CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER

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1 CONVERGENCIA DE LAS SERIES DE FOURIER Sea f(x) una función definida para todo x, con periodo. Entonces, bajo condiciones muy generales, la serie de Fourier de f converge a f(x) para todo x. Describiremos un conjunto de condiciones que asegura dicha convergencia, estas se ilustran en la figura de abajo. Damos también algunas indicaciones acerca de por qué debe esperarse la convergencia. La función f es continua en cada intervalo de longitud excepto en un número finito de discontinuidades de salto, donde el valor de f es el promedio de sus límites por la izquierda y por la derecha. Además, en cada intervalo de longitud, la función f tiene una derivada continua, excepto en los puntos de salto y en un número finito de esquinas. En los puntos de salto y en las esquinas hay un valor límite para la derivada por la derecha y por la izquierda (sugerida por las líneas tangentes dibujadas). La función f que satisfaga estas condiciones se llama una función continua a trozos. Así,la serie de Fourier de una función f(x) continua a trozos, de periodo converge a f(x) para todo x. Convergencia uniforme. Para una función como la anterior, es demasiado esperar que la serie de Fourier de f converja uniformemente cuando x, ya que la suma de una serie uniformemente convergente de funciones continuas debe ser continua, mientras que la función de la figura anterior, tiene discontinuidades de salto. Sin embargo, si f no tiene discontinuidades de salto (aunque tenga esquinas ) entonces la convergencia debe ser uniforme. Además, aun cuando f tenga salto, la convergencia es uniforme en cada intervalo cerrado a x b que no contenga puntos de salto. Idea de la demostración de la convergencia. Nos basamos en el concepto de la función delta de Dirac δ(t). Esta función surge al estudiar la densidad. Para la masa distribuida a lo largo del eje x, habría una densidad ρ(x) tal que b a ρ(x)dx = masa entre a y b. Supongamos que la masa total es 1 y sigamos un proceso de límite, concentrando la masa más y más cerca de x =. Entonces, la densidad correspondiente es como la figura de abajo. La función δ(x) se define como la densidad límite cuando la masa tiende a concentrarse en el punto 1

2 x =. Como el total de masa es 1, para a < < b debemos tener b a δ(x)dx = 1. Sin embargo, δ(x) = para todo x excepto y δ() = +. Es posible fundamentar de manera razonable estas propiedades en cierto modo notables. Podemos pensar en δ(x) como la densidad de una partícula de masa unitaria en x = o como el caso limite de la densidad ρ(x) cuando la amplitud del pulso tiende a. Para una partícula de masa unitaria en x, la densidad correspondiente es δ(x x ). Para varias partículas de masa m 1,..., m n en x 1,..., x n, respectivamente, la densidad es m 1 δ(x x 1 ) m n δ(x x n ). Definición 1. Momentos de las distribuciones.- Llamamos k ésimo momento alrededor del origen a la integral En general, requerimos integrales del tipo con f continua. b a b a x k ρ(x)dx. f(x)ρ(x)dx Si ahora tenemos una solo partícula de unidad de masa en x, en el intervalo x c < x < x +c, entonces ρ(x) = δ(x x ) y el k-ésimo momento alrededor de es simplemente x k ; Así: x +c x c x k δ(x x )dx = x k. Análogamente, para una función continua f(x) en general y cada c >, tenemos x +c x c f(x)δ(x x )dx = f(x ) o, si hacemos t = x x, c f(x + t)δ(t)dt = f(x ). c

3 Volvamos a las series de Fourier. Usemos el hecho de que la función P n (t) = cost cosnt puede considerarse que tiene a δ(t) como límite, para t, cuando n. Podemos demostrar que lím n lím P n(t) = δ(t) n f(x + t)p n (t)dt = siempre que f sea continua en x y exista f (x). f(x + t)δ(t)dt = f(x), La n-ésima suma parcial de la serie de Fourier de f es Por tanto, = 1 S n (x) = a + a 1cosx + b 1 senx a n cosnx + b n sennx = = 1 = 1 f(u)du + cosx f(u)cosudu +... = f(u)( 1 + cosxcosu + senxsenu +...)du = f(u)[ 1 + cos(u x) + cos(u x) cosn(u x)]du. S n (x) = f(u)p n (u x)du. Si hacemos u = x + t y aprovechamos la periodicidad, concluimos que Tomando límites tenemos que S n (x) = lím S n(x) = n f(x + t)p n (t)dt. f(x + t)δ(t)dt = f(x) Esto asegura la convergencia mencionada, al menos cuando f es continua y existe f (x). Un indicio de que P n (t) tiende en realidad a δ(t) como límite, para t, lo proporciona el siguiente cálculo formal. Buscamos los coeficientes de Fourier de la función igual a δ(t) para t. (Con x = ) a n = 1 b n = 1 a = 1 δ(t)dt = 1, δ(t)cosntdt = 1, n = 1,,..., δ(t)senntdt =, n = 1,,... 3

4 Entonces podemos esperar que: δ(t) = cost + 1 cost +... = = lím ( 1 n + 1 cost cosnt) = lim n P n (t). Observación.- Como P n (t) tiene periodo, su límite debe ser una función delta periódica que coincide con δ(t) para t. Serie coseno de Fourier, serie seno de Fourier Sea f(x) una función definida solamente para x y sea f continua a trozos en este intervalo. Reflejando la gráfica de f en el eje y, obtenemos una función par definida en el intervalo x, que coincide con f para x. Mediante la periodicidad extendemos la nueva función para todo x y obtenemos una función f 1 que es par, tiene periodo y coincide con f para x. A f 1 le llamamos la extensión periódica par de f. La función f 1 satisface las condiciones de la convergencia vistas anteriormente. Por tanto, la serie de Fourier de f 1 converge a f 1 para todo x. Como f 1 es par, b n = para todo n y a n = f 1 (x)cosnxdx, n =, 1,,... f 1 (x) = a + a n cosnx, para todo x. En la fórmula para a n podemos reemplazas la función f 1 por f, ya que f 1 = f para x. También por la misma razón: f(x) = f 1 (x) = a + a n cosnx, para x Por tanto, concluimos que cada función f(x) definida en x y continua a trozos, podemos desarrollarla en una serie que incluya solamente cosenos: f(x) = a + a n cosnx, x y a n = f(x)cosnxdx, n =, 1,,... Esta serie se llama la serie coseno de Fourier de f. La serie converge a f para x y converge a la extensión periódica PAR de f fuera del intervalo. Igualmente podemos desarrollar la misma función f en una serie que incluye solamente senos: f(x) = b n sennxdx, n = 1,,... Esta serie se llama serie seno de Fourier de f. La serie converge a f(x) para x y converge a la extensión periódica IMPAR de f fuera de este intervalo. 4

5 Nota.- Pueden aparecer saltos en y +, lo cual nos obliga a usar un nuevo valor en estos puntos. Dado que la función es impar y periódica, el nuevo valor es. También nos obliga a dar ese valor a la forma de la serie b n sennx que converge a para x =, o. Ejemplo. Sea f(x) = x para x. Calcular la extensión periódica par de f y su serie de Fourier. Cambio de periodo Si f(x) tiene periodo T, y no necesariamente, podemos reducir f a una función de periodo mediante un cambio de escala: x 1 = T x = ωx, ω = T, y expresar f en términos de x 1 : f(x) = f( x1 ω ). Obtenemos una serie de Fourier: a + a 1cosx 1 + b 1 senx = a + a 1cosωx + b 1 senωx +... Aquí: a n = 1 Podemos también usar que x = x 1 ω a n = ω f( x 1 ω )cosnx 1dx 1, /ω b n = 1 como variable de integración: /ω f(x)cosnωxdx = T T/ T/ f( x 1 ω )sennx 1dx 1. f(x)cosnωxdx, y hay una fórmula análoga para b n. Así, definimos la serie de Fourier de f, con periodo T, como la serie: a + a 1cosωx + b 1 senωx a n cos nωx + b n sen nωx +..., donde ω = T, y a n = T T/ T/ f(x)cos nωxdx, b n = T T/ T/ f(x)sen ndx. Como la integral de una función de periodo T, calculada en un intervalo de longitud T, tiene el mismo valor para cada uno de dichos intervalos, podemos integrar (en a n, b n ) de a T o sobre cualquier intervalo de longitud T. Así, podemos reemplazar las ecuaciones anteriores por: a n = T T f(x)cos nx T dx, b n = T T f(x)sen nx T dx. 5

6 Ejemplo.- Sea f(x) = x para < x < y f con periodo. Obtener la serie de Fourier. 6

7 Convergencia en media (cuadrática). Desigualdad de Bessel. Relación de Paserval Definimos la convergencia en media cuadrática del siguiente modo: Si {f n } y f son integrables Riemann en [a, b], se dice que {f n } converge a f en media cuadrática si ( ) b lim n f n f =. a Sea f(x) una función real continua a trozos en [, ] y que se extiende a todo R por periodicidad. Consideremos la suma parcial n-ésima de la serie de Fourier asociada s n (x) = a n + (a k coskx + b k senkx), donde {a k, b k } son los coeficientes de Fourier de f(x). Definición.- Diremos que la serie de Fourier de f(x) convergen en media a f(x) si lim n [f(x) s n (x)] dx =. Es inmediato ver que [f(x) s n (x)] dx = f (x)dx f(x)s n (x)dx + s n(x)dx. Usando quién es s n (x) y la definición de los coeficientes de Fourier: y s n (x) = a n + (a k coskx + b k senkx), a k = 1 f(x)coskxdx, b k = 1 f(x)senkxdx tenemos lo siguiente: ( n ) a f(x)s n (x)dx = f(x) + (a k coskx + b k senkx) = ( a n ) f(x)dx + a k f(x)coskxdx + b k f(x)senkxdx = = a n 1 n f(x)dx + a k f(x)coskxdx + b k 1 f(x)senkxdx = a n n ( n f(x)dx + a k + b k = a + ) (a k + b k). Por otro lado, s n(x)dx = ( a n + (a k coskx + b k senkx)) dx = 7

8 = ( a ) + n (a k + b k). Teniendo en cuenta estos dos resultados previos, la desigualdad de arriba la podemos reescribir como: ( ) f a (x)dx n + (a k + b k) + ( a ) + n (a k + b k), por tanto a n + (a k + b k) 1 f (x)dx, n N Como la sucesiíon que aparece en el término de la izquierda está acotada, en el límite n, tenemos que: a + (a k + b k) 1 f (x)dx, expresión que se conoce con el nombre de DESIGUALDAD DE BESSEL. Esta desigualdad, nos permite enunciar el siguiente resultado: Teorema.- Para toda función f(x) L ([, ]) la suma de los cuadrados de sus coeficientes de Fourier es una serie convergente. Demostración.- Es inmediata de la desigualdad de Bessel. Corolario.- lím a k = lím b k =. k k De la demostración de la desigualdad de Bessel, se sigue que si la serie de Fourier converge en media a f(x), entonces en lugar de una desigualdad, tenemos una igualdad estricta, la RELACIÓN DE PASERVAL: a + (a k + b k) = 1 f (x)dx, Teorema.- La serie de Fourier de una función f(x) L ([, ]) converge en media, y por tanto verifica la relación de Paserval. (No damos la demostración) 8

9 Convergencia uniforme Teorema Sea f(x) una función continua de R a C de periodo y sea f (x) continua a trozos en [, ]. La serie de Fourier de f(x) converge absoluta y uniformemente. (El mismo resultado es válido si f(x) sólo está definida en el intervalo [, ) y f() = f(), ya que esto permite extender la función de forma periódica y continua a todo R. Demostración.- Haremos uso del criterio M de Weierstrass. Tenemos que analizar la convergencia uniforme de la serie a n + (a k coskx + b k senkx). El criterio M de Weierstrass nos dice que esta serie converge absoluta y uniformemente en [, ] (y por tanto también puntualmente) si podemos encontrar unas constantes positivas M k, k = 1,,... tales que a k coskx + b k senkx M k, x [, ], siendo, además M 1 + M + M una serie convergente. Veamos que, en efecto, podemos construir esta serie numérica convergente. En primer lugar consideremos las series de Fourier de f(x) y f (x): f(x) a n + (a k coskx + b k senkx), f (x) â n + (â k coskx + b k senkx). Los coeficientes de cada serie se calculan usando las fórmulas ya conocidas: â = 1 ya que f(x) es continua en [, ] y periódica. f (x)dx = 1 [f(x)] = 1 [f() f()] =, Los otros coeficientes se calculan análogamente: { â k = 1 f (x)coskxdx = 1 [f(x)coskx] + k } f(x)senkxdx = = 1 [f()cosk f()cosk + k k] = kb k ; b k = 1 f (x)senkxdx = 1 { [f(x)senkx] k f(x)coskxdx } = ka k. Asi pues, podemos acotar de manera trivial utilizando estos resultados y obtenemos: a k coskx + b k senkx a k + b k = â k k + b k k := M k. 9

10 Falta probar que la suma de estas constantes M k converge. Esto se sigue con facilidad de lo siguiente: ( â k 1 k ) = â k + 1 k â k k, de modo que: â k k 1 â k k = 1 (â k) k Lo mismo es válido con b k en lugar de â k, de modo que pero entonces: M k 1 (â k) k + 1 ( b k ) k M k 1 [(â k ) + ( b k ) 1 ] + k <, pues la segundo de las series tiene suma 6 y la primera converge en virtud de la desigualdad de Bessel. Observa que se verifica la desigualdad de Bessel porque como f (x) es continua a trozos en [, ] entonces también lo es (f (x)), y en consecuencia, f (x) L ([, ]), con lo que se le puede aplicar el resultado del teorema anterior. Forma compleja de las series de Fourier y Usando la fórmula de Euler:, podemos escribir e iθ = cosθ + isenθ e iθ = cosθ isenθ cosθ = eiθ + e iθ, senθ = eiθ e iθ i De manera que podemos escribir la serie de Fourier como a + a + (a n cosnx + b n sennx) [ = a + a n (e inx e inx ) a n ib n e inx + Podemos combinar estas dos expresiones en una serie: c n e inx, donde c = a, c n = a n ib n ] + b n(e inx e inx ) i a n + ib n e inx. para n 1, c n = a n + ib n para n 1. 1

11 La serie anterior se conoce como la forma compleja de la serie de Fourier. Es posible calcular los coeficientes c n directamente de f: c n = 1 f(x)e inx dx, n =, ±1, ±,... Como de costumbre, podemos integrar de a o en cualquier otro intervalo de longitud. Nuestra suma parcial original s n (x) corresponde a los términos de índice, ±1, ±,..., ±n, en la serie compleja y, por tanto, esta serie debe considerarse como n lim n k= n c k e ikx Ejemplo.- Sea f(x) = x para x y sea f con periodo. Entonces, mediante integración por partes, c n = 1 [ x e inx dx = 1 x e inx in + in =...pag145 xe inx dx ] Podemos extender la forma compleja de la serie de Fourier a las funciones de periodo general τ. Sustituyendo ω = τ la serie se convierte en donde c n = 1 τ Podemos integrar de τ a τ τ n= c n e inx, f(x)e inωx dx, n =, ±1, ±,... o en cualquier otro intervalo de longitud τ. Observación.- En todo el estudio, f(x) puede ser una función con valores complejos. si f(x) tiene valores reales, entonces c n = c n en las ecuaciones de arriba. Aplicación de las series de Fourier a la respuesta de frecuencia Ya hemos visto la aplicación de las ecuaciones diferenciales de segundo orden al estudio de las oscilaciones de fuerza en sistemas mecánicos o eléctricos. Extenderemos este análisis a las ecuaciones diferenciales de m-ésimo orden aprovechando las series de Fourier. Consideremos la ecuación diferencial: d m x a dt m + a d m 1 x 1 dt m a dx m 1 dt + z mx = f(t) 11

12 y supongamos que los coeficientes a, a 1,..., a m son constantes reales, con a. La solución general de la ecuación diferencial es de la forma: x(t) = x H (t) + x P (t). Siendo x H (t) solución general de la ecuación homogénea (que se encuentra con la ayuda de la ecuación característica: a λ m + a 1 λ m a m 1 λ + a m =. La función x P (t) es una solución particular de la ecuación dada. Solo consideraremos el caso en el que todas las raíces características λ tengan parte real negativa Reλ < (En este caso se dice que el sistema es estable, y las soluciones son TRANSITORIAS (pues tienden a si t )). Sea f(t) periódica, de periodo τ, y sea f continua a trozos, de manera que quede representada por su serie de Fourier, escribámosla en su forma completa: f(t) = c n e inωt, ω = τ n= Para obtener una solución particular x P (t) de la ecuación diferencial anterior, usaremos la idea de la superposición. Para cada término c n e inωt de f(t), encontramos una solución de la ecuación: a d m x dt m a nx = c m e inωt. Por coeficientes indeterminados, encontramos que x(t) = c n e inωt a (inω) m a m. Aquí el denominador es distinto de cero, ya que por hipótesis nuestra ecuación es estable, de manera que inω no es una raíz característica. Escribimos: Y (s) = 1 a s m a m. Esta función es la FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA del sistema considerado. Para ω real, la función Y (iω) es la FUNCIÓN DE RESPUESTA DE FRECUENCIA del sistema. Podemos escribir nuestra solución particular como x = c n Y (inω)e inωt. Por consiguiente, por la superposición, una solución de la ecuación: d m a dt m a mx = f(t) = c n e inωt está dada por x P (t) = n= n= c n Y (inω)e inωt. EJEMPLO.- Sea f(t) = para t < t <, y sea f con periodo. Observa que τ =, ω = 1 y c n = 1...pág 148, f(t) = 1 para t < 1, f(t) = para 1

13 Resumen Definición. Serie de Fourier Dada una función integrable, periódica de periodo, se llama serie de Fourier asociada a f a la serie de funciones donde a n = 1 y a + (a n cosnx + b n sennx), f(x)cosnxdx en particular a = 1 f(x)dx b n = 1 f(x)sennxdx. Los coeficientes a, a n, b n reciben el nombre de coeficientes de fourier asociados a f, o coeficientes de Fourier de f. Teorema de Dirichlet Sea f una función -periódica acotada y derivable a trozos. Entonces, la serie de Fourier de f converge en cada punto a hacia ( ) 1 lim x a +f(x) + lim x a f(x). Si f es continua en a, su serie de Fourier converge a f(a). Propiedades a)los coeficientes de la serie de Fourier de f pueden calcularse en cualquier intervalo de longitud. Habitualmente se tomarán como intervalos de referencia para calcular los coeficientes los intervalos [, ] ó [, ]. b) Si f(x) es impar, a n = para todo n. Si f(x) es par, b n = para todo n. serie: Definición Si f es una función periódica de periodo l, se llama serie de Fourier asociada a f a la siendo y a n = 1 l l l a + ( f(x)cos nx dx, l b n = 1 l a n cos nx l l l ) + b n sen nx, l en particular a = 1 l f(x)sen nx dx. l l l f(x)dx En estas condiciones también se verifica el Teorema de Dirichlet con las modificaciones oportunas. OBSERVACIÓN: Una ventaja importante de las series de Fourier es que son capaces de representar funciones muy generales, con muchas discontinuidades, del tipo de funciones discontinuas 13

14 de impulso, muy usuales en diversos aspectos de ingeniería, mientras que las series de potencias sólo pueden representar funciones continuas con derivadas de cualquier orden. Series de Fourier tipo seno Dada una función f definida en el intervalo [, ] derivable a trozos en dicho intervalo, puede desarrollarse en una serie de Fourier tipo seno (es decir con a n = para todo n) extendiéndola al intervalo [, ] de modo que la función extendida sea impar. Series de Fourier tipo coseno Dada una función f definida en el intervalo [, ] derivable a trozos en dicho intervalo, puede desarrollarse en una serie de Fourier de tipo coseno (es decir con b n = para todo n) extendiéndola al intervalo [, ] de modo que la función extendida sea par. 14

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