RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Actualizado en el curso 2008/2009

Transcripción

1 Actualizado en el curso 008/ Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máima. Calcular dicha suma. Condición: + e, de donde tenemos que e- Función: S(,) ln() + ln() S() ln() + ln(e-) 1 1 e S'( ) S'( ) 0 e 1 1 e 8 S''( ) S''( ) < 0 e ( e ) luego, tenemos que es máimo. e e La suma pedida será: suma ln + ln e ln. Solución: e/ la suma S -ln. Calcula dos números que cumplan que al sumarlos resulte 10 la resta de uno de ellos menos el inverso del otro sea mínima. Condición: + 10, de donde 10- Condición: + 10, de donde 10- La función: 1 f (, ) 1 f ( ) 10 f ( ) f ( ) (10 ) f ( ) 0 9, 11 f ( ) (10 ) f ( 9) < 0 Es un máimo f ( 11) > 0 Es un mínimo Solución: 11, /0.-

2 Actualizado en el curso 008/009. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máimo premio que se pueda obtener en este concurso. Condición: A(, ) (Función Objetivo) Condición: + 1- Función Objetivo: A(, ) A() (1-) - A ()1- A () / m. A () - A (1/) - < 0 (es un máimo) Solución: 5 dm. e 5 dm., siendo Área 5 dm. Cuantía máima a percibir por el premio 5.. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la maor posible? A(, ) (Función objetivo) Condición: Condición: Función: A(, ) -. /0.-

3 Actualizado en el curso 008/ A() 0- A () 0- A () 0 0 m. A () -1 < 0 (el punto es un máimo) Para 0 m. resulta m. Solución: 0 m, 0 m. 5. Se dispone de 00 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. Qué dimensiones deberá tener el solar para que con esa alambrada se limite la maor área posible? Razonar el proceso. Función: A(, ) Condición: + 00 Condición: Función: A(, ) A() (00-) 00- A () 00- A () m A () - < es un máimo, siendo Solución: 100 m. e 100 m., es un cuadrado 6. Un terreno de forma rectangular tiene 00 m va a ser vallado. El precio del metro lineal de valla es de euros. Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el costo de la valla sea mínimo? 00 m Perímetro del vertedero: P + Coste cerca: P ()+() 8+8 (función objetivo) Condición: /0.-

4 Condición: Coste cerca: C(, ) 8+8 Actualizado en el curso 008/009 C() C () 8- C () 0 00 ± 0; Solución válida 0 m. C () 00 C (0) 0.8 > 0 Es un mínimo Para 0 m., siendo 00 00/0 0 m. Solución: Las dimensiones del solar son cuadradas con 0 m. e 0m. 7. Supongamos que el solar del problema anterior tiene 00 m un lado a lo largo del río requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. Qué dimensiones darán el costo más bajo? Río Condición: Función objetivo: C(, ) () C() C () Función: C(, ) () Condición: 00 C ()0 5 ± 15 (Solución válida: 15 m.) C () C (15) > Luego, en 15 ha un mínimo, siendo 0/. Solución: Las dimensiones del solar serán en este caso 15 m. e 0/ m. -. /0.-

5 Actualizado en el curso 008/ Las páginas de un libro deben medir cada una 600 cm de área. Sus márgenes laterales el inferior miden cm. el superior mide cm. Calcular las dimensiones de la página que permitan obtener la maor área impresa posible. Alto de la página impresa: -5 Ancho de la página impresa: - Área impresa (-) (-5) (función objetivo) Área páginas 600 (condición) Condición: / Función: A(, ) (-) ( ) A() A () -5+ A ()0 ± 80 ± 0 (La solución negativa no es válida).800 A ( 0 ) ( ) < 0, es un máimo, siendo Solución: 0 cm. e 5 0 cm. 9. Una hoja de papel debe contener 18 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior han de tener cm. cada uno, los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. 1 Función: A(, ) Condición: (-) (-) /0.-

6 Actualizado en el curso 008/009 Condición: (-) (-) Función: A(, ) A() A() 16 0 A () A () (solución negativa no es válida). A () ( ) Solución: 10 cm. e 5 cm. ( 16)( ) ( )( 16 0) ( ) A (10) > 0, es un mínimo. 10. Un pastor dispone de 1000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando una pared a eistente. Halla las dimensiones de la cerca para que el área encerrada sea máima. Función: f(, ) Condición: f(, ) f() (1.000-) f()1.000 f () f () 0 50 f () - f (50) < 0. Por lo tanto, 50 es un máimo. Solución: 50 metros e 500 metros 11. Un segmento de longitud de 5 cm. apoa sus etremos en los semiejes positivos OX OY, de tal manera que forma con éstos un triángulo. Halla las dimensiones del triángulo de área máima así construido. 5 Función: f(, ) Condición /0.-

7 Actualizado en el curso 008/009 Condición: + 5 Función: f(, ) f ( ) f ( ) 5 5 f ( ) 0 ± (La solución negativa no es válida). (75 f ( ) ( ( 5 )) 5 f < 0 Es un máimo 5 5 Solución: cm, cm ) 1. Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior se ha sustituido por un triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es 6,6 m, hallar sus dimensiones para que la superficie sea máima. Función: A total A triángulo + A rectángulo Condición: Condición: A total f(, ) + + f() + ( ) f() f ( ) f ( ) 1 f (1.5) < 0. Luego, 1.5 es máimo. -. 7/0.-

8 Actualizado en el curso 008/009 Solución: 1.5 metros; 0.99 metros 1. Dividir un segmento de 6 cm. de longitud en dos partes, con la propiedad de que la suma de las áreas del cuadrado del triángulo equilátero construidos sobre ellos sea máima. A total A triángulo + A cuadrado Condición: + 6 Condición: Función: A total Sustituimos obtenemos: f() + (6 ) f (, ) + f() f ( ) 86 1 f ( ) 0 18 f ( ) `86 f ( 18) > 0 Luego, en 18 es un mínimo. Por lo tanto el problema no tiene solución a que en el enunciado pedían que fuera máimo. 1. Se considera una ventana como la que se indica en la figura (la parte inferior es rectangular la superior una semicircunferencia). El perímetro de la ventana mide 6 m. Halla las dimensiones e del rectángulo para que la superficie de la ventana sea máima (Epresa el resultado en función de π). -. 8/0.-

9 Actualizado en el curso 008/009 / / π Condición: + + 6, luego 1 π π Funcion : f(, ) + 1 π π f( ) + 8 π f( ) 8 1 f ( ) f ( ) 0 + π π f ''( ) 1 ( π ) 1 π 1 f ( ) 1 < 0 es un máimo + π + π Solución: metros ; + π π metros 15. (El Primer Problema de la Ventana) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana que deja pasar más luz, si su perímetro mide 5 metros. / r L circunferencia L πr L semicircunferencia L Perímetro rectángulo + Perímetro total ++πr 5 (condición) π r Función: Área: A(, ) + π r -. 9/0.-

10 Actualizado en el curso 008/009 π 10 ( + π ) Condición: π r π / Función: A(, ) + + A() ( π ) π A () 10 π A () m + π A () π < 0 1. es un máimo 10 ( + π ) 10 / + π 0.7 m Solución: Dimensiones de la ventana: Ancho: 1. m.; Alto: + r m. 16. Entre todos los rectángulos de perímetro 1 m. cuál es el que tiene la diagonal menor? Razonar el proceso seguido. Condición: Función: f(, ) + ( ) f( ) + 6 f ( ) f ( ) Para f () 0 tenemos que f ( ) 6 ( ) 1+ 6 sustituimos, f () > 0, por lo tanto es mínimo. Solución: metros e metros -. 10/0.-

11 Actualizado en el curso 008/ Calcula el área máima que puede tiene un triángulo rectángulo tal que la suma de la longitudes de sus dos catetos vale cm. Condición: + ; - Función: Área f(,) / f(, ) f( ) f( ) f ( ) ( ) f ( ) 0 f ( ) 1 f () < 0 de donde tenemos que es máimo. Solución: cm e cm 18. Halla las dimensiones del rectángulo de área máima inscrito en una circunferencia de 10 cm. de radio. Razonar el proceso seguido. Condición: + (0) cm Función Área f(, ) f( ) 00 f ( ) f ( ) 0 ± 10 La solución negativa no es válida /0.-

12 Actualizado en el curso 008/ f ( ) ( ) ( ) 00 f (10 ) < 0 es un mínimo Solución: 10 cm e 10 cm 19. Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el perímetro de uno de ellos sea triple del perímetro de otro, se necesiten eactamente 18 metros de valla para vallar los tres la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible. z Llamamos,, z, a los lados de las tres parcelas. Condiciones: i) z ii) ++z 18 de donde z, entonces 1 Función: S(,,z) + + z S() + (1-) +9 S() S () 5-96 para S () 0 tenemos que 8 S () 5 S (8) > 0, por tanto, es mínimo. Solución: 8 m 10 m z 1 m. -. 1/0.-

13 Actualizado en el curso 008/ Una arquitecta quiere construir un jardín rectangular en un terreno circular de 100 metros de radio. Halla las dimensiones de dicho jardín para que el área sea máima. Condición: + 00, luego tenemos que Función: Área del jardín rectangular 00 A(, ) A( ) 0000 A ( ) A ( ) A ( ) A`() ± 0000 ±100 ±1 1 m A ( ) A (100 ) < 0 Es un máimo 0000 Desechamos la solución ser negativas. por ser negativa a que las dimensiones del jardín no pueden 0000 Solución: Para 11 m e 11 m ( 100 ) m -. 1/0.-

14 Actualizado en el curso 008/ (El Problema del Cable más Corto) Dos postes con longitudes de 6 8 metros respectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Calcule aproimadamente la longitud mínima de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes luego hasta la punta del otro poste. Función: L cable Condición: (10-) m. L cable L() (10 ) (10 ) L () (10 ) L () (10 ) (10 ) solucion no validad > 0 L () ( 6 + ) 6 + ( 10 ) L (0/7) > 0 0/7 es un mínimo L(0/7) Solución: Longitud mínima L(0/7) m. -. 1/0.-

15 Actualizado en el curso 008/ Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa se puede epresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de tipo A instaladas el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maimizar su seguridad? Alarmas tipo A Alarmas tipo B Condición: + 9, luego 9- Función: La Seguridad se epresa como: f(, ) 10 ( 9 ) 10 f (, ) f( ) f( ) f ( ) f ( ) 0 10 los valores de la que anulan la primera derivada son f ( ) f (9) > f () < 0 10 luego, 9 es mínimo es máimo. Solución: Será necesario instalar de tipo A alarmas de tipo B 6 alarmas. 1. Entre todos los triángulos isósceles (dos lados iguales) de perímetro 0 cm., cuál es el de área máima? -. 15/0.-

16 RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Actualizado en el curso 008/009 0 Condición: + 0 h Función: A (, ) A ( ) A ( ) A ( ) A (10) < 0 Es un máimo Solución: 10 cm, 10 cm -. 16/0.-

17 Actualizado en el curso 008/009. Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar empleados comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra máquinas contrata empleados, el número de unidades de producto que podía fabricar vendría dado por la función: f (, ) 90 Cada máquina le supone una inversión de 500 cada contrato de un nuevo empleado otro de 1500 Si el empresario sólo dispone de un presupuesto de 500 para este fin, determine el número de obreros que debe contratar el número de máquinas que debe comprar para maimizar la producción. máquinas. empleados. 5 5 Condición: f, 90 Función: ( ) Solución: máquinas, 10 empleados 5 5 f( ) 90 f ( ) f ( ) f ( ) 0 1 ; 9 f ( ) f () < 0 Es Máimo. f (9) > 0 Es Mínimo.. Una esmeralda pesa 16 grs. sabemos que su valor es proporcional al cuadrado de su peso. Si partimos en dos trozos la esmeralda, halla el peso que debe tener cada uno de ellos para que su valor sea mínimo. Condición: peso de un trozo. peso del otro trozo. La función que queremos optimizar es la que nos da el valor de la esmeralda después de dividirla, que dependerá del peso de cada trozo. Función: f (, ) k + k -. 17/0.-

18 Solución: 8 gramos e 8 gramos. Actualizado en el curso 008/009 k( ) ( + ( 16 ) ) ( + 56) f (, ) + f ( ) k f ( ) k f ( ) k( ) ( ) 0 8 f ( ) k f, consideramos k > 0 f (8) > 0 Es mínimo.. Determina el punto de la gráfica de la función f ( ) en el que la pendiente de la recta tangente es máima. Cuál es la ecuación de la recta tangente en ese punto? Condición: f ( ) Pendiente: p ( ) f ( ) p ( ) 6 + 1, p ( ) 0 p ( ) 6, p () < 0 Es Máimo Solución: Punto buscado: P(, f ()) P(, 7) Ecuación Recta Tangente: 7 p() ( ) 7 5 ( ) 5. Una ingeniera sabe que la cantidad, en millones de euros, que gasta la empresa constructora de una autovía en función del tiempo (t en meses), viene dada por la siguiente función: 0,t si 0 t < f ( ), + 0,0 /( t ) si t < 8,6 + 0,1( t 8) si 8 t 1 Deduce, razonadamente, el valor de t en el que el gasto fue máimo /0.-

19 Actualizado en el curso 008/ Un aparejador sabe que el rendimiento de los operarios de una constructora a medida que avanza la jornada laboral. La función que epresa dicho rendimiento es R(t)0-10,5 t + t, siendo t el número de horas transcurridos desde el inicio de la jornada laboral. Determina cuando se produce el máimo rendimiento el mínimo. R + ( t) t t R ( t) 1t + t R (t) 0 t 0 t 7 R (0) -1 < 0 t 0 es el valor máimo R ( t) 1+ 6t R (7) 1 > 0 t 7 es el valor mínimo Conclusión: Al inicio de la jornada el rendimiento es máimo al final de la misma el rendimiento será mínimo. a) 7. Una bióloga marina sabe que los ingresos por venta de ejemplares de lubina en una planta de cultivo de peces es I(q) 000q 0,0q los costes de alimentación vienen dados por la función C(q) q +0,001q, donde q nº unidades de lubina. Halla: a) La función beneficio. b) Cuántas unidades ha que producir vender para que el beneficio sea máimo?. B( q) 000q 0 0q B( q) 0 01q q 0 001q q b) B ( q) 0 08q B (q) 0 q B ( q) 0 08 B (170 7) < 0 Conclusión: Es el valor que maimiza el beneficio. 8. Un médico ha leído que el número de personas afectadas por la enfermedad de las vacas locas viene dado por la función v() , donde representa el número de años transcurridos desde que se descubrió la enfermedad. Calcula: a) El número de años para que dicha enfermedad desaparezca. b) La tasa de propagación de la enfermedad al cabo de 5 años. c) El momento en que la enfermedad deja de crecer /0.-

20 Actualizado en el curso 008/009 a) La enfermedad nunca desaparece, es crónica TVM f (5) f (0) b) [ 0,5] 5 c) v ( ) + 0 v () 0-0 La enfermedad nunca deja de crecer..- Una bióloga está haciendo un cultivo de Escheritzia coli. Se sabe que el número de bacterias varía con el tiempo en días de acuerdo con la siguiente función N(t) 50 ( t - 15t + 6 t +), se pide: a) Cuántas bacterias había al principio? b) Cuál es el número máimo de bacterias? Cuándo?.- PAU-Junio 007- Hallar una función polinómica de tercer grado tal que tenga un etremo relativo en (1, 1) un punto de infleión en (0, ). Es (1,1) el único etremo de la función?. Determinar los máimos mínimos relativos de f. a) f ( ) a + b + c + d f ( ) a + b + c f ( ) 6a + b La función pasa por los puntos (1,1) (0,), por lo tanto sustituendo tenemos: (1,1) : (0,) : f (1) 0 f (0) 0 a + b + c + d 1 d a 1, a + b + c 0 b 0 b b) f ( ) f () 0 ± 1 0, c -, d f() + f ( ) 6 f ( 1) 9 < 0 f (1) > 0 es un máimo es un mínimo Máimo(-1,5) mínimo(1,1) -. 0/0.-

21 Actualizado en el curso 008/009.- Una tienda vende aceite a,10 el litro. Los costes de producción son de 0, céntimos el litro los de transporte son la centésima parte del cubo del número de litros vendidos. Halla cuántos litros deben venderse para obtener una ganancia máima. 5. Se estima que la ganancia de una empresa en decenas de miles de euros para los próimos 10 años sigue la función: t si 0 t < t + 1 f ( ) t + si t 10 t + 1 Averigua cuando será la ganancia máima. 6.- El precio de venta de un artículo viene dado por al epresión p 1-0,01, donde es el número de artículos fabricados p es el precio en cientos de euros. a) Si se fabrican se venden 500 artículos, cuáles serán los ingresos obtenidos? b) Cuál es la función que representa los ingresos en función de los artículos vendidos? c) Cuántos artículos se deben fabricar par que los ingresos sean máimos? 7.- La función f ( ) + a + b + c verifica que f(1)1, f (1)0 que f no tiene máimo(f``<0) ni mínimo (f``>0) en 1. Calcula a, b, c. Considérese el recinto limitado por la curva la recta : (-, ) (, ) 0 De entre los rectángulos situados como el de la figura anterior, determinar el que tiene área máima -. 1/0.-

22 Actualizado en el curso 008/009 Ejercicios de ampliación 5. La base menor de un trapecio isósceles mide 6 metros la longitud de los lados no paralelos es de metros. Calcula cuánto debe medir la base maor para que el área del trapecio sea máima. h 6 Condición (por Pitágoras): h + h Función: A trapecio ( ) ( 6 ) BASE + base h + h Atrapecio ( + ) h f(, h) ( ) f( ) + f ( ) f ( ) ( ) 1 < 0 Se descarta > f ( ) f ( ) < 0 es máimo Solución: + 1 metros e + 1 metros (el valor 1se descarta) 6. En un jardín con forma semicírculo de radio 10 m se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuos lados está sobre el diámetro el opuesto a él tiene sus etremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máima. -. /0.-

23 Actualizado en el curso 008/009 Condición: P(,) pertenece a la Circunferencia Función:f(,) ( ) f, ( ) f f ( ) f ( ) 0 ± 5 (La solución negativa no es válida) 100 f (5 ) < 0 (máimo) Solución: Dimensión del parterre será de base 10 m ; altura 5 m. Siendo el área máima de 100 m. 7. Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitudes Con el de longitud se forma un triángulo equilátero con el otro segmento se forma un cuadrado. Sea f() la suma de las áreas del triángulo del cuadrado. Indicar razonadamente para qué valor de se obtiene que la suma de las áreas del triángulo del cuadrado es mínima. h / (100-)/ Condición: Altura del triángulo h 6 6 Área del triángulo 6 a triangulo 6 -. /0.-

24 Actualizado en el curso 008/009 Área del cuadrado a cuadrado 100 Función: atriángulo + a f() cuadrado 100 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f (56.5) > es un mínimo 7 Solución: Para 56.5 m. resulta la suma de las áreas mínima. 8. Sea T un triángulo de perímetro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide cm. los dos lados tienen la misma longitud. a) Deducir razonadamente las epresiones de las funciones A f tales que: A() Área del triángulo T F() {A()} Indicar además entre que valores puede variar. b) Obtener, razonadamente, el valor de para el que f () alcanza el valor máimo. Condición: La altura del triángulo será: h a) -. /0.-

25 Solución: RELACIÓN DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Actualizado en el curso 008/ A (, ) A triangulo A ( ) 60 F(, ) ( A(, ) ) F( ) b) ( 60 ) F( ) 900 F ( ) ( ) F '( ) Por las condiciones del problema descartamos 0, siendo: F ( ) 90 F (0) < 0. Por lo tanto es máimo. Solución: 0 cm e 0 cm 9. Comprueba que el rectángulo de maor área que puede inscribirse en una circunferencia de ecuación + r es un cuadrado de lado r. r b/ h/ Condición: r r h r b b h + b + h Función Área b h -. 5/0.-

26 Actualizado en el curso 008/009 f(, b h) bh f( b) b r b b f ( b) r b f ( b) 0 b r r b ( ) ( ) b b r b + b f ''( b) < 0 r b r b ( ) h r b r r r Solución : El area es maima para: b r; h r -. 6/0.-

27 Actualizado en el curso 008/ En una carretera a través del desierto un automóvil debe de ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 Km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A B que le permite ir a una velocidad de 100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A B es de 00 Km, determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible. A M 1 Derivando, t () Si hacemos t () 0 obtenemos La ruta a seguir es AMP Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ABP se obtiene: AB En el triángulo MBP se obtiene MP + 00 Y el tiempo que tarda el automóvil en recorrer la distancia AM + MP es: t( ) 1 ± La solución negativa no tiene sentido: AM El automóvil deja la carretera a 175 km de la ciudad A. P B 00 Podemos comprobar que es un mínimo utilizando la segunda derivada: t () 60( + 00 ) 60 ( ) t () + 00 ( ) Para 5 t () > 0, por lo tanto, es un mínimo. Solución: La ruta a seguir es AMP, de A a M ha 175 Km. de M a P ha Km., con lo que recorrerá en total 550 Km. a una velocidad de 100 Km/h /0.-

28 Actualizado en el curso 008/ Determine los puntos de la curva que están a distancia mínima del punto P (, 0). Q 1 Condición: de donde Un punto de la curva tiene la forma P(, ± ) 0 1 P(,0) Función: dpq (, ) ( ) + ( ± ) Q ( ) ( ) dpq (, ) + ± d + ( ) 16 d ( ) d ( ) d ( ) d () > 0 ( + 16) El punto es mínimo. Solución: Q1(, ) Q(, ). Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas ( 0,0), (a,0), ( 0, b ) ( a, b), de modo que el punto ( a, b) tiene coordenadas positivas está situado en la curva 1 de ecuación: +. De todos estos rectángulos hallar razonadamente el de área mínima. 1 Condición: Si (a, b) pertenece a la curva, verifica: b + a 1 1 Función: El área del rectángulo es Aa ( ) a + a + a a -. 8/0.-

29 Actualizado en el curso 008/ A ( a) + A ( a) 0 a± a El valor a -1/ no es valido por que se indica que las coordenadas son positivas. 1 A ( a) A ( ) > 0 (es mínimo) a Solución: Los vértices serán (0,0), (1/,0), (1/,8) (0,8). (Problema del tiempo mínimo).- Un nadador, A, se encuentra a km. De la plaa enfrente de una caseta. Desea ir a B, en la misma plaa, a 6 Km. De la caseta. Sabiendo que nada a km/h que anda por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible. P 6 - B h 9 + a Km/h Recorre 6 a 5 Km/h Km A h t ( ) Tiempo empleado: t( ) Haciendo t ( ) ; (No valida) t ( 5) > 0 Es mínimo. Solución: Debe dirigirse a un punto que esté a.5 Km de la caseta. Tiempo que tarda en llegar: t t horas /0.-

30 Actualizado en el curso 008/009. Si un cultivador valenciano planta 00 naranjos por hectárea, el rendimiento promedio es de 00 naranjas por árbol. Por cada árbol adicional que siembre por hectárea, el cultivador obtendrá 15 naranjas menos por árbol. Cuántos árboles por hectárea darán la mejor cosecha? Nº naranjos / hectárea 00 Rendimiento / árbol 00 naranjas nº árboles a plantar R () Rendimiento() ( ) ( ) R( ) R( ) R ( ) R ( ) Solución absurda. Conclusión: Sin plantar árboles la producción que se obtiene es mejor que si aumentamos el número de frutales de esta variedad. 5. El propietario de un edificio tiene alquilados los 0 pisos del mismo a un precio de 600 cada uno. Por cada 60 que el propietario aumenta el precio observa que pierde un inquilino. a qué precio le convienen alquilar los pisos para obtener la maor ganancia posible?(auda: llamar nº de 60 que aumenta o lo que es lo mismo el nº inquilinos perdidos.) 0 pisos 600 euros / cada uno Si aumenta euros por cada piso cobra 600 +, pero alquila 0 60 pisos. La función es el beneficio obtenido: B ( ) (600 + ) 0 con 0 < < B ( ) B ( ) 0 B ( ) B ( ) B (900) < 0 Es Máimo. 0 Solución: Aumentará /0.-