UN ESTUDIO ACERCA DE LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN, VISUALIZACIÓN. EN ALUMNOS DE UN CURSO DE CÁLCULO I.

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1 UN ESTUDIO ACERCA DE LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN, VISUALIZACIÓN. EN ALUMNOS DE UN CURSO DE CÁLCULO I. 1

2 UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZÁN VICERRECTORIA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO DIRECCIÓN DE POSTGRADO UN ESTUDIO ACERCA DE LA CONSTRUCCCIÓN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN, VISUALIZACIÓN. EN ALUMNOS DE UN CURSO DE CÁLCULO I Tesis para obtener el título de Máster en Matemática Educativa Tesista Licenciada: MELBA ILENIA ZÚNIGA LÓPEZ Asesor de Tesis Dr. FERNANDO ANTONIO HITT ESPINOSA Tegucigalpa, M.D.C., Mayo,

3 RECTORA MSc. Lea Azucena Cruz Cruz VICERRECTOR ACADÉMICO MSc. David Orlando Marín VICERRECTOR DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO Dr. Truman Bitelio Membreño VICERRECTOR DE EDUCACIÓN A DISTANCIA MSc. Gustavo Cerrato VICERRECTOR ADMINISTRATIVO MSc. Hermes Alduvín Díaz SECRETARIA GENERAL MSc. Iris Milagro Erazo Tábora DIRECTORA DE POSTGRADO Dra. Jenny Margoth Zelaya Tegucigalpa, Mayo,

4 Mi agradecimiento a Dios y a la Virgen María por su protección, provisión y compañía incondicional. A autoridades de la U.P.N.F.M., director y alumnos de la UNICAH- Choluteca, compañeros de generación, catedráticos, amigos. 4

5 Lo dedico a A mi madre por su apoyo, por no cansarse de esperar. A mis hermanos, quienes a pesar de todo, son mis admiradores. A la memoria de mi padre, por su amor eterno y admiración, no importa cuánto tiempo pase, siempre te recordaré con amor, papá. 5

6 Mi especial reconocimiento, gratitud y admiración Al Doctor Fernando Antonio Hitt Espinosa, quien con mucha gentileza y escamoteando tiempo a sus múltiples compromisos académicos, proporcionó su colaboración, orientación, conocimientos, cada momento, resultando para algunos inexplicable. De igual manera a los integrantes de mi terna Ivy Green Arrechavala, Marco Antonio Santillan, Jose Adalid Gutierrez, Y les digo, que sin ellos, sin su apoyo, sin su amor, sin su amistad, me hubiese sido más difícil lograrlo. Melba Ilenia Zúniga López 6

7 CONTENIDO páginas INTRODUCCION.8-10 CAPITULO 1: Problema de investigación 1.1 Presentación Justificación Objetivos de la Investigación Preguntas de Investigación..23 CAPITULO 2: Marco Teórico 2.1 Enfoque Constructivista de la Enseñanza Algo de Historia acerca del Concepto de Función Concepto de Función. Definición. Aspectos Cognitivos Visualización Matemática Representaciones Semióticas CAPITULO 3: Metodología de Investigación 3.1 Tipo de Investigación Población y Muestra Metodología Instrumentos de Investigación CAPITULO 4: Análisis e Interpretación de Resultados 4.1 Análisis e Interpretación de Resultados CAPITULO 5: Conclusiones 5.1 Conclusiones REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ANEXOS Ejercicio diagnóstico Actividades de Aprendizaje 7

8 INTRODUCCION La mirada del poeta proyecta en lo visible formas de objetos desconocidos, y su palabra dá a las nadas inasibles un lugar y un nombre. Le songe d une Nuit d été, V, 1. Este proyecto de investigación surge a partir de sugeridas líneas de investigación entre las que se mencionan: historia de las ideas matemáticas, obstáculos epistemológicos, ambientes computacionales, técnicas y herramientas didácticas, estudios acerca de dificultades en el aprendizaje del álgebra, la geometría, el cálculo, resolución de problemas, sistemas de representaciones y visualización, entre otras. Para la realización de esta propuesta, se tiene como sustento los marcos teóricos de sistemas de representación semiótica y de visualización; y para ello se ha adoptado principalmente, las ideas sobre significados y experimentos referentes a sistemas de representación semiótica y de visualización expuestos por Hitt ( ) y Duval (1993, 1995, 1998); particularmente. Sabemos que el concepto de función es de importancia fundamental en la enseñanza de las matemáticas, pues aparece en el pensum de secundaria y de los cursos de matemática I, precálculo, cálculo, por mencionar algunos, lo que es validado por Eisenberg (1992, p.174), quien expone: la noción de funciones desarrolla un sentido en los estudiantes que debe ser el principal objetivo de los currículos de secundaria y bachillerato. (citado por Hitt, 1998) Por medio de este estudio, se intenta mostrar las dificultades que presentan los estudiantes en la construcción del concepto matemático como es el de función, así como también las capacidades y debilidades en cuanto a tareas de interpretación, articulación de representaciones y de visualización, ya que en su enseñanza se ha tendido a sobrevalorar los procedimientos analíticos y de algoritmización (acercamiento procedural de la enseñanza), dejando de lado los argumentos visuales que son de apoyo en el aprendizaje significativo (acercamiento conceptual de la enseñanza), de igual manera se limita a un solo registro de representación; para lo 8

9 cual se diseñaron actividades que involucran dichas tareas que nos permiten explorar estas dificultades, capacidades y debilidades. Una de las características que ha llevado a dicho estudio es el hecho de que las representaciones (verbal, algebraica, gráfica, tabular) son sistemas simbólicos muy diferentes que se articulan de tal forma en cuanto a construir y definir conjuntamente el concepto matemático de función. Hacer un análisis de las preguntas planteadas, permite proponer este estudio que conlleve a mostrar errores cometidos por alumnos del curso de Cálculo I, que muestran una construcción deficiente del concepto de función. En general nuestra investigación, intenta elucidar sobre los procesos de visualización que realizan los estudiantes frente a una tarea dada en relación al concepto de función. Partiendo de lo anterior, surgen interrogantes acerca de De qué naturaleza son los procesos de visualización de los alumnos con respecto del concepto de función? En forma específica, Qué dificultades presentan los alumnos en las tareas de tratamiento y de conversión entre representaciones respecto a funciones? Haciendo mención de algunas. La presente tesis se estructura en 5 capítulos: problema de investigación, marco teórico, metodología de investigación, análisis e interpretación de resultados y conclusiones. El capítulo 1 El problema de investigación, presenta la manera en que se concibe el problema de investigación, ideas de cómo surge, en qué consiste la propuesta de estudio, qué se pretende con su realización y por qué se considera necesario llevar a cabo el estudio en mención. Así también se dan a conocer los objetivos que se persiguen y las preguntas sugeridas para encontrar respuesta a través de la realización de dicha investigación. El capítulo 2 Marco Teórico, resume las principales referencias teóricas del trabajo de investigación; de tal manera que considerándose en nuestro sistema educativo el enfoque constructivista como modelo de enseñanza, primeramente se presenta un extracto referente al enfoque en mención, seguidamente se expone acerca del 9

10 concepto en cuestión, algo de historia que conlleva a su definición, y aspectos acerca de su adquisición como conocimiento matemático significativo; y debido a que el tema de estudio está enfocado hacia la visualización, se ha creído conveniente y sobre todo necesario, hablar sobre esta teoría del pensamiento. De este modo, aquí encontraremos algunos puntos de vista sobre la visualización como un proceso del pensamiento matemático, revisando algunas posturas de teóricos sobre este menester, para después acercarnos y estudiar la teoría de semiosis, esto porque las representaciones semióticas están fuertemente ligadas con la visualización. El capítulo 3 Metodología de investigación, describe los aspectos de carácter metodológico del trabajo de investigación, cada una de las tareas que se han de realizar durante el proceso de investigación. De igual manera se explican los instrumentos aplicados para la recolección de datos que se utilizan en el proceso de investigación. En el capítulo 4 Análisis e interpretación de resultados, se muestran los datos generados en el proceso. Para este análisis se toma como punto de partida el conjunto de respuestas de los estudiantes a distintas tareas incluidas en las actividades asignadas. En el capítulo 5 Conclusiones, se da una interpretación de los resultados obtenidos de la investigación, en relación con los objetivos propuestos y del contexto en que se desarrolla en correspondencia con el marco de referencia. Termina listando todas las referencias bibliográficas utilizadas para el desarrollo de la investigación y, posteriormente aparecen los anexos que son de utilidad para el entendimiento de los datos, las ideas y resultados de este trabajo. 10

11 CAPITULO 1 11

12 PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 12

13 1.1 Presentación El presente es un estudio sobre el aprendizaje de diferentes aspectos relacionados con el concepto de función, realizada con alumnos del curso de Cálculo I de la Universidad Católica de Honduras, Campus Dios Espíritu Santo, de la ciudad de Choluteca; cuya finalidad principal es aportar al desarrollo del pensamiento matemático en el alumnado, en concreto sobre los razonamientos que utilizan y las estrategias que aplican los estudiantes para resolver cuestiones relacionadas con la construcción del concepto de función, visualización y la conversión de sus diferentes representaciones. Como lo señala Dreyfus (1990), uno de los campos de investigación actual se centra en el estudio de las dificultades que presentan los alumnos en procesos ligados a la visualización, tanto a los que se refieren a la interpretación que se hace a través de un gráfico por ejemplo, así como también de los distintos subconceptos ligados al concepto de función. (citado por Hitt, 2003) Tomamos entre otras, como referencias significativas, Hitt (1994, 1998, 2003, 2005, 2008); Duval (1993, 1995, 1998); De Guzmán (1996), Leinhardt (1990); Cuesta (2007); Santos y Agüero (2002); donde se revisan de manera exhaustiva las investigaciones sobre funciones centradas en visualización, representaciones semióticas, construcción de conceptos. Consideramos necesario entonces el preguntarnos y encontrar respuesta a: Por qué debemos desarrollar habilidades en nuestros estudiantes sobre la visualización matemática? Cómo induce, cómo genera el profesor la construcción del concepto de función en sus alumnos? Más aún Qué importancia tienen las diferentes representaciones en la adquisición de este concepto? Y, Qué habilidades poseen los alumnos para comprender dicho concepto? La visualización ha estado generalmente considerada sólo como un soporte que ayuda a la intuición y formación del concepto en el aprendizaje matemático, pero 13

14 desde hace pocos años, muchos matemáticos han reconocido la importancia del razonamiento visual no sólo en el descubrimiento, sino también en la descripción y justificación de resultados. Pues, la visualización también juega un papel importante en el desarrollo de las estructuras cognitivas del alumno y un papel esencial en el pensamiento matemático. Eisenberg y Dreyfus (1990) (citados por Hitt, 2003) nos han mostrado que existe una resistencia por parte de estudiantes y profesores a visualizar en matemáticas. Existen muchas investigaciones que nos muestran de manera contundente que los estudiantes de diferentes niveles educativos tienen una gran resistencia a utilizar diferentes representaciones que podrían ayudarlos tanto en la construcción de conocimiento matemático como en la resolución de problemas. Y, Qué debemos entender por construcción, entonces? Al respecto Leinhardt (1990) dice que: entendemos por construcción, aquella acción en la que el alumno debe generar una cosa nueva. Hay que tener en cuenta que, mientras una interpretación no requiere ninguna construcción, una construcción se apoya a menudo en algún tipo de interpretación (acción en la que el alumno obtiene significado o información a través de un lenguaje determinado). El estudio del concepto de función, su enseñanza y aprendizaje está propuesto en el currículo de nivel de secundaria y sigue siendo desarrollado en el nivel superior ocupando un lugar importante en la enseñanza, por lo que consideramos no debería presentar ningún obstáculo para su aprendizaje, para su comprensión. Sin embargo, experimentaciones han evidenciado que no se plantean situaciones didácticas orientadas a la construcción paso a paso de los numerosos conceptos relacionados con las funciones y al manejo simultáneo de los distintos lenguajes de representación de una función, sino lo que se hace generalmente es proporcionar al alumno una serie de pasos o procedimientos que permitan resolver ejercicios y problemas estandarizados. Siendo precisos, la representación de funciones todavía se reduce al trazado de la gráfica de una función dada en una expresión algebraica, representación que se hace siguiendo unos pasos previamente determinados (punto por punto, puntos de intersección, asíntotas, etc.) utilizando técnicas relativas a algoritmizar el paso del lenguaje algebraico a gráfico. 14

15 Si bien es cierto, en investigaciones sobre la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas al estudiar un objeto matemático, se ha puesto en primer plano la incorporación de manera sistemática de diversas representaciones, pero tales estudios no han enfatizado en la operación de pasar de una representación a otra; a lo que Duval (1998) en su teoría sobre registros de representación semiótica llama a esa operación conversión, la cual involucra un cambio de registro, es una actividad cognitiva fundamentalmente necesaria para lograr una aprehensión conceptual de los objetos matemáticos. No podemos decir que esta operación de conversión no haya sido considerada en la enseñanza pero, en la particularidad del concepto de función se ha centrado como hemos mencionado en párrafos anteriores solamente en la conversión del registro algebraico al gráfico, es mas sólo en esa dirección, limitando de esta manera a lo que Duval define como tratamiento, siendo esto la operación de transformar una representación en otra dentro de un mismo registro. Por lo anterior, una de las intenciones en este estudio, en relación al concepto de función, es el promover la conversión del registro gráfico al registro algebraico, al registro verbal, siendo cada uno de estos en un momento un registro de partida y el otro un registro de llegada. Podemos considerar que el uso por los estudiantes de tratamientos propios de estos registros favorecerá no sólo una aprehensión perceptual de las funciones, sino también una aprensión operatoria y conceptual, siendo tales actividades un medio para promover un aprendizaje significativo en el estudiante. Se puede decir entonces que, esta investigación se fundamenta en procurar situaciones que den cuerpo a los contenidos propiamente matemáticos, en el tema que nos ocupa, lo cual consiste en la utilización del lenguaje natural, algebraico, tabular, gráfico, como elementos primordiales para lograr un conocimiento o aprehensión significativa del concepto de función y, siempre que sea posible utilizar más de un lenguaje a la vez y, hacer el paso de un lenguaje a otro, procurando en los alumnos tareas de interpretación, de conversión y de construcción del concepto, siendo esta la finalidad concreta y esperada. Lo anterior permite explorar qué dificultades afrontan los alumnos en cuanto a la construcción del concepto de función, puesto que dicho concepto es fundamental en el aprendizaje de estudios matemáticos posteriores, como ya se ha mencionado. Un 15

16 alumno que no ha desarrollado habilidades visuales ligadas a la construcción de conceptos, y en particular el que promueve este estudio, presentará grandes dificultades en el entendimiento, es mas podemos afirmar no podrá lograr entender cálculo, exponiendo esto como un claro ejemplo. Diversas experimentaciones realizadas por investigadores en matemática educativa y nuestra experiencia docente, nos permite confirmar que los estudiantes presentan mayor dificultad al pasar del registro gráfico al algebraico, al respecto Duval dice: Esta conversión exige que se discriminen las unidades significantes de cada registro, es decir, es necesario identificar bien en el registro gráfico las variables visuales pertinentes con sus diferentes valores y, en la escritura algebraica de una relación, las diferentes oposiciones paradigmáticas que dan significación, y no solamente un objeto, a los símbolos utilizados.(duval, 1998) No sólo es importante entender las dificultades para manipular una de las representaciones, también lo es el análisis de las tareas de conversión entre representaciones que debemos proponer a nuestros estudiantes. Es por ello que exhortamos a los profesores de matemáticas para incorporar, promover y desarrollar el proceso de visualización en el aula con los estudiantes. 1.2 Justificación Refiriéndonos al concepto de función no nos cabe duda que es de importancia fundamental en la enseñanza de las matemáticas, es muy utilizado en la enseñanza media y superior, ya que es un concepto básico para cursos siguientes; por lo que profesores y alumnos deben saber que es indispensable su comprensión para el aprendizaje de conceptos más avanzados como en el caso del cálculo. Pero diferentes investigaciones muestran las dificultades que presenta para los alumnos su comprensión, implica pues, un motivo más para realizar dicho estudio que nos proporcione una alternativa para su aprendizaje. Investigaciones recientes que intentan explicar los fenómenos ligados al aprendizaje de las matemáticas han mostrado lo complejo que puede ser la adquisición de conocimientos. Las metodologías de investigación para analizar la construcción de conceptos matemáticos cada vez son más finas, y los resultados de investigación nos muestran que, en general, debemos abordar esta problemática desde varios puntos de vista. Uno, de corte general, que tiene que ver con la adquisición de conocimiento y 16

17 consideraciones teóricas sobre la construcción de conceptos matemáticos; y otro, que tiene que ver directamente con la complejidad intrínseca del concepto matemático en cuestión. (Hitt, 2003, p.214) Desde una perspectiva teórica, Duval señala que: Estamos en presencia de lo que se podría llamar la paradoja cognitiva del pensamiento matemático: por un lado la aprehensión de los objetos matemáticos no puede ser otra cosa que una aprehensión conceptual y, por otro lado, solamente por medio de las representaciones semióticas es posible una actividad sobre los objetos matemáticos. (Duval, 1998, p.175) De nuevo la interrogante: Por qué debemos desarrollar habilidades en nuestros estudiantes sobre la visualización matemática? Supongamos que proponemos a nuestros estudiantes que resuelvan la siguiente ecuación (1) : Nuestra experiencia nos indica que en general este tipo de ejercicios es difícil para los estudiantes de enseñanza media y en un buen porcentaje para los de universidad, Por qué?; como ya se ha mencionado antes, los estudiantes están acostumbrados a trabajar en el sistema algebraico por lo que son propensos a cometer errores que dificultan sus procesos de resolución. Un ejemplo de actuación sería transformar la expresión, en la expresión ( x 1) 2 = ( x +1) 2 y obtener que, llegando a que y, de aquí inferir resultados contradictorios. Una gráfica como la de la figura (1) seguramente les plantearía la necesidad de revisar su proceso algebraico: FIGURA 1 1 Ejemplo tomado de Hitt,

18 Hasta ahora nos hemos referido a la dificultad en los estudiantes, pero a continuación presentaremos un ejemplo claro de experimentación educativa, (en donde la visualización es un elemento primordial para el aprendizaje) que nos muestra dificultades que tienen los profesores, veamos: En una experimentación (2) con una muestra de 9 profesores de enseñanza media, se les solicitó que diseñaran una clase del tema que ellos quisieran, sin utilizar notas o libros. Uno de los 9, que participaron en esa experimentación, seleccionó el tema de función lineal. He aquí lo que presentó: Propuesta del profesor Interpretación (transcripción fiel) Que el alumno determine la representación algebraica del siguiente problema: La edad del padre de Juan es el doble de la edad de este dentro de 5 años y= edad del padre de Juan; (variable dependiente) x= edad de Juan; (variable independiente) Modelo algebraico logrando que el alumno indique esto; tan solo una de sus compañeras enunció dicho problema, con lo que ellos mismos determinaron que la edad del padre estaba en función de la edad del hijo. Estableciendo la representación algebraica del problema, podremos asignarle a Juan una serie de edades de la siguiente forma: Si Juan no ha nacido Cuál es la edad de su padre? Así que para cuando Juan tiene, 10, 15, 20 años Cuál será la edad del padre? Para cuando Juan tiene 10 años la edad de su padre es de 25 años. El enunciado tal como se presenta parece más cercano a una interpretación algebraica como, que difiere de la proporcionada por el profesor. Pero el punto más importante es que en realidad el profesor está planteando una ecuación y no una función. Tendrá claro el profesor la diferencia entre ecuación y función? Por la manera que el profesor presenta su ejemplo, pareciera que está proporcionando un ejemplo que efectivamente él desarrolló en el aula. Para cuando Juan tiene 15 años la edad de su padre será de 35 años Para cuando Juan cumpla 20 años mayor de edad, la edad de su padre será de 45 años. Por medio del ejemplo anterior lo podremos interpretar gráficamente por medio de parejas ordenadas, donde: Obteniendo los siguientes puntos y denotándolos por: Si Juan tiene un año, el padre tendrá 6 años! El 2 Ejemplo tomado de Hitt, 2005, págs

19 Elaborando una gráfica en el sistema cartesiano, de la forma: 50 profesor ha proporcionado un ejemplo irreal carente de lógica Obteniendo el siguiente diagrama sagital: Regla de Correspondencia El profesor pasa de caso discreto al continuo sin explicación alguna. D cd x De tal forma que la gráfica obtenida corresponde a una gráfica de una línea Recta a la cual se le llamará Función lineal, de la misma forma se observará que para cada valor de le corresponde al menos una, con lo que se le puede inducir que corresponde a una función inyectiva; los valores de D (dominio) van de uno menor a uno mayor de tal forma que decimos que la función es creciente, y como para cada valor que le asignemos a, existe un valor para, con lo cual la definimos como continua para Podremos dejar que el alumno encuentre y grafique:, continua. - La analogía de grados Centígrados a grados Fahrenheit, Graficándola y enunciando una serie de características de este ejemplo. - Un móvil desarrolla una velocidad de cinco veces su distancia recorrida, menos cuatro metros en un tiempo determinado, etcétera. Qué significado le podemos dar a las edades negativas? El profesor regresa a una representación discreta sin explicar el por qué de ello. El profesor se contradice con la definición de función: para cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del codominio Su definición de continuidad la considera equivalente a que la función esté definida en cada punto. Ambigüedad en el enunciado 19

20 Al parecer este profesor no se percata de las contradicciones lógicas en las que continuamente se encontraba, ( un padre que a la edad de 6 años tenga un hijo de 1!) en resumen: producto de la enseñanza, tendremos alumnos que frente a una contradicción, no generaran un conflicto cognitivo (reconocimiento de que algo anda mal) y su desempeño será bajo en la resolución de problemas. (Hitt, 2005, p. 85) Los 2 ejemplos dados anteriormente nos permiten ver claramente que en efecto si existen dificultades en la comprensión del concepto de función, lo cual genera mayores conflictos en el entendimiento del cálculo, a lo que Hitt (1996) argumenta: La dificultad que tienen los alumnos y algunos profesores de enseñanza media para desarrollar un entendimiento profundo del concepto de función es que generalmente se restringen a una manipulación algebraica que produce una limitación en su comprensión. Los obstáculos para operar con la visualización por parte de los estudiantes al momento de estudiar algún concepto matemático, y en particular el de función, muestran la importancia de desarrollar la habilidad visual. Y, si tomamos en consideración los lineamientos teóricos de Duval (1993, 1995,1998), podemos ver que, para la construcción de conceptos matemáticos no es suficiente trabajar las actividades dentro de un solo sistema de representación, sino también realizar tareas de conversión de una representación a otra, es decir, la construcción es explicada a través de los registros de representación procurando la articulación entre las representaciones de esos registros, siendo estas las que propiciarán la construcción de conceptos matemáticos. Dicho de otra manera, debemos comprender que es absolutamente necesario contar con actividades de conversión de por lo menos dos registros de representación para que las representaciones en juego, proporcionen un soporte a la construcción del concepto en cuestión. Siendo así, el concepto de función es presto a ello, pues entran en juego el registro de representación de lengua natural, el de las expresiones algebraicas, tabulares, gráficas. Pero las investigaciones en educación matemática nos hacen saber que en general la representación algebraica es la preferida por los profesores. 20

21 En relación al concepto que nos involucra para el estudio, y muy particularmente refiriéndose a funciones lineales Duval (citado por Hitt, 2003), introduce la noción de variable visual y nos convence de la habilidad que inconscientemente hemos desarrollado sobre las variables visuales para analizar una gráfica y poder determinar su correspondiente expresión algebraica. Es decir, un estudiante que está en proceso de construcción de un concepto como el de recta y su representación algebraica, tendrá muchos problemas de aprendizaje si el profesor solamente solicita tareas de conversión de una expresión algebraica a su correspondiente gráfica. Que además, este proceso de graficar punto a punto causará un obstáculo para cuando se quiera leer una gráfica para encontrar su correspondiente expresión algebraica. Ya que, para este proceso inverso, es necesario que el alumno haya desarrollado la habilidad de una visión global del comportamiento de las rectas en su forma gráfica que tiene que ver precisamente con el carácter de las variables visuales de las que señala Duval (1988). Como bien lo señalan Eisenberg y Dreyfus (1991) que, aunque existen muchos partidarios de los beneficios que se pueden obtener de la visualización de los conceptos matemáticos, muchos estudiantes son renuentes a aceptarla, prefieren el trabajo algorítmico más que el pensamiento visual, aducen, que el pensamiento visual requiere de poner en juego procesos cognitivos superiores a los que demanda el pensamiento algorítmico. (citados por Hitt, 2003) Lo anterior nos sugiere la necesidad de buscar valorar la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, específicamente el concepto de función, a través de la conversión de representaciones de los registros algebraico, verbal, tabular, gráfico; proponiendo actividades que se puedan realizar con los alumnos, en las cuales manifiesten habilidades en el desarrollo de tareas que conlleven a visualizar y realizar las diferentes representaciones. Además, el uso de diferentes representaciones puede aclarar diferentes aspectos de un concepto o de sus relaciones con otros conceptos, modelar o interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos. Por todo, nuestro interés específico se sitúa en la necesidad de realizar un estudio acerca del grado de visualización del concepto de función y sus diferentes representaciones, que tienen los alumnos del curso de Cálculo I de la Universidad Católica de Honduras, Campus Dios Espíritu Santo, de la ciudad de Choluteca, para 21

22 de esta manera contar con un argumento teórico que permita posteriormente generar propuestas didácticas, que conlleven a un proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas con adquisición de conocimientos significativos. 1.3 Objetivos de la Investigación El objetivo principal de este trabajo de investigación, es conocer cómo los estudiantes del curso de Cálculo I de la Universidad Católica de Honduras, Campus Dios Espíritu Santo, visualizan el concepto de función y su capacidad en los procesos de conversión en sus diferentes representaciones. Los objetivos específicos que persigue esta investigación son: Explorar y realizar un análisis acerca de las dificultades de los alumnos en cuanto a tareas de interpretación, de conversión y de construcción asociadas con funciones y sus representaciones verbal, algebraica, tabular, gráfica. Explorar y analizar las razones estructurales de los problemas de comprensión de los alumnos, sus capacidades de razonamiento, de análisis y de visualización. 1.4 Preguntas de Investigación Qué dificultades presentan los alumnos de nivel superior sobre las tareas de interpretación, de conversión y de construcción asociadas con funciones y sus diferentes representaciones? Cuáles son las capacidades y debilidades que manifiestan los alumnos del nivel superior en cuanto a la comprensión, razonamiento, análisis y visualización respecto a funciones y sus representaciones? 22

23 CAPITULO 2 23

24 MARCO TEÓRICO 24

25 2. 1 Enfoque Constructivista. El tener conciencia del proceso educativo y de una dualidad que compete al mismo, por un lado la necesidad de explicitar una teoría científica que lo argumente y por otro una práctica que tome forma clara y precisa de las ideas, se ha dado hasta hace poco. De lo que resulta interesante saber cómo aprende el ser humano, de manera particular, cómo se logra el aprendizaje en nuestros alumnos. Desde el punto de vista constructivista el aprendizaje no tiene nada que ver con memorizar, automatizar, repetir, sino más bien aprender consiste en poner en juego o desarrollar las competencias que lo han hecho posible desde sus inicios como son: deducir, inferir, conjeturar, descubrir, resolver, argumentar, etc. En matemática educativa contamos con aportaciones teóricas que intentan explicar la construcción del conocimiento matemático desde posturas didácticas, cognitivas, sociales, lingüístico o antropológico entre otras. Los teóricos argumentan que debemos conocer como se aprende para de ahí derivar estrategias que propicien el aprendizaje. Ausubel (2002) dice: El potencial cognitivo humano a diferencia de un ordenador no puede manejar con mucha eficacia información que se enlaza con él de manera literal. Considera que, la condición más importante para que el aprendizaje sea significativo es que pueda relacionarse, de modo no arbitrario y sustancial, con lo que el alumno ya sabe. Esto implica que nunca se construye a partir de cero, sino sobre la base del saber que se ha construido hasta el momento y de las estructuras mentales alcanzadas. Así mismo, como lo menciona Catsigeras y Curione (2005): paradójicamente la mayoría de las dificultades en el aprendizaje de los contenidos del curso de Cálculo se encuentra en aquellos contenidos de la asignatura que son revisión de los últimos años de enseñanza secundaria. (p.1) 25

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