UNIDAD II FUNCIONES. Ing. Ronny Altuve Esp.

Transcripción

1 República Bolivariana de Venezuela Universidad Alonso de Ojeda Administración Mención Gerencia y Mercadeo UNIDAD II FUNCIONES Ing. Ronny Altuve Esp. Ciudad Ojeda, Septiembre de 2015

2 Función Universidad Alonso de Ojeda UNIDAD II. FUNCIONES. Una función es una relación entre dos conjuntos, sin embargo, para poder llamar a una relación función debe cumplir con ciertas características particulares. Una relación es función cuando en dos conjuntos cualesquiera denominados A y B, todo elemento de A se relaciona con un elemento de B. Las funciones se suelen denotar con letras minúsculas tales como: f, g, h, i, j, etc. De tal manera que cuando estamos en presencia de una relación que cumple con las condiciones de función debemos llamarla función y la escribimos así: f: A B Esto se lee: f es una función de A a B, o también se puede decir de A hacia B, o de A en B. A Dominio f a B R Y = f(x) Rango r Representación Gráfica de las Funciones Gráfico Cartesiano El sistema de coordenadas rectangulares es el gráfico más empleado para representar una función, para ello se requiere el trazado de una línea horizontal y de una vertical. Ambas son rectas numéricas y se intersecan en sus respectivos puntos cero. El punto de intersección de los ejes es el origen de coordenadas. Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro áreas o regiones llamadas cuadrantes, los cuales se numeran según el sentido contrario a las manecillas del reloj. La línea horizontal se denomina eje x, y la vertical el eje y. La elección del sentido positivo o negativo es cuestión de conveniencia, pero suele considerarse el -,+ y +,+ lado derecho al eje y como el positivo, y el lado izquierdo como el lado de los negativos. En las coordenadas rectangulares llamaremos abscisa o coordenada x a la coordenada que indica su distancia x dirigida hacia la derecha o a la izquierda del eje y; la ordenada o coordenada y es la coordenada que da su distancia hacia arriba o -,- +,- hacia debajo de eje x.

3 Características de las funciones Dominio de una función: Se llama dominio de una función al conjunto de valores de x que hacen que la función esté definida dentro del campo de los números reales. Rango de una función: Se llama rango de una función al conjunto de valores de Y que son imágenes de los valores de x. Gráfica de una función: La gráfica de una función está formada por un conjunto de puntos (x,y), donde debe cumplirse que los x pertenecen al dominio de la función y los Y pertenecen al rango. FUNCIÓN NO FUNCIÓN Una curva del plano correspondiente a la gráfica de una función si y sólo si ninguna recta vertical intercepta a la curva más de una vez. Corte: En un plano cartesiano todos los puntos que están sobre el eje x tienen como abscisa a a y como ordenada 0 y viceversa. Simetría a) Función par: Una función f(x) se denomina par cuando la imagen de cualquier elemento x del dominio es igual a la imagen de su elemento opuesto de x, de otra forma se dice que una función es par si (x)=f( x) Simétrica al eje Y b) Función impar: Una función f(x) se denomina impar cuando la imagen de cualquier elemento x del dominio es igual al opuesto de la imagen del elemento opuesto de x, de otra forma se dice que una función es impar si (x)= f( x) Simétrica al origen Nota: El hecho que una función no sea par, no indica que tenga que ser impar.

4 Crecimiento y decrecimiento: Una función f se dice que es creciente: Si para todo x1 < x2 las imágenes también crecen. f, x1 <x2 f(x1 )<f(x2) Una función f se dice que es decreciente: Si para todo x1 < x2 todas las imágenes van decreciendo. f, x1 <x2 f(x1 )>f(x2) Tipos de Funciones 1. Función Constante. Una función constante tiene la forma general f(x) = a, donde a es un número real. 2. Función afín. Se define como función afín a toda expresión de la forma f (x) = mx + b, donde m, b є R. Representación Gráfica La representación gráfica de una función afín en el plano real es una línea recta, por esta razón, la función afín también es llamada función lineal. El dominio y el rango de la función f es el conjunto de todos los números reales. Pendiente de la recta a) Si m = 0 la recta es horizontal, siendo α = 0 b) Si m > 0 la recta estará inclinada hacia la derecha 0 < α < 90 c) Si m < 0 la recta estará inclinada hacia la izquierda 90 < α < 180 d) Si m no está definida o equivalente no existe la recta. Será vertical en este caso, no se cumple la definición de función, ya que a un elemento de x del dominio son asignadas infinitas imágenes de y del rango.

5 3. Función Valor Absoluto. Es de la forma y = a bx + h + k, donde h b y k representan los desplazamientos horizontales y verticales de la función, respectivamente. Su punto de desplazamiento se llama pico de la función valor absoluto. 4. Función Cuadrática. Se define como función cuadrática a toda expresión de la forma f (x) = ax 2 + bx + c, donde a, b, c є R y a 0 Representación gráfica La representación gráfica de la función cuadrática en el plano real, es una curva llamada parábola. El dominio de f es el conjunto de los números reales. El rango de la función, se estudiará en términos del valor de a : a) Si a > 0, el Rg: f = [ D ; + ) 4a b) Si a < 0, el Rg: f = ( ; D ] 4a Siendo D el discrimínate de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 y se calcula: D = b 2 4ac Corte con los ejes coordenados i. Con el eje y: Haciendo x = 0, se obtiene que la parábola corta al eje y en el punto donde y vale c (y = c). ii. Con el eje x: Los cortes con el eje x, se analizan en función del discrimínate y la expresión: x = b ± D 2a Vértice de la parábola El vértice de la parábola se halla mediante la fórmula: V = ( b 2a ; D 4a )

6 5. Función potencial. Es de la forma f (x) = a(bx + h) n + k, donde h b y k representan el desplazamiento horizontal y vertical de la función respectivamente y n Z; n puede ser par o impar. 6. Función Racional. Son aquellas que vienen expresadas como el cociente de dos polinomios o el inverso de uno cualquiera de ellos. El dominio son los números reales menos los valores que anulen el denominador.