Cada función polinomial genera distintas gráficas en el plano cartesiano. Hay casos especiales de la función polinomial general.

Transcripción

1 UNIDAD I. FUNCIONES Y RELACIONES.5. Funciones algebraicas: Polinomiales. Las expresiones algebraicas pueden clasificarse en monomios, binomios, trinomios y polinomios. Monomios. Expresiones de un término. 3 Ejemplos son: ) a ) z 3) 6a3 Binomios. Expresiones de dos términos. 3 Ejemplos son: ) a+b ) z-y 3) 3+a3 Trinomios. Expresiones de tres términos. 3 Ejemplos son: ) a+b+c ) z-y- 3) 3+a3+w Polinomios. Expresiones de más de tres términos. Ejemplo: a+b+3c+d Un polinomio de grado n cuya única variable sea x algebraicamente se define de la siguiente forma: Donde: a 0 hasta a n se le conoce como constantes del polinomio. a 0 se le conoce como término constante a n se le conoce como coeficiente principal. Cada función polinomial genera distintas gráficas en el plano cartesiano. Hay casos especiales de la función polinomial general. Polinomio constante f(x)a 0. Para un polinomio de grado cero f(x)a 0 (donde a 0 es una constante) Cómo es la gráfica generada? Ejemplo: Graficar: f(x) (En este caso a 0 ; no importa que valor tenga x, la función siempre valdrá, por lo cual se le llama polinomio constante) NOTA para el lector hábil: Un polinomio de grado cero, se convierte en un monomio, tienes razón. Polinomio línea recta f(x) a x + a 0. Para un polinomio f(x) a x + a 0 ; éste se comporta como una línea recta; si a 0 será una línea recta con una inclinación diferente a la horizontal (el cual fue el caso anterior). Ejemplo: Graficar: f(x)3x+ Polinomio parábola f(x) a x +a x + a 0. Para un polinomio: f(x) a x +a x + a 0 ; se genera una parábola. Ejemplo: Graficar: f(x)4x +3x+ Ejemplos: Llene la siguiente tabla: Expresión Grado Tipo Términos a 0 a a a 3 a 4 principal x +3x+4 Trinomio a 6x 4 +x +x+ 4 Polinomio 6 0 a 3 6 x +7x 8 8 Binomio x +6x 4 +x+ 0 Monomio a 0 NOTA IMPORTANTE: a 0 siempre será el término constante. Mas sobre funciones polinomiales: Te recomiendo el siguiente libro que puedes accesar de google books: René Jiménez (006) Funciones; Pearson Education; México. ISBN: (Solo da clic en el link abajo): Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

2 Racionales: Son las funciones algebraicas que aparecen con una razón o división, su expresión general es: P( x) Q( x) Donde P(x) y Q(x) son dos polinomios; claro que Q(x) 0. En los valores donde Q(x)0 se generan asíntotas verticales. Ejemplo: Graficar la función racional: x Como dicha división eleva los valores de x al cuadrado, siempre obtendremos valores positivos, tal como lo muestra la gráfica. Ejemplo: Graficar la función racional x Es decir P(x) y Q(x)x Para realizar la gráfica podemos evaluar los valores de x desde el -3 hasta el 3; obteniendo el siguiente resultado: Como puede notarse ahora se forma una asíntota vertical cuando se divide entre cero, o en otras palabras cuando Q(x)0. D R - {0} I (0,+ ) Como podrá notarse entre mas se acerque al cero, la gráfica tiende al menos infinito o al mas infinito; dependiendo si se acerca por los números negativos o positivos. D R - {0} I R -{0} Qué ocurre ahora con esta función? Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez

3 Ejemplo: Graficar la función racional: x Ya sabemos que se forma una asíntota cuando Q(x)0. Ahora en que valor de x; el polinomio Q(x) se vuelve cero? Para saberlo igualamos a cero la expresión Q(x): Q(x) 0 Igualamos a cero Q(x) x 0 Sustituimos la expresión Q(x) x (para este problema) x Despejando obtenemos que en x la función Q(x) 0. Al graficar nos encontramos la siguiente forma: Ejemplo: Graficar la función ( x )( x + ) NOTA Para el lector hábil: Como puede darse cuenta dicha ecuación también puede expresarse de esta manera: ya que ( x )( x + ) x 4 x 4 Entonces Q(x) (x+)(x-) Para que valores de x la expresión Q(x)0? Hay dos formas en las cuales la expresión (x+)(x-) se volverá cero; cuando x y cuando x -. Si quieres pruébalo. Además si lo graficamos obtenemos lo siguiente: D R - {} I R -{0} IMPORTANTÍSIMO: Parece que la gráfica toca el eje X, es decir, cuando se aleja del origen o del eje Y (se aleja de x 0) la gráfica se acerca al eje X; PERO NUNCA LO TOCA. Se acerca infinitamente pero no alcanza a tocarlo. Dominio y la imagen de la gráfica? D? I? Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3

4 Funciones racionales. Se llama racional cuando la variable independiente aparece bajo el signo radical; a continuación se muestran algunos ejemplos: Ejemplo: Graficar la función x Como puede notarse no existen raíces de números negativos; por lo tanto cualquier valor negativo dentro de un radical no se considera dentro de los números reales, se convierten en imaginarios, lo cual esta fuera del alcance de este tema. Cuáles valores puede tomar x, de forma tal que nunca se presenten números negativos dentro del radical? pues x 0. Ejemplo: Graficar la función x + La expresión dentro del radical es x +, la cual no debe tomar números negativos, es decir: x + 0 Cómo se despeja esta desigualdad? x + 0 x 0 - x - Es decir, la variable x puede tomar valores a partir del - en la recta numérica. Si lo graficamos queda: Ahora Cuál es el dominio? Cuál es la imagen? D [0,+ ) I [0,+ ) Ejemplo: Graficar la función x + 4 La expresión dentro del radical es x +4 la cual debe ser mayor o igual a cero para que f(x) exista con valores reales; por lo tanto para saber a partir de que valor de x, puede graficarse debemos resolver la desigualdad: x x 4 4 x x Haz la gráfica y Exacto! apartar del - futuros ingenieros. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 4

5 Funciones pares e impares. Una función es par si cumple con: f(x) f(-x) Es decir, si metemos dentro de la función f(x) el valor x, debe dar el mismo resultado que colocar el valor x Ejemplo: f(x)x es una función par; ya que f(x) x f() 4 y también f(-)(-) 4 Lo mismo ocurre para el resto de los valores de x. Ahora si graficamos f(x)x obtenemos: Una función es impar si cumple con: f(x) - f(-x) Casi lo mismo que la anterior, pero el resultado debe dar el signo opuesto. Ejemplo: f(x)x 3 es una función impar; ya que: f(x)x 3 f() () 3 8 f(-) (-) 3-8 Es decir al poner y -, la función da como resultado el mismo valor numérico (8), pero con signo opuesto. Ahora si graficamos f(x)x 3 obtenemos Es como si el reflejo del espejo lo pasaramos al lado negativo del eje Y. LA PARTE REFLEJADA SE INVIERTE PARTE REFLEJADA PARTE POSITIVA Nótese la simetría de la gráfica; los valores positivos de x ofrecen el mismo resultado positivo; es similar a ver un espejo, donde la parte positiva de x se refleja en los valores negativos de x. Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 5

6 Práctica.5. Realice los siguientes ejercicios: I.- Indique los datos que faltan en la siguiente tabla: Expresión Grado Tipo Términos a 0 a a a 3 a 4 principal Ejemplo: Trinomio a x +3x+4 0 x+0 0+x 0+x+x x 4 +x 3 +x+3 II.- Conteste las siguientes preguntas..- La expresión f(x) equivale a una: a) Línea horizontal b) Línea vertical c) Línea inclinada 45 d) Curva parabólica.- La expresión f(x)+x equivale a una: a) Línea horizontal b) Línea vertical c) Línea inclinada 45 d) Curva parabólica 3.- La expresión f(x)+x+x a) Línea horizontal b) Línea vertical c) Línea inclinada 45 d) Curva parabólica III.- En que valores de x no esta definida cada una de las siguientes funciones racionales (es decir, para que valores de x la expresión Q(x)0). Incluya procedimiento de solución, se indica un ejemplo: Función racional Procedimiento (se iguala el denominador a Ejemplo: x 4 Otro ejemplo: ( x + 5)( x ) cero) x 40 x4 x4/ x Cada factor se iguala a cero: x+50 x-5 Para el factor: x-0 x f(x) no esta definido para: x x -5 y x Función racional Procedimiento (se iguala el denominador a cero) x + ( x + )( x ) ( x + 6)( x ) f(x) no esta definido para: IV.- Identifique el rango de valores donde puede f(x) graficarse: Función racional Procedimiento (la expresión dentro de la raíz se coloca como mayor o igual a cero y se resuelve) Ejemplo: x - + x x + 8 x 8 0.x x 0 x - f(x) puede graficarse para los valores de x: V.- Esta es la última indique cuando la función f(x) es para o impar: Función Ejemplo: x 4 Procedimiento (se sustituyen en f(x) valores con signo opuesto como el - y ; para confirmar se grafica) f(-)(-) 4 f()() 4 La gráfica es: Par, ya que cumple con f(x)f(- x) f ( x ) x x Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiendo las rubricas correspondientes: Puede entregar impreso el trabajo o enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz00@yahoo.com.mx Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 6