METODO SIMPLEX NOTAS DE CLASE: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I UNIVERSIDAD CENTRAL PROFESOR CARLOS DÍAZ. Max Z= 12X X 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "METODO SIMPLEX NOTAS DE CLASE: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I UNIVERSIDAD CENTRAL PROFESOR CARLOS DÍAZ. Max Z= 12X 1 + 15X 2"

Transcripción

1 METODO SIMPLEX NOTAS DE CLASE: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I UNIVERSIDAD CENTRAL PROFESOR CARLOS DÍAZ Max Z= 12X X 2 Sujeto a: 2X 1 + X 2 <=30 2X 1 +3X 2 <=54 2X 1 +2X 2 <=46 X 2 <=16 Para comenzar a analizar el problema por medio del método simplex, se deben igualar todas las ecuaciones por lo cual introducimos variables de holgura a cada una de ellas, obteniendo: Sujeta a: Maximizar Z=12X X 2 + 0S 1 +0S 2 + 0S 3 + 0S 4 2X 1 + X 2 + S 1 = 30 (1) 2X 1 + 3X 2 + S 2 = 54 (2) 2X 1 + 2X 2 + S 3 = 46 (3) X 2 +S 4 = 16 (4) X 1,X 2, S 1,S 2, S 3,S 4 >= 0 A continuación se expresará la función objetivo como sigue: Z - 12X 1-15X 2 =0 La tabla inicial de simplex se puede representar como:

2 El tableau inicial comienza en el punto (0,0). Dado que las variables básicas (X 1, X 2 ) = (0,0) Para la realización de la primera iteración se debe tener en cuenta: 1) Detallar el objetivo, si es maximizar o minimizar. Dado que para el ejemplo el objetivo es maximizar la variable no básica que entra a la base es X 2 por que es la que tiene el coeficiente más negativo en la función objetivo. 2) Para determinar la variable de salida, se calculan las intersecciones, las cuales son las razones del lado derecho de las ecuaciones (columna solución) entre los coeficientes de restricción correspondientes, debajo de la variable de entrada X 2 De tal manera se puede observar que la variable de de entrada es X 2 y la variable de salida es S 4 debido a que es la razón no negativa mínima. Los cálculos necesarios para obtener la nueva solución básica son: 1. Renglón pivote Nuevo renglón pivote = Renglón pivote actual Elemento pivote 2. Todos los demás renglones incluyendo Z: Nuevo renglón: (Renglón actual)-(coeficiente en la columna pivote) X (Nuevo renglón pivote) Aplicando los cálculos de la siguiente forma se tiene: - Nuevo renglón pivote X 2 = Renglón pivote S 4 actual 1 - Nuevo renglón Z = Renglón z actual ( 15) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón S 1 = Renglón S 1 actual (1) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón S 2 = Renglón S 2 actual (3) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón S 3 = Renglón actual S 3 (2) X (Nuevo renglón pivote) La nueva tabla que corresponde a la nueva solución básica (S 1, S 2, S 3, X 2 ) se convierte en: Como se puede ver evidenciado en la tableau anterior, el nuevo valor de la función objetivo es 240, sin embargo este no es el óptimo debido a que la variable no básica X 1, tiene un coeficiente negativo en el renglón Z. Repitiendo el mismo procedimiento que en el paso anterior se evidencia que la variable de salida es S 2. Dadas X 1, y S 2, como variables de entrada y salida respectivamente, se aplican las siguientes operaciones, para obtener la tabla posterior.

3 - Nuevo renglón pivote X 1 = Renglón pivote S 2 actual 2 - Nuevo renglón Z = Renglón z actual ( 12) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón S 1 = Renglón S 1 actual (2) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón S 3 = Renglón S 3 actual (2) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón X 2 = Renglón actual S 3 (0) X (Nuevo renglón pivote) El punto que representa el tableau anterior es el punto (b) de la gráfica 1, ya que si se igualan la ecuación 4 y 2 que son las que intersectan en este punto; igualando y despejando las dos ecuaciones tenemos: X 1 = 3 y X 2 =16; lo cual remplazándolo en la función objetivo tenemos: Z= 12X X 2 = 12(3)+15(16)= 276 Que corresponde a la solución encontrada en el tableau anterior. Sin embargo esta aún no es la solución óptima ya que la variable S 4 tiene un coeficiente negativo en el reglón Z, por lo tanto esta es la que entra y S 1 es la que sale. Por lo cual al realizar los respectivos cálculos tenemos el siguiente tableau.

4 Como se puede observar no existe ninguna variable no básica en el reglón Z con un coeficiente negativo, por lo tanto se deduce que esta es la solución óptima de la cual se puede inferir: 1. Respecto de la restricción de maquinaría 2X 1 +2X 2 <=46 2X 1 + 2X 2 + S 3 = 46 (3) Dado que la variable de holgura que acompaña a la restricción de maquinaría es S 3, y esta tiene un coeficiente de 0 (cero) en el renglón Z, se concluye que esta tiene un precio sombra igual a cero. Para calcular los intervalos en los cuales este precio sombra esta vigente, se tiene que S 3, en la solución final se encuentra dentro de las variables básicas cuya solución es 4 por lo tanto los intervalos son: PS =0; Min 42 y Max (La disponibilidad actual de la maquinaria es 46 horas) 2. Respecto de la restricción de mercado X 2 <=16 X 2 +S 4 = 16 (4) Debido a que la variable de holgura que acompaña a la restricción del mercado es S 4, y esta tiene un coeficiente de cero en el renglón Z, se concluye que esta tiene un precio sombra igual a cero. Para calcular los intervalos en los cuales el precio sombra es vigente, se tiene que S 4, en la solución final se encuentra dentro de las variables básicas cuya solución es 4, por lo tanto los intervalos son: PS =0; Min 12 y Max (El precio de la maquinaria es 16) 3. Respecto de la restricción de materia prima: Ya que la variable de holgura que corresponde a la maquinaria (S 1 ), tiene el coeficiente de 3/2 en el renglón Z, se concluye que su precio sombra es 3/2. Por lo tanto - Si S 1 = -1; es decir se compra 1Kg adicional de materia prima la utilidad aumentará en $1.5 - Y si S 1 = 1; es decir se disminuye en 1Kg la materia prima la utilidad disminuirá en $1.5. Para calcular los intervalos en los cuales el precio sombra se encuentra vigente tenemos: La restricción es del tipo menor o igual, por lo tanto se encuentra el cociente entre los valores de la solución y los coeficientes de la columna de la variable considerada. El menor valor positivo marca el aumento admisible y el menor valor positivo marca la disminución admisible en el lado derecho de la restricción. Los valores serán calculados así: 4/(1/2) = 8; 9/(3/4) = 12; 4/(-1/2) = - 8 y 12/(-1/2) = 24. Por lo tanto, el aumento admisible será de 8 Kg y la disminución admisible será de 8 Kg. Así, la disponibilidad actual de 30 Kg de podrá aumentar hasta 38 Kg o disminuir hasta 22 Kg y dentro de estos límites se mantendrá vigente el precio sombra.

5 Ahora viendo la tabla optima del simples, tenemos que la solución tendrá los siguientes resultados para cambios en la disponibilidad de este recurso: S4 = 4-1/2(S1) X1 = 9 ¾(S1) S3 = 4 + ½(S1) X2 = 12 +1/2(S1) Recuerde que valores adicionales de materia prima serán valores negativos de S1 y viceversa. BILIOGRAFÍA : Hamdy A. Taha, Investigación de Operaciones

METODO SIMPLEX ANALISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD

METODO SIMPLEX ANALISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD METODO SIMPLEX ANALISIS DE SENSIBILIDAD Y DUALIDAD Análisis de sensibilidad con la tabla simplex El análisis de sensibilidad para programas lineales implica el cálculo de intervalos para los coeficientes

Más detalles

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO. M. En C. Eduardo Bustos Farías

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO. M. En C. Eduardo Bustos Farías EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 EL METODO SIMPLEX Es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal. Fue desarrollado en el año de 1947 por George

Más detalles

315 M/R Versión 1 Integral 1/13 2009/1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA INGENIERÍA

315 M/R Versión 1 Integral 1/13 2009/1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA INGENIERÍA 35 M/R Versión Integral /3 29/ UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO ÁREA INGENIERÍA MODELO DE RESPUESTA (VERSION.2) ASIGNATURA: Investigación de Operaciones I CÓDIGO: 35 MOMENTO: Prueba

Más detalles

Pasos en el Método Simplex

Pasos en el Método Simplex Pontificia Universidad Católica Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Clase 20 El Método Simplex ICS 1102 Optimización Profesor : Claudio Seebach 16 de octubre de 2006

Más detalles

EJEMPLO DE SIMPLEX PARA PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CASO DE MAXIMIZAR Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés

EJEMPLO DE SIMPLEX PARA PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CASO DE MAXIMIZAR Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés EJEMPLO DE SIMPLEX PARA PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CASO DE MAXIMIZAR Prof.: MSc. Julio Rito Vargas Avilés CONSTRUCCION DE LA TABLA INICIAL DEL MÉTODO SIMPLEX Una vez que el alumno ha adquirido la

Más detalles

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO: MINIMIZACION. M. En C. Eduardo Bustos Farías

EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO: MINIMIZACION. M. En C. Eduardo Bustos Farías EL MÉTODO SIMPLEX ALGEBRAICO: MINIMIZACION M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 Minimización El método simplex puede aplicarse a un problema de minimización si se modifican los pasos del algoritmo: 1. Se cambia

Más detalles

PASO 1: Poner el problema en forma estandar.

PASO 1: Poner el problema en forma estandar. MÉTODO DEL SIMPLEX PASO Poner el problema en forma estandar: La función objetivo se minimiza y las restricciones son de igualdad PASO 2 Encontrar una solución básica factible SBF PASO 3 Testar la optimalidad

Más detalles

El Método Simplex. H. R. Alvarez A., Ph. D. 1

El Método Simplex. H. R. Alvarez A., Ph. D. 1 El Método Simplex H. R. Alvarez A., Ph. D. 1 El Método Simplex Desarrollado en 1947 por George Dantzig como parte de un proyecto para el Departamento de Defensa Se basa en la propiedad de la solución esquina

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI RUACS ESTELI

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA UNI RUACS ESTELI Estelí, 13 de Agosto del 2012 EL METODO SIMPLEX El método simplex es el más generalizado para resolver problemas de programación lineal. Se puede utilizar para cualquier número razonable de productos y

Más detalles

Método Simplex: Encontrado una SBF

Método Simplex: Encontrado una SBF Método Simplex: Encontrado una SBF CCIR / Matemáticas euresti@itesm.mx CCIR / Matemáticas () Método Simplex: Encontrado una SBF euresti@itesm.mx 1 / 31 Determinación de SBF Determinación de SBF El método

Más detalles

Desarrollo de las condiciones de optimalidad y factibilidad. El problema lineal general se puede plantear como sigue:

Desarrollo de las condiciones de optimalidad y factibilidad. El problema lineal general se puede plantear como sigue: Método simplex modificado Los pasos iterativos del método simplex modificado o revisado son exactamente a los que seguimos con la tabla. La principal diferencia esá en que en este método se usa el algebra

Más detalles

Universidad Tec Milenio: Profesional IO04001 Investigación de Operaciones I. Tema # 6. revisado

Universidad Tec Milenio: Profesional IO04001 Investigación de Operaciones I. Tema # 6. revisado IO04001 Investigación de Operaciones I Tema # 6 Introducción al método simplex matricial o revisado Objetivos de aprendizaje Al finalizar el tema serás capaz de: Emplear el Método simplex Matricial para

Más detalles

Universidad Nacional de Ingeniería Sede: UNI-Norte Investigación de Operaciones I

Universidad Nacional de Ingeniería Sede: UNI-Norte Investigación de Operaciones I Universidad acional de Ingeniería Sede: UI-orte Investigación de Operaciones I Método Simple Revisado Ejemplo. Resolver el siguiente problema de P.L. s. a: Ma, z 6 Para resolver por el método simple revisado,

Más detalles

Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, tenemos a continiacion un ejemplo:

Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, tenemos a continiacion un ejemplo: Método Simplex. Este método fue creado en el año 1947 por el estadounidense George Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el objetivo de crear un algoritmo capaz de crear soluciones

Más detalles

UNIDAD UNO PROGRAMACIÓN LÍNEAL Parte 3

UNIDAD UNO PROGRAMACIÓN LÍNEAL Parte 3 UNIDAD UNO PROGRAMACIÓN LÍNEAL Parte 3 Matriz unitaria "I" de base con variables artificiales. Cuando el problema de programación lineal se expresa en la forma canónica de maximizar, las variables de holgura

Más detalles

La programación lineal hace referencia al uso eficiente o distribución de recursos limitados, para alcanzar unos objetivos determinados.

La programación lineal hace referencia al uso eficiente o distribución de recursos limitados, para alcanzar unos objetivos determinados. Programación lineal La programación lineal hace referencia al uso eficiente o distribución de recursos limitados, para alcanzar unos objetivos determinados. El nombre de programación no se refiere a la

Más detalles

2.2 PROGRAMACION LINEAL: METODOS DE SOLUCION

2.2 PROGRAMACION LINEAL: METODOS DE SOLUCION 2.2 PROGRAMACION LINEAL: METODOS DE SOLUCION 1. METODO GRAFICO 2. METODO SIMPLEX - ALGEBRAICO 3. METODO SIMPLEX - TABULAR 4. METODO SIMPLEX - MATRICIAL 1 2.2.1 METODO GRAFICO (modelos con 2 variables)

Más detalles

Tema # 7. método simplex matricial o revisado

Tema # 7. método simplex matricial o revisado IO04001 Investigación de Operaciones I Tema # 7 Solución de problemas mediante el método simplex matricial o revisado Objetivos de aprendizaje Al finalizar el tema serás capaz de: Emplear el Método simplex

Más detalles

Programación Lineal. Unidad 1 Parte 2

Programación Lineal. Unidad 1 Parte 2 Programación Lineal Unidad 1 Parte 2 Para la mayoría de los problemas modelados con programación lineal, el método gráfico es claramente inútil para resolverlos, pero afortunadamente y gracias a la dedicación

Más detalles

PROGRAMACION ENTERA. M. en C. Héctor Martínez Rubin Celis 1

PROGRAMACION ENTERA. M. en C. Héctor Martínez Rubin Celis 1 M. en C. Héctor Martínez Rubin Celis PROGRAMACION ENTERA En muchos problemas prácticos, las variables de decisión son realistas únicamente si estas son enteras. Hombres, máquinas y vehículos deben ser

Más detalles

Dirección de Operaciones. SESIÓN # 5: El método simplex. Segunda parte.

Dirección de Operaciones. SESIÓN # 5: El método simplex. Segunda parte. Dirección de Operaciones SESIÓN # 5: El método simplex. Segunda parte. Contextualización Qué más hay que conocer del método simplex? En la sesión anterior dimos inicio a la explicación del método simplex.

Más detalles

6.2 OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MÉTODO SIMPLEX

6.2 OBSERVACIONES IMPORTANTES AL UTILIZAR MÉTODO SIMPLEX 6. MÉTODO SIMPLEX El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción

Más detalles

MÉTODO SIMPLEX. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO Estandarización Tradicional

MÉTODO SIMPLEX. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO Estandarización Tradicional MÉTODO SIMPLE POFESOA: LILIANA DELGADO HIDALGO Lilianadelgado@correounivalleeduco Minimizar 4x + x Sueto a: x + x 4x + x 6 x + x 4 x, x Estandarización Tradicional Minimizar 4x + x Sueto a: x + x 4x +

Más detalles

Universidad Tec Milenio: Profesional HG04002 Análisis de Decisiones I

Universidad Tec Milenio: Profesional HG04002 Análisis de Decisiones I Tema # 10 El método de las M s como solución de problemas de programación lineal 1 Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Resolver modelos de programación lineal mediante

Más detalles

EL MÉTODO SIMPLEX. los redondos. Por último, a los manteles rectangulares se les deben colocar cuatro esquineros de refuerzo.

EL MÉTODO SIMPLEX. los redondos. Por último, a los manteles rectangulares se les deben colocar cuatro esquineros de refuerzo. EL MÉTODO SIMPLEX Hasta ahora, la única forma que conocemos de resolver un problema de programación lineal, es el método gráfico. Este método es bastante engorroso cuando aumenta el número de restricciones

Más detalles

Definición de problemas de programación lineal. Método gráfico. Método del SIMPLEX. Método de las dos fases. Análisis de sensibilidad y problema dual

Definición de problemas de programación lineal. Método gráfico. Método del SIMPLEX. Método de las dos fases. Análisis de sensibilidad y problema dual 7. Programación lineal y SIMPLEX Definición de problemas de programación lineal. Método gráfico. Método del SIMPLEX. Método de las dos fases. Análisis de sensibilidad y problema dual Programación Lineal

Más detalles

Tema II: Programación Lineal

Tema II: Programación Lineal Tema II: Programación Lineal Contenido: Solución a problemas de P.L. por el método gráfico. Objetivo: Al finalizar la clase los alumnos deben estar en capacidad de: Representar gráficamente la solución

Más detalles

MÉTODO SIMPLEX MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO

MÉTODO SIMPLEX MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO MÉTODO SIMPLEX MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO Investigación de Operaciones 1 Introducción a la Programación Lineal Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta a

Más detalles

Si el objetivo es maximizar, entonces se tiene la forma estándar de maximización y, si el objetivo es minimizar, la forma estándar de minimización.

Si el objetivo es maximizar, entonces se tiene la forma estándar de maximización y, si el objetivo es minimizar, la forma estándar de minimización. Tema El método simplex Los modelos lineales con dos o tres variables se pueden resolver gráficamente. En el Tema hemos visto la solución gráfica de modelos lineales de dos variables. Sin embargo, este

Más detalles

4. Método Simplex de Programación Lineal

4. Método Simplex de Programación Lineal Temario Modelos y Optimización I 4. Método Simplex de Programación Lineal A- Resolución de problemas, no particulares, con representación gráfica. - Planteo ordenado de las inecuaciones. - Introducción

Más detalles

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones CONCEPTOS ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones en las que aparece una o varias incógnitas. En

Más detalles

3. Métodos clásicos de optimización lineal

3. Métodos clásicos de optimización lineal 3. Métodos clásicos de optimización lineal Uso del método Simplex El problema que pretende resolverse es un problema de optimización lineal sujeto a restricciones. Para el modelo construido para el problema

Más detalles

Cómo resolver el Método Simplex, con penalizaciones, o gran M

Cómo resolver el Método Simplex, con penalizaciones, o gran M Cómo resolver el étodo Simple, con penalizaciones, o gran aterial de apoyo realizado por Sebastián Fellenberg C Estudiante de Ingeniería Industrial Universidad de las Américas Chile Introducción Antes

Más detalles

DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL

DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL DUALIDAD EN PROGRAMACION LINEAL Relaciones primal-dual Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal denominado problema dual (PD), que posee importantes propiedades y relaciones

Más detalles

Programación Lineal con Matlab

Programación Lineal con Matlab Arturo Vega González a.vega@ugto.mx Division de Ciencias e Ingenierías Universidad de Guanajuato Campus León Universidad de Guanajuato, DCI, Campus León 1 / 22 Contenido 1 Programación Lineal Método gráfico

Más detalles

TEMA 3: EL MÉTODO SIMPLEX

TEMA 3: EL MÉTODO SIMPLEX TEMA 3: EL MÉTODO SIMPLEX El uso de este procedimiento gráfico para resolver problemas de PL queda limitado a problemas con dos variables de decisión, de manera que el problema pueda representarse en un

Más detalles

Ecuación de la Recta

Ecuación de la Recta PreUnAB Clase # 10 Agosto 2014 Forma La ecuación de la recta tiene la forma: y = mx + n con m y n constantes reales, m 0 Elementos de la ecuación m se denomina pendiente de la recta. n se denomina intercepto

Más detalles

Programación Lineal y Optimización Primer Examen Parcial :Solución Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011

Programación Lineal y Optimización Primer Examen Parcial :Solución Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011 Programación Lineal y Optimización Primer Examen Parcial : Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011 Matrícula: Nombre: 1. Una pequeña empresa fabrica sustancias de dos tipos a partir de tres materias primas,

Más detalles

Problemas de Programación Lineal: Método Simplex

Problemas de Programación Lineal: Método Simplex Problemas de Programación Lineal: Método Simplex Ej. (3.1) (C) Los siguientes Tableaux fueron obtenidos en el transcurso de la resolución de PL en los cuales había que maximizar una Función Objetivo con

Más detalles

Contenido: Solución algebraica a los problemas de programación lineal con el método simplex.

Contenido: Solución algebraica a los problemas de programación lineal con el método simplex. Tema II: Programación Lineal Contenido: Solución algebraica a los problemas de programación lineal con el método simplex. Introducción El método simplex resuelve cualquier problema de PL con un conjunto

Más detalles

Instituto tecnológico de Minatitlán. Investigación de operaciones Ing. Erika Lissette Minaya mortera Unidad 3: programación no lineal

Instituto tecnológico de Minatitlán. Investigación de operaciones Ing. Erika Lissette Minaya mortera Unidad 3: programación no lineal Instituto tecnológico de Minatitlán Investigación de operaciones Ing. Erika Lissette Minaya mortera Unidad 3: programación no lineal Alejandra de la cruz francisco Ingeniería en sistemas computacionales

Más detalles

3.1 Por inspección del tablero óptimo genere las respuestas a los numerales dados. X 1 = Cantidad de tarjetas de invitación a producir semanalmente en Kimberly Colpapel y X 2 = Cantidad de tarjetas de

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 1. Introducción

PROGRAMACIÓN LINEAL. 1. Introducción PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas

Más detalles

En el siguiente capítulo se hará un repaso de algunas propiedades básicas de conjuntos convexos, para después explicar el método simplex.

En el siguiente capítulo se hará un repaso de algunas propiedades básicas de conjuntos convexos, para después explicar el método simplex. Capitulo 2 Método Simplex Para explicar el método de generación de columnas se explicaran a continuación conceptos básicos de la programación lineal y el método simplex. En especial, el concepto de costo

Más detalles

TEMA III MÉTODO SIMPLEX. CONCEPTOS BÁSICOS

TEMA III MÉTODO SIMPLEX. CONCEPTOS BÁSICOS TEMA III MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS MÉTODOS CUANTITATIVOS I TEMA III. MÉTODO SIMPLE. CONCEPTOS BÁSICOS INDICE.- FACTORES PRODUCTIVOS (A i )....- VECTOR EISTENCIAS (P o )....- TÉCNICA... 4.- PROCESO

Más detalles

Ejemplo : PROGRAMACIÓN LINEAL

Ejemplo : PROGRAMACIÓN LINEAL PROGRAMACIÓN LINEAL Los problemas de Programación Lineal son aquellos donde se trata de encontrar el óptimo de una función, por ejemplo máximo de beneficios, o mínimo de costos, siendo esta función lineal.

Más detalles

Tabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x)

Tabla de Derivadas. Función Derivada Función Derivada. f (x) n+1. f (x) y = f (x) y = ln x. y = cotg f (x) y = ( 1 cotg 2 f (x)) f (x) = f (x) Matemáticas aplicadas a las CCSS - Derivadas Tabla de Derivadas Función Derivada Función Derivada y k y 0 y y y y y f ) y f ) f ) y n y n n y f ) n y n f ) n f ) y y n y y f ) y n n+ y f ) n y f ) f )

Más detalles

(2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX

(2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX (2.c) RESOLUCIÓN DE MODELOS LINEALES. ALGORITMO DEL SIMPLEX FORMA CANÓNICA DE UN SISTEMA Ax = b Forma Standard y Base factible (repaso). Expresión de las v. básicas en función de las no básicas. Forma

Más detalles

1.5 Límites infinitos

1.5 Límites infinitos SECCIÓN.5 Límites infinitos 8.5 Límites infinitos Determinar ites infinitos por la izquierda por la derecha. Encontrar dibujar las asíntotas verticales de la gráfica de una función., cuando Límites infinitos

Más detalles

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL CONTINUA

PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL CONTINUA PROBLEMAS PROGRAMACIÓN LINEAL CONTINUA 1. Sea el problema: Max. 3 x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 + x 4 s.a. 4 x 1 + 3 x 2 + 4 x 3 + x 4 5 2 x 1 + x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 6 x 1 6, 0 x 2 3, x 3 libre, x 4 0 a) Ponerlo

Más detalles

RAÍCES DE POLINOMIOS 6.1. Generalidades

RAÍCES DE POLINOMIOS 6.1. Generalidades 6.1. Generalidades Ecuación Entera Racional a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + a 3 x n-3 +... a n = 0 Donde a 0 0 n entero positivo e indica el grado de la ecuación a 0, a 1, a 2, a n son constantes y pueden

Más detalles

MÉTODO SIMPLEX MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO. M. En C. Eduardo Bustos Farías

MÉTODO SIMPLEX MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO. M. En C. Eduardo Bustos Farías MÉTODO SIMPLEX MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICO M. En C. Eduardo Bustos Farías 1 Introducción a la Programación Lineal Un modelo de programación lineal busca maximizar o minimizar una función lineal, sujeta

Más detalles

Programación Lineal. El método simplex

Programación Lineal. El método simplex Programación Lineal El método simplex El método simplex es una herramienta algebraica que permite localizar de manera eficiente el óptimo entre los puntos extremos de una solución a un problema de programación

Más detalles

VIII. CIRCUNFERENCIA

VIII. CIRCUNFERENCIA VIII. IRUNFERENI 8.. L IRUNFERENI OMO LUGR GEOMÉTRIO Definición: Una circunferencia es el lugar geométrico de un punto ( ) P, cualquiera, que se mueve sobre el plano, de tal manera que su distancia a un

Más detalles

MÁXIMOS Y MINIMOS. Marco Antonio Cruz Chávez

MÁXIMOS Y MINIMOS. Marco Antonio Cruz Chávez MÁXIMOS Y MINIMOS Marco Antonio Cruz Chávez UAEM Av. Universidad 11 Col. Chamilpa C.P. 61 Cuernavaca Morelos, México Agosto 18 del 334858@academ1.mor.itesm.mx Abstract. En este trabajo se presentan algunos

Más detalles

Selectividad Junio 2007 JUNIO 2007

Selectividad Junio 2007 JUNIO 2007 Bloque A JUNIO 2007 1.- Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte siempre el 20 % del total, Miguel reparte 100 hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas. Plantea

Más detalles

EL LÍMITE AL INFINITO EN EL CÁLCULO DE ÁREAS BAJO UNA CURVA

EL LÍMITE AL INFINITO EN EL CÁLCULO DE ÁREAS BAJO UNA CURVA EL LÍMITE AL INFINITO EN EL CÁLCULO DE ÁREAS BAJO UNA CURVA Sugerencias al Profesor: Comentar que uno de los problemas fundamentales que dieron origen al Cálculo Integral es el de acumulación, el cual

Más detalles

PREPARANDO EL MODELO PARA ADAPTARLO AL MÉTODO SIMPLEX. a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2... am1 x1 + am2 x2 +... + amn xn = bm x1,...

PREPARANDO EL MODELO PARA ADAPTARLO AL MÉTODO SIMPLEX. a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2... am1 x1 + am2 x2 +... + amn xn = bm x1,... El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la

Más detalles

CLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO

CLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA LA INGENIERÍA EN SISTEMAS CLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO 1 1. SISTEMAS LINEALES DISCRETOS Y CONTINUOS 1.1. Modelos matemáticos 1.2. Sistemas 1.3. Entrada

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto

Más detalles

TRABAJO Y ENERGIA: CURVAS DE ENERGÍA POTENCIAL:

TRABAJO Y ENERGIA: CURVAS DE ENERGÍA POTENCIAL: TRABAJO Y ENERGIA: CURVAS DE ENERGÍA POTENCIAL: Si junto con la fuerza de Van der Waals atractiva, que varía proporcionalmente a r 7, dos atómos idénticos de masa M eperimentan una fuerza repulsiva proporcional

Más detalles

Polinomios. 1.- Funciones cuadráticas

Polinomios. 1.- Funciones cuadráticas Polinomios 1.- Funciones cuadráticas Definición 1 (Función polinomial) Sea n un entero no negativo y sean a n, a n 1,..., a, a 1, a 0 número s reales con a n 0. La función se denomina función polinomial

Más detalles

3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada

3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada 90 CAPÍTULO 3 Aplicaciones de la derivada 3.4 Concavidad el criterio de la segunda derivada Determinar intervalos sobre los cuales una función es cóncava o cóncava. Encontrar cualesquiera puntos de infleión

Más detalles

La solución inicial puede ser óptima o no, la forma de saberlo es realizando la prueba de optimalidad que consiste en los siguientes pasos:

La solución inicial puede ser óptima o no, la forma de saberlo es realizando la prueba de optimalidad que consiste en los siguientes pasos: Solución óptima a los problemas de transporte La solución inicial puede ser óptima o no, la forma de saberlo es realizando la prueba de optimalidad que consiste en los siguientes pasos: a) Calcular los

Más detalles

EBook: Apuntes y Ejercicios Resueltos de Programación Lineal

EBook: Apuntes y Ejercicios Resueltos de Programación Lineal EBook: Apuntes y Ejercicios Resueltos de Programación Lineal www.gestiondeoperaciones.net Libro de Apuntes para estudiantes de Investigación Operativa que considera la revisión de modelos de Programación

Más detalles

f (x) (1+[f (x)] 2 ) 3 2 κ(x) =

f (x) (1+[f (x)] 2 ) 3 2 κ(x) = MATEMÁTICAS II - EXAMEN PRIMER PARCIAL - 4/11/11 Grado: Ing. Electrónica Rob. y Mec. Ing. Energía Ing. Organización Ind. Nombre y Apellidos: Ejercicio 1. La curvatura de una función f en un punto x viene

Más detalles

D.2 ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LAS TEMPERATURAS DE VERANO

D.2 ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE LAS TEMPERATURAS DE VERANO Anejo Análisis estadístico de temperaturas Análisis estadístico de temperaturas - 411 - D.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVO El presente anejo tiene por objeto hacer un análisis estadístico de los registros térmicos

Más detalles

Resolución. Resolución gráfica de problemas de optimización

Resolución. Resolución gráfica de problemas de optimización Resolución de problemas de optimización Para resolver mente un problema de optimización como éste empezamos representando sus restricciones con igualdad. (0, 4) (0, 4) (4, 0) Para resolver mente un problema

Más detalles

2.- Sistemas de ecuaciones Lineales

2.- Sistemas de ecuaciones Lineales .- Sistemas de ecuaciones Lineales..- Definición, Clasificación de los sistemas lineales y tipos de solución. Definición Una ecuación lineal con las variables escribirse en la forma,..., n es una ecuación

Más detalles

Capítulo 3 Método Gráfico

Capítulo 3 Método Gráfico Capítulo 3 Método Gráfico Introducción En el presente capítulo se muestra la solución a varios tipos de problemas de programación lineal que solamente tienen en su formulación dos variables empleando el

Más detalles

Optimización lineal con R José R. Berrendero

Optimización lineal con R José R. Berrendero Optimización lineal con R José R. Berrendero Introducción Veamos cómo se pueden resolver problemas de optimización lineal con R a través de algunos ejemplos sencillos. La mayor parte de las funciones necesarias

Más detalles

Unidad 1. Las fracciones.

Unidad 1. Las fracciones. Unidad 1. Las fracciones. Ubicación Curricular en España: 4º, 5º y 6º Primaria, 1º, 2º y 3º ESO. Objetos de aprendizaje. 1.1. Concepto de fracción. Identificar los términos de una fracción. Escribir y

Más detalles

I N S T I T U T O T E C N O L O G I C O D E O A X A C A M E T O D O S N U M E R I C O S

I N S T I T U T O T E C N O L O G I C O D E O A X A C A M E T O D O S N U M E R I C O S I N S T I T U T O T E C N O L O G I C O D E O A X A C A M E T O D O S N U M E R I C O S G A U S S G A U S S J O R D A N S E I D E L O C T U B R E 2 0 0 9 1 Contenido SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...

Más detalles

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una

Más detalles

PLs no acotados El método símplex en dos fases PLs no factibles. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12

PLs no acotados El método símplex en dos fases PLs no factibles. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 PLs no acotados El método símplex en dos fases PLs no factibles Prof. José Niño Mora Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Esquema PLs no acotados Necesidad de obtener un vértice

Más detalles

LA MAXIMIZACION DE BENEFICIOS CON UN INSUMO VARIABLE

LA MAXIMIZACION DE BENEFICIOS CON UN INSUMO VARIABLE LA FUNCION DE PRODUCCION Y LA MAXIMIZACION DE BENEFICIOS lorenzo castro gómez 1 LA MAXIMIZACION DE BENEFICIOS CON UN INSUMO VARIABLE El objeto del análisis insumo-producto es determinar la cantidad óptima

Más detalles

1. Conocimientos previos. 1 Funciones exponenciales y logarítmicas.

1. Conocimientos previos. 1 Funciones exponenciales y logarítmicas. . Conocimientos previos. Funciones exponenciales y logarítmicas.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas.

Más detalles

Objetivo específico: Entender ampliamente el fenómeno del comportamiento de los modelos matemáticos para la aplicación en la programación lineal.

Objetivo específico: Entender ampliamente el fenómeno del comportamiento de los modelos matemáticos para la aplicación en la programación lineal. Unidad IX: Programación lineal Objetivo específico: Entender ampliamente el fenómeno del comportamiento de los modelos matemáticos para la aplicación en la programación lineal. Conceptos a desarrollar

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación es un enunciado o proposición que plantea la igualdad de dos expresiones, donde al menos una de ellas contiene cantidades desconocidas llamadas variables

Más detalles

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TALLER N

UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TALLER N UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERÌA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS TALLER N NOMBRE DE LA CALCULO DIFERENCIAL ASIGNATURA: TÍTULO: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 3: Problemas de Optimización DURACIÓN:

Más detalles

PROBLEMAS de Programación Lineal : Resolución Gráfica

PROBLEMAS de Programación Lineal : Resolución Gráfica PROBLEMAS de Programación Lineal : Resolución Gráfica Ej. (1.1) Mostrar gráficamente porque los 2 PL siguientes no tienen una Solución Optima y explicar la diferencia entre los dos. (C) (A) Max z = 2x

Más detalles

Solución de sistemas de ecuaciones lineales: Introducción y conceptos generales

Solución de sistemas de ecuaciones lineales: Introducción y conceptos generales Solución de sistemas de ecuaciones lineales: Introducción y conceptos generales Ing. Jesús Javier Cortés Rosas M. en A. Miguel Eduardo González Cárdenas M. en A. Víctor D. Pinilla Morán * 2011 Resumen

Más detalles

Bienvenidos. En esta presentación en la que estudiaremos la ley de Ohm y la ley de Watt.

Bienvenidos. En esta presentación en la que estudiaremos la ley de Ohm y la ley de Watt. Teel 1011: Circuitos de Corriente Directa (DC) Unidad 3: Ley de Ohm y ley de Watt Introducción 1.1 Bienvenida Bienvenidos. En esta presentación en la que estudiaremos la ley de Ohm y la ley de Watt. 1

Más detalles

Introducción al análisis de sensibilidad

Introducción al análisis de sensibilidad Introducción al análisis de sensibilidad El trabajo del equipo de investigación de operaciones recién se inicia cuando se ha aplicado con éxito el método símplex para identificar una solución óptima. Una

Más detalles

Profr. Efraín Soto Apolinar. La función racional

Profr. Efraín Soto Apolinar. La función racional La función racional Ahora estudiaremos una extensión de las funciones polinomiales. Las funciones racionales se definen a partir de las funciones polinomiales. Esta generalización es semejante a la que

Más detalles

MACROECONOMÍA DE LAS ECONOMÍAS ABIERTAS MODELO AHORRO INVERSIÓN Y TIPO DE CAMBIO REAL

MACROECONOMÍA DE LAS ECONOMÍAS ABIERTAS MODELO AHORRO INVERSIÓN Y TIPO DE CAMBIO REAL 1 MACROECONOMÍA DE LAS ECONOMÍAS ABIERTAS MODELO AHORRO INVERSIÓN Y TIPO DE CAMBIO REAL En el presente apartado, se recurre al modelo de ahorro inversión para explicar, a través del planteamiento de casos

Más detalles

El método simplex 1. 1 Forma estándar y cambios en el modelo. 2 Definiciones. 3 Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex.

El método simplex 1. 1 Forma estándar y cambios en el modelo. 2 Definiciones. 3 Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex. El método simplex Forma estándar y cambios en el modelo. Definiciones. Puntos extremos y soluciones factibles básicas. 4 El método simplex. Definiciones y notación. Teoremas. Solución factible básica inicial.

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA GERENCIA ACADEMICA COORDINACION DE PREGRADO PROYECTO INGENIERIA 1272-416/ALGEBRA DE ESTRUCTURAS SEMESTRE:

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA GERENCIA ACADEMICA COORDINACION DE PREGRADO PROYECTO INGENIERIA 1272-416/ALGEBRA DE ESTRUCTURAS SEMESTRE: GERENCIA ACADEMICA COORDINACION DE PREGRADO PROYECTO INGENIERIA PROGRAMA: ALGEBRA LINEAL CÓDIGO ASIGNATURA: 1272-521 PRE-REQUISITO: 1272-416/ALGEBRA DE ESTRUCTURAS SEMESTRE: 90-II UNIDADES DE CRÉDITO:

Más detalles

ExMa-MA0125. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda 1

ExMa-MA0125. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda 1 ExMa-MA0. Ecuaciones e inecuaciones W. Poveda Ecuaciones Objetivos. Resolver en R ecuaciones lineales, cuadráticas, de grado mayor o igual que, con valor absoluto, con radicales, fraccionarias y polinomiales

Más detalles

Funciones y gráficas. 3º de ESO

Funciones y gráficas. 3º de ESO Funciones y gráficas 3º de ESO Funciones Una función es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos que asocia a cada valor,, del primer conjunto un único valor, y, del segundo. La variable variable

Más detalles

Para que un problema pueda ser solucionado por el método de transporte, este debe reunir tres condiciones:

Para que un problema pueda ser solucionado por el método de transporte, este debe reunir tres condiciones: MÉTODO DE TRANSPORTE Es un método de programación lineal para la asignación de artículos de un conjunto de origines a un conjunto de destinos de tal manera que se optimice la función objetivo. Esta técnica

Más detalles

JUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.

JUNIO 2010. Opción A. 1 1.- Dada la parábola y = 3 área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola. Junio 00 (Prueba Específica) JUNIO 00 Opción A.- Dada la parábola y 3 área máima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola., y la recta y 9, hallar las dimensiones

Más detalles

Parte 2 / 3 Programación lineal, método Simplex:

Parte 2 / 3 Programación lineal, método Simplex: Parte 2 / 3 Programación lineal, método Simplex: Programación lineal, método Simplex: Típico ejemplo de maximizar los beneficios o producción de una empresa: la inyectora de plástico Zonda, que produce

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES 1. Determinar si cada una de las siguientes igualdades es una ecuación o una identidad:

Más detalles

Matrices escalonadas y escalonadas reducidas

Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Matrices escalonadas y escalonadas reducidas Objetivos. Estudiar las definiciones formales de matrices escalonadas y escalonadas reducidas. Comprender qué importancia tienen estas matrices para resolver

Más detalles

Ejercicios Economía III de Costos, Maximización de Beneficios y Competencia Perfecta 1.

Ejercicios Economía III de Costos, Maximización de Beneficios y Competencia Perfecta 1. Ejercicios Economía III de Costos, Maximización de Beneficios y Competencia Perfecta 1. Costos 1. Una empresa tiene isocuantas estrictamente convexas y quiere minimizar el costo de producir q unidades.

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 29-OCTUBRE-1996. (1) 2x 3 > 4.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 29-OCTUBRE-1996. (1) 2x 3 > 4. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1300, 9-OCTUBRE-199 1) 3 > 4. +1 ) Sea la función 3 si 1 a + b si 1 . Encontrar los valores de a, b, c para que la función

Más detalles

CAPITULO 5 LA DETERMINACIÓN DEL INGRESO DE EQUILIBRIO

CAPITULO 5 LA DETERMINACIÓN DEL INGRESO DE EQUILIBRIO Documento elaborado por Jaime Aguilar Moreno Docente área económica Universidad del Valle Sede Buga CAPITULO 5 LA DETERMINACIÓN DEL INGRESO DE EQUILIBRIO OBJETIVO DEL CAPÍTULO Lograr que el estudiante

Más detalles

problema de la dieta

problema de la dieta La programación lineal es una herramienta de la investigación de operaciones y muy útil para la toma de decisiones. Esta es una herramienta genérica que sirve para resolver problemas lineales. De acuerdo

Más detalles

DETERMINACION DE LA DENSIDAD Y HUMEDAD DE EQUILIBRIO I.N.V. E - 146

DETERMINACION DE LA DENSIDAD Y HUMEDAD DE EQUILIBRIO I.N.V. E - 146 E - 146-1 DETERMINACION DE LA DENSIDAD Y HUMEDAD DE EQUILIBRIO I.N.V. E - 146 1. OBJETO Existe dependencia del grado de compactación alcanzado por los suelos, con el contenido de humedad y la magnitud

Más detalles