3 Aplicaciones de primer orden

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1 CAPÍTULO 3 Aplicaciones e primer oren 3.5 Mezclas Si isolvemos 0 g e azúcar en 20 ` e agua, obenemos una solución ulce con una concenración C D 0 g/` D 25 g/` e azúcar (se lee 25 gramos por liro y significa 25 gramos e azúcar por caa liro 20 e solución). Cuano isolvemos 10 lb e sal en gal e agua, obenemos una solución salina o salmuera con una concenración C D 10 lb/gal D 0:2 lb/gal e sal (léase 0:2 libras por galón). En general, si isolvemos Q kg (o cualquier unia e masa) e un soluo en V ` (o alguna ora unia e volumen) e un solvene, obenemos una solución con una concenración C D Q kg/` el soluo (leío V C kilogramos por liro y enenio como C kilogramos e soluo por caa liro e solución). Eso es 0 g en 20 ` 10 lb en gal Q kg en V ` C D 25 g/` C D 0:2 lb/gal C D Q V kg/` Ahora supongamos que inicialmene (en D 0) enemos en un anque una cania V 0 e solución one hay isuela una cania Q 0 e un soluo. Supongamos ambién que, a parir e D 0, se eja enrar ora solución al anque con una rapiez R e (flujo e enraa) y con una concenración C e (concenración e enraa) el mismo soluo y que, al mismo iempo, se eja salir el anque la nueva solución (consieraa uniforme por mezclao) con una rapiez R s (flujo e salia) y una concenración C s (concenración e sali- 1. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/

2 2 Ecuaciones iferenciales orinarias a) el mismo soluo. Observamos lo siguiene: 1. Si R e D R s, enonces la cania V 0 e solución se maniene consane al paso el iempo. 2. Si R e R s, enonces la cania V e solución será función el iempo ; es ecir, V D V./. Aún más, si R e > R s, enonces V./ > V 0 (aemás es creciene); mienras que, si R e < R s, enonces V./ < V 0 (aemás es ecreciene). 3. En general, la cania Q e soluo en el anque será función el iempo ; es ecir, Q D Q./. 4. Igualmene, la concenración C el soluo en el anque será función el iempo ; y variará según que R e D R s o que R e R s, eso es, C./ D Q./ V 0 o bien C./ D Q./ V./ : 5. Un problema que es e inerés en esa clase e procesos consise en eerminar la cania Q./ e soluo en el anque en cualquier insane 0. Para resolver ese problema proceemos como sigue: Consieremos primero la rapiez con que cambia la cania e soluo Q./ en el anque, la cual esá aa por la rapiez con que enra el soluo menos la rapiez con la que sale. Eso es, Si omamos en cuena que Q./ D ( rapiez con que enra el soluo ) ( rapiez con que sale el soluo ) : la rapiez con que enra el soluo es R e C e ; la rapiez con que sale el soluo es R s C s D R s C./. El moelo e ese proceso quea como el PVI: Q./ D R ec e R s C./; con Q.0/ D Q 0 : El méoo e solución e ese PVI epenerá e las coniciones el problema. Ejemplo En un anque que coniene ` e agua, inicialmene se isuelven 5 kg e sal. Luego se bombea salmuera al anque a razón e 20 `/min y la solución uniformemene mezclaa se bombea hacia afuera el anque a la misma razón. Consierano que la concenración e la solución que enra es e 0:01 kg/`, eerminar: 1. La cania e sal que hay en el anque en cualquier insane La cania e sal en el anque espués e 30 min. 3. La cania e sal en el anque espués e mucho iempo. 4. El iempo que ebe ranscurrir para que haya 8 kg e sal en el anque. H Sea Q./ la cania (en kg) e sal en el anque espués e min. Como inicialmene se ienen 5 kg e sal, enonces Q.0/ D 5. La rapiez e cambio e la cania Q./ e sal en el anque en el insane es Q./ D ( rapiez con que enra la sal ) ( rapiez con que sale la sal ) : Con qué rapiez enra la sal al anque?

3 3.5 Mezclas 3 Ya que la solución enra con una rapiez R e D 20 `/min y con una concenración C e D 0:01 kg/`, enonces la rapiez con que enra la sal al anque es R e C e D.20 `/min/ ( 0:01 kg/`) D 0:2 kg/min: Con qué rapiez sale la sal el anque? La rapiez con que sale la solución el anque es R s D 20 `/min. Sin embargo, la concenración e sal a la salia se ebe hallar a parir e esas consieraciones: Ya que enra solución a razón e 20 `/min y sale solución a la misma razón, es claro que el volumen V e solución en el anque es consane: V D volumen inicial D `. Después e minuos hay Q./ kg e sal isuelos en ` e solución, por lo que la concenración e sal en la solución que sale es C s D Q./ V Enonces la rapiez con que sale la sal el anque es [ ] Q./ R s C s D.20 `/min/ kg/` D Q./ kg/`: D Q./ kg/min: Por lo ano, la rapiez e cambio e la cania Q./ e sal en el anque, espués e minuos es Q./ D R ec e R s C s D 0:2 Q./ La cania e sal en el anque Q./ esá aa por la solución el PVI: 1. Resolvemos la ecuación iferencial: ) Q 0./ C Q./ D 0:2 : Q 0./ C 1 Q./ D 0:2; con Q.0/ D 5: Q 0./ C 1 Q./ D 0:2I la cual es una ED lineal no homogénea y iene por facor inegrane a e 1, por lo que e [Q 0./ C 1 ] Q./ D 0:2e ) [ ] e Q./ D 0:2e ) ) e Q./ D 0:2 ) Q./ D e e D.0:2/./e C C ) ) ( 10e C C ) Q./ D 10 C Ce : Ahora bien, consierano la conición inicial, enconramos que Q.0/ D 5 ) Q.0/ D 10 C Ce 0 D 5 ) 10 C C D 5 ) C D 5; Q./ D 10 es la cania e sal (en kg) que hay en el anque espués e minuos. 2. La cania e sal que hay espués e 30 min: Q.30/ D 10 5e 30 D 10 5e 0:6 7: ) Q.30/ 7:256 kg. 5e

4 4 Ecuaciones iferenciales orinarias 3. La cania e sal que hay espués e mucho iempo la poemos enoar y calcular como sigue: ( ) ( ) 5 Q lím D lím Q./ D lím 10 5e D lím 10 D 10 ) Q lím D 10 kg.!1!1!1 e 4. Qué iempo ebe ranscurrir para que haya 8 kg e sal en el anque? Q./ D 8 ) 10 5e Es ecir, 45 minuos, 49 segunos. D 8 ) e D 8 10 D D 0:4 ) ) D ln.0:4/ ) D ln.0:4/ 45: min. Ejemplo Un anque que iene capacia para `, coniene inicialmene ` e agua con 8 kg e sal isuela. Se bombea salmuera al anque a razón e 20 `/min y la solución uniformemene mezclaa se bombea hacia afuera a razón e 15 `/min. Consierano que la concenración e la solución que enra es e 0:01 kg/`, eerminar: 1. La cania e sal que hay en el anque espués e minuos. 2. La cania e sal que hay en el anque espués e 1 h. 3. La concenración e sal en el anque cuano ése se llena. H Sea Q./ la cania (en kg) e sal en el anque espués e minuos. Como inicialmene se ienen 8 kg e sal, enonces Q.0/ D 8. La rapiez e cambio e la cania Q./ e sal en el anque en el insane es Q./ D ( rapiez con que enra la sal ) ( rapiez con que sale la sal ) : Con qué rapiez enra la sal al anque? Ya que la solución enra con una rapiez R e D 20 `/min y con una concenración C e D 0:01 kg/`, enonces la rapiez con que enra la sal al anque es R e C e D.20 `/min/ ( 0:01 kg/`) D 0:2 kg/min: La rapiez con que sale la solución el anque es R s D 15 `/min. Pero con qué concenración e sal? Ya que enra solución a razón e 20 `/min y sale solución a razón e 15 `/min, enonces quean en el anque 5 ` e solución en caa minuo que ranscurre. Después e minuos habrán queao almacenaos en el anque 5 ` e solución, los cuales se sumarán a los ` e solución iniciales. Es ecir, espués e minuos habrá en el anque C 5/ ` e solución en los que esarán isuelos Q./ kg e sal, por lo cual la concenración e sal en la solución que sale es C s D Q./ C 5 kg/`: Enonces la rapiez con que sale la sal el anque es [ ] Q./ R s C s D.15 `/min/ C 5 kg/` D 15Q./ C 5 kg/min: Por lo ano, la rapiez e cambio e la cania Q./ e sal en el anque, espués e minuos es Q./ D R ec e R s C s D 0:2 15Q./ C 5 ;

5 3.5 Mezclas 5 o sea, Q 0 15./ C Q./ D 0:2 : C 5 Luego, la cania Q./ esá aa por la solución el PVI: Q 0./ C 1. Resolvemos la ecuación iferencial: 3 Q./ D 0:2; con Q.0/ D 8: 200 C Q 0./ C 3 Q./ D 0:2; 200 C la cual es una ED lineal no homogénea y iene por facor inegrane lo siguiene: R 3 e 200C D e 3 R 200C D e 3 ln.200c/ D e ln.200c/3 D.200 C / 3 ; por lo que: ].200 C / [Q / C 200 C Q./ D 0:2.200 C / 3 ) [.200 C / 3 Q./ ] D 0:2.200 C / 3 ) ).200 C / 3 Q./ D 0:2.200 C / C /4 D 0:2 C C ) 4 ) Q./ D 0: C /4 C C C D 0: C / C.200 C / C / : 3 Ahora bien, consierano la conición inicial, por lo que, Q.0/ D 8 ) Q.0/ D 0:05.200/ C C.200/ D 8 ) 10 C C 3.200/ D 8 ) 3 ) C D.8 10/.200/ 3 ) C D 2.200/ 3 I Q./ D 0: C / 2.200/ 3 ( ) ) Q./ D 0: C / C / C es la cania (en kg) e sal que hay en el anque espués e minuos. 2. La cania e sal que hay en el anque espués e una hora (60 min) es ( ) ( ) Q.60/ D 0: C 60/ 2 D 0:05.260/ 2 ) 200 C ) Q.60/ D 13 0:91 D 12:09 ) Q.60/ D 12:09 kg. 3. Cuál es la concenración e sal en el anque cuano ése se llena? Primero veamos que el anque se llena cuano el volumen variable V./ D C 5 se iguala con la capacia el anque e `. Eso sucee cuano V./ D ) C 5 D ) 5 D ) D 200: Es ecir, el anque se llena cuano han ranscurrio D 200 min. La cania e sal que hay en el anque en icho insane es ( ) Q.200/ D 0: C 200/ 2 D 0:05.400/ C 200 ) Q.200/ D 19:75 kg. ( ) D ( ) 1 D 19:75 ) 8

6 6 Ecuaciones iferenciales orinarias Por lo ano, la concenración e sal en el anque en ese insane es C.200/ D Q.200/ :75 kg/` D kg/` ) C.200/ D 0:009875kg/` ) C.200/ 0:01kg/`: Ejemplo En un anque que coniene 0 gal e agua, inicialmene se isuelven 10 lb e sal. Luego se bombea salmuera al anque a razón e 4 gal/min y la solución uniformemene mezclaa se bombea hacia afuera el anque a razón e 5 gal/min. Consierano que la solución que enra iene sal con una concenración e 0:1 lb/gal, eerminar: 1. La cania e sal que hay en el anque espués e minuos. 2. La cania e sal en el anque espués e meia hora. 3. La concenración e sal en el anque cuano quean 100 gal e solución. H Sea Q./ la cania (en lb) e sal en el anque espués e minuos. Como inicialmene se ienen 10 lb e sal, enonces Q.0/ D 10. La rapiez e cambio e la cania Q./ e sal en el anque en el insane es Q./ D ( rapiez con que enra la sal ) ( rapiez con que sale la sal ) : Con qué rapiez enra la sal al anque? Ya que la solución enra con una rapiez R e D 4 gal/min y con una concenración C e D 0:1 lb/gal, enonces la rapiez con que enra la sal al anque es R e C e D ( 4 gal/min ) ( 0:1 lb/gal ) D 0:4 lb/min: Con qué rapiez sale la sal el anque? La rapiez con que la solución sale el anque es R s D 5 gal/min. Pero con qué concenración e sal? Ya que la salmuera enra a razón e 4 gal/min y la solución mezclaa sale a razón e 5 gal/min, enonces el anque piere 1 gal e solución en caa minuo que ranscurre. Después e minuos se habrán perio galones e solución e los 0 gal iniciales. Es ecir, espués e minuos quearán en el anque.0 / gal e solución, en los que esarán isuelas Q./ lb e sal, por lo que la concenración e sal en la solución que sale será C s D Q./ 0 lb/gal: Enonces la rapiez con que sale la sal el anque es R s C s D ( 5 gal/min ) [ ] Q./ 0 lb/gal D 5Q./ 0 lb/min: Por lo ano, la rapiez e cambio e la cania Q./ e sal en el anque, espués e minuos es o sea, Q./ D R ec e R s C s D 0:4 Q 0./ C 5 Q./ D 0:4 : 0 Luego, la cania Q./ esá aa por la solución el PVI: 5Q./ 0 I Q 0./ C 5 Q./ D 0:4; con Q.0/ D 10: 0

7 3.5 Mezclas 7 1. Resolvemos la ecuación iferencial: Q 0./ C 5 Q./ D 0:4 : 0 Ésa es una ED lineal no homogénea y iene por facor inegrane lo siguiene: por lo cual: R 5 e 0 D e 5 R 0 D e 5 ln.0 / D e ln.0 / 5 D.0 / 5 I [.0 / 5 Q 0./ C 5 ] 0 Q./ D 0:4.0 / 5 ) ).0 / 5 Q./ D 0:4 Ahora bien, consierano la conición inicial: [.0 / 5 Q./ ] D 0:4.0 / 5 ).0 / / D 0:4 C C ) 4 ) Q./ D.0 / 5 [ 0:1.0 / 4 C C ] D 0:1.0 / C C.0 / 5 : Q.0/ D 10 ) Q.0/ D 0:1.0/CC.0/ 5 D 10 ) CC.0/ 5 D 10 ) C D por lo que, Q./ D 0:1.0 / C 40 ( 0.0/.0 5 /5 ) Q./ D 0:1.0 / 40 0 es la cania (en lb) e sal que hay en el anque espués e minuos. 2. La cania e sal que hay en el anque espués e meia hora (30 min) es ( ) ( ) Q.30/ D 0:1.0 30/ 40 D 0:1.470/ 40 ) 0 0 ) Q.30/ D 47 29:3562 D 17:6438 ) Q.30/ D 17:6438 lb. 10.0/ 5 ) C D 40.0/ 5 I ) 5 3. Cuál es la concenración e sal en el anque cuano quean 100 gal e solución? Después e minuos hay en el anque 0 galones e solución y ésos serán 100 gal cuano: 0 D 100 ) D 400. Es ecir, en el anque hay 100 gal e solución cuano han ranscurrio D 400 min. La cania e sal en icho insane es ( ) ( ) Q.400/ D 0: / 40 D 0:1.100/ 40 D 10 0:0128 ) 0 0 ) Q.400/ D 9:9872 lb; por lo ano, la concenración e sal en el anque en ese insane es C.400/ D Q.400/ lb/gal D 9:9872 lb/gal ) C.400/ D 0: lb/gal ) ) C.400/ 0:1 lb/gal.

8 8 Ecuaciones iferenciales orinarias Ejemplo Un esanque coniene 100 m 3 e agua conaminaa. Con el propósio e esconaminarlo se inrouce agua limpia a razón e 2 m 3 /min y el agua conaminaa (uniformemene mezclaa) se eja salir el esanque a la misma razón. 1. Qué porcenaje e conaminanes se habrá eliminao espués e 1 h? 2. Qué iempo ebe ranscurrir para que los conaminanes isminuyan en un 90%? H Sea Q 0 la cania inicial (en D 0) e conaminanes en el esanque y sea Q./ la cania e conaminanes espués e minuos. La rapiez e cambio e la cania Q./ e conaminanes en el esanque, en el minuo 0 es Q./ D ( rapiez con que enran los conaminanes ) ( rapiez con que salen conaminanes ) : Como enra agua limpia al esanque, enonces naa enra e conaminane. Como enra y sale agua el esanque a la misma razón (2 m 3 /min), enonces la cania e agua en el esanque es siempre la misma (100 m 3 ), por lo cual la concenración e conaminanes en caa m 3 e agua que sale el esanque es Q./ 100. Luego, Q./ D 2.0/ 2Q./ 100 ) Q 0./ D Q./ : Por lo ano, la cania Q./ e conaminanes en el esanque, espués e minuos, esá aa por la solución el PVI: Q 0./ C 1 Q./ D 0; con Q.0/ D Q 0: Se observa que se raa e una ED lineal homogénea, que poemos resolver separano variables. 1. Qué porcenaje e conaminanes se habrá eliminao espués e una hora? Q 0./ C 1 Q./ D 0 ) Q 0./ D 1 Q./ ) Q 0./ Q./ D 1 ) Q 0./ ) Q./ D 1 ) ln Q./ D 1 C C ) ) Q./ D e ) Q./ D Ce que es la solución general e la ED. Ahora bien, Por lo que, 1 CC D e I e C D e Q.0/ D Q 0 ) Ce 0 D Q 0 ) C D Q 0 : Q./ D Q 0 e : C ) Enonces, la cania e conaminanes espués e 60 min (1 h), en el esanque, es Q.60/ D Q 0 e 60 D Q 0 e 1:2 : Así, la cania e conaminanes que se han eliminao el esanque, en 60 min, es Y qué porcenaje es esa cania e Q 0? Q 0 Q.60/ D Q 0 Q 0 e 1:2 D Q 0.1 e 1:2 /: Q 0 Q.60/.100/ D Q 0.1 e 1:2 / Q 0 Q.100/ D.1 e 1:2 /100 D 69:88 : 0 Por lo ano, espués e 1 h se habrá eliminao 69:88% e los conaminanes el esanque.

9 3.5 Mezclas 9 2. Qué iempo ebe ranscurrir para que los conaminanes isminuyan en un 90%? Si espués e D 1 minuos los conaminanes han isminuio en un 90%, enonces: Luego, Q. 1 / D 10% e Q 0 D.0:1/Q 0 : Q. 1 / D.0:1/Q 0 ) Q 0 e 1 D.0:1/Q 0 ) e 1 D 0:1 ) ) 1 D ln.0:1/ ) 1 D ln.0:1/ 115:13.min/: Por lo ano, para que los conaminanes en el esanque hayan isminuio en un 90% eben ranscurrir aproximaamene 115 minuos, 8 segunos. Ejercicios Mezclas. Soluciones en la página Un anque coniene 100 ` e agua salaa en el cual hay 2 kg e sal isuelos. Agua salaa con 0:25 kg e sal por liro enra al anque a razón e 16 `/min y la mezcla bien agiaa sale a la misma razón. a. Obener la cania e sal en el anque espués e minuos. b. Deerminar la cania e sal espués e 10 min. c. Deerminar la concenración e sal espués e meia hora.. Cuána sal hay espués e un iempo largo? 2. Un anque coniene gal e agua pura. Una solución e agua salaa con 1 lb e sal por galón enra al anque a razón e 2 gal/min y la mezcla bien agiaa sale a la misma razón. a. Cuána sal hay en el anque espués e minuos? b. Cuáno iempo ebe ranscurrir para que la mezcla el anque enga una concenración e 0:5 lb e sal por galón? c. Cuál es la concenración e sal espués e un iempo largo? 3. Un anque coniene 100 gal e agua salaa con 10 lb e sal isuela. Agua salaa con 1:5 lb e sal por galón enra al anque a razón e 3 gal/min y la mezcla bien agiaa sale a razón e 4 gal/min. a. Obener la cania e sal en el anque en cualquier iempo 0. b. Deerminar la cania e sal en el anque espués e 10 min. c. Calcular la concenración e sal en el anque espués e 20 min.. Deerminar la concenración e sal en el anque, cuano hay solamene 10 gal e solución. 4. Un anque con capacia para 0 gal coniene inicialmene 10 lb e sal isuelas en 200 gal e agua. Se bombea al anque salmuera que coniene 2 lb/gal a razón e 4 gal/min y se permie que la mezcla salga el anque a razón e 3 gal/min. a. Qué cania e sal hay en el anque espués e minuos? b. Cuál es la concenración e sal espués e una hora? c. Cuána sal coniene el anque cuano se llena?. Cuál es la concenración e sal en el anque cuano se llena? 5. Un anque coniene inicialmene 60 gal e agua pura. A razón e 2 gal/min enra al anque salmuera que coniene 1 lb e sal por galón y la solución uniformemene mezclaa sale el anque a razón e 3 gal/min.

10 10 Ecuaciones iferenciales orinarias a. Obener la cania e sal en el anque espués e minuos. b. Calcular la concenración e sal en el anque espués e meia hora. c. Deerminar la concenración e sal en el anque cuano hay solamene 10 gal e solución.. Cuál es la máxima cania e sal que llega a ener el anque? 6. Un epósio coniene 100 gal e salmuera en la que hay isuelas 40 lb e sal. Se esea reucir la concenración e sal hasa 0:1 lb/gal verieno agua pura en el epósio a razón e 5 gal/min y permiieno que salga a la misma razón. La mezcla se maniene uniforme. Cuáno iempo pasará hasa que se logre lo eseao? 7. Un gran anque esá parcialmene lleno con 100 gal e agua en los cuales hay 10 lb e sal isuela. Una salmuera que coniene 1 lb e sal por galón se bombea al anque con una rapiez e 6 gal/min. La 2 solución aecuaamene mezclaa se bombea hacia afuera el anque con una rapiez e 4 gal/min. Calcular el número e libras e sal que hay en el anque espués e 30 min. 8. Se bombea cerveza con un conenio e 8% e alcohol por galón a un anque que inicialmene coniene 0 gal e cerveza con 6% e alcohol. La cerveza se bombea hacia el inerior a razón e 5 gal/min en ano que el líquio mezclao se exrae el anque a razón e 6 gal/min. a. Qué cania e alcohol hay en el anque espués e minuos? b. Cuál es el porcenaje e alcohol en el anque espués e 1 h? 9. Un anque e 100 gal coniene inicialmene agua pura. Una solución e colorane al 30% fluye hacia el anque a una asa e 5 gal/min y la mezcla resulane sale a la misma asa. Después e 15 min el proceso se eiene y se hace fluir agua pura al anque a una asa e 5 gal/min (la mezcla sale a la misma asa). Encuenre la cania e colorane en el anque espués e 30 min. 10. Un anque e 100 gal se llena inicialmene con 40% e solución colorane. Una solución colorane al 20% fluye hacia el anque a una asa e 5 gal/min. La mezcla sale el anque a la misma asa y pasa a oro anque e 100 gal que se había llenao inicialmene con agua pura. La mezcla resulane sale el seguno anque a una asa e 5 gal/min. Obener una expresión para la cania e colorane en el seguno anque. Cuál es la concenración e colorane en el seguno anque espués e 30 min?

11 3.5 Mezclas 11 Ejercicios Mezclas. Página 9 1. a. Q./ D 25 23e 4 25 ; b. Q.10/ 20 kg, 356 g; c. C 30 D 0:2481 kg/`;. Q lim D 25 kg. 2. a. Q./ D 1 e b. 17 min, 20 s; «25 lb; c. C lim D 1 lb/gal a. Q./ D 1:5.100 / 140 lb; 100 b. Q.10/ D 43:146 lb; c. C 20 D 0:7832 lb/gal;. C 90 D 1:4986 lb/gal a. X./ D C / 390 lb; 200 C b. C 60 D 1:31725 lb/gal; c. X.300/ 975 lb;. C 300 D 1:95 lb/gal a. A./ D.60 / 60 lb; 60 b. C 30 D 0:75 lb/gal; c. C D 0:972 lb/gal;. A máx D 23:094 lb, en D 25:38 min. 6. D 27 min, 44 s. 7. Q.30/ D 64:375 lb. 8. a. A./ D 0:08.0 / gal; 0 b. 6:94%. 9. 7:477 gal C. 20/e 22:23%. 20 I