DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA

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1 (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA f( t) f: ; t a, b y g() t De la regla de la cadena dy dy dt d dt d En donde dt se puede calcular despejando " t " de d f() t, lo que no siempre es fácil y en ocasiones es imposible. Otra forma de calcular dt es usando la derivada d de la función inversa, por la cual, dt 1 d d dt de donde, sustituyendo en la regla de la cadena, se llega a: dy dy dy 1 dy dy g' () t dt d dt d d d d f '() t dt dt Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener la derivada dy d : t t f: ; t 0 y + t 1 i) Por medio de la fórmula obtenida. ii) Eliminando el parámetro " t " y derivando el resultado.

2 Ejemplo. Dadas las ecuaciones paramétricas de la cicloide: ( θ senθ ) y 1 ( cosθ ) calcular la derivada dy d y evaluarla para π θ. 4

3 Ejemplo. Calcular la derivada dy para función siguiente d en el punto donde t 0: angcot 1 t f : y angtan 1 + t DERIVADAS DE ÓRDENES SUPERIORES Sea una función f definida en un cierto intervalo ( ab, ). Entonces, su derivada f ' es a su vez otra función definida en un subconjunto de dicho intervalo, y la operación puede repetirse, obteniéndose la segunda derivada que también es una función definida en un subconjunto del intervalo ab,. Para denotar a las derivadas sucesivas de órdenes superiores, se emplean los siguientes símbolos: dy d y y f( ) ; y' f' ( ) ; y'' f'' ( ) d d dy y''' f''' ( ) ; d Para ilustrar esto, considérese la función f( ) definida y sean sus tres derivadas sucesivas: en el intervalo (,)

4 ( ) ( ) ( ) f' ; f'' ; f''' todas ellas definidas en el mismo intervalo. Sus gráficas son: y 4 y dy d dy d dy d Si se obtuviera la cuarta derivada, a partir de ella todas tendrían como valor cero, las cuales seguirían siendo una función pero su gráfica sería sobre el eje de las abscisas. En cambio hay funciones que se dice que son infinitamente derivables f( ) ; f' ( ) ; f'' ( ) ; f''' ( ) 9 7 dy dy dy y sen ; cos ; sen ; cos d d d Ejemplo. Obtener las dos primeras derivadas de la siguiente función y evaluarlas para. y +

5 5 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS Ejemplo. Calcular la primera y segunda derivadas de las siguientes funciones: i) + y 1 ; ii) + y 5 y

6 6 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES REPRESENTADAS EN FORMA PARAMÉTRICA () () f t Sea la función f : y g t Como ya se vio la primera derivada, es decir, dy, se obtiene d a partir de: dy dy dt d d dt Por otro lado, lo que se pretende es calcular la segunda derivada, esto es, dy d dy d d d Como dy está en términos del parámetro " t " entonces, d para aplicar la epresión anterior, es necesario aplicar la regla de la cadena. Así, dy d dy dt d dt d d pero

7 dt 1 d d dt entonces d dy dy dt d d d dt Para obtener la enésima derivada de orden superior, se tiene que: n n 1 dy d d y n n 1 d d d Se aplica la regla de la cadena y se llega a: n 1 d d y n n 1 n n 1 dt dy d d y dt dy d n n 1 n d dt d d d d dt 7 Ejemplo. Obtener las tres primeras derivadas para la función representada en forma paramétrica como sigue: 5cosθ f : ; 0 θ π y senθ

8 8 Ejemplo. La ecuación cartesiana de la Hipocicloide o Astroide está dada por la epresión: + y a y se representa paramétricamente mediante las ecuaciones: acos t f : y asen t Determinar el valor de su primera y segunda derivadas cuando a y i) A través de la forma implícita ii) Con la forma paramétrica

9 9

10 DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. DERIVADAS LATERALES 10 La derivada de una función f está dada por el límite: Δy f' ( ) lim Δ 0 Δ y geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente a la función, en un punto determinado. Es obvio pensar que la derivada eiste si el límite eiste y, como se había eternado antes, el límite eiste si los límites laterales eisten y si además son iguales. Luego es posible definir las derivadas laterales mediante los correspondientes límites laterales. Definición. Sea una función f. Entonces, su derivada lateral por la izquierda está dada por: ' Δy f ( ) lim Δ 0 Δ si el límite eiste. Definición. Sea una función f. Entonces, su derivada lateral por la derecha está dada por: ' Δy f+ ( ) lim+ Δ 0 Δ si el límite eiste. Teorema. Sea una función f. Una condición necesaria para la eistencia de su derivada en un punto es que sus derivadas laterales eistan y sean iguales, esto es, ' ' f' f f ( ) ( ) ( ) RELACIÓN ENTRE LA CONTINUIDAD Y LA DERIVABILIDAD Sean las funciones:

11 1 ( ) f f ( ) π cos si 0 1 si 0< si 0 si 0< y 11 y cos y 1 y y π Se estudia la continuidad de ambas en 0 y se tiene: Continuidad de f 1 en 0 : i) f 1( 0) 1 ( cumple) lim f( ) ( ) f1 ( ) + 0 ( ) ( ) ( ) ii) cumple lim 1 iii) f 0 limf cumple f es continua en 0 Continuidad de f en 0 : i) f 0 0 cumple ( ) ( ) f ( ) 0 ( ) f ( ) + 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 ii) lim 0 cumple iii) f 0 limf cumple 0 f es continua en 0 Ahora se calculan las derivadas laterales:

12 d f ' ( ) ( cos ) sen f ' ( 0) 0 d f1 ; d f+ '( ) () 1 0 f+ '( 0) 0 d f '0 ( ) f+ '0 ( ) luego la función f 1 es derivable en 0. Por otro lado, d f ' ( ) ( ) f ' ( 0) 0 d f ; d f+ '( ) ( ) 1 f+ '( 0) 1 d f '0 ( ) f+ '0 ( ) por lo que la función f no es derivable en 0. 1 Teorema. Si la función y f( ) es derivable en 1, entonces también es continua para dicho valor de " ". Ejemplo. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función ( ) f en el punto donde 1 0.

13 1 Ejemplo. Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la siguiente función: si < 0 f( ) 1+ cos si 0 < π π si π < 7 π 7

14 APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA La derivada como la pendiente de la recta tangente 14 Ejemplo. Obtener los ángulos que forman con el eje " " las tangentes a la curva ( ) 4 + y 4 ; y 0, en los puntos: i) (,0 ) ; ii) (, ) ; iii ) ( 4,) Eplicar los resultados mediante la gráfica de la curva. Ejemplo. Calcular la pendiente de la tangente a la curva de ecuación: y 4 P, así como el ángulo que forma dicha en el punto ( 1, ) tangente con el eje de las abscisas. Hacer una gráfica del problema planteado.

15 15 Ejemplo. Determinar qué ángulo forma la curva y con la recta 1 al cortarse con ella. Hacer un trazo del problema planteado. Ejemplo. Determinar los puntos en los que las tangentes a la curva de ecuación y + son paralelas al 5 eje " ". Hacer un trazo aproimado de la gráfica de la curva, considerando los puntos obtenidos.

16 16 Ejemplo. Determinar los puntos de la curva de ecuación 5 y 1 donde la tangente es paralela a la recta de ecuación 5y 5 0. Hacer un trazo aproimado del problema planteado con los resultados obtenidos.

17 17 Ejemplo. Obtener punto de la curva y donde su tangente es perpendicular a la recta 4 y+ 0. ECUACIONES DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA RECTA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO DADO y y1 mt ( 1 ) ; mt f' ( ) 1 y y1 mn( 1) donde mn m T

18 Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva de ecuación y 5+ 6 en el punto P,4. Hacer un trazo aproimado de la gráfica. ( ) 18 Ejemplo. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y 1 normal a la curva de ecuación y 4 en el punto 1 P,. Representar gráficamente el problema planteado.

19 ÁNGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS CURVAS y 19 C 1 T 1 C T θ (, ) P y 0 0 α 1 α Sean y f( ) y y f ( ) C y C 1 las ecuaciones de 1 Entonces se tiene que: m tan α f' ( ) ; m tan α f ' ( ) Es evidente que θ α α1, luego " θ " se obtiene con: θ angtan f ' angtan f ' ( ) ( ) Otra forma de calcular este ángulo es mediante: m ' ' m f f 1 θ angtan o bien θ angtan 1+ mm 1 + f' f' ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo. Determinar el ángulo que forman al cortarse las curvas siguientes y graficar. y y + y

20 0 Ejemplo. Demostrar que la elipse + y 6 y la parábola y 4 se cortan en un ángulo recto, es decir, que son curvas ortogonales. Graficar aproimadamente.

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