DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

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1 DERIVADAS DE UNA UNCIÓN DE DOS VARIABLES Deriada respec de un ecr Deriadas direccinales Deriadas parciales Sea =( una unción deinida en un subcnjun DR sea =(D Si querems esudiar la ariación de en el pun del plan aín euclíde R n queda más remedi que elegir una dirección en para medirla Sea u un ecr del plan ecrial euclíde R : ( hu ( Cuand eisa sea ini el lím se denmina deriada de en el h h pun respec del ecr u Si además u =1 ennces el límie anerir se denmina deriada direccinal de en en la dirección del ecr u Se designa pr ( u Si u =(1= i se denmina simplemene deriada parcial de respec de la ariable Se designa ( bien ( Es decir: ( h(1 ( ( ( = ( = lím lím h h h h ( h Análgamene si u =(1= j se denmina deriada parcial de respec de la ariable Se designa ( bien ( Es decir: ( + h(1 ( = ( = lím h h ( = lím h ( + h h ( Unidad Dcene de Maemáicas 1

2 DERIVADAS DE UNA UNCIÓN DE DOS VARIABLES Gradiene de una unción en un pun Si esán deinidas las deriadas parciales de una unción =( en un pun =(D se denmina ecr gradiene de en el pun simplemene gradiene de en se designa ( al ecr ( = ( ( (i ( j Deriadas parciales de rden superir Sea la unción =( Si eisen las deriadas parciales en d su dmini al mens en una pare de él pueden deinirse las uncines dnde eisan cm uncines de e Se bienen así cuar deriadas parciales de segund rden que designarems: bien bien bien bien Terema de las deriadas mias de Schwar Si la unción =( sus deriadas parciales esán deinidas sn cninuas en un enrn de un pun ( ennces se eriica que: ( ( Las reglas de la cadena 1 Sea una unción =( que iene deriadas parciales cninuas en ( ( sean ds uncines dierenciables en Ennces la unción cmpuesa ( ( ( es dierenciable en se eriica que: Unidad Dcene de Maemáicas

3 DERIVADAS DE UNA UNCIÓN DE DOS VARIABLES d d d d d d d d d d ( ( Supngams ahra una unción =( que iene deriadas parciales cninuas en ( sean ds uncines (u (u La unción cmpuesa (u (u es una unción de u en ls puns dnde esá deinida eriicándse además que si e ienen deriadas parciales cninuas respec de u ennces eisen las deriadas parciales de respec de u que ienen dadas pr las epresines: u u u De manera análga se pdrían deinir las reglas de la cadena para uncines de res más ariables Aplicación de la 1ª regla de la cadena al cálcul de deriadas direccinales Sea una supericie =( deinida en un subcnjun DR ( D u u u i u j al que u querems calcular la u 1 1 Dad un ecr uniari 1 deriada direccinal de la supericie en el pun en la dirección de u La reca aín deerminada pr u iene cm ecuacines paraméricas Aplicand la 1ª regla de la cadena u u 1 ( u d = d d d a que u1 u d d d d d d u 1 u ( u 1 u Recrdems que la aplicación crreca de la regla de la cadena ns eige que eisan las deriadas parciales sean cninuas en el pun Unidad Dcene de Maemáicas 3

4 DERIVADAS DE UNA UNCIÓN DE DOS VARIABLES Ejercici: Hallar la deriada direccinal de la unción (= 3 en =(1 en la dirección del ecr i j Slución: ( u = ( u 1 u En primer lugar hallams las crdenadas de un ecr uniari en la dirección de que será u i j u1 u r r lad (1 3 1 =( u =(41 = 16 8 Lueg ( u = ( u Deriación de uncines implícias Algunas supericies del espaci de res dimensines se pueden represenar mediane ecuacines caresianas de la rma (= Se dice que dicha ecuación es una ecuación implícia de la supericie A eces es psible despejar de la ecuación anerir una de las ariables en unción de las ras ds beniéndse una arias ecuacines de la rma =( per en general es n siempre es psible Ejempls: 1-La ecuación implícia: 1 describe un elipside Despejand ems que el elipside ambién iene deinid pr las ecuacines eplícias La supericie descria pr la ecuación implícia e 4 n se puede represenar pr una arias ecuacines eplícias En (= cnsiderams la ariable dependiene de las ariables e Es decir =(: ( G( Si DR G G es el dmini de ennces en D: Unidad Dcene de Maemáicas 4

5 DERIVADAS DE UNA UNCIÓN DE DOS VARIABLES Aplicand la segunda regla de la cadena a la unción implícia se biene: d d d d Ejercici: Cnsiderand =( hallar el gradiene del hiperblide = en (1 Slución: ( = ( ( Ahra bien (= = lueg ( = 1 5 lan angene a una supericie en un pun Sea =( la ecuación de una supericie S deinida en un subcnjun DR ( D Designams pr =( pr ( el pun crrespndiene en la supericie S Cuand eisa el plan angene a la supericie S en el pun cniene a das las recas angenes a la supericie pr dich pun En paricular cniene a las recas angenes en las direccines de ls ejes e respeciamene cuas ecuacines sn: Unidad Dcene de Maemáicas 5

6 DERIVADAS DE UNA UNCIÓN DE DOS VARIABLES Unidad Dcene de Maemáicas 6 ( r ( r La ecuación caresiana del plan angene puede escribirse en rma eplícia : =a+b+c Cm ( =a +b +c c= -a -b lueg =a+b+ -a -b - =a(- +b(- Ahra bien ha de eriicarse que las recas angenes r r esén cnenidas en el plan lueg: ( b b b a ( r ( a a b a ( r Susiuend en se biene: (I Ora rma para la ecuación del plan angene Si escribims la supericie S en rma implícia (=-(= ennces aplicand la deriación de uncines en rma implícia : susiuend en la ecuación del plan angene se biene: X (II

7 DERIVADAS DE UNA UNCIÓN DE DOS VARIABLES Unidad Dcene de Maemáicas 7 Terema Si ( es un pun de la supericie S deinida pr la unción =( las deriadas parciales eisen sn cninuas en ( ennces eise el plan angene a la supericie S en el pun ( siend su ecuación de la rma (I ó (II Reca nrmal a una supericie Si ( es un pun de la supericie S deinida pr la unción =( dnde eise el plan angene ennces eise la reca nrmal a S en ( es la reca perpendicular al plan angene pr Sus ecuacines paraméricas sn: (1 bien Ejercici Hallar la ecuación del plan angene a la supericie +3- =4 en el pun (1- Slución: Sea (= ennces: (= plan angene lueg su ecuación es: ( X = 4(-+4(-1+4(+= ++=1 Aprimación lineal Dierencial de una unción de ds ariables Si una unción =( es cninua iene deriadas parciales cninuas en un pun ( de su dmini ennces la supericie iene un plan angene en ( dnde =( de ecuación:

8 DERIVADAS DE UNA UNCIÓN DE DOS VARIABLES En las primidades de ( la supericie el plan esán próims una al r pr an pdems uiliar ls alres del plan para aprimar ls de la unción Es decir: ( ( Designems pr T( ( (ecuación del plan angene El plan angene T( a a desempeñar para las uncines de ds ariables el mism papel que juega la reca angene cm aprimación para las uncines de una sla ariable; permiiend esimar en muchs cass de manera sencilla alres de en puns ( próims a ( A cninuación la preguna que debems hacerns es Cuál sería la eaciud de esa aprimación? Sin demsrar admiirems el erema del alr medi para uncines de ds ariables que dice que si iene deriadas parciales cninuas en un enrn E del pun ( ennces: ( ( 1 siend 1 ininiésims en ( en ( ( es un ininiésim 1 ( 1 siend el errr cmeid T( Se eriica que si eisen las deriadas parciales de segund rden de la unción sn = cninuas en el enrn E M má ( E ennces 1 M Unidad Dcene de Maemáicas 8

9 DERIVADAS DE UNA UNCIÓN DE DOS VARIABLES La aprimación lineal de una unción de ds ariables ns sugiere cóm eender el cncep de dierencial a las mencinadas uncines de ds ariables: Sea ( un pun de un enrn E del pun ( Si ennces ( ( T( ( = ( ( Deinición Se dice que la unción =( es dierenciable en el pun ( si sl si su incremen al en dich pun (al pasar del pun a se puede escribir en la rma : ( ( O( ( ( O( siend O( un ininiésim de rden mar que es decir: O( lím ( ( ( lím Unidad Dcene de Maemáicas 9

10 DERIVADAS DE UNA UNCIÓN DE DOS VARIABLES Cndición necesaria de dierenciabilidad ara que sea dierenciable en un pun ( es necesari que eisan las deriadas parciales de en dich pun Ahra bien éngase en cuena que puede que eisan las deriadas parciales en per que la unción n sea dierenciable en dich pun Es decir puede currir que : ( ( ( lím Cndición suiciene de dierenciabilidad Si eisen las deriadas parciales de =( en un enrn del pun ( sn cninuas en el pun ennces es dierenciable en Deinición Se llama dierencial al simplemene dierencial de una unción =( se designa d bien d a la epresión NOTA: d d d d d Cuand usams la dierencial para aprimar el incremen de la unción en un pun Se designa d ( d ( ( ennces (dd= rpsición 1 Teniend en cuena que ( ( la epresión ( se puede escribir: ( ( ( O( ( Si diidims pr enems: O( ( ( ( Llamand u si h hu ( u ecr uniari en la dirección de Unidad Dcene de Maemáicas 1

11 DERIVADAS DE UNA UNCIÓN DE DOS VARIABLES Cuand O( h ( ( lím ( hu ( = lím h h de en en la dirección u r an: '( u ( ' ( u que es la deriada direccinal Si es dierenciable en el pun ( ennces es cninua en En eec si en ( hacems que ( ( lím ( ( sea cual sea el ecr Ejercicis: R 1 Hallar la dierencial al para =cs-cs Slución: d d d =(cs+send+(-sen-csd= (cs+send-(sen+csd Dada la unción (= se pide: a Calcular (1 (151 hallar b Usar la dierencial al d para bener una aprimación de Slución: a(1= (151= (15 ( Lueg = (151- (1=9854 b d d d = d d Susiuend (=(1 d ennces d= (5 ( d Unidad Dcene de Maemáicas 11

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