Programación Lineal y Optimización Primer Examen Parcial :Solución Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011

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1 Programación Lineal y Optimización Primer Examen Parcial : Profr. Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011 Matrícula: Nombre: 1. Una pequeña empresa fabrica sustancias de dos tipos a partir de tres materias primas, llamadas A, B, C. Un kilogramo de la sustancia tipo 1 se vende en $800 y para su fabricación se requiere un kilogramo de A, un kilogramo de B y 30 gramos de C. Un kilogramo del tipo 2 se vende en $500, y para su fabricación se necesita un kilogramo de A, 2 kilogramos de B y 20 gramos de C. La empresa adquiere cada kilogramo de la materia prima A en 100 pesos, el costo por kilogramo de la materia prima B es de 120 pesos y cada 100 gramos de C tienen un costo de 2000 pesos. Los proveedores de la compañía pueden surtir a lo más 150 kilogramos de la materia prima A; de la sustancia B, 240 kilogramos y de la sustancia C, 400 gramos. El costo de producción para obtener un kilogramo de la sustancia tipo I es de 30 pesos y el de la sustancia tipo II es de 25 pesos el kilogramo. La compañía desea conocer cuántos kilogramos de cada tipo de sustancia debe producir a la semana con el fin de maximizar la ganancia. Se supone que toda la producción semanal puede ser vendida. a) Modele la situación mediante programación lineal. Suponga que las variables de decisión son x i el total de sustancia tipo i (i = 1, 2) a producir. Indique: la función objetivo y cada restricción. b) Indique cómo queda la forma estándar del modelo. c) Indique cómo queda el tableau inicial. MODELO Variables de decisión: x 1 = kilogramos de la sustancia tipo 1 a producir semanalmente. x 2 = kilogramos de la sustancia tipo 2 a producir semanalmente. Objetivo: Sea v i el precio de venta, en pesos por kilogramo de cada una de las sustancias que fabrica. Desglosando los ingresos y los egresos tenemos: Ventas. La venta total es V = v 1 x 1 + v 2 x 2 Materia prima. Observe que el precio de la sustancia C es 2000 pesos cada 100 gramos. Es decir, que cada 10 gramos cuestan 200 pesos. De donde donde concluimos que cada kilogramo de la sustancia 1 lleva 600 pesos del producto C y cada kilogramo de la sustancia 2 se lleva 400 pesos del producto C. Por la sustancia 1: M 1 = x 1 ( ). Por la sustancia 2: MP 2 = x 2 ( ). Así el costo por la materia prima es Producción. El costo de producción queda: MP = 820 x x 2 Por tanto, la ganancia de la compañía queda: P = 30 x x 2 G = V MP P = (v 1 850) x 1 + (v 2 765) x 2 Respecto a A (en kg): x x Respecto a B (en kg): x x Respecto a C (en gr): x x

2 TC3001, primer parcial enero-mayo Naturales: x 1, x 2 0. FORMA ESTÁNDAR : Maximizar z = (v 1 850) x 1 + (v 2 765) x 2 Sujeta a: x 1 + x 2 + s 1 = 150 x x 2 + s 2 = x x 2 + s 3 = 400 con x 1, x 2, s 1, s 2, y s 3 no negativos. TABLA INICIAL DEL SIMPLEX : z x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 RHS VB v v z s s s 3 2. Una compañía produce artículos de dos tipos, realizando las operaciones M y T. La máquina de la operación M cuesta $1000/hora de funcionamiento y la de la operación T cuesta $2300/hora. El costo del material para una unidad del artículo 1 es $50, y para una unidad del artículo 2 es de $140. Los precios de venta para los artículos son respectivamente de $4000 y $5000 la unidad. Los tiempos de proceso requeridos por una unidad de cada tipo de artículo se dan en la siguiente tabla: Horas de operación por unidad TIPO DE ARTÍCULO M T A A La compañía desea conocer cuántas unidades de cada tipo de artículo debe fabricar a la semana para obtener la máxima utilidad. Modele la situación mediante programación lineal. Describa las variables de decisión y las restricciones. Indique cómo queda la forma estándar del modelo. MODELO Variables de decisión X 1 : cantidad de artículos del tipo 1 a fabricar a la semana. X 2 : cantidad de artículos del tipo 2 a fabricar a la semana. Objetivo Desglosemos ingresos y costos: Ventas: V = v 1 X 1 + v 2 X 2 Equipo: E = X 1 ( ) + X 2 ( ) Materia prima: MP = X X Por tanto, la compañía desea maximizar la ganancia: Restricciones z = V E MP = (v 1 8, 300)X 1 + (v 2 4, 440)X 2

3 TC3001, primer parcial enero-mayo Tiempo de la máquina M (horas): X X Tiempo de la máquina T (horas): X X Naturales: X 1, X 2 0 FORMA ESTÁNDAR : Maximizar z = (v 1 8, 300) X 1 + (v ) X 2 Sujeta a: 2.5 X X 2 + s 1 = X X 2 + s 2 = 40 con X 1, X 2, s 1, s Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Está considerando producir dos tipos de dulces: Glory y Heaven, que se componen únicamente de azúcar, cajeta y nueces. Actualmente tiene en bodega 50 kilogramos de azúcar, 60 kilogramos de cajeta y 20 kilogramos de nueces. La mezcla para producir Glory tiene que contener al menos 10 % de nueces y por lo menos 40 % de cajeta, mientras que para producir Heaven debe contener al menos 20 % de nueces y 30 % de cajeta. Cada kilogramo de Glory se vende en 200 pesos mientras que cada kilogramo de Heaven se vende en 280 pesos. Formule un PL que permita maximizar los ingresos por venta. Variables de Decisión: Todo problema de mezclas requiere variables que partan la composición x ij = número de kilogramos del ingrediente i usada en el producto j (i = 1, 2, 3 y j = 1, 2) X j = total de kilogramos producidas del producto j. (j = 1, 2) Función Objetivo: N Max z = G j X j = 200 X X 2 j=1 Producción: para todo j = 1,..., N, X j = M i=1 x ij: x 11 + x 21 + x 31 = X 1 x 12 + x 22 + x 32 = X 2 Recursos: para todo i = 1,..., M, N j=1 x ij P i : Azúcar (kg): x 11 + x Cajeta (kg): x 21 + x Nueces (kg): x 31 + x Calidad: Nueces en glory: x X 1 Cajeta en glory: x X 1 Nueces en heaven: x X 2 Cajeta en heaven: x X 2 Naturales: x 11, x 21, x 31, x 12, x 22, x 32, X 1, X El pastelero Pérez produce dos tipos de pasteles, el tipo A y el tipo B. La masa de pan es la misma: ambos requieren 400 gramos de una mezcla base formada de harina, leche, huevo, azúcar levadura y vainilla previamente batida. Ambos requieren 30 minutos de horneado. Los pasteles difieren en el porcentaje de dos betúnes utilizados y en el tiempo de decoración. Un pastel tipo A requiere 50 gramos del betún normal y 30 gramos del betún extra. Mientras un pastel tipo B requiere 20 gramos del betún normal y 60 gramos de betún extra. El tiempo de adornado de un pastel de tipo A es de 30 minutos. y el de uno tipo B es de 45 minutos. Se disponen de: 70 kilogramos de mezcla base; 80 horas de horno con un espacio para 4 pasteles; 2 kilogramos del betún normal y 1.5 kilogramos del betún extra. También se tienen 40 horas para decorado de pasteles. La ganancia que da un pastel tipo A es de 200 pesos, mientras que la de un pastel tipo B es de 250 pesos.

4 TC3001, primer parcial enero-mayo Formule un modelo de PL de manera que el pastelero maximice sus ingresos bajo el supuesto que todos sus productos serán vendidos. Variables de Decisión: x 1 = número de pasteles A a hacer. x 2 = número de pasteles B a hacer. Función Objetivo: Maximizar las ventas: Max z = 200 x x 2 Mezcla base (en kg): x x Betún normal (en kg): x x Betún extra (en kg): x x Tiempo de horneado (en horas horno): x x Tiempo de decoración (en horas): x x Naturales: x 1, x Considere el siguiente tableau z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 RHS VB a) Indique cuál es la SBF que se representa. VB: z = 10, x 7 = 1, x 5 = 4, x 1 = 6; VNB: x 2, x 3, x 4 z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 RHS VB z x x x 1 b) Si el problema es de maximización, indique cuál es la variable entrante, cuál la saliente y cuál es la nueva SBF. Escriba el tableau siguiente. Al tratarse de maximizar x 4 es la VNB con coeficiente negativo más grande en el renglón 1 de la función. Para las razones de la columna de x 4 : el renglón 2 no aplica (es cero (2, 5)); el renglón 3 no aplica (es negativo (3, 5)). La razón que queda es la correspondiente al renglón 4 que tiene como variable básica a x 1. Concluimos que la variable entrante es x 4 y que la saliente es x 1 c) Si el problema es de minimización, indique cuál es la variable entrante, cuál la saliente y cuál es la nueva SBF. Escriba el tableau siguiente. Al tratarse de minimizar x 3 es la VNB con coeficiente positivo más grande en el renglón 1 de la función. Para las razones de la columna de x 3 : el renglón 3 no aplica (es cero (3, 4)); Las razones que quedan son la correspondiente al renglón 2 que es 1, y la correspondiente al renglón 4 que es 6. La menor es la del renglón 2. Concluimos que: la variable entrante es x 3 y que la saliente es x 7

5 TC3001, primer parcial enero-mayo d) Si el problema es de maximización y está utilizando la estrategia de pivoteo de Bland, indique cuál es la variable entrante. Escriba el tableau siguiente. La estrategia de pivoteo de Bland consiste en elegir la primera variable que tenga el coeficiente negativo (maximización) o positivo (para minimización) En nuestro caso, x 2 será la variable entrante. En único coeficiente positivo en la columna correspondiente está en el renglón 3: Por tanto, la variable saliente es x 5. Concluimos que: la variable entrante es x 2 y que la saliente es x 5 6. Para el siguiente PL, encuentre su solución. sujeta a: Con x, y 0. La solución es: x = 2, y = 3 para una evaluación de z = 12. Maximizar Z = 3 x + 2 y 3 x + y 9 x + y 5 x + 2 y Determine una SBF para: sujeta a: Con X 1, X 2 0. El problema sólo tiene 4 SBFs Maximizar Z = 100 X X 2 6 X X X X X X 2 6 X 2 4 X 1 = 12, X 2 = 4 X 1 = 2, X 2 = 4 X 1 = 20, X 2 = 0 X 1 = 4, X 2 = 0

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