METODO SIMPLEX NOTAS DE CLASE: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I UNIVERSIDAD CENTRAL PROFESOR CARLOS DÍAZ. Max Z= 12X X 2

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1 METODO SIMPLEX NOTAS DE CLASE: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I UNIVERSIDAD CENTRAL PROFESOR CARLOS DÍAZ Max Z= 12X X 2 Sujeto a: 2X 1 + X 2 <=30 2X 1 +3X 2 <=54 2X 1 +2X 2 <=46 X 2 <=16 Para comenzar a analizar el problema por medio del método simplex, se deben igualar todas las ecuaciones por lo cual introducimos variables de holgura a cada una de ellas, obteniendo: Sujeta a: Maximizar Z=12X X 2 + 0S 1 +0S 2 + 0S 3 + 0S 4 2X 1 + X 2 + S 1 = 30 (1) 2X 1 + 3X 2 + S 2 = 54 (2) 2X 1 + 2X 2 + S 3 = 46 (3) X 2 +S 4 = 16 (4) X 1,X 2, S 1,S 2, S 3,S 4 >= 0 A continuación se expresará la función objetivo como sigue: Z - 12X 1-15X 2 =0 La tabla inicial de simplex se puede representar como:

2 El tableau inicial comienza en el punto (0,0). Dado que las variables básicas (X 1, X 2 ) = (0,0) Para la realización de la primera iteración se debe tener en cuenta: 1) Detallar el objetivo, si es maximizar o minimizar. Dado que para el ejemplo el objetivo es maximizar la variable no básica que entra a la base es X 2 por que es la que tiene el coeficiente más negativo en la función objetivo. 2) Para determinar la variable de salida, se calculan las intersecciones, las cuales son las razones del lado derecho de las ecuaciones (columna solución) entre los coeficientes de restricción correspondientes, debajo de la variable de entrada X 2 De tal manera se puede observar que la variable de de entrada es X 2 y la variable de salida es S 4 debido a que es la razón no negativa mínima. Los cálculos necesarios para obtener la nueva solución básica son: 1. Renglón pivote Nuevo renglón pivote = Renglón pivote actual Elemento pivote 2. Todos los demás renglones incluyendo Z: Nuevo renglón: (Renglón actual)-(coeficiente en la columna pivote) X (Nuevo renglón pivote) Aplicando los cálculos de la siguiente forma se tiene: - Nuevo renglón pivote X 2 = Renglón pivote S 4 actual 1 - Nuevo renglón Z = Renglón z actual ( 15) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón S 1 = Renglón S 1 actual (1) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón S 2 = Renglón S 2 actual (3) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón S 3 = Renglón actual S 3 (2) X (Nuevo renglón pivote) La nueva tabla que corresponde a la nueva solución básica (S 1, S 2, S 3, X 2 ) se convierte en: Como se puede ver evidenciado en la tableau anterior, el nuevo valor de la función objetivo es 240, sin embargo este no es el óptimo debido a que la variable no básica X 1, tiene un coeficiente negativo en el renglón Z. Repitiendo el mismo procedimiento que en el paso anterior se evidencia que la variable de salida es S 2. Dadas X 1, y S 2, como variables de entrada y salida respectivamente, se aplican las siguientes operaciones, para obtener la tabla posterior.

3 - Nuevo renglón pivote X 1 = Renglón pivote S 2 actual 2 - Nuevo renglón Z = Renglón z actual ( 12) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón S 1 = Renglón S 1 actual (2) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón S 3 = Renglón S 3 actual (2) X (Nuevo renglón pivote) - Nuevo renglón X 2 = Renglón actual S 3 (0) X (Nuevo renglón pivote) El punto que representa el tableau anterior es el punto (b) de la gráfica 1, ya que si se igualan la ecuación 4 y 2 que son las que intersectan en este punto; igualando y despejando las dos ecuaciones tenemos: X 1 = 3 y X 2 =16; lo cual remplazándolo en la función objetivo tenemos: Z= 12X X 2 = 12(3)+15(16)= 276 Que corresponde a la solución encontrada en el tableau anterior. Sin embargo esta aún no es la solución óptima ya que la variable S 4 tiene un coeficiente negativo en el reglón Z, por lo tanto esta es la que entra y S 1 es la que sale. Por lo cual al realizar los respectivos cálculos tenemos el siguiente tableau.

4 Como se puede observar no existe ninguna variable no básica en el reglón Z con un coeficiente negativo, por lo tanto se deduce que esta es la solución óptima de la cual se puede inferir: 1. Respecto de la restricción de maquinaría 2X 1 +2X 2 <=46 2X 1 + 2X 2 + S 3 = 46 (3) Dado que la variable de holgura que acompaña a la restricción de maquinaría es S 3, y esta tiene un coeficiente de 0 (cero) en el renglón Z, se concluye que esta tiene un precio sombra igual a cero. Para calcular los intervalos en los cuales este precio sombra esta vigente, se tiene que S 3, en la solución final se encuentra dentro de las variables básicas cuya solución es 4 por lo tanto los intervalos son: PS =0; Min 42 y Max (La disponibilidad actual de la maquinaria es 46 horas) 2. Respecto de la restricción de mercado X 2 <=16 X 2 +S 4 = 16 (4) Debido a que la variable de holgura que acompaña a la restricción del mercado es S 4, y esta tiene un coeficiente de cero en el renglón Z, se concluye que esta tiene un precio sombra igual a cero. Para calcular los intervalos en los cuales el precio sombra es vigente, se tiene que S 4, en la solución final se encuentra dentro de las variables básicas cuya solución es 4, por lo tanto los intervalos son: PS =0; Min 12 y Max (El precio de la maquinaria es 16) 3. Respecto de la restricción de materia prima: Ya que la variable de holgura que corresponde a la maquinaria (S 1 ), tiene el coeficiente de 3/2 en el renglón Z, se concluye que su precio sombra es 3/2. Por lo tanto - Si S 1 = -1; es decir se compra 1Kg adicional de materia prima la utilidad aumentará en $1.5 - Y si S 1 = 1; es decir se disminuye en 1Kg la materia prima la utilidad disminuirá en $1.5. Para calcular los intervalos en los cuales el precio sombra se encuentra vigente tenemos: La restricción es del tipo menor o igual, por lo tanto se encuentra el cociente entre los valores de la solución y los coeficientes de la columna de la variable considerada. El menor valor positivo marca el aumento admisible y el menor valor positivo marca la disminución admisible en el lado derecho de la restricción. Los valores serán calculados así: 4/(1/2) = 8; 9/(3/4) = 12; 4/(-1/2) = - 8 y 12/(-1/2) = 24. Por lo tanto, el aumento admisible será de 8 Kg y la disminución admisible será de 8 Kg. Así, la disponibilidad actual de 30 Kg de podrá aumentar hasta 38 Kg o disminuir hasta 22 Kg y dentro de estos límites se mantendrá vigente el precio sombra.

5 Ahora viendo la tabla optima del simples, tenemos que la solución tendrá los siguientes resultados para cambios en la disponibilidad de este recurso: S4 = 4-1/2(S1) X1 = 9 ¾(S1) S3 = 4 + ½(S1) X2 = 12 +1/2(S1) Recuerde que valores adicionales de materia prima serán valores negativos de S1 y viceversa. BILIOGRAFÍA : Hamdy A. Taha, Investigación de Operaciones

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