 1 = x 2 1 b. y = f (x) = x + 2 no es 1-1, un contraejemplo: 4 = 0 sin embargo f ( 4) = 2 = f (0), se tiene que para un par de valores diferentes en el dominio, sus imágenes son iguales c. y = f (x) = x 4 + 5, 0 x 2 verifique que es 1-1.

71 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 50 / 77 3 Asuma que f es una función 1-1: a. Si f (2) = 5, halle f 1 (5) =? b. Si f 1 (4) = 6, halle f (6) =? c. Si f (3) = 10, halle f 1 (10) =? d. Si f 1 ( 2) = 5, halle f ( 5) =? 4 Si g (x) = x 2 + 4x, con x 2, halle g 1 (5) Se halla el valor de x tal que g (x) = x 2 + 4x = 5 y se resuelve la ecuación cuadrática: x 2 + 4x 5 = 0, cuya solución es: x = 1, x = 5, de donde se obtiene que g 1 (5) = 1 porqué?

72 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 51 / 77 5 Demuestre que las funciones f (x) = 2x 5 y g (x) = x inversas una de otra. Se debe verificar que: (f g) (x) = f (g (x)) = f ( ) ( x +5 2 = 2 x +5 ) 2 5 = x 2x 5+5 (g f ) (x) = g (f (x)) = g (2x 5) = 2 = x 6 Halle la función inversa de f (x) = 1 x +1 Se debe verificar que: Dom (f ) = {x R x = 1} = rango ( f 1) Sea y = 1 x +1, despejando x : x + 1 = 1 y x = Por lo tanto la función inversa es: f 1 (x) = Dom ( f 1) = {x R x = 0} = rango (f ) son

73 Funciones Polinómicas y sus gráficas DefiniciónUna función polinómica de grado n se define por: P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 donde n N, a n = 0 y a n, a n 1,, a 1, a 0 R. Los números a n, a n 1,, a 1, a 0 son llamados los coeficientes del polinomio. El número a 0 es llamado el coeficiente constante o término constante. El número a n es el coeficiente de la potencia mayor, y es llamado el coeficiente principal, y a n x n es llamado el término principal. Características de las gráficas de FP Se han discutido algunos casos anteriormente, por ejemplo: 1 La función lineal: f (x) = b + mx, su gráfica es una línea. 2 La función cuadrática: f (x) = ax 2 + bx + c, cuya gráfica es una parábola. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 52 / 77

74 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 53 / 77 A continuación se presentan las gráficas de algunas funciones polinómicas básicas:

75 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 54 / 77 1 Paree cada una de las funciones polinómicas con sus gráficas: a.p(x) = x ( x 2 4 ) b.p(x) = x 2 ( x 2 4 ) c.p(x) = x 5 + 5x 3 4x d.p(x) = 1 2 x 6 2x 4 e.p(x) = x 4 + 2x 3 f.p(x) = x 3 + 2x 2

76 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 55 / 77 Funciones exponenciales MATE 3171 DefiniciónUna función exponencial con base a está bien definida para todos los números reales x y se denota por: f (x) = a x, donde a > 0, a = 1. Gráficas de funciones exponenciales La función exponencial f (x) = a x, (a > 0, a = 1) tiene dominio R y rango (0, ). La recta y = 0 es una asíntota horizontal. La gráfica de f tiene una de las siguientes formas:

77 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 56 / 77 Ejemplos 1 Paree las siguientes funciones con sus gráficas: a.f (x) = 2 x b.f (x) = 2 x c.f (x) = 2 x a.f (x) = 2 x

78 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 57 / 77 Funciones logarítmicas MATE 3171 Toda función exponencial f (x) = a x, donde a > 0, a = 1, es 1-1, y por lo tanto posee inversa. La función inversa es llamada función logarítmica y se obtiene: y = a x para despejar x se aplica log a a ambos lados y se obtiene: log a y = log a a x = x log a a = x, porque log a a = 1 para todo a > 0, a = 1 La función inversa de la exponencial es: f 1 (x) = log a x DefiniciónUna función logarítmica con base a > 0, a = 1 se define por: y se satisface: y = log a x x = a y f (x) = log a x, donde a > 0, a = 1.

79 Gráficas de funciones logarítmicas La función logarítmica f (x) = log a x, (a > 0, a = 1) tiene dominio (0, ) y rango R. La recta x = 0 es una asíntota vertical. La gráfica de f tiene una de las siguientes formas: y a^x, 0<a< loga(x) 0<a<1 y=x P. Vásquez (UPRM) Conferencia 58 / 77

80 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 59 / 77 Logaritmo común El logaritmo con base 10 es llamado el logaritmo común y se escribe sin la base: log x = log 10 x Logaritmo natural El logaritmo con base e es llamado el logaritmo natural y se denota por ln: ln x = log e x Nota: ln x = y x = e y

81 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 60 / 77 1 Trace la gráfica de la función f (x) = log 4 x, Construyendo una tabla de valores: 1 1 x log 4 x y x

82 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 61 / 77 MATE 3171 Funciones trigonométricas Sabemos que para encontrar el punto terminal P (x, y) para un número dado t real, mover una distancia t a lo largo del círculo unitario, comenzando en el punto (1, 0). Se mueven en una dirección hacia la izquierda si t es positivo y en una dirección hacia la derecha si t es negativo (ver Figura

83 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 62 / 77 MATE 3171 Funciones trigonométricas Sabemos que para encontrar el punto terminal P (x, y) para un número dado t real, mover una distancia t a lo largo del círculo unitario, comenzando en el punto (1, 0). Se mueven en una dirección hacia la izquierda si t es positivo y en una dirección hacia la derecha si t es negativo (ver Figura

84 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 63 / 77

85 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 64 / 77

86 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 65 / 77

87 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 66 / 77

88 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 67 / 77 Función seno

89 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 68 / 77 Función coseno

90 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 69 / 77 Transformaciones MATE 3171

91 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 70 / 77 Ejemplo Graficar y = 3 sin 2 ( x π ) 4 Amplitud: 2; Periodo: P = 2π 2 = π; ángulo de fase: π 4

92 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 71 / 77 Otras funciones trigonométricas

93 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 72 / 77 Función tangente

94 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 73 / 77 Función cotangente

95 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 74 / 77 Función secante MATE 3171

96 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 75 / 77 Función cosecante

97 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 76 / 77 Ejemplo MATE 3171 Graficar y = 2 cot ( 3x π ) ( ) 2 = 2 cot 3 x π 6 Amplitud: 2; Periodo: P = π 3 ; la gráfica de 2 cot 3x se mueve a la derecha π 6

98 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 77 / 77 Ejemplo MATE 3171 Graficar y = 1 2 csc ( 2x + π ) ( ) 2 = 2 csc 2 x + π 4 Amplitud: 2; Periodo: P = 2π 2 ; la gráfica de 2 csc 2x se mueve a la izquierda π 4