Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden Tema 3 Aplicaciones de E. D. de primer orden Ejercicios resueltos

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1 Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden Tema Aplicaciones de E. D. de primer orden Ejercicios resuelos IV.-1 Una solución de salmuera de sal fluye a razón consane de 6L/min. hacia el inerior de un depósio que inicialmene coniene 5L de solución de salmuera en la cual se disolvieron 5kg de sal. La solución conenida en el depósio se maniene bien agiada y fluye hacia el exerior con la misma rapidez. Si la concenración de sal en la salmuera que enra en el depósio es de.5kg/l, deerminar la canidad de sal presene en el depósio al cabo de minuos. Cuándo alcanzará la concenración de sal en el depósio el valor de.kg/l? x () = Kg. de sal denro del depósio en el insane x = 6*.5-6 ü 5 x ( ) = 5 6L/min.5kg/L 5L x() = 5kg 6L/min 75 - x 1 = = - ln 75 - x = + C x 5 5 ln 75 - x =- + C 75 - x = Ce x() = 5 + Ce x( ) = 5 5 = 5+ C C =- x() = 5- e - 5 Así, la concenración será igual a: x 1 C() = = - e () ln. =.5 -.4e -. =-.4e.5 = e = Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 1

2 IV.- Una solución de salmuera de sal fluye a razón consane de 4L/min. hacia el inerior de un depósio que inicialmene coniene 1L de agua. La solución conenida en el depósio se maniene bien agiada y fluye hacia el exerior a razón de L/min. Si la concenración de sal en la salmuera que enra en el depósio es de.kg/l, deerminar la canidad de sal presene en el depósio al cabo de minuos. En qué momeno la concenración de sal conenida en el depósio será de.1kg/l? x () = Kg. de sal denro del depósio en el insane x = 4*.- ü 1 + x ( ) = 4L/min.kg/L 1L x() = kg L/min ò 1+ + x =.8 m () = e = ( 1 + ) 1 + ( ) ( 1 + ) x() =.8ò ( 1 + ) + C =.8 + C 4 C x() =.( 1 + ) + ( 1 + ) C x( ) = = + C =- * 1 =- * *1 x() *1 x() =.( 1 + ) - C() = =. - ( 1 + ) 1 + ( 1 + ) *1 * = * ( 1 + ) = ( 1 + ) + = = - ( ) ( ) Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos

3 IV.- Un gran depósio esá lleno con 5 liros de agua pura. Una salmuera que coniene gramos de sal por liro se bombea al inerior a razón de 5L/min.; la solución adecuadamene mezclada se bombea hacia fuera con la misma rapidez. Hallar el número de gramos de sal que hay en el depósio en un insane cualquiera. Resolver ese mismo problema suponiendo que la solución se exrae con una rapidez de 1L/min., y calcular cuáno iempo pasará para que se vacíe el depósio. x () = gramos de sal en el inerior en el insane x = 5*-5 ü 5 x ( ) = 5L/min g/l 5L x() = 5L/min 1. - = x = ln 1. - x =- + C x x() = Ce x() = 1. + Ce x( ) = = 1. + C C =-1. x() = e - 1 En el oro caso: x = 5*-1 ü 5-5 x ( ) = 5L/min g/l 5L x() = 1L/min x 1 1 ò 1 e ( 1 - ) x = 1 ( 1 - ) + C = + C 1 - x() = 1( 1 - ) + C( 1 - ) x( ) = = C C =-.1 x() = 1( 1 -) -.1( 1 - ) Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos

4 Para que se vacíe el depósio: V() = 5 5 =, eso es, = 1 minuos. IV.-4 Una alberca cuyo volumen es de 1.L coniene agua con el.1% de cloro. Empezando en =, desde la ciudad se bombea agua que coniene.1% de cloro, hacia el inerior de la alberca a razón de 5L/min., y el agua de la alberca fluye hacia el exerior a la misma velocidad. Cuál es el porcenaje de cloro en la alberca al cabo de 1 hora? Cuándo endrá el agua de la alberca.% de cloro? x () = liros de cloro denro de la alberca en el insane - 1 x ü = 5* x ( ) = * = 5L/min 1.L.1%.1% 5L/min 5-5x 1 = = - ln 5-5 x = + C x ln 5-5x =- + C 5-5x = Ce x() =.1 + Ce x( ) = 1 1 =.1 + C C =.9 x() =.1 +.9e -. Al cabo de una hora se iene: x ( 6) = % El.% de cloro es igual a. liros, que se alcanzará cuando: =.1 +.9e e = 9 =. ln 9 = 4.94, 45 minuos = 7,4 horas Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 4

5 IV.-5 El aire del inerior de un pequeño cuaro con dimensiones de 1 por 8 por 8 meros coniene % de monóxido de carbono. Empezando en =, se sopla aire fresco que no coniene monóxido de carbono, hacia el inerior del cuaro a razón de 1m/min. Si el aire del cuaro sale al exerior a ravés de una aberura a la misma velocidad, cuándo endrá el aire del inerior del cuaro.1% de monóxido de carbono? x () = m de monóxido de carbono en el insane V = 1x8x8=768m 1m /min. 768m x =-1 ü 768 x ( ) = * 768, 4 1 = % 1m /min. x 1 5 =- ln x =- + C x () = Ce x( ) =, 4 C =, 4 x() =, 4e Calculamos el.1%: x() =768*1-4. Así pues, el iempo ranscurrido será: , 768 =, 4e e = = 4, 85 minuos IV.-6 La corriene sanguínea lleva un medicameno hacia el inerior de un órgano a razón de cm /seg., y sale de él a la misma velocidad. El órgano iene un volumen líquido de 15 cm. Si la concenración del medicameno en la sangre que enra en el órgano es de. gr./cm, cuál es la concenración del medicameno en el órgano en el insane si inicialmene no había vesigio alguno del medicameno? Cuándo la concenración del medicameno en el órgano será de.1 gr./cm? x () = gramos de medicameno en el insane x =,- ü 15 x ( ) = Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 5

6 75 1, 6 x - = - = x = - ln 75 - x = + C x ln 75 - x =- + C 75 - x = Ce x() = 5 + Ce x( ) = = 5+ C C =-5 x() = 5-5e - 15 x() x() x() C() =,1 C() = =,1 = x() = 1,5 = 5-5e V () , , ,5 = 5e - = ln =- ln = 8,8811 segundos IV.-7 Se sabe que un ciero maerial radioacivo se desinegra proporcionalmene a la canidad presene. Si inicialmene hay 5 miligramos de maerial presene y después de dos horas se observa que el maerial ha perdido el 1% de su masa original, hallar: a) una expresión para la masa de maerial presene en un momeno b) la masa después de cuaro horas c) el iempo para el cual el maerial se ha desinegrado en la miad de su masa inicial. a) x () = miligramos de maerial en el insane =-kx () ü =- k ln( x () ) =- k + C x () = Ce x ( ) = 5 x() -k x ( ) = 5ü 5 = C ü -k e k ln k,568 -k = - = = x () = = Ce 5 x( ) = 5e -,568,568 4 b) x( 4) = 5e - = 4,5 miligramos -,568 -,568 c) x() = 5 5 = 5e e =, 5 = 1,1576 horas. Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 6

7 IV.-8 Se sabe que la población de ciero país aumena de una forma proporcional al número de habianes acuales. Si después de dos años la población se ha duplicado y después de res años la población es de. habianes, hallar el número de habianes que había inicialmene en el país. x () = población en el insane = kx () ü = k ln( x () ) = k + C x () = Ce x( ) = x x() k x( ) = x ü x C ü = k k x() = x x = Ce = e k = ln k =,46574 k x () =.. = Ce. = xe x = 7.71, 6» 7.71 habianes,46574 IV.-9 Un camarero inroduce en un vaso de "cuba-libre" un cubio de hielo de cms de lado. Al cabo de un minuo su lado es de,5 cms. Suponiendo que se deshace a un rimo proporcional al área de su superficie (consane = K), cuáno ardará en deshacerse el cubo de hielo? A () = área de superficie en el insane V () = volumen en el insane l () = lado en el insane () () dv ü dv dl () () V () ( l() ) ( l() ü ) = ka = = () () l ( ) da dl = A() 6( l() ) 1( l() ) = = dl () dl () ( l () ) = k6( l () ) = k dl () = k l () = k + C l( ) = ü = C ü, 5 = k + k =-,5 l() =-, 5 + l () 1 =,5, 5 = k + C Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 7

8 l() = =-,5 + = 6 minuos IV.-1 En una exploación ganadera de 1. cabezas de ganado se deeca un animal conagiado de un virus. Se supone que la rapidez con la que el virus se propaga es proporcional al produco del nº de animales conagiados y el iempo ranscurrido. Hallar el momeno en el cual odos los animales han sido conagiados si se observa que después de 4 días hay 1 anímales con el virus. x() = número de animales conagiados en el insane x() = 1 x(4) = 1 () = k x () = k k x ò = x ò ln x = k + C x = Ce ( ) () k x ( ) = 1 ü 1 = C ü 8k 1 1 e k ln1,878 8k = =» x() = e x ( 4) = 1 1 = Ce 8,1491 x() = = e,1491 = ln( 1.) ln( 1.) =» 48 = 6, 98» 7 días.,1491,1491 IV.-11 En una población de 5. habianes, diez de ellos ienen una enfermedad conagiosa. La velocidad a que se propaga la enfermedad es proporcional al produco de personas conagiadas por las no conagiadas odavía, con una consane de proporcionalidad,. Escribe y resuelve la ecuación diferencial correspondiene. (Modelo de Verhuls o ecuación logísica) P() = población en el insane P() = 1 dp() ü =, P ( ) ( 5 - P() ) P ( ) = 1 Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 8

9 dp() 1, lnp ln ( 5. P), C P( 5. - P ) = = + ( ) 1 P 5. e ln = 5., + C P () = P e + C e P( ) = 1 1 = 1 + C = 5 C = 499 P() = C e IV.-1 Al sacar un pasel del horno, su emperaura es de grados F. Tres minuos después, su emperaura es de grados F. Cuáno iempo ardará en enfriarse hasa una emperaura ambiene de 7 grados F? T() = emperaura en el insane T() = T() = dt () dt () = km [ ()- T ()] = k[ 7 -T ()] = k 7 -T () k -ln( 7 - T() ) = k + C 7 - T() = Ce T() = 7 + Ce - -k T ( ) = ü = 7 + C ü -4k C 1 e k,1466-4k = = = T ( 4) = = 7 + Ce T() = 7 + e -,1466 -,1466 -,1466 T() = 7 7 = 7 + e e =, cuando ienda a infinio. IV.-1 Un cuerpo a una emperaura de 5º F se coloca al aire libre donde la emperaura es de 1º F. Si después de 5 minuos la emperaura del cuerpo es de 6º F, enconrar: a) iempo que ardará en ener la emperaura de 75º F b) la emperaura después de minuos. T() = emperaura en el insane Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 9

10 T() = 5 T(5) = 6 dt () dt () = km [ ()- T ()] = k[ 1 -T ()] = k 1 -T () k -ln( 1 - T() ) = k + C 1 - T() = Ce T() = 1 + Ce - -k T ( ) = 5 ü 5 = 1 + C ü -5k C 5 4 5e k, k =- - =- = T () 5 = 6 6 = 1 + Ce T( ) = 1-5e -, , ,44687 T() = = 1-5e 5e = 5 = 15,514 minuos.,44687* T( ) = 1-5e - = 79, 5 IV.-14 Siendo la emperaura del aire de ºC, se enfría una susancia desde 1ºC hasa 6º C, en 1 minuos. Halla la emperaura después de 4 minuos. T() = emperaura en el insane T() = 1 T(1) = 6 dt () dt () = km [ ()- T ()] = k[ -T ()] = k -T () k -ln( - T() ) = k + C - T() = Ce T() = + Ce - -k T ( ) = 1 ü 1 = + C ü -1k C 8 4 8e k, k = = = T ( 1) = 6 6 = + Ce T() = + 8e -,69147,69147*4 T( 4) = + 8e - = 5 Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 1

11 IV.-15 Un cuerpo a una emperaura desconocida se pone en un refrigerador a una emperaura consane de º F. Si después de minuos la emperaura del cuerpo es 4º F., y después de 4 minuos la emperaura del cuerpo es de º F, hallar la emperaura inicial de ése. T() = emperaura en el insane T() = T T() = 4 T(4) = dt () dt () = km [ ()- T ()] = k[ -T ()] = k -T () - ln( T() ) = k + C T() = Ce -k T( ) = T ü T C ü = -k k T( ) = 4 4 = Ce = e k =, k T ( 4) = = Ce C = e = T = k IV.-16 Un cuerpo de masa 7 Kg. se suela a una alura de,5. Asumiendo que no hay resisencia del aire hallar: a) una expresión para la velocidad del cuerpo en un momeno b) una expresión para la posición del cuerpo en un momeno c) el iempo requerido por el cuerpo para llegar al suelo. dv m = mg ü dv v( ) = = 9, 81 v () = 9, 81 + C = C v () = 9, 81 v ( ) = x( ) = x() = ò 9, 81 = 9, 81 + C = 4,95 + C = C x() = 4,95 x() =, 5, 5 = 4, 95 = 6,1814 =, 496 Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 11

12 IV.-17 Un cuerpo de masa m se lanza vericalmene en el aire a una velocidad inicial de v. El cuerpo no encuenra resisencia del aire. Hallar: a) La ecuación del movimieno. b) Una expresión para la velocidad del cuerpo en un momeno. c) El momeno m en el cual llega el cuerpo a su alura máxima. d) Una expresión para la posición del cuerpo en un momeno. e) La alura máxima alcanzada por el cuerpo. dv m =-mg ü dv =- 9, 81 v () =- 9, 81 + C v( ) = v v( ) = v v = C v() =- 9,81 + v v v () = =- 9,81+ v m = 9, 81 ò x() = (- 9, 81 + v ) =- 4,95 + v + C x( ) = = C x() =- 4, 95 + v æ v ö æ v ö v (- 4,95 + 9, 81) 4,95 x( m ) x =- 4,95 + v = v = v ç è9, 81 ø çè9, 81 ø 9, 81 ( 9, 81) ( 9, 81) IV.-18 Un objeo de 4 N de peso se deja caer por su propio peso desde una alura de 1. meros. En su rayecoria encuenra una fuerza de rozamieno producida por el vieno proporcional a la velocidad que lleva en cada insane, con consane de proporcionalidad igual a.5. Enconrar las ecuaciones de la velocidad y la posición para cualquier insane. Cuáno iempo ranscurre hasa que alcanza una velocidad de 7 m/seg? A qué alura se encuenra del suelo en ese insane? (Considerar la aceleración de la gravedad como g = 9,81 m/seg) dv m = mg -, 5v ü 4 dv dv = 4 -, 5v =, 455 v ( ) = 9, , 5v Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 1

13 1 - ln 4 -, 5 v =, C ln 4 -, 5 v =-,165 + C, 5 v( ) = -,165 -, , 5v = C e v() = 8 + C e = 8 + C C =- 8 v () = 8-8 e - ò,165 -,165 -,165 x = 8-8 e = , 96 e + C () ( ) x( ) = = 65, 96 + C C =- 65, 96,165 x() = , 96 e , 96 -,165 -,165 v () = 7 7 = 8-8 e 8 e = 7 = 19, 8664 segundos. x ( 19, 8664) = 994, , 1» 6 meros del suelo. IV.-19 Un objeo con masa de 1 Kg., inicialmene en reposo, se deja caer al agua desde un barco, y se sumerge. Mienras la gravedad arae al objeo hacia abajo, una fuerza de boyanza igual a 1/4 del peso del objeo lo empuja hacia arriba (peso = mg). Si se supone que la resisencia del agua ejerce una fuerza sobre el objeo que es proporcional a la velocidad del propio objeo, con consane de proporcionalidad igual a 1 Kg./seg., enconrar la ecuación del movimieno del objeo. Cuános segundos ranscurrirán para que la velocidad del objeo sea de 7 m/seg.? dv 1 m = mg - mg -1v ü dv dv 4 1 = 981-4, 55-1v = 9, ,1v v ( ) = dv 1 ln 9,56475,1v C 9, ,1v = - - = + ln 9, ,1v =-,1 + C 9, ,1v = Ce v() = 95, C e -,1 -,1 v( ) = = 95, C C =- 95, 6475 Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 1

14 v () = 95, , 6475 e -,1 -,1 -,1 v () = 7 7 = 95, , 6475 e 95, 6475 e = 5, ,1 e =,6815 -,1 = ln(,6815) =-1, 16 = 1,16 segundos IV.- Un vino blanco a emperaura ambiene de 7º F se refrigera en hielo (º F). Si ranscurren 15 minuos para que el vino se enfríe a 6º F, cuáno iempo ranscurrirá para que el vino alcance la emperaura de 56º F? T() = emperaura en el insane T() = 7 T(15) = 6 dt () dt () = km [ ()- T ()] = k[ -T ()] = k -T () k -ln( - T() ) = k + C - T() = Ce T() = + Ce T ( ) = 7 ü 7 = + C ü C 8 15k = T ( 15) = 6 6 = + Ce - 8 = + e = e k = 8-15k -15k 6 8, k T() = + 8e -, T() = = + 8e e = =,5717 minuos. 8,588,588 4 Maemáicas. Primer curso del Grado de CTA Bloque IV. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Tema. Aplicaciones Ejercicios resuelos 14