MÉTODO SIMPLEX. PROFESORA: LILIANA DELGADO HIDALGO Estandarización Tradicional

Transcripción

1 MÉTODO SIMPLE POFESOA: LILIANA DELGADO HIDALGO Minimizar 4x + x Sueto a: x + x 4x + x 6 x + x 4 x, x Estandarización Tradicional Minimizar 4x + x Sueto a: x + x 4x + x S 6 x + x + S 4 x, x,s, S omo n4 y m, el Simplex hace n-m variables cero (en este caso una) para crear un sistema de ecuaciones consistente que arroe una Solución Inicial Inmediata y Factible Qué pasa si x se hace igual a cero? Qué pasa six se hace igual a cero? x x S S - x x S - S

2 El método SIMPLE necesita que la base inicial sea la matriz idéntica para poder arrancar El problema general de PL es: MA ( MIN ) sueto a : A(,, )b Si todas las restricciones son de, el método SIMPLE inicia con la base igual a la matriz idéntica, formada por las columnas de las variables de holgura Pero si existe por lo menos una restricción de ó de, la matriz idéntica no aparece en forma automática y por lo tanto debe crearse mediante la adición de variables artificiales En general, las restricciones de y de generan problemas al Simplex al momento de construir la tabla inicial que arranca el procedimiento En cambio cuando las restricciones son de no existen estos inconvenientes y el método puede iniciar sin problemas con las variables de holgura El Simplex soluciona estos inconvenientes de arranque creando Variables Artificiales

3 Min 4x + x Sueto a: x + x 4x + x 6 x + x 4 x, x Min 4x + x Sueto a: x + x 4x + x S 6 x + x + S 4 x, x,s, S Min 4x + x + M + M Sueto a: x + x + 4x + x S + 6 x + x + S 4 x, x, S, S,, Aquí n 6 y m, siendo (n-m) Es decir, al hacer variables iguales a cero sale una Solución Inicial Inmediata Factible [Puede observar que estas variables no básicas iniciales deben ser x, x, s ] La Tabla SimplexInicial se construye teniendo en cuenta que en el renglón ( ) las variables básicas tienen necesariamente valores de cero El MÉTODO DE LA GAN M Tengaen cuenta que en la Tabla: - Variables Noásicas: x,x, s Min 4x + x + M + M - Variables ásicas:,,s Min 4x + x + M + M Sueto a: x + x + 4x + x S + 6 x + x + S 4 x, x, S, S,, De la primera y segunda restricción: -x -x 6-4x -x + S Transformación necesaria en la Función Obetivo: Min 4x + x + M( -x -x ) + M(6-4x -x + S ) Min (4-7M) x -(4M -)x + MS + 9M Variables ásicas oeficientes en la Función Obetivo () x x S S Solución (HS) M M 4-6 S (4-7M) (4M -) -M 9M

4 Tabla Variables ásicas Tabla 4 oeficientes en la Función Obetivo () x x S S Solución (HS) M M 4-6 S 4 Variables ásicas - - (4-7M) (4M -) -M 9M oeficientes en la Función Obetivo () Tabla OPTIMA x S S Solución (HS) 4 -/ / / / -/ 9/ S - - -/ 7/-M -M 7/ NOTA: Las variables artificiales siempre deben ser al final No ásicas, o tener valor de cero, ya que solo fueron creadas para arrancar el procedimiento Múltiples Soluciones Maximice (/) + Suetoa: + + >;, Tabla Final OPTIMA Variable s ásicas oeficientes en la Función Obetivo () x S S Solució n (HS) azónθ S /,8,6 / 4 /4 - - Entonces aquí la variable que entra es la variable no-básica que tenga el valor ( - ) más negativo Observe la variable No ásica x con un valor de Si esta variable entra, la función obetivo permanece inmodificable Puede encontrarse otra solución con el mismo valor de Observe que una Tabla Optima de MAIMIAION tiene todos los valores del renglón ( ) Es decir, el criterio funciona a la inversa de la Minimizacion 4

5 Problema de solución infinita (ó No Acotada) Tabla Inicial Variables ásicas Minimice - + Sueto a: - + -, + > ;, oeficientes en la Función Obetivo () x S S Solución (HS) azónθ S - /- S / - /-, Entra x pero: uál variable sale? Problema sin solución uando en la Tabla Final existe como solución una Variable Artificial con valor mayor que cero ondiciones De Parada Del Método Simplex Si todos los valores ( ) son positivos (MA), o negativos (MIN), el SIMPLE concluye y se tiene entonces una solución ÓPTIMA Si el valor ( ) de, por lo menos, una cualquiera de las variables NO básicas (iniciales) en el tablero SIMPLE óptimo es cero (), el SIMPLE ha detectado un conunto infinito de soluciones que puede escribirse como una combinación líneal convexa de cualesquiera dos ó más de ellas Si el tablero SIMPLE actual tiene una variable candidata a entrar a la base, pero no hay una candidata a salir de ella, esto es, falla la regla del cociente, relacionada con la factibilidad de la siguiente solución básica, entones se concluye que se está trabaando con una función obetivo no acotada 4 Si el tablero SIMPLE cumple con la condición de parada enunciada en pero aparece una variable artificial con un valor positivo en la solución óptima, entonces el SIMPLE ha detectado que el problema NO tiene solución factible alguna

6 EL METODO SIMPLE DE LAS DOS FASES Este método elimina el problema de trabaar con la Gran M y los errores de redondeo asociados FASE I: trata de encontrar una solución básica factible inicial Aquí se minimiza la suma de las variables artificiales, sueto a las restricciones del problema original Hay dos posibilidades: a) La suma de las variables artificiales es igual a cero, entonces se continua con la fase II b) Si el valor óptimo de la función obetivo es mayor que cero, entonces el problema original no tiene ninguna solución factible FASE II: Se cambia la función obetivo a la función obetivo original y se utiliza la solución básica factible encontrada en la fase I EL METODO SIMPLE DE LAS DOS FASES Eemplo: Minimizar 4 + Sueto a : (,) El modelo se transforma como sigue para iniciar el método de las dos fases: Minimizar suetoa : ' A + A 4 ( + +, +, S, S + A S + A + S ) ; A, A 6 4 VarArtificiales 6

7 EL METODO SIMPLE DE LAS DOS FASES olumnas Minimizar sueto a : ' A + A 4 + (, + + bi, S, S + A S + A + S ) ; A, A P 6 4 i Var Artificiales b oeficientes de las variables en la función obetivo Variables ásicas oeficientes en la FO (b) S S A A Solución (HS) A A 4-6 S P i EL METODO SIMPLE DE LAS DOS FASES Minimizar sueto a : ' A + A 4 + (, + +, S, S + A S + A + S ) ; A, A 6 4 Var Artificiales Qué variable entra a la base? Qué variable sale a la base? Variabl es ásicas oeficient es en la FO (b) S S A A Solución (HS) azón Mínima (θ) A / A 4-6 6/4 S 4 4/

8 Variabl es ásicas Gauss EL METODO SIMPLE DE LAS DOS FASES oeficient es en la FO (b) S S A A Solución (HS) azón Mínima (θ) / / / (/) A / - -4/ / (/), S / -/ /(/),8 - / - -7/ Variables ásicas oeficientes en la FO (b) S S A A Solución (HS) azón Mínima (θ) / / - / / - / - 4/ / 6/ S Se debe pasar a la fase dos, con la anterior solución inicial FASE En la FO original: Variables ásicas EL METODO SIMPLE DE LAS DOS FASES Minimizar b 4 oeficientes en la FO (b) 4 + S S Solución (HS) azón Mínima (θ) 4 / / (/)/(/) - / 6/ - S / - / 8/ Variables ásicas oeficientes en la FO (b) S S Solución (HS) 4 - / / / 9/ S - - / 7/ 8

9 9 MÉTODO SIMPLE ualquier problema de Programación Lineal, en su forma estándar puede escribirse así: b A sueto a : MA (MIN) donde Valor de la función obetivo Vector fila de los coeficientes de todas las variables en la función obetivo Vector columna de todas las variables del problema (incluyendo las de holgura) A Matriz de coeficientes del sistema b Vector del lado derecho MÉTODO SIMPLE En su forma general, un modelo estándar tendrá n variables (incluyendo las de holgura) y m restricciones Así, en general, las dimensiones de cada matriz y vector son las siguientes: [ ] n n n n (incluye variables de holgura S k) n m mn m n n a a a a a a a a A m b m b b b

10 Soluciones ásicas En Forma Matricial Modelo Original Modelo Estándar Maximizar + sueto a : + + (, ) Maximizar + sueto a : + + S + (,, S, S ) + S T [ ] ; [ S S ] ; A ; b Soluciones ásicas En Forma Matricial Modelo Estándar Maximizar + sueto a : + + S + (,, S, S ) + S Variables no básicas Variables básicas Solución ásica Nº S S Factible Valor de Si 4 Si 9 - No 4 - No 9 Si 6 /9 4/9 Si /9 4

11 Soluciones ásicas En Forma Matricial Soluciones ásicas En Forma Matricial Maximizar + sueto a : + + S + (,, S, S + S + S + S ) Maximizar () + () + ( S ) + ( S ) suetoa : () + () + ( S ) + ( S ) () + () + ( S ) + ( S ) (,, S, S ) S S S S Solución básica Nº S S Soluciones ásicas En Forma Matricial Modelo Estándar Maximizar + sueto a : + + S + (,, S, S ) + S Variables no básicas Variables básicas Solución ásica Nº S S Factible Valor de Si 4 Si 9 - No 4 - No 9 Si 6 /9 4/9 Si /9 4

12 Soluciones ásicas En Forma Matricial Maximizar + sueto a : + + S + (,, S, S + S + S + S ) Maximizar + () + ( ) + ( S ) sueto a : + () + () + ( S ) + () + () + ( S ) (,, S, S ) S S / / Solución básica Nº 4 S S - No factible! Obsérvese que, en cada caso, la solución básica se obtiene invirtiendo la base y premultiplicándola por el vector b, o sea que una solución básica esde la forma, b donde es la matriz base asociada a la solución correspondiente Método SIMPLE en Forma Matricial El problema general de PL dado en su forma estándar por el conunto de ecuaciones, puede tomarse de la siguiente manera: m m m (n-m) A [ M ] L [ M ] Matriz base de orden m (se forma escogiendo m columnas de la matriz A, correspondientes a las variables básicas) Matriz restante, formada por las (n-m) columnas de la matriz A, asociadas a las variables no básicas m Vector de las variables básicas (n-m) Vector de las variables no básicas Vector de los coeficientes de las variables básicas en la función obetivo m ( nm) Vector de los coeficientes de las variables no básicas en la función obetivo

13 Método SIMPLE en Matricial Por la tanto el modelo de PL quedaría expresado así: MA(MIN) suetoa : + b + Una solución básica es aquella en la que, y, por lo tanto, b Una solución básica factible es aquella solución básica b, tal que Inicie con una solución básica factible inmediata MÉTODO SIMPLE MATIIAL Se cumple el ITEIO DE PAADA? No Escoger la variable que va a entrar a la base (ITEIO DE ENTADA) Si La solución básica factible actual es una SOLUIÓN ÓPTIMA FIN Determinar la variable que va a salir de la base (ITEIO DE SALIDA) ealizar las operaciones fila elementales para cambiar de base y obtener una nueva solución básica factible

14 MÉTODO SIMPLE MATIIAL Llevar el modelo a la forma estándar Determinar los parámetros de punto de partida: m m Matriz base de orden m (se forma escogiendo m columnas de la matriz A, correspondientes a las variables básicas) m (n-m) Matriz restante, formada por las (n-m) columnas de la matriz A, asociadas a las variables no básicas m Vector de las variables básicas (n-m) Vector de las variables no básicas Vector de los coeficientes de las variables básicas en la función m ( nm) obetivo Vector de los coeficientes de las variables no básicas en la función obetivo MÉTODO SIMPLE MATIIAL alcule la solución básica inicial, donde: b 4 alcule el valor de - para las variables no básicas Y y Y a Y donde a son las columnas de A que forman la matriz 4

15 MÉTODO SIMPLE MATIIAL evise el riterio de Optimalidad: aso Maximización: si todos los calculados en el literal anterior son mayores o iguales que cero, dicha solución es la solución óptima: aso Minimización: si todos los calculados en el literal anterior son menores o iguales que cero, dicha solución es la solución óptima: Si se cumple el criterio finalice, de lo contrario continúe el paso 6 MÉTODO SIMPLE MATIIAL 6 ealice el proceso de primer cambio de base a) riterio de entrada: aso Maximización: ( ) sea el más negativo aso de Minimización: ) sea el más positivo ( b) riterio de salida Sale de la base aquella variable cuyo cociente θ sea el minimo, donde: xs θ ; ysk > y sk

16 MÉTODO SIMPLE MATIIAL 6 ealice el proceso de primer cambio de base b) riterio de salida: ecuérdese que Y, en este caso: a c b d xi olumna asociada a i, variable a entrar a la base a c b d Luego: θ mín, mín { a/c, b/d} Por lo tanto sale de la base asociada al θ mínimo MÉTODO SIMPLE MATIIAL 7 Actualizar la información con la nueva solución y repita todo el proceso, hasta llegar a la solución óptima Eemplo: Modelo Original Maximizar + sueto a : + + (, ) 6

17 Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial Llevar el modelo a la forma estándar Modelo Original Modelo Estándar Maximizar + sueto a : + + (, ) Maximizar + sueto a : + + S + (,, S, S ) + S Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial Determinar los parámetros de punto de partida: m m Matriz base de orden m (se forma escogiendo m columnas de la matriz A, correspondientes a las variables básicas) m (n-m) Matriz restante, formada por las (n-m) columnas de la matriz A, asociadas a las variables no básicas m Vector de las variables básicas (n -m) Vector de las variables no básicas m Vector de los coeficientes de las variables básicas en la función obetivo ( nm ) Vector de los coeficientes de las variables no básicas en la función obetivo ; S S [ ]; [ ]; b ; ; ; S S 7

18 8 Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial alculo de la solución básica inicial b ),, (, sueto a : Maximizar S S S S ; ; b Entonces: b es la solución básica factible inicial Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial 4 alculo de ) ( para las variables no básicas a Y, donde a son las columnas de A que forman la matriz Y (columnas de la matriz Y) [ ][ ] [ ][ ] T T Y Y

19 9 Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial evisión del criterio de optimalidad aso Maximización: si todos los calculados en el literal anterior son mayores o iguales que cero, dicha solución es la solución óptima: omo Entonces ésta no es la solución óptima y se debe continuar con el paso 6 Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial 6 Primer ambio de ase: a) riterio de entrada: ) ( sea el más negativo Y (columnas de la matriz Y) [ ][ ] [ ][ ] T T Y Y ENTA A LA ASE LA VAIALE x

20 Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial 6 Primer ambio de base b riterio de salida: ecuérdese que Y, en este caso: x x s s olumna asociada a, variable a entrar a la base Luego: { }, mín, mín θ Por lo tanto sale de la base la variable S Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial 7 Actualización de la información con la solución básica factible actual: Actualmente, las nuevas condiciones son: [ ] [ ] ; ; ; ; ; ; S S b s x s x Entonces, la solución actual es: 9 b

21 Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial Segundo ambio de ase: (si se necesita) riterio de entrada: ) sea el más negativo ( Y a, donde matriz a son las columnas de A que forman la / / 9 / / / / Y (olumnas de Y) Y Y S T [ ][ / / ] T [ ][ 9/ / ], ENTA A LA ASE LA VAIALE (la única cuyo es negativo) Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial riterio de salida: ecuérdese que Y, en este caso: s x 9 / / 9 / s / x olumna asociada a, variable a entrar a la base 4 4 θ mín, Luego: 9 9 Por lo tanto sale de la base la variable S

22 Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial Solución básica factible actual: Actualmente, las nuevas condiciones son: ; [ ]; [ ]; b ; ; x x s s ; Entonces, la solución actual es: b /9 /9 /9 4/9 /9 /9 /9 7 Aplicación Del Método Simplex En Forma Matricial Tercer ambio de ase: (si se necesita) riterio de entrada: ) sea el más negativo ( Y a, donde matriz a son las columnas de A que forman la /9 /9 /9 /9 Y /9 /9 /9 / 9 (columnas de Y) Y Y T [ ][ /9 /9] 6/9 T [ ][ /9 /9] / 9 6 /9 6 /9, SE UMPLE EL ITEIO DE PAADA Y /9 /9 OPTIMALIDAD

23 FUENTES: Vidal, arlos Julio () Introducción A La Modelación Matemática Y Optimización ravo, Juan José Notas de lase: Método Simplex amírez, Luis Felipe (9) Notas de lase: Método Simplex 4 Toro, Héctor Hernán Notas de lase Método Simplex