CLASE 2. Sergio Stive Solano Sabié. Agosto de Catálogo de funciones básicas Transformaciones de funciones Combinaciones de funciones

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1 CLASE 2 Sergio Stive Solano Sabié Agosto de 2011

2 CLASE 2 Sergio Stive Solano Sabié Agosto de 2011

3 Función lineal Definición 1.1 Decimos que y es una función lineal de x, si la gráfica de y es una recta. Podemos usar la forma pendiente-intersección de la ecuación de una recta para escribir una fórmula para la función como y = f(x) = mx + b donde m es la pendiente de la recta y b es la coordenada al origen y.

4 Función lineal Ejemplo 1.1 La función f(x) = 3x 2 es una función lineal cuya gráfica se representa en la siguiente figura.

5 Polinomios Catálogo de funciones básicas Definición 1.2 A una función P se le llama polinomio si P (x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 donde n es un entero no negativo y los números a 0, a 1, a 2,..., a n son constantes que se conocen como coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es R = (, ). Si el primer coeficiente a n 0, luego el grado del polinomio es n. Ejemplo 1.2 La función P (x) = 2x 6 x x3 + 2 es un polinomio de grado 6.

6 Polinomios Catálogo de funciones básicas Un polinomio de grado 1 tiene la forma P (x) = mx + b y por tanto es una función lineal. Un polinomio de grado 2 tiene la forma P (x) = ax 2 + bx + c se le llama función cuadrática. Su gráfica es siempre una parábola. Si a > 0 la parábola se abre hacia arriba y hacia abajo si a < 0. Véase la siguiente figura:

7 Polinomios Catálogo de funciones básicas Un polinomio de grado 3 tiene la forma P (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d y se le da el nombre de función cúbica. La siguiente figura muestra la gráfica de una función cúbica en la parte (a) y gráficas de polinomios de grado 4 y 5 en las partes (b) y (c).

8 Funciones de potencia Definición 1.3 Una función de la forma f(x) = x a, donde a es constante se llama función potencia. Consideremos los siguientes casos: a = n, donde n es un número entero La función tomaría la forma f(x) = x n y corresponde a polinomios con un solo término. La siguiente figura ilustra las gráficas de f(x) = x n para n = 1, 2, 3, 4 y 5.

9 Funciones de potencia

10 Funciones de potencia La forma general de la gráfica de f(x) = x n depende de si n es par o impar. Si n es par, entonces f(x) = x n es una función par y su gráfica es semejante a la de la parábola y = x 2. Si n es impar, entonces f(x) = x n es una función impar y su gráfica es similar a la de y = x 3. Observe la siguiente figura

11 Funciones de potencia a = 1 n, donde n es un entero positivo La función f(x) = x 1/n = n x es una función raíz. Para n = 2 esla función raíz cuadrada f(x) = x, cuyo dominio es [0, ) y cuya gráfica es la mitad superior de la prábola x = y 2. Para otros valores pares de n, la gráfica de y = n x es similar a la de y = x. Para n = 3 tenemos la función raíz cúbica f(x) = 3 x cuyo dominio es R. La gráfica de y = n x para n impar es similar a la de y = 3 x. Véase la siguiente figura:

12 Funciones de potencia a = 1 La función f(x) = x a es la función recíproca f(x) = x 1 = 1 x. Su gráfica es una hipérbola con sus ejes de coordenadas como sus asíntontas. Véase la siguiente figura:

13 Funciones racionales Definición 1.4 Una función racional f es una razón de dos polinomios: f(x) = P (x) Q(x) donde P y Q son polinomios. El dominio consiste de todos los valores de x tales que Q(x) 0. Un ejemplo sencillo de una función racional es la función f(x) =, cuyo dominio es {x x 0}; esto es la función recíproca. 1 x

14 Funciones racionales Otro ejemplo de función racional es f(x) = 2x4 x x 2 4 cuyo dominio es {x x ±2}. Su gráfica se muestra en la siguiente figura:

15 Funciones algebraicas Definición 1.5 Si una función puede construirse usando operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicación y sacar raíces) se le llama función algebraica. Cualquier función racional automáticamente es una función algebraica. Otros ejemplos de funciones algebraicas son los siguientes: f(x) = x g(x) = x4 16x 2 x + x + (x 2) 3 x + 1.

16 Funciones algebraicas En la siguiente figura se muestran algunas gráficas de funciones algebraicas:

17 Funciones trigonométricas La función f(x) = sen x es un ejemplo de una función trigonométrica; significa el seno del ángulo cuya medida es radianes es x, (excepto cuando se indique lo contrario). Las graficas de las funciones seno y coseno se muestran en la siguiente figura: que tanto la función seno como coseno el dominio es (, ) y el rango es el intervalo cerrado [ 1, 1]. Por tanto para todos los valores de x, tenemos 1 sen x 1 1 cos x 1

18 Funciones trigonométricas o, en términos de valor absoluto, sen x 1 cos x 1. también, los ceros de las funciones seno surgen en múltiplos entero de π; es decir, sen x = 0 donde x = nπ n es un número entero. Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas y tienen periodos 2π. Esto significa que para todos los valores de x, sen(x + 2π) = sen x cos(x + 2π) = cos x

19 Funciones trigonométricas La función tangente se relaciona con las funcuiones seno y coseno por medio de la ecuación tan x = sen x cos x. Es indefinida siempre que cos x = 0, es decir, cuando x = ±π/2, ±3π/2,.... Su rango es (, ). Observe que la función tangente tiene periodos π: tan(x + π) = tan x para toda x.

20 Funciones trigonométricas En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función y = tan x:

21 Funciones trigonométricas Las tres funciones trigonométricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son recíprocas de las funciones seno, coseno y tangente respectivamente. Sus gráficas se ilustran en la siguiente figura:

22 Traslaciones Desplazamientos verticales y horizontales Suponga que c > 0. Para obtener la gráfica de: 1 y = f(x) + c, se desplaza la gráfica de y = f(x) una distancia de c unidades hacia arriba. 2 y = f(x) c, se desplaza la gráfica de y = f(x) una distancia de c unidades hacia abajo. 3 y = f(x c), se desplaza la gráfica de y = f(x) una distancia de c unidades hacia la derecha. 4 y = f(x + c), se desplaza la gráfica de y = f(x) una distancia de c unidades hacia la izquierda.

26 Traslaciones Alargamientos y reflexiones verticales y horizontales Suponga que c > 1. Para obtener la gráfica de: 1 y = cf(x), alárguese la gráfica de y = f(x) verticalmente en un factor de c. 2 y = (1/c)f(x), comprímase la gráfica de y = f(x) verticalmente en un factor de c. 3 y = f(cx), comprímase la gráfica de y = f(x) horizontalmente en un factor de c. 4 y = f(x/c), alárguese la gráfica de y = f(x) horizontalmente en un factor de c. 5 y = f( x), refléjese la gráfica de y = f(x) respecto al eje y.

30 Álgebra de funciones Sean f y g funciones con dominios A y B. entonces la función f + g, f g, fg, f/g se definen como sigue: 1 (f + g)(x) = f(x) + g(x) Dom(f + g) = A B 2 (f g)(x) = f(x) g(x) Dom(f g) = A B 3 (fg)(x) = f(x)g(x) Dom(fg) = A B 4 ( f f(x) g )(x) = g(x) Dom(f/g) = {x A B g(x) 0}

34 Composición de funciones Definición 3.1 Dadas dos funciones f y g, la función composición f g (también llamada la composición de f y g) está definida por (f g)(x) = f(g(x)). El dominio de f g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tales que g(x) esté en el dominio de f.

35 GRACIAS POR SU ATENCIÓN