Resolución numérica de problemas de valor inicial (versión preliminar)

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Resolución numérica de problemas de valor inicial (versión preliminar)"

Transcripción

1 (versió prelimiar) Cocepos iiciales.- Sea la ecuació diferecial de primer orde co las codició iicial x = f(,x) x( 0 ) = x 0 Para resolverla uméricamee será ecesario previamee comprobar si hay solució y si ésa es úica. Para ello es coveiee recordar el eorema de exisecia y uicidad que garaiza solució del problema de valor iicial de ua ecuació diferecial ordiaria de primer orde. Como se sabe, hay disios euciados e los que se defie las codicioes suficiees para la exisecia de solució úica. E ellos se va debiliado las codicioes impuesas a la fució f(,x). A modo de recordaorio, el eorema de Picard esablece, por ejemplo, que, si las fucioes f y f/ so coiuas e u recágulo cerrado D del plao x, co lados paralelos a los ejes, y el puo ( 0, x 0 ) es u puo ierior de D, eoces exise u úmero real H > 0 co la propiedad de que el problema de valor iicial x = f(,x), co x( 0 ) = x 0, iee ua solució úica e el iervalo 0 H. Si se debilia la codició de que la derivada parcial de f respeco de x sea coiua e el recágulo y se exige que se saisfaga la desigualdad, coocida co el ombre de codició de Lipschiz e la variable x: f(,x ) - f(,x ) K x x e los puos del recio D, se cosigue ua versió más fuere del eorema, que recibe el ombre de eorema de Picard-Lidelöff. Su euciado es: si f(,x) es coiua e y e x e el recágulo cerrado D defiido por 0 a; x x 0 b y exise ua cosae K (cosae de Lipschiz), idepediee de, de x y de x, al que si (,x ) y (,x ) so puos ieriores del domiio D se verifica que f(,x ) - f(,x ) K x x (codició de Lipschiz) eoces la ecuació diferecial iee solució úica x() defiida e u eoro del puo 0 ( 0 H) al que x( 0 ) = x 0, siedo H = Mi (a, b/m), dode M es la coa superior e D de la fució f(,x) es decir f(,x) < M, (,x) D. Ese valor de H defie el eoro del puo 0 e el que exise solució úica del problema de valor iicial. Es ua caidad que o se puede sobrepasar al aplicar u méodo umérico, so pea de obeer resulados que o ega igú seido. Méodos basados e el desarrollo e serie de Taylor.- Esos méodos se cooce co el íulo de méodos de u solo paso, ya que, para obeer el valor de la fució buscada e el puo = k, se basa exclusivamee e el obeido e = k-. El fudameo de ese méodo es basae secillo. Como se sabe, el desarrollo e serie de ua fució e u puo respode a la siguiee expresió: x( + h) = x() + x' () h + x"() h + x(iii) () h3 + x(iv) () h4 0(h5 )!! 3! 4! + Repárese que el valor de x () es f(,x) y las siguiees derivadas se puede obeer de u modo sisemáico a parir de ésa, supoiedo la coiuidad e las derivadas parciales de la fució f respeco a ambos argumeos. Es decir, 004 Tecu (Uiversidad de Navarra)

2 x"() f(,x) f(,x) = + f(,x) iii f(,x) f(,x) f(,x) x () = + f(,x) + f (,x) + f(, x) f(,x) f(,x) + f(,x) dode se aprecia que cuado se va icremeado el orde de derivació se va aumeado la complejidad de cálculos, haciedo ese sisema absoluamee edioso, a o ser que se dispoga de u sofware algebraico que permia realizar de modo auomáico esas derivadas, cosa o habiual cuado se quiere resolver uméricamee ecuacioes difereciales. El érmio del reso e la serie de Taylor iee la forma: R h x ( ) = + + ( + θ h) 0 < θ < ( + )! Si embargo, es coveiee fijar la aeció e el símbolo uilizado 0(h 5 ) co el que se ha cocluido el desarrollo. Esa expresió se lee diciedo que el reso del desarrollo e serie -es decir, los érmios que o se escribe- es del orde de h 5. Si se deomia al reso R, ese símbolo sigifica que exise u úmero real posiivo K al que R h 5 < K cuado h 0 Noa: Para ua explicació más complea de ese símbolo se remie a los libros Asympoic mehods i aalysis de N.G. de Bruij (Dover Publicaios Ic., 98) o Advaced Mahemaical Mehods wih Maple de D. Richards (Cambridge Uiversiy Press, 00) A) Volviedo al méodo umérico apeas delieado, se presea el méodo de Euler que se basa e omar sólo dos érmios del desarrollo e serie. o lo que es lo mismo x' ( ) x( ) x( h) x( ) k h 0(h k + = k + = k + + )! llamado x = x( ), resula x( ) x( ) f(, x( )) h 0(h k + = k + k k + ) siedo el algorimo umérico de la forma: x x f(, x ) h 0(h k + = k + k k + ) xk + = xk + f(k,xk ) h Así, pues se pare de los valores iiciales ( 0, x 0 ) y se obiee = 0 + h x = x0 + f(0,x0 ) h siedo h ua ciera caidad pequeña que se cooce co el ombre de paso y que sirve para deermiar, como se ha viso, el valor e el puo siguiee (, x ). El puo (, x ) se deermia de modo aálogo: y asi sucesivamee = + h x = x + f(, x) h k + = k + h xk + = xk + f(k,xk ) h siempre eiedo e cuea que debe ser k 0 H, siedo H el límie superior defiido e el eorema de exisecia y uicidad. 004 Tecu (Uiversidad de Navarra)

3 Ejemplo: Se puede ver gráficamee qué es lo que hace el méodo de Euler, e el problema x = si(x) +, co x(0) = 0, haciedo h = 0. y cosiderado res pasos ada más.. Qué se puede decir de los errores comeidos e la solució que se esá obeiedo? Tégase e cuea que se ha rucado la serie de Taylor, suprimiedo érmios a parir del h. Eso idica que va a haber ua iexaciud e el valor obeido debida a ese rucamieo. A ese error se le llama error de rucamieo (rucaio error). Es obvio darse cuea de que los úicos daos exacos de los que se pare eóricamee so las codicioes iiciales ( 0, x 0 ). Eso quiere decir que ya se obiee u valor o exaco e x. Como ese valor se uiliza para la obeció del siguiee x y así sucesivamee, se puede hablar de u error local de rucamieo (local rucaio error) -el que se comeería si fuera exaco el valor de la fució e el puo precedee- y u error global de rucamieo (global rucaio error), que se obiee por acumulació de errores e los puos precedees. Como se puede probar, el error local de rucamieo es del orde de h mieras que el error global es del orde de h. Siguiedo la defiició dada por D. Kicaid y W. Cheey e su libro Aálisis Numérico (Addiso-Wesley Iberoamericaa, 994), el error de rucamieo local es el que aparece e u paso cuado reemplazamos u proceso ifiio por uo fiio. Exise oro error sobre el que eóricamee el programador o iee posibilidad de acuar y es el deomiado error de redodeo (roud-off error). Como es sabido, u ordeador o es capaz de rabajar co las ifiias cifras de u úmero real, por lo que redodea e fució de la precisió que se le solicie, suprimiedo cifras decimales. Eso sigifica que, cuado la máquia opera, siempre da valores iexacos por la precisió limiada del ordeador. Se puede hablar de u error de redodeo local (local roud-off error) y de ua error de redodeo global (global roud-off error), que se obiee por acumulació de los errores de redodeo locales. Como es lógico, el error oal es la suma del error de redodeo global y del error de rucamieo global. Esa eoría expuesa es válida para odos los procedimieos uméricos que se presee e epígrafes poseriores. B) El méodo de Taylor, propiamee dicho, se basa e rucar la serie por u érmio más alo del desarrollo, así se habla de méodo de Taylor de segudo orde si el reso es del orde 004 Tecu (Uiversidad de Navarra) 3

4 de h 3 y, e geeral de orde N si el reso es de orde h N+. La dificulad prácica, que eraña ese méodo, es el cálculo de las derivadas que cosiuye ua labor basae ediosa. Cocepualmee o iee dificulad algua. La uilizació de Maple puede ayudar a la obeció de las derivadas parciales de la fució f(,x). E el programa aexo se presea el méodo de Taylor de orde R > resar: > f:=(,x)->*si(x)+; Orde máximo de derivació e el desarrollo de Taylor > R:=3; > xder[0]:=(,x)->f(,x); > for k from o R do xder[k]:=uapply(diff(xder[k- ](,x),)+diff(xder[k-](,x),x)*f(,x),,x) ed do: Número de pasos > N:=3; > h:=0.; Codició iicial > x[0]:=0;[0]:=0; > for k from o N do [k]:=[k-]+h ed do: > xr[0]:=x[0]; Fórmula de Taylor > for k from o N do xr[k]:=xr[k-]+h*xder[0]([k-],xr[k-])+ add(h^s*xder[s]([k-],xr[k-])/(s+)!,s=..r) ed do; El ejemplo calculado aeriormee co el méodo de Euler co el mismo úmero de pasos coduce a la siguiee gráfica: Como la solució exaca es x() = arca 4 se puede mosrar los resulados e la abla 004 Tecu (Uiversidad de Navarra) 4

5 Euler Taylor orde 4 Solució exaca Méodo de Ruge Kua. - Salvo que se dispoga de u sofware simbólico para realizar la derivació de la fució f(,x) aas cuaas veces sea precisas para aplicar la fórmula de Taylor, se ha buscado oros méodos que elude, siedo de ua sola eapa, el cálculo edioso de las derivadas a mao. Al desarrollar e serie de Taylor ua fució e oro a u puo, la fórmula uilizada es: x( + h) = x() + x' () h + x"() h + x(iii) () h3 + x(iv) () h4 0(h5 )!! 3! 4! + dode sabemos que x"() x () = f(,x) f(,x) f(,x) = + f(,x) iii f(,x) f(,x) f(,x) x () = + f(,x) + f (,x) + Por ao, cosiderado sólo los res primeros sumados f f 3 x( + h) = x + h f + h + f + 0(h ) f(, x) f(,x) f(,x) + f(,x) siedo evaluados los valores del segudo miembro e x() y e. Repárese,si embargo, que f( + h, x f f + h f) = f + h + f + 0(h ) evaluados ambié los érmios del segudo miembro e x() y e. Co esa expresió se puede reescribir el valor e x(+h) del siguiee modo: Llamado y Resula que x( + h) = x + h f + h f( + h,x + h f ) + 0(h 3 ) F = h f(,x) F =h f( + h,x + F ) x( + h) = x() + (F + F )/ Ese procedimieo se deomia méodo de Ruge Kua de segudo orde o méodo de Heu. Las fórmulas de Ruge Kua de segudo orde adopa la forma x( + h) = x + w h f(,x) + w h f( + α h,x + β h f(,x)) 004 Tecu (Uiversidad de Navarra) 5

6 desarrollado e serie de Taylor el facor del ercer érmio del segudo miembro y comparado el resulado co el desarrollo e serie de Taylor de x(+h), resula que w + w = w α = ½ w β = ½ co lo que, fijado uo de los cuaro valores w, w, α y β, puede ser calculados los demás, verificado las expresioes precedees. Por ese moivo o hay ua sola expresió para el méodo de Ruge Kua de segudo orde; sio que se puede hablar de ua familia de méodos de Ruge Kua de segudo orde. El programa e Maple para la resolució de u problema de valor iicial edría esa forma: > resar: > f:=(,x)-> *si(x)+; Codicioes iiciales > _0:=0.; > x_0:=0.; Número de pasos > N:=3; > h:=0.; Defiició de la familia de méodo Ruge Kua de segudo orde > w_:= 0.5; #valor omado > w_:=.-w_; alpha:=/(*w_); bea:=/(*w_); > :=vecor(n+,[seq(_0+r*h,r=0..n)]): > x[]:=x_0: > for from o N do x[+]:= x[]+w_*h*f([],x[])+w_*h*f([]+alpha*h,x[]+bea*h*f([],x[])) ed do: Ejemplo.- Volviedo al problema aeriormee preseado, se puede ver la gráfica obeida y los valores correspodiees, comparados co los obeidos por los oros méodos 004 Tecu (Uiversidad de Navarra) 6

7 Euler Taylor orde 4 Heu Solució exaca Véase la buea aproximació obeida co u escasísimo cose compuacioal y si ecesidad de calcular derivada algua. Por idéico procedimieo, se puede calcular las familias de méodos de Ruge-Kua de orde superior. A coiuació se escribe si demosració, que se deja para el lecor, ua de las posibles fórmulas del méodo de Ruge Kua de cuaro orde: dode x( +h) = x() + (F + F + F 3 + F 4 )/6 F = h f(,x) F = h f( + h/,x + F /) F 3 = h f( + h/,x + F /) F 4 = h f( + h,x + F 3 ) De uevo se puede plaear el orde del error comeido por el méodo de Ruge Kua. Obviamee, sólo se va a comear el error de rucamieo. E el méodo de Ruge Kua de cuaro orde, el error local de rucamieo es del orde de h 5, ya que e el méodo de Taylor, al que se ideifica, se llega hasa el érmio e h 4. Por ao el error será de la forma K h 5, siedo K ua cosae que es idepediee de h y que depede del valor de e el puo e el que se esé deermiado. Méodos implícios. - Hasa el momeo e los méodos descrios se deermiaba el valor de la fució e el puo x() e base al valor e el puo aerior de direcamee y mediae ua fórmula explícia, es decir, se calcula x() simplemee por aplicació de la fórmula si eer que realizar igú cálculo más. Por ese moivo se deomia ambié méodos explícios. Los méodos que ahora se presea se deomia implícios porque plaea u sisema de ecuacioes de los que hay que exraer el valor de la fució. E cocreo, cosidérese el problema hasa ahora esudiado. Es claro que x ( + ) x( ) = + f(, x) d Si se supoe que, por algú procedimieo, se ha obeido el valor de la iegral, se llegaría a la siguiee ecuació: siedo ( ), x( ),, ) x (+ ) x( ) = G x( + + G + ( x(+ ),x( ), +, ) = f(,x) d el cálculo de x( + ) exigiría la resolució de esa ecuació dode implíciamee, y o explíciamee, esá la icógia que se quiere obeer. 004 Tecu (Uiversidad de Navarra) 7

8 A) Méodo de Adams Bashforh.- Cosidérese que, por algú oro méodo, se ha obeido el valor de la fució x() e los k puos, -,..., (k ) y (k ). Sea cual fuere la expresió exaca de f(,x), se va a supoer que la fució f(,x) es u poliomio de grado k - e que pasa por los puos ( r, f( r,x( r )) co r = (k ), (k ),...,. Para simplificar la preseació, y si perder geeralidad, se va a cosiderar que k = 5. Para cosruir el poliomio e de grado 4, que represee a la fució f(,x), se va a hacer uso de los poliomios de Lagrage, Noa.- Supógase que se desea que u poliomio de grado 4 pase por los puos (a,α), (b,β), (g,γ), (d,δ) y (e, ε). Para ello se geera cico poliomios de la siguiee forma: de modo que el poliomio buscado es: ( b) ( g) ( d) ( e) l () = (a b) (a g) (a d) (a e) ( a) ( g) ( d) ( e) l () = (b a) (b g) (b d) (b e) ( a) ( b) ( d) ( e) l 3() = (g a) (g b) (g d) (g e) ( a) ( b) ( g) ( e) l 4 () = (d a) (d b) (d g) (d e) ( a) ( b) ( g) ( d) l 5() = (e a) (e b) (e g) (e d) P () = α l() + β l () + γ l 3() + δ l 4 () + ε l 5 () La fórmula de Adams Bashforh iee la forma: dode x + = x + h (A x + B x - + C x - + D x -3 + E x -4 ) x + = x + + f(, x) d y los coeficiees A, B, C, D y E se deermia haciedo que la iegral fuera exaca, si f(,x()) fuera u poliomio de grado cuaro, o meor grado. El poliomio se deermia por los valores f, f -, f -, f -3 y f -4, correspodiees a los puos, -, -, -3 y -4, respecivamee. Si la disacia ere las abscisas es h, se puede hacer u cambio de orige y escala, de modo que [, + ] se coviera e el iervalo [0,], es decir u = h Así: u + =, u = 0, u + =, u - = -, u - = -, u -3 = -3 y u -4 = -4 El poliomio de grado 4 se puede cosruir defiiedo los poliomios de Lagrage y a coiuació iegrado: > resar: > L[0]:=u-> (u+)*(u+)*(u+3)*(u+4)/4: > L[]:=u-> -u*(u+)*(u+3)*(u+4)/6: > L[]:=u-> u*(u+)*(u+3)*(u+4)/4: > L[3]:=u-> -u*(u+)*(u+)*(u+4)/6: > L[4]:=u-> u*(u+)*(u+)*(u+3)/4: > I(f[]*L[0](u)+f[-]*L[](u)+f[-]*L[](u)+f[-3]*L[3](u)+f[- 4]*L[4](u),u=0..)=i(f[]*L[0](u)+f[-]*L[](u)+f[-]*L[](u)+f[- 3]*L[3](u)+f[-4]*L[4](u),u=0..); Teiedo e cuea que la relació ere d y du es h, se puede llegar a la fórmula de Adams Bashforh: 004 Tecu (Uiversidad de Navarra) 8

9 90 f 774 f 66 f 74 f 5 f x x h = + 70 Es obvio que los cico primeros érmios f, f, f 3, f 4, f 5 habrá que deermiarlos por oro méodo, bie uo derivado de Taylor o Ruge Kua. A ese méodo se le deomia ambié méodo mulieapa, pues se deermia el valor de la fució e u puo haciedo uso de los valores e puos precedees. B) Méodo de Adams Moulo.- La idea es la misma que e el caso aerior, pero el poliomio se expresa e fució de los valores de la fució f(,x) e los puo +,, -, - y -3, de los que obviamee se descooce el valor de x +. El modo de operar es exacamee igual que aes. Se cosruye los poliomios de Lagrage -realizado el mismo cambio de variable- > L[0]:=u->u*(u+)*(u+)*(u+3)/(**3*4); > L[]:=u->(u-)*(u+)*(u+)*(u+3)/(-***3); > L[]:=u->(u-)*u*(u+)*(u+3)/(-*(-)**); > L[3]:=u->(u-)*u*(u+)*(u+3)/(-3*(-)*(-)*); > L[4]:=u->(u-)*u*(u+)*(u+)/(4*3**) Co la correspodiee iegral: > i(f[+]*l[0](u)+f[]*l[](u)+f[-]*l[](u)+f[-]*l[3](u)+f[- 3]*L[4](u), u=0..); Dode se llega a 5 f 646 f 64 f 06 f 9 f x x h = + 70 Esa es la fórmula de Adams Moulo de orde cico. De aquí se debería despejar x + para deermiarlo. E ese caso se ve más claramee que e el aerior que se esá ae u méodo implício. Es basae usual deermiar x + uilizado el méodo de Adams Bashforh (méodo predicor) y corregir el resulado iroduciedo ese valor e el segudo miembro de la fórmula de Adams Moulo (méodo correcor). De esa maera se predice y se corrige el valor mediae esos dos méodos, si ecesidad, e el úlimo caso de resolver la ecuació e muchos casos imposible- para obeer el valor de x +. Resolució de sisema de ecuacioes.- Aes de iiciar ese epígrafe, sería coveiee recordar que ua ecuació de orde superior al primero se puede coverir e u sisema de aas ecuacioes de primer orde como orde de la ecuació iicial. Por cosiguiee, o es preciso hacer u esudio separado de las ecuacioes de orde superior al primero, pues esá eglobadas e el esudio de la resolució umérica de sisemas. Los mismos méodos empleados para la resolució de ecuacioes se uiliza para la resolució de sisemas. A) El méodo de Euler.- > resar: wih(lialg,vecor,marix): Defiició de las fucioes f[i](,[seq(x[k],k=..n)]), de la codició iicial, del paso (h) y del úmero de puos (L): > N:=; #úmero de ecuacioes > L:=0; > f:=vecor(n); x:=vecor(n);x:=marix(n,l+); a:=vecor(n,[.,0.]); > f[]:=(,x)->x[]-x[]-si(); f[]:=(,x)->x[]+x[]+; > alpha:= 0.;for k from o N do X[k,]:=a[k] ed do; > for from o L+ do []:=alpha+(-)*h ed do; > for j from o L do for jk from o N do 004 Tecu (Uiversidad de Navarra) 9

10 X[jk,j+]:=X[jk,j]+h*f[jk]([j],[seq(X[ijk,j],ijk=..N)]) ed do ed do: B) Méodo de Heu > resar: wih(lialg,vecor,marix): Defiició de las fucioes f[i](,[seq(x[k],k=..n)]), de la codició iicial, del paso (h) y del úmero de puos (N): > N:=; #úmero de ecuacioes > L:=00; > f:=vecor(n); x:=vecor(n);x:=marix(n,l+); a:=vecor(n,[.,.]); > f[]:=(,x)->x[]; f[]:=(,x)->x[]; > alpha:= 0.;for k from o N do X[k,]:=a[k] od; > h:=0.0; > for from o L+ do []:=alpha+(-)*h ed do > for from o L do: for jk from o N do: X[jk,+] := simplify(x[jk,]+h*(f[jk]([],[seq(x[ijk,],ijk =.. N)])+f[jk]([+],[seq(X[ijk,]+h*f[ijk]([],[seq(X[ijkl,],ijkl =.. N)]),ijk =.. N)]))/.) ed do ed do: C) Méodo de Ruge Kua de cuaro orde > resar:wih(lialg,vecor,marix): > N:=5; #úmero de ecuacioes > Digis:=4: > x:=vecor(n); > f:=vecor(n); f[]:=(,x)->x[]; f[]:=(,x)->x[3]; f[3]:=(,x)->x[4]; f[4]:=(,x)->x[5]; f[5]:=(,x)->x[]; > alpha:=0; a:=vecor(n,[.,.,.,.,.]); > h:=/400.; L:=400; > for from o L+ do []:=alpha+(-)*h ed do Defiició de los sumados: >XK:=marix(N,L);XK:=marix(N,L);XK3:=marix(N,L);XK4:=marix(N,L);X :=marix(n,l+); > for j from o N do X[j,]:=a[j] od; > for i from o L do for jk from o N do XK[jk,i]:=h*f[jk]([i],[seq(X[jkl,i],jkl=..N)]) ; XK[jk,i]:=h*f[jk]([i]+h/.,[seq(X[jkl,i]+XK[jkl,i]/.,jkl=..N)]) ; XK3[jk,i]:=h*f[jk]([i]+h/.,[seq(X[jkl,i]+XK[jkl,i]/.,jkl=..N)]) ; XK4[jk,i]:=h*f[jk]([i]+h,[seq(X[jkl,i]+XK3[jkl,i],jkl=..N)]) ed do; for jj from o N do X[jj,i+]:=X[jj,i]+(XK[jj,i]+.*XK[jj,i]+.*XK3[jj,i]+XK4[jj,i])/6. ed do ed do; D) Méodo de Adams Bashforh de quio orde > resar:wih(lialg): > N:=5; #úmero de ecuacioes > Digis:=4: > x:=vecor(n); > f:=vecor(n); f[]:=(,x)->x[]; f[]:=(,x)->x[3]; f[3]:=(,x)->x[4]; f[4]:=(,x)->x[5]; 004 Tecu (Uiversidad de Navarra) 0

11 f[5]:=(,x)->x[]; > alpha:=0; a:=vecor(n,[.,.,.,.,.]); > h:=/0.; L:=0; Defiició de los sumados para los valores iiciales, siguiedo el méodo de Ruge Kua: > :=vecor(l+,[seq(alpha+(j-)*h,j=..l+)]): > X:=marix(N,L+);XK:=marix(N,L);XK:=marix(N,L); XK3:=marix(N,L);XK4:=marix(N,L);X:=marix(N,L+); > for j from o N do X[j,]:=a[j] od; > for i from o 4 do for j from o N do XK[j,i]:=h*f[j]([i],[seq(X[jj,i],jj=..N)]) : XK[j,i]:=h*f[j]([i]+h/,[seq(X[jj,i]+XK[jj,i]/.,jj=..N)]) : XK3[j,i]:=h*f[j]([i]+h/,[seq(X[jj,i]+XK[jj,i]/.,jj=..N)]) : XK4[j,i]:=h*f[j]([i]+h,[seq(X[jj,i]+XK3[jj,i],jj=..N)]) : X[j,i+]:=X[j,i]+(XK[j,i]+.*XK[j,i]+.*XK3[j,i]+XK4[j,i])/6. ed do ed do: > for j from 5 o L do for i from o N do X[i,j+]:=X[i,j]+h*(90.*f[i]([j],[seq(X[jj,j],jj=..N)])- 774.*f[i]([j-],[seq(X[jj,j-],jj=..N)])+66.*f[i]([j- ],[seq(x[jj,j-],jj=..n)])-74.*f[i]([j-3],[seq(x[jj,j- 3],jj=..N)])+5.*f[i]([j-4],[seq(X[jj,j-4],jj=..N)]))/70. ed do ed do: Bibliografía. Akiso, K., "A Iroducio o Numerical Aalysis", Joh Wiley ad Sos.. Borse, G.J., "Numerical Mehods wih Malab: A Resource for Scieiss ad Egieers", Edi. Brooks/Cole Publishig Co., Boyce, W.E. ad Diprima, R. C., Elemeary differeial equaios ad boudary value problems, 5 h ediio, Joh Wiley ad Sos Ic., Cohe, A.M., "Aálisis Numérico", Ediorial Reveré,S.A., Forma S., "Numerical Mehods ha work", Mahemaical Associaio of America, Fox, L. (ed), "Numerical Soluio of Ordiary ad Parial Differeial Equaios", Pergamo Press, Oxford, Greeberg, M.D.,"Foudaios of Applied Mahemaics", Preice-Hall Ic., Herici, P, Elemes of umerical aalysis, s ed., Joh Wiley ad Sos, Ic., Hubbard, J.H. ad Wes, B.H., "Differeial Equaios: A Dyamical Sysems Approach. Ordiary Differeial Equaios", Spriger Verlag, Hubbard, J.H. ad Wes, B.H., "Differeial Equaios: A Dyamical Sysems Approach. Higher-dimesioal Sysems", Spriger-Verlag, Kicaid, D. y Cheey, W., Aálisis Numérico, Addiso-Wesley Iberoamericaa, Kreyszig, E., Advaced Egieerig Mahemaics, 7 h ediio, Joh Wiley ad Sos Ic., Mahews, J.H., "Numerical Mehods for Compuer Sciece, Egieerig ad Mahemaics", Preice-Hall Ieraioal, Ic., Novo, S., Obaya, R., y Rojo, J, "Ecuacioes Difereciales y Sisemas Difereciales", McGraw-Hill, Press, W.H., Flaery, B.P., Teukolsky, S.A. ad Veerlig, W.T., "Numerical Recipes i C", Cambridge Uiversiy Press, Tecu (Uiversidad de Navarra)

FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCIONES EXPONENCIALES 1 FUNCIONES EXPONENCIALES Las fucioes epoeciales iee muchas aplicacioes, e especial ellas describe el crecimieo de muchas caidades de la vida real. Defiició.-La fució co domiio odos los reales y defiida

Más detalles

TRANSFORMADA z Y DE FOURIER

TRANSFORMADA z Y DE FOURIER Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales OBJEIVOS: RANSFORMADA Y DE FOURIER - Expoer los cocepos de fucioes discreas e cuao a la visió del proceso de raamieo de señales que pare

Más detalles

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO CAPÍTULO DOS SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO. Iroducció E ese capíulo se iroduce y discue varias propiedades básicas de los sisemas. Dos de ellas, la liealidad y la ivariabilidad e el iempo,

Más detalles

ANÁLISIS DE FOURIER. m(el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función arbitraria f (t) en una serie infinita de la forma

ANÁLISIS DE FOURIER. m(el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función arbitraria f (t) en una serie infinita de la forma CAPÍULO RES ANÁLISIS DE FOURIER IEMPO CONINUO Iroducció La represeació de la señal de erada a u sisema (eediedo como sisema u cojuo de elemeos o bloques fucioales coecados para alcazar u objeivo deseado)

Más detalles

Series de Fourier. 1. Tratamiento Digital de Señal. Series de Fourier

Series de Fourier. 1. Tratamiento Digital de Señal. Series de Fourier Series de Fourier. Traamieo Digial de Señal. Series de Fourier Series de Fourier. Preámbulo El aálisis de Fourier fue iroducido e 8 e la Théorie aalyiique de la chaleur para raar la solució de problemas

Más detalles

2. MATRICES Y DETERMINANTES

2. MATRICES Y DETERMINANTES Marices y Deermiaes 2. MTRICES Y DETERMINNTES SUMRIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRIC 1.- Marices. 2.- Operacioes co Marices. 3.- Equivalecia de Marices. Trasformacioes Elemeales de Marices.

Más detalles

TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1.- INTRODUCCIÓN

TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1.- INTRODUCCIÓN TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1- INTRODUCCIÓN Llamamos capializació compuesa a la ley fiaciera segú la cual los iereses producidos por u capial e cada periodo se agrega al capial para calcular los iereses

Más detalles

TEMA 10. La autofinanciación o financiación interna de la empresa

TEMA 10. La autofinanciación o financiación interna de la empresa Iroducció a las Fiazas TEM La auofiaciació o fiaciació iera de la empresa La fiaciació iera y sus compoees La auofiaciació esá formada por los recursos fiacieros que afluye a la empresa desde ella misma

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO PREPARATORIA AGRÍCOLA ÁREA DE MATEMÁTICAS CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES f : R R ( ) h p AUTOR Vícor Rafael Valdovios Chávez Ooño de AUTOR Vícor Rafael Valdovios

Más detalles

PRONÓSTICOS. Tema Nº 2 FACILITADOR LIC. ESP. MIGUEL OLIVEROS

PRONÓSTICOS. Tema Nº 2 FACILITADOR LIC. ESP. MIGUEL OLIVEROS UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN Y CONTADURÍA PUBLICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ADMINISTRACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Y LAS OPERACIONES

Más detalles

SEÑALES Y SISTEMAS CAPÍTULO UNO. 1.1 Introducción

SEÑALES Y SISTEMAS CAPÍTULO UNO. 1.1 Introducción CAPÍTULO UNO SEÑALES Y SISTEMAS. Iroducció Los cocepos de señales y sisemas surge e ua gra variedad de campos y las ideas y écicas asociadas co esos cocepos juega u papel imporae e áreas a diversas de

Más detalles

CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO. A lo largo de este capítulo se explican los conceptos básicos que se debieron tener y

CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO. A lo largo de este capítulo se explican los conceptos básicos que se debieron tener y Capíulo 3 Marco eórico CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO A lo largo de ese capíulo se explica los cocepos básicos que se debiero eer y cosiderar para la elaboració de la clasificació de maerias primas, los modelos

Más detalles

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 3, 2002

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 3, 2002 REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 3, 22 MATRICES ESCALONADAS Y METODOS PRIMAL DUAL DE PUNTO INTERIOR Alibei Kakes Cruz, Deparameo de Maemáica Aplicada, Faculad de Maemáica y Compuació, Uiversidad

Más detalles

Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES José Maía Maíe Mediao Tema DGONLZCÓN DE MTRCES oducció Poecia de ua mai Sea Supogamos que se desea calcula : 7 7 8 8 Deemia ua egla paa o esula imediao Compobemos, aes de segui adelae, que MDM, siedo M

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

José Morón SEÑALES Y SISTEMAS

José Morón SEÑALES Y SISTEMAS SEÑALES Y SISTEMAS José Moró SEÑALES Y SISTEMAS Uiversidad Rafael Urdaea Auoridades Recorales Dr. Jesús Esparza Bracho, Recor Ig. Maulio Rodríguez, Vicerrecor Académico Ig. Salvador Code, Secreario Lic.

Más detalles

FUNCIONES ACTUARIALES COMO VARIABLES ALEATORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Aranda Martínez Nadia Araceli Castillo García Abril 2010

FUNCIONES ACTUARIALES COMO VARIABLES ALEATORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Aranda Martínez Nadia Araceli Castillo García Abril 2010 FUNCIONES ACUARIALES COMO VARIABLES ALEAORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Arada Maríez Nadia Araceli Casillo García Abril E ese primer documeo se presea el ueo efoque del cálculo acuarial, e dode las

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

Tema 8B El análisis fundamental y la valoración de títulos

Tema 8B El análisis fundamental y la valoración de títulos PARTE III: Decisioes fiacieras y mercado de capiales Tema 8B El aálisis fudameal y la valoració de íulos 8B.1 Iroducció. 8B.2 El aálisis fudameal y la valoració de íulos. 8B.3 Modelos para la valoració

Más detalles

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0

Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0 Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada

Más detalles

NORMA DE CARACTER GENERAL N

NORMA DE CARACTER GENERAL N NORMA DE CARACTER GENERAL N REF.: MODIFICA EL TÍTULO III DEL LIBRO IV, SOBRE VALORIZACIÓN DE LAS INVERSIONES DEL FONDO DE PENSIONES Y DEL ENCAJE, DEL COMPENDIO DE NORMAS DEL SISTEMA DE PENSIONES. Saiago,

Más detalles

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Circuio y Siema Diámico (3º IIND) Tema 2 A TRANSFORMADA DE APACE Curo 23/24 Tema 2: a Traformada de aplace 2. Iroducció: de dóde veimo y a dóde vamo 2.2 Defiició de la raformada de aplace 2.3 Traformada

Más detalles

Análisis de flujos en lámina libre y su interacción con sólidos y estructuras por el método de partículas y elementos finitos (PFEM)

Análisis de flujos en lámina libre y su interacción con sólidos y estructuras por el método de partículas y elementos finitos (PFEM) Aálisis de flujos e lámia libre y su ieracció co sólidos y esrucuras por el méodo de parículas y elemeos fiios (PFEM) E. Oñae B. Suárez F. Salazar R. Morá M.A. Celiguea S. Laorre Publicació CIMNE Nº-365,

Más detalles

Un modelo para el cálculo de la pérdida esperada en una cartera de préstamos hipotecarios

Un modelo para el cálculo de la pérdida esperada en una cartera de préstamos hipotecarios U modelo para el cálculo de la pérdida esperada e ua carera de présamos hipoecarios Jua Bazerque a Jorge ader b BCU F Depo. Esudios BCU F Depo. Esudios Resume E ese rabao se aaliza u aspeco deado de lado

Más detalles

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS APLICANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE A.4. TEORÍA DE CIRCUITOS I CAPÍTUO RESOUCIÓN DE CIRCUITOS APICANDO TRANSFORMADA DE APACE Cáedra de Teoría de Circuio I Edició 03 RESOUCION DE CIRCUITOS APICANDO TRANSFORMADA DE APACE.. Iroducció El cálculo

Más detalles

Valor de Rescate. Elementos Actuariales para su Determinación Por: Pedro Aguilar Beltrán. Octubre de 2008

Valor de Rescate. Elementos Actuariales para su Determinación Por: Pedro Aguilar Beltrán. Octubre de 2008 alor de escae Elemeos Acuariales ara su Deermiació Por: Pedro Aguilar Belrá Ocubre de 28 El alor de rescae es u coceo que se refiere al moo que le oorgará la aseguradora al asegurado o beeficiario, e caso

Más detalles

Página 1 de 34. FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filtro Kalman INTRODUCCION

Página 1 de 34. FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filtro Kalman INTRODUCCION Págia de 34 Uiversidad Nacioal de Cordoba FILTROS ADAPTIVOS LMS RMS Filro Kalma INTRODUCCION El cocepo de filro adapaivo, sugiere el de u disposiivo que iea modelizar la relació ere señales e iempo real

Más detalles

PERÍODO INFORMADO: Enero a Junio 2009 $ 395.182.780 $ 200.000.000

PERÍODO INFORMADO: Enero a Junio 2009 $ 395.182.780 $ 200.000.000 FORMATO No 4 PLANES DE ACCIÓN U OPERATIVOS Promover el uso de la Irae Guberameal. PERÍODO INFORMADO: Eero a Juio 009 NUMERO ÁREAS INVOLUCRADAS ACTIVIDADES RECURSOS RESPONSABLES TIEMPO PROGRAMADO INDICADORES

Más detalles

CAPÍTULO 1 CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.

CAPÍTULO 1 CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. APÍTULO UTOS EN EL DOMNO DE LA FEUENA... SSTEMAS LNEALES NAANTES. roducció. U iema lieal ivariae e repreea uualmee mediae u bloque e el que e muera ao la exciació como la repuea Exciació x ( Siema lieal

Más detalles

Mercado de Capitales. Tema 6. Valoración n de bonos. Gestión n de carteras de renta fija

Mercado de Capitales. Tema 6. Valoración n de bonos. Gestión n de carteras de renta fija Mercado de Capiales Tema 6. Valoració de boos. Gesió de careras de rea fija Liceciaura e Admiisració y Direcció de Empresas Cuaro Curso Liceciaura e Derecho y Admiisració y Direcció de Empresas Sexo Curso

Más detalles

CAPÍTULO I CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

CAPÍTULO I CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA APÍTULO UTOS EN EL DOMNO DE LA FEUENA.. SSTEMAS LNEALES NAANTES roducció U iema lieal ivariae e repreea uualmee mediae u bloque e el que e muera ao la exciació como la repuea Exciació x () Siema lieal

Más detalles

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante,

denomina longitud de paso, que en un principio se considera que es constante, 883 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Métodos uméricos de u paso El objetivo de este capítulo es itroducir los métodos uméricos de resolució

Más detalles

PLANEACIÓN Y CONTROL DE LA PRODUCCIÓN

PLANEACIÓN Y CONTROL DE LA PRODUCCIÓN PLANEACIÓN Y CONTROL E LA PROUCCIÓN GRUPO: 0 M. I. Silvia Herádez García M. I. Susaa Casy Téllez Balleseros TEMARIO: I. Iroducció. II. Programació y corol de la producció. III. Balaceo de líea. IV. Sisemas

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

Diseño y desarrollo de un Software para el análisis y procesamiento de señales de voz

Diseño y desarrollo de un Software para el análisis y procesamiento de señales de voz Diseño y desarrollo de u Sofware para el aálisis y procesamieo de señales de voz. Laforcada *, D. Miloe, C. Maríez,. Rufier Laboraorio de Ciberéica, Deparameo de Bioigeiería, Faculad de Igeiería, Uiversidad

Más detalles

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 24, No. 1, 2003 REVITA IVETIGACIO OPERACIOAL Vol. 4, o., 3 TEORIA DE LA VALORACIO MEDIATE MODELO FIACIERO ETOCATICO, E TIEMPO DICRETO Y E TIEMPO COTIUO Josefia Maríez arbeio, Uiversidade de A Coruña, España Julio García

Más detalles

ANÁLISIS DE LA RENTABILIDAD

ANÁLISIS DE LA RENTABILIDAD ANÁLISIS DE LA RENTABILIDAD DE LOS FONDOS DE PENSIÓN COMISIÓN TÉCNICA DE INVERSIONES DE LA AIOS. INTRODUCCION El documeo cosa del aálisis de cico aspecos écicos referidos al ema de reabilidad: El cálculo

Más detalles

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a)

Fórmula de Taylor. Si f es continua en [a,x] y derivable en (a,x), existe c (a,x) tal que f(x) f(a) f '(c) = f(x) = f(a) + f '(c)(x a) Aproimació de ua fució mediate u poliomio Cuado yf tiee ua epresió complicada y ecesitamos calcular los valores de ésta, se puede aproimar mediate fucioes secillas (poliómicas). El teorema del valor medio

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

Clasificación de señales. Clasificación de señales. Clasificación de señales. Vectores

Clasificación de señales. Clasificación de señales. Clasificación de señales. Vectores Clasificació de señales Señales de Eergía y Señales de Pecia Señal de Eergía: Señal e fra de puls que ralee exise sól durae u ierval fii de iep, al es la ayr pare de su eergía se ecuera ccerada e u ierval

Más detalles

CONVERSORES D/A Y A/D

CONVERSORES D/A Y A/D Uiversidad Nacioal de osario Faculad de iecias Exacas, Igeiería y Agrimesura Escuela de Igeiería Elecróica eparameo de Elecróica ELETÓNIA III ONVESOES /A Y A/ Federico Miyara A / 11010110 00001011 11000110

Más detalles

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida

CADENAS DE MARKOV. Métodos Estadísticos en Ciencias de la Vida CADENAS DE MARKOV Itroducció U proceso o sucesió de evetos que se desarrolla e el tiempo e el cual el resultado e cualquier etapa cotiee algú elemeto que depede del azar se deomia proceso aleatorio o proceso

Más detalles

Para las comparaciones hay que tener en cuenta dos aspectos importantes:

Para las comparaciones hay que tener en cuenta dos aspectos importantes: Esadísica Descriiva: Números Ídices Faculad Ciecias Ecoómicas y Emresariales Dearameo de Ecoomía Alicada Profesor: Saiago de la Fuee Ferádez NÚMEROS ÍNDCES Los úmeros ídices so ua medida esadísica que

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio)

Más detalles

CAPÍTULO 1: ESTIMACIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS

CAPÍTULO 1: ESTIMACIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros APÍTULO : ESTIMAIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS

Más detalles

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones

Señales y sistemas discretos (1) Transformada Z. Definiciones Trasformada Z La trasformada Z es u método para tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas

Más detalles

Capítulo 2. Operadores

Capítulo 2. Operadores Capítulo 2 Operadores 21 Operadores lieales 22 Fucioes propias y valores propios 23 Operadores hermitiaos 231 Delta de Kroecker 24 Notació de Dirac 25 Operador Adjuto 2 Operadores E la mecáica cuática

Más detalles

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción

LA TRANSFORMADA Z { } CAPÍTULO SEIS. T n n. 6.1 Introducción CAPÍTULO SEIS LA TRANSFORMADA Z 6. Itroducció E el Capítulo 5 se itrodujo la trasformada de Laplace. E este capítulo presetamos la trasformada Z, que es la cotraparte e tiempo discreto de la trasformada

Más detalles

4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES

4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES 4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES Dr. hp://mah.uprm.edu/~edgar UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ 4. Variables Aleaorias Ua variable aleaoria es ua fucio que asume sus

Más detalles

b. La primera parte del apartado es igual al apartado a, con la diferencia de que el segundo medio es agua.

b. La primera parte del apartado es igual al apartado a, con la diferencia de que el segundo medio es agua. Septiembre 0. Preguta B.- Se tiee u prisma rectagular de vidrio de ídice de refracció,4. Del cetro de su cara A se emite u rayo que forma u águlo a co el eje vertical del prisma, como muestra la figura.

Más detalles

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PRUEBAS DE HIPÓTESIS E vez de estimar el valor de u parámetro, a veces se debe decidir si ua afirmació relativa a u parámetro es verdadera o falsa. Vale decir, probar ua hipótesis relativa a u parámetro.

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

1.1. Campos Vectoriales.

1.1. Campos Vectoriales. 1.1. Campos Vectoriales. Las fucioes, ampliamete empleadas e la igeiería, para modelar matemáticamete y caracterizar magitudes físicas, y cuyo domiio podría ser multidimesioal, puede teer u rago uidimesioal

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2)

Transformada Z. Transformada Z. Señales y sistemas discretos (1) Señales y sistemas discretos (2) Trasformada Z La trasformada Z es u método tratar fucioes discretas e el tiempo El papel de la trasformada Z e sistemas discretos e el tiempo es similar al de la trasformada de Laplace e sistemas cotiuos

Más detalles

Apuntes Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214

Apuntes Sistemas Lineales Dinámicos - 543 214 Uiversidad de Cocepció Faculad de Igeiería Depo. de Igeiería Elécrica Apues Sisemas Lieales Diámicos - 543 4. f () = si(5) f (kt) = f (kt) f () = si() kt -..5..5. 4 ava edició Prof. José R. Espioza C.

Más detalles

Estimación puntual y por Intervalos de Confianza

Estimación puntual y por Intervalos de Confianza Capítulo 7 Estimació putual y por Itervalos de Cofiaza 7.1. Itroducció Cosideremos ua v.a X co distribució F θ co θ descoocido. E este tema vemos cómo dar ua estimació putual para el parámetro θ y cómo

Más detalles

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA 1. INTRODUCCIÓN

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA 1. INTRODUCCIÓN INDUCCIÓN MATEMÁTICA EDUARDO SÁEZ, IVÁN SZÁNTÓ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA. INTRODUCCIÓN El método deductivo, muy usado e matemática, obedece a la siguiete idea:

Más detalles

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON

BINOMIO DE NEWTON página 171 BINOMIO DE NEWTON págia 171 Los productos otables tiee la fialidad de obteer el resultado de ciertas multiplicacioes si hacer dichas multiplicacioes. Por ejemplo, cuado se desea multiplicar los biomios cojugados siguietes:

Más detalles

La volatilidad implícita

La volatilidad implícita La volatilidad implícita Los mercados de opcioes ha evolucioado bastate desde los años setetas, época e la que ue publicada la órmula de Black Scholes (BS). Dicha órmula quedó ta arraigada e la mete de

Más detalles

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación)

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación) Aputes: Matemáticas Fiacieras 1. Lecció 11 - Operacioes Fiacieras a largo plazo - Préstamos (Cotiuació) 1.1. Préstamo: Método de cuotas de amortizació costates E este caso se verifica A 1 = A 2 = = A =

Más detalles

Espacio vectorial ESPACIO VECTORIAL. 8.- Intersección y suma de subespacios vectoriales

Espacio vectorial ESPACIO VECTORIAL. 8.- Intersección y suma de subespacios vectoriales ESPACIO VECTORIAL.- Itroducció.- Espacio Vectorial.- Subespacios vectoriales 4.- Geeració de Subespacios vectoriales 5.- Depedecia e idepedecia lieal 6.- Espacios vectoriales de tipo fiito 7.- Cambio de

Más detalles

Modelo De Simulación de Ingresos para el Agro

Modelo De Simulación de Ingresos para el Agro Modelo De Simulación de Ingresos para el Agro Basado en el programa AgRisk desarrollado en Ohio Sae Universiy hp://www-agecon.ag.ohio-sae.edu/programs/agrisk/defaul.hm CP. Menichini Amilcar 1 Lic. Lazzai

Más detalles

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA MATERIA: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA CUADERNO DE PRÁCTICAS DE INGENIERÍA MECÁNICA CURSO 009/0. (Segudo cuatrimestre) Prof. Pedro Luís Gómez Sáchez Prof.

Más detalles

Ley de los números grandes

Ley de los números grandes Capítulo 2 Ley de los úmeros grades 2.. La ley débil de los úmeros grades Los juegos de azar, basa su sistema de gaacias, fudametalmete e la estabilidad a largo plazo garatizada por las leyes de la probabilidad.

Más detalles

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) =

Propuesta A. { (x + 1) 4. Se considera la función f(x) = Pruebas de Acceso a Eseñazas Uiversitarias Oficiales de Grado (0) Materia: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II El alumo deberá cotestar a ua de las dos opcioes propuestas A o B. Se podrá utilizar

Más detalles

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)

1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n) 1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :

Más detalles

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la

Más detalles

Media aritmética, media geométrica y otras medias Desigualdades Korovkin

Media aritmética, media geométrica y otras medias Desigualdades Korovkin Media aritmética, media geométrica y otras medias Desigualdades Korovki Media geométrica y media aritmética Si,,, so úmeros positivos, los úmeros + + + a = g = formados a base de ellos, se deomia, respectivamete,

Más detalles

DATOS GENERALES DE LA REPÚBLICA DE PANAMÁ

DATOS GENERALES DE LA REPÚBLICA DE PANAMÁ DATOS GENERALES DE LA REPÚBLICA DE PANAMÁ Superficie: Toal de la República: 75,57 km 2 Població Toal: Segú proyeccioes de la Coraloría Geeral de la República la població oal al º de Julio de 2005 es de

Más detalles

Guía de Cálculo Numérico. Elaborada por: Ramón Medina Copyright 1998 Todos los Derechos Reservados

Guía de Cálculo Numérico. Elaborada por: Ramón Medina Copyright 1998 Todos los Derechos Reservados Guía de Cálculo Numérico Elaborada por: Ramó Media Copyright 998 Todos los Derechos Reservados Sistemas de Numeració y Errores. Sistemas de Numeració y Errores.. Tipos de Errores Error por Trucamieto.

Más detalles

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales Asigatura: Geometría I Grado e Matemáticas. Uiversidad de Graada Tema 2. Espacios vectoriales Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 14 de diciembre de 2012 Ídice 1. Espacio vectorial 2 2. Subespacio

Más detalles

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera

Cálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera Cálculo para la igeiería Tomo II Salvador Vera 9 de eero de 5 ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 998-4. Ídice geeral 7. Series Numéricas 7.. El sigo del sumatorio: Sigma Σ... 7... Propiedades

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica.

SUCESIONES Y SERIES página 205 SUCESIONES Y SERIES. 12.1 Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica. págia 05. Ua sucesió es u cojuto de úmeros ordeados bajo cierta regla específica. E muchos problemas cotidiaos se preseta sucesioes, como por ejemplo los días del mes, ya que se trata del cojuto {,,, 4,

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES TEM VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES VECTORES Y MTRICES MTRICES: OPERCIONES ELEMENTLES Cocepo de riz Eleeos Tipos de rices Su y difereci de rices Produco de u úero por u riz Trsposició

Más detalles

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos

Análisis en el Dominio del Tiempo para Sistemas Discretos OpeStax-CNX module: m12830 1 Aálisis e el Domiio del Tiempo para Sistemas Discretos Do Johso Traslated By: Erika Jackso Fara Meza Based o Discrete-Time Systems i the Time-Domai by Do Johso This work is

Más detalles

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato.

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato. UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Tema Poliomios y otras eresioes algebraicas Estos cocetos está etraídos del libro Matemáticas de achillerato McGrawHill Poliomios: oeracioes co oliomios

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

LOGARITMOS. Ejercicio 1 Determine los respectivos dominios de existencia de las siguientes funciones: 2

LOGARITMOS. Ejercicio 1 Determine los respectivos dominios de existencia de las siguientes funciones: 2 LOGARITMOS Como seguramete el estudiate recordará, e cuarto año apredió a traajar co los aritmos, y allí se eteró de que éstos se defie a partir de la ecesidad de despejar el expoete de ua potecia. Vamos

Más detalles

Gradiente, divergencia y rotacional

Gradiente, divergencia y rotacional Lecció 2 Gradiete, divergecia y rotacioal 2.1. Gradiete de u campo escalar Campos escalares. U campo escalar e R es ua fució f : Ω R, dode Ω es u subcojuto de R. Usualmete Ω será u cojuto abierto. Para

Más detalles

Introducción a las sucesiones. y series numéricas

Introducción a las sucesiones. y series numéricas UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Itroducció a las sucesioes y series uméricas Ramó Bruzual Marisela Domíguez Caracas, Veezuela

Más detalles

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS

ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS APUNTES DOCENTES ASIGNATURA: MATEMATICAS FINANCIERAS PROFESORES: MARIN JAIMES CARLOS JAVIER SARMIENTO LUIS JAIME UNIDAD 3: EVALUACIÓN ECONÓMICA DE PROYECTOS DE INVERSIÓN EL VALOR PRESENTE NETO VPN Es ua

Más detalles

Límite de una función

Límite de una función Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los

Más detalles

Una recomendación para cuantificar el riesgo operativo en entidades financieras en Colombia

Una recomendación para cuantificar el riesgo operativo en entidades financieras en Colombia Ua recomedació para cuaificar el riesgo operaivo e eidades fiacieras e Colombia Adrés Mora* RESUMEN Ese arículo presea dos efoques para cuaificar riesgo operaivo e eidades fiacieras. U efoque es el propueso

Más detalles

El término de error en los esquemas de diferencias finitas

El término de error en los esquemas de diferencias finitas El térmio de error e los esquemas de diferecias fiitas Selee Solorza, Carlos Yee-Romero, Adia Jorda-Aramburo y Samuel Cardeña-Sáchez Facultad de Ciecias, Uiversidad Autóoma de Baja Califoria, Km. 103 carretera

Más detalles

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,

Más detalles

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL ) MEDIA ARITMÉTICA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL CON EXCEL Las medidas de tedecia cetral so medidas represetativas que como su ombre lo idica, tiede a ubicarse hacia el cetro del cojuto de datos, es decir,

Más detalles

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004

Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de 2004 Solució del eame de Ivestigació Operativa de Sistemas de septiembre de 4 Problema (,5 putos: Ua marca de cereales para el desayuo icluye u muñeco de regalo e cada caja de cereales. Hay tres tipos distitos

Más detalles

ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE FLUJO

ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE FLUJO ALGORITMOS Y DIAGRAMAS DE LUJO Elabore diagramas de flujo para expresar la solució de los problemas que se preseta a cotiuació. Auque sólo se pida explícitamete e alguos casos, es ecesario que Ud. siempre

Más detalles

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS GENNY ALEXANDRA NAVARRETE MOLANO Trabajo de grado para optar por el titulo de Matemático DIRECTOR: JOSÉ JOAQUÍN VALDERRAMA Matemático Uiversidad Nacioal de

Más detalles

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES

ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES ANEXO F CRITERIOS DE EVALUACIÓN ECONÓMICA DE LAS OPCIONES DE PML TÉCNICAMENTE VIABLES Las medidas de PML a ser implemetadas, se recomieda e base a las opcioes de PML calificadas como ecoómicamete factibles.

Más detalles

Ingeniería Económica Tema 4.1. Modelos de depreciación

Ingeniería Económica Tema 4.1. Modelos de depreciación Igeiería Ecoómica Tema 4.. Moelos e epreciació UNIDAD IV. DEPRECIACIÓN Y ANÁLISIS DE IMPUESTOS Objeivo e apreizaje: usar los méoos clásicos y aprobaos por el gobiero para reucir el valor e la iversió e

Más detalles

Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como. La relación entre la secuencia y su transformada se denota por:

Dada una secuencia g[n] se define su transformada Z (TZ) directa G(z), como. La relación entre la secuencia y su transformada se denota por: Tema 4. Trasformada Z. La trasformada Z para sistemas discretos desempeña u papel aálogo a la trasformada de Laplace para sistemas cotiuos. os va a permitir represetar la relació etrada salida de u sistema

Más detalles

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA

TEMA 3.- OPERACIÓN FINANCIERA . DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN. TEMA 3.- OPEACIÓN FINANCIEA Se deomia operació fiaciera a todo itercambio o simultáeo de capitales fiacieros pactado etre dos agetes, siempre que se verifique la equivalecia,

Más detalles

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 9: Inferencia Estadística, Estimación de Parámetros Grupo B Métodos Estadísticos de la Igeiería Tema 9: Iferecia Estadística, Estimació de Parámetros Grupo B Área de Estadística e Ivestigació Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragó Abril 200 Coteidos...............................................................

Más detalles