RESUMEN GEOMETRÍA SAINT MARY SCHOOL. PROF. JUAN K. BOLAÑOS M. Geometría Elemental

Transcripción

1 Geometría Elemental Punto Sólo tiene posición. No posee longitud, anchura ni espesor. Se representa por un. Se designa por medio de una letra mayúscula colocada cerca del punto gráfico. Línea recta Es de extensión ilimitada. Se le puede prolongar indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos. Semirrecta Cada una de las partes en que se divide una recta. Se denota por medio de dos letras mayúsculas del alfabeto castellano. La primera letra representa el punto frontera u origen y la segunda un punto cualquiera de la semirrecta. El punto frontera u origen no pertenece a ninguna de las semirrectas. Rayo Es la unión de una semirrecta con el punto frontera u origen. Se denota por dos letras mayúsculas del alfabeto castellano. La primera letra representa el punto de origen y la segundo otro punto cualquiera del rayo. Plano Posee longitud y anchura, aunque carece de espesor. Se designa con las letras minúsculas del alfabeto griego. 1

2 Relaciones entre puntos, rectas y planos Dos puntos diferentes determinan una recta. Si tres o más puntos pertenecen a una misma recta se llaman puntos colineales. Si tres o más puntos no pertenecen a la misma recta se denominan puntos no colineales. Si cuatro o más puntos pertenecen a un mismo plano se llaman puntos coplanares. Tres puntos diferentes no colineales definen un plano. Si dos o más rectas están contenidas en un mismo plano se llaman rectas coplanares. Dos rectas son paralelas si están contenidas en un mismo plano y no tienen ningún punto en común. Su intersección es el conjunto vacío. El símbolo de paralelo es 2

3 Si una recta y un plano no se intersecan entonces la recta es paralela al plano y su intersección es el conjunto vacío. Si una recta no está contenida en un plano y no es paralela a él, entonces la intersección de la recta y el plano es un punto. Dos planos son paralelos si no se intersecan. Una recta contenida en un plano lo divide en tres subconjuntos: la recta y dos semiplanos. Dos rectas se intersecan formando ángulos rectos, estas rectas se llaman perpendiculares. Su símbolo es 3

4 Ángulos Es una figura formada por dos rayos que se cortan en un punto. Los rayos se llaman lados del ángulo y el punto es su vértice. Se puede nombrar de varias formas: ABC CBA B Α Bisectriz de un ángulo Rayo que divide el ángulo en dos ángulos congruentes o de igual medida. Se representa: Mediatriz de un segmento Recta perpendicular a un segmento en su punto medio. Gráficamente se representa así: 4

5 Ángulo nulo: Mide 0. RESUMEN GEOMETRÍA SAINT MARY SCHOOL. Clasificación de los ángulos según sus medidas Ángulo agudo: Mide más de 0 y menos de 90. Ángulo recto: Mide exactamente 90. Ángulo obtuso: Mide más de 90 y menos de 180. Ángulo llano: Mide exactamente

6 Ángulo perígono o convexo: Mide exactamente 360. Ángulo cóncavo: Mide más de 180 y menos de 360 Comparación de dos ángulos Ángulos congruentes: Dos o más ángulos que tienen la misma medida. Su símbolo es Ángulos complementarios: Dos o más ángulos que sumados dan 90. Ángulos suplementarios: Dos o más ángulos cuya suma da 180. Clasificación de los ángulos según su posición Consecutivos: Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un rayo en común. Adyacentes: Dos ángulos consecutivos que suman 180. También se les llama par lineal. 6

7 Opuestos por el vértice: Sus lados forman dos pares de rayos opuestos. Son congruentes. Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal Opuestos por el vértice: Sus lados forman dos pares de rayos opuestos. Son congruentes. Adyacentes: Dos ángulos consecutivos que suman 180. También se les llama par lineal. Correspondientes: Son dos ángulos, uno interno y otro externo, que están del mismo lado de la secante y que no son consecutivos. 7

8 Alternos internos: Son dos ángulos internos que están en lados opuestos de la secante y que no son consecutivos. Alternos externos: Son dos ángulos externos que están en lados opuestos de la secante y que no son consecutivos. Conjugados internos: Son dos ángulos internos que están del mismo lado de la secante. Conjugados externos: Son dos ángulos externos que están del mismo lado de la secante. 8

9 Triángulo Es la unión de los segmentos determinados por tres puntos no colineales entre sí. Algunos de sus elementos son: Vértices Lados Ángulos internos Ángulos externos IMPORTANTE: En todo triángulo se cumple que: 1. El lado mayor es opuesto al ángulo interno mayor y viceversa. 2. El lado menor es opuesto al ángulo interno menor y viceversa. 3. Lados de igual medida son opuestos a ángulos de igual medida. 4. El perímetro es la suma de las medidas de los lados. 9

10 Desigualdad triangular En todo triángulo la medida de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros lados. Por ejemplo: Si las medidas de un triángulo son 5, 7, 9, entonces: 5 < < < Suma de los ángulos internos de un triángulo Teorema: La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180. Suma de los ángulos externos de un triángulo Teorema: La suma de las medidas de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360. Clasificación de los triángulos según la medida de sus lados Equilátero: Todos sus lados son congruentes. Isósceles: Dos de sus lados son congruentes. Escaleno: Sus tres lados no son congruentes entre sí, o sea, sus tres lados miden diferente. Clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos internos Acutángulo: Sus tres ángulos internos son agudos. Rectángulo: Uno de sus tres ángulos internos es recto. El ángulo recto se denota con un cuadrado. En un triángulo rectángulo los lados reciben nombres especiales: Catetos e hipotenusa. Los catetos son los que determinan el ángulo recto. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, une los catetos. 10

11 Obtusángulo: Uno de sus tres ángulos internos es obtuso. Equiángulo: Sus tres ángulos internos son congruentes. El triángulo equilátero es al mismo tiempo equiángulo. Algunas propiedades de los triángulos 1. En todo triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes a él. 11