Problema del flujo de coste mínimo Martes, 19 de marzo. Formulación. Pricing Out. Costes reducidos de ciclos

Transcripción

1 . Martes, 9 de marzo Método simplex para redes aplicado a la solució del problema del flujo de coste míimo Etregas: material de clase Nota: hay mucho que decir acerca del algoritmo simplex para redes, auque sea muy parecido al algoritmo simplex. Problema del flujo de coste míimo Grafo dirigido G = (N, A). Coj. de odos; Capacidades u e arco (i,j) Cota iferior de e arco (i,j) Coste c e arco (i,j) 4 Oferta/demada b i para odo i. (Los valores positivos idica oferta) Red co capacidades, costes, ofertas y demadas, 4$ -, 6$ 8,$ 7,$ -, 7$ Miimizar el coste del evío de flujo s.a. Flujo saliete de i - flujo etrate e i = b i x u 4 - Formulació Cosideraremos que la formulació del PL viee dada como: x Pricig Out Miimizar i= j= x x = b, i =,, ki i j= k= x cx u fila i fila j c - c =c -y i +y j b i b j oferta para i oferta para j precio y i y j 4 Llamaremos a y i potecial de odo para el odo i Costes reducidos de ciclos $ $ $ $4 $ c =c -y i +y j $ c = $ - 4$ + $ = $ El pricig out fucioa como ua prima a la exportació para el flujo que sale de u odo y como ua tasa de importació para cada uidad de flujo de etrada. Los costes reducidos so u elemeto clave del π c = c -y i + y j para cada -$ arco (i,j). El coste reducido de u ciclo es el coste de ese ciclo. El odo añade dólares a ua uidad de flujo e (,) y resta otros de ua uidad de flujo e (,) $ $-$+$ -$-$+$ $ $-$+$ algoritmo simplex para redes. 6

2 Dato importate: la optimizació co respecto a los costes c da la misma solució óptima que la realizada co respecto a los costes reducidos c $ b() = 8 Veamos el impacto del potecial para el odo : Cada uidad de coste de flujo de salida dismiuye e dólares. Cada uidad de coste de flujo de etrada aumeta e dólares. Hay 8 salidas más que llegadas. Como sacar partido de los costes reducidos π c = c -y i + y j para cada arco (i,j). Supogamos que queremos que los costes reducidos de (,) y de (,) sea. Nota: después, el coste del ciclo será el coste reducido de (,). $ -$ $ Impacto eto sobre el coste: 8 x $ = 6$, si icluir el flujo 7 8 -$ -4$ $ $ -$ $ Alguas suposicioes Ua solució factible iicial artificial. La red es dirigida.. i= a b(i) =. (E caso cotrario, o habría ua solució factible).. Existe ua solució factible (véase siguiete diapositiva). 9 Añadimos u arco (, j) para cada j co b(j) < y co u coste elevado. Añadimos u arco (j, ) para cada j co b(j) > y co u coste elevado. 4.$ -.$.$ Eviamos uidades de flujo desde a 4,, 4$ -, 6$ uidades de 8, $ 7, $ 4 - flujo desde a, 7$ y uidades de flujo desde a. Las variables básicas so flujos de arco, y los arcos forma u árbol de expasió Repaso del algoritmo simplex 7 6 Teemos u odo llamado odo raíz. Hay u úico camio (o dirigido) que va desde el odo raíz a cualquier otro odo (y viceversa). Pa so. Partimos de ua solució factible básica. E uestro algoritmo, partiremos de u árbol de expasió para después determiar su flujo. Qué camio va del odo al odo?

3 Cálculo del flujo del árbol de expasió Árbol co ofertas y demadas. (Supoemos que el flujo de los otros arcos es ). Cuál es el flujo e el arco (4,)? PISTA: la oferta para el odo 4 es. Qué ocurriría si los flujos e los arcos si árboles o fuera? Supogamos que el flujo de los arcos si árboles fuera distito de. De qué maera afectaría a los cálculos? Véase la aimació. 4 Qué ocurriría si los flujos e los arcos si árboles o fuera? Ajustamos las ofertas/demadas para icluir los arcos que tega flujo e la cota superior. El cálculo fluye igual que e el método aterior; p.ej., cuál es el flujo e (4,)? El flujo e (4,) es. Cotas superiores E el algoritmo simplex, las variables o básicas tiee u flujo igual a. E el algoritmo simplex co cotas superiores, estas variables puede teer u flujo igual a. O éste puede hallarse e la cota superior. Los flujos o básicos puede producir, e su cota superior, cambios e la oferta de red de u odo. 6 Algoritmo simplex Paso A: partimos de ua solució factible básica. Paso B: calculamos los multiplicadores simplex de modo que todos los costes reducidos de las variables básicas sea. (Es decir, os aseguramos de que los coeficietes de coste esté e forma caóica). Cómo hallar los multiplicadores E primer lugar, debemos determiar los multiplicadores y i para i=,, aplicado c -y i +y j = a todas las variables básicas. 7 8

4 Cálculo de los multiplicadores simplex para u árbol de expasió Véase la aimació Teemos u árbol de expasió co costes e los arcos. Cómo elegiremos los poteciales de odo de modo que los costes reducidos de cada arco sea igual a? Recuerde: el coste reducido de (i,j) es c - π i + π j Supogamos que π =. 9 Codicioes de optimalidad Ua vez hallados los multiplicadores, comprobaremos las siguietes codicioes de optimalidad para cada arco o básico. si x = c = c y + y = si < x < u si x = u i j Aálisis de u arco idividual Comprobació de costes reducidos Supogamos que c <. Y que deseamos que el flujo tega el máximo valor posible. Si x < u, el flujo e (,) o es óptimo. Queremos icremetar ese flujo. Si x = u, sí que es óptimo. Supogamos que c >. Y que deseamos que el flujo tega el míimo valor posible. Si x >, el flujo e (,) o es óptimo. Queremos dismiuir ese flujo Primero, famos los poteciales del odo para que todos los arcos tega u coste reducido igual a Si x =, sí que es óptimo. Comprobació de costes reducidos cota superior cota iferior (6,) se halla e su cota iferior; o cumple las codicioes y podría etrar a la base. (,4) se halla e su cota superior; cumple las codicioes de optimalidad. Algoritmo simplex Paso A: partimos de ua solució factible básica. Paso B: calculamos los multiplicadores simplex de modo que todos los costes reducidos de las variables básicas sea. Paso : elegimos ua variable de etrada que o cumpla la codició de optimalidad. E el ejemplo aterior, elegiríamos (6,) e vez de (,4) 4

5 Qué arco debería etrar a la base? Si el arco etrate se halla e su cota iferior, icremetaremos el flujo e E el método simplex para redes co variables acotadas, las variables o básicas se halla e sus cotas iferiores o superiores. Se puede llegar a ua solució mejorada si:. Icremetamos ua variable que tega u coste reducido egativo y que esté e su cota iferior.. Dismiuimos ua variable que tega u coste reducido positivo y que esté e su cota superior Añadiedo u arco o básico al árbol de expasió se crea u ciclo básico. Ajustamos los flujos del ciclo básico de modo que se cumpla las restriccioes de oferta/demada. 6 Si el arco etrate se halla e su cota superior, dismiuiremos su flujo e. - + Supogamos que (6,) estaba 6 e su cota superior. Ajustamos los flujos del ciclo básico de - modo que se cumpla las - restriccioes de oferta/demada Al icremetar, alguo de los arcos alcazará su cota iferior o superior. (Salvo que la solució óptima sea o acotada). Ese arco dejará la base. 7 Algoritmo simplex para redes comiezo determiar ua estructura de árbol factible iicial (T, L, U) llamaremos x al flujo iicial y idica los poteciales de odos iiciales si alguo de los arcos o cumple las cods. de optimalidad: (comiezo) seleccioamos u arco etrate (k,l) que o cumpla las codicioes añadimos ese arco al árbol y trasladamos flujo al ciclo básico determiamos el arco que deja la base actualizamos los poteciales de odos (fial) fial 8 Putos más importates La base correspode al árbol de expasió de la red. Al itroducir ua ueva variable e la base se forma u ciclo úico e el árbol de expasió, y la variable que limita la catidad de flujo eviada e dicho ciclo abadoa la base. Existe u método más rápido para calcular los uevos poteciales de odos, pero o lo veremos aquí. Coclusioes Método simplex para redes Técica de resolució del problema del flujo de coste míimo Basado e los coceptos del método simplex Las solucioes básicas so árboles de expasió Véase la aimació 9

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