d. x 1 e. Ninguna de las anteriores b. 1 c. 3 d. 2 e. Ninguna de las anteriores d. ( 3; 2) e. Ninguna de las anteriores d.

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1 UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO, RECINTO DE MAYAGUEZ DEPARTAMENTO DE CIENCIAS MATEMATICAS EXAMEN DEPARTAMENTAL FINAL: PRE-CALCULO I, MATE 7 NOMBRE: NUM. DE ESTUDIANTE: SECCION: PROFESOR: El plagio no está permitido. Simpli que todas sus respuestas. Sólo puede usar calculadora cientí ca. Preguntas durante el examen no serán permitidas. I. (0 puntos) En los siguientes ejercicios seleccione la mejor alternativa:. Al simpli car la expresión (x + ) (x + ) ; se obtiene: a. x b. x + c. x + (x + ) (x + ) = x d. x. Si f(x) = p x entonces f ( ) =: a. 0 b. c. f ( ) = p ( ) = d.. Las coordenadas del vértice de la grá ca de la función cuadrática f(x) = (x + ) ; son: a. (; ) b. ( ; ) c. (; ) V ( ; ) d. ( ; ). La pendiente de la línea recta x y = 0, es: a. m = = b. m = c. m = = d. m = despejando y = x ) m =. El centro y radio de la circunferencia (x ) +(y + ) = 6, es: a. C( ; ), r = 6 b. C( ; ), r = 6 c. C(; ), r = 6 C (; ) ; r = 6 d. C(; ), r = 6

2 6. El dominio de la función f(x) = x + x +x ; es: a. R f g b. R f ; g c. R f; g d. R f ; g 7. La solución de la ecuación x = x+ ; es: a. x = 6 b. x = c. x = d. x = 6 8. La valor de log 6; es: a. b. c. 6 d. x+ x +x = x+ (x+)(x ) ; dom (f) = R f ; g x = x+ = (x+) ) x = x + 6 ) x = 6 log 6 = log = log = 9. La inversa de la función f(x) = x + 8 a. f (x) = b. x + f (x) = c. x f (x) = d. x + f (x) = e. Ninguna de x las anteriores y = x + 8; despejando x : x = x ; respuesta b 0. El campo de valores (rango) de la función f(x) = x+ a. (0,) b. (,) c. (,) d. (,) Los reales positivos porque la función exponencial toma valores positivo. Dada la expresión "cuadre y reste ", la representación en forma de función es: a. f (x) = (x + ) b. f (x) = (x ) c. f (x) = x f (x) = x d. f (x) = x +. Dado P (x) = 7x 6x + 6x, entonces P () = a. 0 b. c. d. P () = =

3 . El conjunto solución de la desigualdad jxj ; es: a. [ ; ] b. ( ; ) c. ( ; ) x d. [0; ). La solución de la ecuación x = 6: a. x = 6 b. x = 6 c. x = 6 d. x = 6 x = 6. Identi que la función que no es -: a. f (x) = p x b. f (x) = x ; x c. f (x) = x c d. f (x) = x 6. La solución de la ecuación log x = ; es: a. x = b. x = c. x = 6 d. x = 6 7. Evalúe i 67 =: a. b. c. i d. i log x =, x = = 6 i 67 = ii 66 = i i = i ( ) = i 8. La grá ca de y + x = 6; es simétrica con respecto a: a. Eje X b. Eje Y c. Origen d. Todas las anteiores tiene todas las simetrías, respuesta 9. La solución de la ecuación cuadrática x + 9 = 0, es: a. x = 7i b. x = 7i c. x = 7i d. x = 7 x + 9 = 0 ) x = 9 ) x = p 9 = 7i d

4 0. Si s varía directamente proporcional a la raíz cuadrado de t. Si s = 0 y t =, el valor de la constante k de proporcionalidad es: a. k = 0 b. k = c. k = d. k = s = k p t ) 0 = k p ) k = II. Resuelva los siguientes ejercicios:. Dado el polinomio P (x) = x x + x + 6 :prob 8, pag 6 a. ( puntos) Halle los ceros reales de P Posibles ceros racionales: ; ; ; 6 RR positivas: cambio de signo, por lo tanto tiene un cero real positivo P ( x) = x x x + 6 RR negativas: cambios de signo, por lo tanto tiene dos o ningún cero real negativo, como la suma de sus coe centes es cero, es un cero. Aplicando división sintética: El cociente es: q (x) = x x + 6 = x + x 6 = (x + ) (x ) Por lo tanto los ceros son: ; ; b. ( puntos) Trace la grá ca de P 9 y x 0 P (x) 6 8 x. (6 puntos) Evalúe 0i i 0i i = 0i +i i +i prob pag 68 0i ( + i) 0i + 0i = + = = i = + i

5 . Dada la función racional f(x) = x + 6, halle: prob pag 89 6x + a. ( punto) el intercepto con el eje Y (0; ) b. ( punto) los interceptos con el eje X ( ; 0) c. ( puntos) asíntotas verticales x = d. ( punto) asíntota horizontal y = e. (6 puntos) hacer un bosquejo de la grá ca de la función 9 y x ( puntos) Halle el cociente y residuo al dividir 6x + x + x por x + prob pag x + x + 6x + x + x 6x + x x + 9x x + 9x cociente: q (x) = x + ; residuo: r (x) = 9x

6 . (9 puntos) Trace la grá ca de las función x si x f(x) = x si x > los interceptos con los ejes coordenados y su rango. ;prob 0 pag 60 x 0 x : x x > : 0 0 Interceptos: Eje X: (; 0) ; Eje Y: (0; ) x x y, indicando x 6. (6 puntos) Halle la ecuación de una recta que pasa por el punto (; 6) y es paralela a la recta x + y = 6. prob pag 6 La pendiente de la recta dada se obtiene despejando y : y = x + ) m = La ecuación de la recta es: y ( 6) = (x ) despejando para y : y = x 7. (8 puntos) Determine el tiempo que le toma a una inversión de $,000 que se compone continuamente a una tasa de 8.% anual llegar a $,000. prob 79 pag 9 Sea A (t) la cantidad que se obtiene en el tiempo t: En este problema se tiene: P = 000; r = 8:% = 0:08; t =?; A (t) = 000 Como se compone continuamente, se tiene: A (t) = P e rt sustituyendo se tiene: 000 = 000e 0:08t ) e 0:08t = aplicando ln ln e 0:08t = ln ) 0; 08t = ln ) t = ln 0:08 = 8: 67 7 Aproximadamente se requiere invertir $000 durante 8. años 6

7 8. Si f(x) =x + y g(x) = p x, prob 6 pag 97 a. ( puntos) f g f g () = f() g() = = () b. ( puntos) (f g) (x) (f g) (x) = f (g (x)) = f ( p x) = ( p x) + = x + c. ( puntos) (f g) (8) usando el resultado anterior (f g) (8) = 8 + = 0 Bono ( puntos) Halle un polinomio con coe cientes enteros de grado cuyos ceros son y + i:prob 0 pag 76 El otro cero es i y el polionomio es de la forma: P (x) = a (x + ) (x ( + i)) (x ( i)) = ax + ax ax + 6a 7