PROBLEMAS INVERSOS. 1 Cuándo un problema es inverso?

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1 PROBLEMAS INVERSOS 1 Cuándo un problema es inverso? Hay características matemáticas intrínsecas que hacen que un problema se denomine de tipo inverso. No obstante los condicionantes histórico-culturales no son en absoluto despreciables. Pongamos como ejemplo el paso histórico dado con la teoría de la gravitación de Newton: las leyes de Kepler permitían calcular la órbita de los planetas: solución de un problema directo. Newton resuelve el problema inverso: a partir de las leyes de Kepler interpretadas como resultado de un proceso, deduce la estructura interna del proceso mismo, es decir la Ley de la Gravitación Universal. El cambio de un enfoque directo a uno inverso ha supuesto, a lo largo de la historia, el primer paso de una revolución científica. Pongamos un ejemplo elemental: el problema directo es hacer el producto de dos numeros. El problema inverso es la factorización de un número. Este problema inverso en su primera versión, como es característica común de muchos problemas inversos, no tiene una solución única; determinar las condiciones adicionales que dan la unicidad es el paso siguiente: en nuestro ejemplo la descomposición en factores primos. El fundamento matemático del código RSA, tan popular hoy en día, es una utilización hábil de un cambio de problema inverso a directo. Se basa en la dificultad computacional de descomponer un número producto de dos primos muy grandes, m = pq. El proceso de codificacion es un problema directo consistente en, a partir del código público, formado de m y otro número e primo con m, codificar un mensaje cifrado M calculando el número C (mensaje codificado) tal que C = M e ( mod m). El proceso de decodificación sería el problema inverso de calcular M a partir de C. Para el receptor del mensaje este problema se puede convertir de nuevo en uno directo, puesto que conoce p y q y por tanto (p 1)(q 1). El llamado código secreto lo puede calcular como el número d tal que ed = 1( mod (p 1)(q 1)). El teorema de Euler-Fermat permite afirmar que M (p 1)(q 1) = 1( mod m), por lo tanto el receptor puede recuperar el mensaje secreto resolviendo el problema directo M = C d ( mod m) a partir del mensaje codificado C. Los problemas inversos comparten algunas de las características del ejemplo mencionado: se trata de recuperar el código secreto o estructura interna inaccesible de un objeto por el resultado de experimentos perfectamente computables, sin destruir la mencionada estructura interna : no hace falta talar el arbol mile- 1

2 nario para saber su antigüedad. De aquí la denominación de non destructive testing o evaluación no invasiva, de especial importancia en las aplicaciones a la tomografía en Medicina. Los problemas inversos son parte importante de muchas disciplinas científicas: Determinación de estructuras cristalinas, Tomografía en Medicina, prospección acústica y electromagnética en Geofísica, determinación de estructuras internas en Física de Materiales, reconstrucción de sucesos pasados por mediciones hechas en el presente en Arqueología. Las dificultades inherentes a cada aplicación son una base inagotable de problemas puramente matemáticos, al igual que lo fué la Física en el pasado. Parafraseando la descripción hecha por C. Groetsch, [Gr ], un problema directo consiste en hallar dada una causa o datos x ( input ) mediante un proceso conocido o modelo K un resultado o efecto y = Kx ( output ). Cada problema directo sugiere dos problemas inversos: (a) Dado el efecto y y conocido el modelo K, calcular la causa que lo produjo. En muchos problemas inversos puede haber distintas causas que producen el mismo efecto. Si K, el operador, es invertible el problema inverso se reduce a un problema directo para el operador inverso K 1. Este es el caso de la tomografía de rayos X o de la transformada de Radon: hay una transformada inversa (descubierta por Radon en 1917 y redescubierta por A. Cormack en 1955 lo que le valió el premio Nobel de Medicina en 1979, por el inicio de la Tomografía asistida por ordenador). Esto no quiere decir que la solución del problema inverso sea trivial, hay que hacerla computable y tener cuidado con la estabilidad ya que las mediciones de y no son exactas. Muchas veces (tal es el caso si el operador K es compacto) no hay continuidad del operador inverso y estamos en uno de los casos de problema que cae fuera del ámbito de bien propuesto en el sentido de Hadamard. Entonces hay que utilizar lo que se llama un método de regularización. (b) Otro problema inverso que nos podemos plantear es si conocidos suficientes efectos y y sus causas x podemos reconstruir el modelo o proceso K que las generó. Esto se llama el problema inverso de identificación del modelo. Este es el caso del problema inverso de la conductividad o el problema de scattering inverso. Hay varios estados de este problema, empezando por la determinación del numero correcto de datos y respuestas necesarios y terminando por el estudio de la unicidad y estabilidad del modelo. En ecuaciones en Derivadas Parciales hay siempre una dualidad unicidad y existencia, algo parecido sucede en el problema inverso: demasiados datos (problema sobredeterminado) más fácil de probar unicidad, pero mas difícil, debido a las redundancias, hacer factible el proceso de reconstrucción al no haber un criterio de selección de los ruidos o errores de medición. Por un lado la alta energa de las radiaciones a las que se somete el objeto a estudiar (por ejemplo el cuerpo humano) en las tomografde rayos X, hace deseable la búsqueda de otros medios de prospección menos invasivos. Por otro lado las ondas de mas baja energía 2

3 tienen difracción y nos conducen a modelos en el ámbito de las ecuaciones en derivadas parciales, éste es el caso de la Tomografía de Impedancia Eléctrica o de la Tomografía por Ultrasonidos. 2 Breve historia Hay quién considera los Problemas Inversos como rama de las Matemáticas a raíz de la aparición de los trabajos de Tijonov en la decada de los sesenta: el argumento básico es que sus ideas permitieron a la comunidad científica romper con lo que ahora se considera un prejuicio histórico y que tiene su origen en un concepto que, por otro lado, ha hecho avanzar grandemente las Ecuaciones en Derivadas Parciales: el concepto de problema bién propuesto ( well posed ). Hadamard afirmó que los problemas de interés físico son aquellos que tienen una solución única que depende continuamente de los datos. Esto hizo que los problemas mal propuestos se consideraran solo como una curiosidad académica y sin interés real. Durante la segunda guerra mundial, el éxito del radar y del sonar hizo a la comunidad científica preguntarse si era posible determinar, a partir de las mediciones hechas, mas información que exclusivamente la posición del objeto; apareció así un problema mal propuesto, que se dió eufemísticamente en llamar ill posed : el problema inverso de scattering. En los sesenta Tijonov, véase [TiA], introdujo los métodos de regularización para problemas mal propuestos, abrió así una puerta al tratamiento numérico de éstos, lo que junto con la gran capacidad computacional actual, ha lanzado el campo de los llamados problemas inversos como una rama muy activa y creciente de las Matemáticas, no solamente desde el punto de vista numérico sino también teórico. Hay sin embargo otros antecedentes históricos de problemas inversos en los trabajos de Von Neumann y de Faddeev en el estudio de la teoría de Scattering cuántico, [Fa]. Hay muchos problemas inversos muy interesantes como la tomografía de rayos X y la transformada de Radon que tanta relación tienen con el análisis armónico, pero nos vamos a reducir a hablar de problemas en los que nuestro grupo ya ha obtenido algún resultado, al problema inverso de conductividad y al problema inverso de scattering para la ecuación de Schrödinger. 3 El problema inverso de conductividad o de la EIT(Electrical Impedance Tomography) Hay muchos artículos expositorios sobre este problema, por citar algunos : [U1], [U2]. Recojo algunos párrafos de nuestra exposición aparecida en [?]. El problema de conductividad inverso tambien se conoce como Tomografía de impedancia eléctrica. Supongamos que Ω R n, n 2, dominio acotado con frontera suave, representa un cuerpo conductor eléctrico. La conductividad del cuerpo, en un principio puede depender de la dirección (el tejido muscular del cuerpo humano), la representamos por una matriz simétrica y definida positiva 3

4 γ = (γ ij ) en Ω. Si suponemos que no existen sumideros o fuentes de corriente, por la ley de Ohm la ecuación para el potencial u en Ω está dada por n i,j=1 ij u (γ ) = 0 en Ω (1.1) x i x j Si conocemos el potencial f en Ω, el potencial inducido u en Ω satisface el problema de Dirichlet n i,j=1 x i (γ ij u x j ) = 0 en Ω u = f en Ω (1.2) La aplicación voltaje a corriente o Dirichlet a Neumann Λ γ, mide el flujo de corriente generado en la frontera por un potencial aplicado sobre la misma. Se define dicha aplicación por Λ γ (f) = n i,j=1 γ ij ν i u x j Ω (1.3) donde u es la solución de (1.2) y ν i es la componente i-ésima del vector unitario normal exterior a Ω. El problema de conductividad inverso trata de la determinación de γ a partir del conocimiento de Λ γ. El primero que planteó este problema fue Calderón [C ], quién consideró la cuestión para conductividades isotrópicas, es decir aquellas que no dependen de la dirección. Si suponemos que γ(x) es una función real y positiva y consideramos la matriz real γ(x)i, donde I es la matriz identidad, (1.1) se reduce a la ecuación en forma divergencia div(γ u) = 0 x Ω (1.4) y la aplicación Dirichlet a Neumann (1.3) a Λ γ (f) = γ u ν (1.5) donde ν indica la derivada con respecto al vector normal unitario exterior ν a Ω. Calderón demuestra que la derivada de Frechet (primera aproximación) en conductividades constantes de la aplicación γ Q γ, donde Q γ es la forma cuadrática asociada a Λ γ, es inyectiva. Utiliza las soluciones complejas de la óptica geométrica asociadas al laplaciano e x ρ x R n ρ C n ρ ρ = 0 y da un procedimiento para aproximar conductividades casi constantes a partir de la aplicación Dirichlet a Neumann (también utilizando este tipo de soluciones especiales). Muchos de los avances que se han hecho en este campo, han sido consecuencia de la construcción de las soluciones complejas de la óptica geométrica para la ecuación en derivadas parciales que se estudia. 4

5 La unicidad de este problema ha sido probada, otro trabajo pionero, por Sylvester y Uhlmann, [SyU], y rebajada la regularidad que se supone a priori en varios trabajos posteriores siendo actualmente el mejor resultado si suponemos que γ C 1, [HT]. En dimensión 2 el problema esta formalmente bien determinado y la unicidad con cierta regularidad se debe a Nachman, [N1] en este caso la conjetura de Calderón (conductividades en L ) ha sido demostrada por Astala y Päivärinta [AP] con técnicas de aplicaciones cuasiconformes. Se puede probar estabilidad logarítmica para este problema, en el caso de dimensión mayor que 2 se debe a Alessandrini, [Ale]. En dimensión dos a Liu, supuesta la conductividad con dos derivadas, [?]. En stability of the inverse conductivity problem in the plane for less regular conductivities, [BaBR], rebajamos la regularidad hasta γ C 1+ɛ. Mas recientemente hemos probado estabilidad en el supremo esencial para conductividades Lipschitz de orden α > 0, [BFR] y estabilidad integral en 2D para conductividades cuya norma de Sobolev est minimamente controlada, resultado que permite tratar conductividades discontinuas, [ClFR]. En todos los trabajos, excepto en dimensión 2 donde se reduce a un sistema y se utiliza la transformada de scattering, el problema, suponiendo que γ tiene suficiente número de derivadas, se reduce mediante el cambio v = γ 1/2 u al estudio de la ecuación de Schrödinger de energía cero ( q)v = 0 q(x) = γ1/2 (x) γ 1/2 (x) El caso tratado por Sylvester y Uhlmann se reduce a un potencial q L (Ω). Sin embargo, para la ecuación de Schödinger el problema ha sido tratado para potenciales mas generales, véase [Ch], utilizando las estimaciones uniformes de Sobolev de los trabajos [KeRS] y [ChiR], en dimensión n 3. En dimensión dos ha sido resuelto recientemente por Burgheim [Bu] También se sabe, [M], que la estabilidad logarítmica es lo mejor que se puede esperar para este problema inverso demostrando así que la estabilidad obtenida en [Ale] y [ClFR] es óptima y es una verdadera limitación al uso práctico de la EIT. Quedan bastantes problemas abiertos, mencionemos algunos Problema de caracterización de Λ, es decir Cuál es el rango de la aplicación γ Λ γ? Este es un problema abierto, su solución sería muy útil para el tratamiento de datos numéricos reales que son aproximaciones discretas de valores en el rango de Λ. Su conocimiento permitiría entender mejor cuáles son los datos experimentales más relevantes. Problema de reconstruccción de γ a partir de Λ γ. Es de mucho interés y casi todos los resultados positivos están basados en las soluciones complejas de la óptica geométrica, [N2]. Problema de regularidad mínima para γ en dimensión mayor que 2.?Se puede relajar la condición γ C 1?. 5

6 Problema local: Hay veces en que las mediciones tienen que hacerse en solo parte de la frontera. En este caso la aplicación DN solo es conocida si los datos frontera tienen soporte en la parte accesible de la frontera y las mediciones se hacen también sobre la misma. La unicidad solo se conoce en el caso analítico ya que se puede recuperar la conductividad y sus derivadas en la frontera a partir de la aplicación DN local (trabajos de Kohn y Vogelius, [KoV]), la aplicación DN es un operador pseudodiferencial en la frontera y su desarrollo asintótico permite esta recuperación. Respecto a este problema local hay resultados de Burgheim y Uhlmann, [BuU] y de Kenig, Sjostrand y Uhlmann [KSU] Problemas inversos de frontera para otras ecuaciones y sistemas. Tal es el caso de las Ecuaciones de Maxwell ( ver [Ca ] y las referencias alli) y de las de elasticidad. 4 El problema inverso de scattering para la ecuación de Schrödinger Para la presentación del problema inverso de scattering es necesario primero describir el problema directo. Con este objetivo podemos tratar dos ecuaciones diferentes de una manera parecida, la ecuación de Schrödinger y la ecuación acústica. Consideramos el problema para el Hamiltoniano H = + V (x). En el caso de la ecuación de Schrödinger o scattering por un potencial suponemos que V (x) = q(x) L p para algún p, la solución de scattering con número de onda k es la solución del problema ( + k 2 )u = V (x)u u = u i + u s u s con condición de radiación de Sommerfeld emergente (C.R.S.) (4.1) En el caso de la ecuación acústica V = k 2 (1 n(x)) depende del número de onda k, n es el índice de refracción de un medio y puede ser complejo n(x) = n 1 (x) + in 2 (x)/k, n 2 0 y n 1 (x) > 0. La onda incidente u i es una solución entera (es decir en todo el espacio) de la ecuación de Helmholtz. Es el caso de la onda plana con dirección de incidencia θ S n 1 u i (x) = u 0 (k, θ, x) = e ikθ x, (4.2) La solución de scattering u = u(k, θ, x) es una solución de la ecuación de Helmholtz en el exterior de D = sopv, lo mismo que la parte difractada u s, La C.R.S. es equivalente a suponer el siguiente desarrollo asintótico si x, véase [CoK]. u s (x) = c n k (n 1)/2 x u x (k, θ, (n 1)/2 x ) + o( x (n 1)/2 ) (4.3) e ik x 6

7 La función u (k, θ, ω), se conoce como la amplitud de scattering, o campo lejano ( far field pattern ). El tratamiento del problema directo (existencia y unicidad) está basado en estimaciones a priori para la resolvente del laplaciano, utilizando la llamada ecuación integral de Lippmann-Schwinger: u s (x) = φ k (x, y)v (y)(u i (y) + u s (y))dy, R n donde φ k (x, y) es la solución fundamental emergente de la ecuación de Helmholtz, más un argumento de perturbación que puede ser o bien con teoría de Fredholm y argumentos de continuación única (ecuación acústica) o bien a través de la serie de Neuman, llamada en este contexto serie de Born. El problema también resulta interesante si el potencial no es de soporte compacto, en este caso su comportamiento en infinito clasifica a los potenciales como de corto o largo alcance. La amplitud de scattering se define ahora como, u (k, θ, x x ) = C n e iky x/ x V (y)u(k, θ, y)dy, (4.4) véase [ER1]. Las estimaciones que se han usado tradicionalmente han sido las de Agmon [?]. Para el tratamiento de potenciales en L p, o en clases peores, las estimaciones adecuadas son las de los trabajos [KeRS] o [ChiR]. El problema inverso de scattering consiste en recuperar el potencial V (x) a partir de las mediciones de la amplitud de scattering u (k.θ, ω) Observemos que u depende del número de onda k, de la dirección incidente θ S n 1 y de la dirección del receptor ω S n 1. El conocimiento de u para todos sus parametros es un problema sobredeterminado y se sabe en el caso de la ecuación de Schrödinger que hay unicidad, de hecho basta con conocer u (k, θ 0, ω) para los angulos incidentes θ 0 en una semigeodesica de S n 1. Sin embargo esta recuperación se hace a través de la transformada de Fourier ˆq(ξ) para lo cual hay que medir la amplitud de scattering en parámetros θ 0 y ω que sean ortogonales, la medición en este caso requiere que el número de onda tienda a infinito, véase [?]; ésto es algo que en las aplicaciones prácticas se tiende a evitar. Si desarrollamos la amplitud de scattering, usando 4.4 y la ecuación de Lippmann-Schwinger, obtenemos la serie de Born: u (k.θ, ω) = ˆq(k(ω θ)) + q j (k, θ, ω) + qm+1(k, R θ, ω), j=1 cuyo término lineal nos da la transformada de Fourier del potencial q en las llamadas esferas de Ewald. En la práctica, es decir en tomografía de ultrasonidos o geofísica, lo que se mide es la llamada aproximación de Born del potencial que, mediante una transformada inversa de Fourier, se obtiene de ciertas manipulaciones (cambios de variable) de la amplitud de scattering. Toda la metodología y procesos numéricos de obtención de las aproximaciones de Born 7

8 del potencial se denomina Tomografía de Difracción. No se sabe, sin embargo, que información del verdadero potencial se obtiene de su aproximación de Born; es decir no se conoce la fundamentación matemática rigurosa de la Tomografía de Difracción. En el presente nuestro grupo está trabajando en esta fundamentación de la Tomografía de Difracción en contacto con el grupo de Finlandia. Los datos de scattering completos son dan lugar a un problema sobrederminado. En este caso la manipulacin correcta de la sobredeterminacin permite mejores resultados ( ver [BFRV]). Es natural suponer solamente un conocimiento parcial de la amplitud de scattering. Los problemas de datos parciales mas estudiados son: (a) Problema de energía fija: se supone conocida la amplitud para todas las direcciones y un solo número de onda. El problema está formalmente bien determinado en el plano y sobredeterminado en dimensiones mayores. La unicidad en el caso de Schrödinger es conocida utilizando las soluciones de Sylvester y Uhlmann, lo que da una mala estabilidad, véase [I] capítulo 6. Se sabe también la reconstrucción, véase [N2], [?]. (b) Problema de ángulo fijo: se supone conocida la amplitud de scattering para una sola dirección incidente y para todos los demás parámetros. El problema está formalmente bién determinado en cualquier dimensión. En el caso de Schrödinger se sabe la unicidad genérica en espacios de Sobolev con cuatro derivadas, véase [S] y la unicidad para potenciales pequeños (unicidad local). Hemos estudiado [Ru ] los términos no lineales de la serie de Born, probando que las singularidades del potencial q, medidas en la escala de Sobolev, están contenidas en su aproximación de Born de ángulo fijo (dimensiones 2 y 3), es por esta razón que este trabajo se puede englobar dentro de la fundamentación matemática de la mencionada Tomografía de Difracción. Un ingrediente clave aquí son estimaciones no autoadjuntas L p para la resolvente similares a las de [RuVe]. (c) Problema de datos de retroceso o problema inverso de backscattering. Se supone conocida la amplitud de scattering para ángulos incidente y receptor opuestos y todos los números de onda. El problema está formalmente bién propuesto en todas los dimensiones. En el caso de la ecuación de Schrödinger se sabe la unicidad genérica, véase [ER1], [?], [?], y una demostración simplificada en [S] donde también se prueba la unicidad local supuesto q con cuatro derivadas, formalmente probada por Prosser en las llamadas clases de Friedrich. En trabajos recientes, [BeM] se da una demostración en dimensión impar de la unicidad local, para q con derivada en L 1. Se sabe también que las singularidades del potencial están contenidas en su aproximación de Born en dimensión 2 y 3, véase [RuV] [R]. Otra serie utilizada para expresar la solución de scattering en la práctica es la denominada de Rytov, más adaptada a datos no en x, sino a una distancia intermedia (relativa a la frecuencia de la onda incidente) del soporte de 8

9 V. Se obtiene así, de manera análoga la aproximación de Rytov del potencial que por motivaciones físicas se sabe que es más precisa que la de Born si el potencial V es grande pero no es muy oscilatorio (sobre la controversia Born-Rytov véase [?]) y [?]). References [Ale] [AP] [BaBR] [BFRV] G. Alessandrini, Singular solutions of elliptic equations and the determination of conductivity by boundary measuraments, J. Diff. Eq. 84, (1990), Astala, Kari; Pivrinta, Lassi Caldern s inverse conductivity problem in the plane. Ann. of Math. (2) 163 (2006), no. 1, Barceló, Juán Antonio; Barceló, Tomeu; Ruiz, Alberto Uniqueness and stability for the inverse conductivity problem. (Spanish) Margarita mathematica, , Univ. La Rioja, Logroo, Barceló, J. A.; Faraco, D.; Ruiz, A.; Vargas, A. Reconstruction of singularities from full scattering data by new estimates of bilinear Fourier multipliers. Math. Ann. 346 (2010), no. 3, [BFR] Barceló, Tomeu; Faraco, Daniel; Ruiz, Alberto Stability of Caldern inverse conductivity problem in the plane. J. Math. Pures Appl. (9) 88 (2007), no. 6, [BeC1988] [BeM] [Br] [Bu] [BuU] R. Beals and R. Coifman, The spectral problem for the Davey- Stewarson and Ishimori hierarchies, In nonlinear evolution equations: Integrability and spectral methods, p , Manchester University Press, (1988). Belti??, Ingrid; Melin, Anders Local smoothing for the backscattering transform. Comm. Partial Differential Equations 34 (2009), no. 1-3, R. Brown, Global uniqueness in the impedance imaging problem for less regular conductivities, SIAM J. Math. Anal. 27, (1996), Bukhgeim, A. L. Recovering a potential from Cauchy data in the two-dimensional case. J. Inverse Ill-Posed Probl. 16 (2008), no. 1, Bukhgeim, Alexander L.; Uhlmann, Gunther Recovering a potential from partial Cauchy data. Comm. Partial Differential Equations 27 (2002), no. 3-4,

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