Teórico para el práctico Nº6 CIRCUNFERENCIA

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Teórico para el práctico Nº6 CIRCUNFERENCIA"

Transcripción

1 Teórico para el práctico Nº6 IRUNFERENIA Definición: Dados un punto fijo O y un número real no negativo r, llamamos circunferencia de centro O y radio r, lo notaremos, al lugar geométrico de los puntos del plano que distan r de O. En símbolos: = {X, X π / d(o, X) = r} ó M d(o, M) = r onsecuencia Definición: a) M es exterior a Error! Imposible crear objetos modificando códigos de campo. d(o, M) > r b) M es interior a d(o, M) < r Ecuación de una circunferencia: Sean O (α, β) y r R + {} M d(o,m) = r (x - α) +(y - β) = r (x - α) +(y - β) = r a=-α ó (1) x +y -αx-βy+ α + β -r = x +y +ax+by+c= donde b=-β c= α + β -r Hemos probado que las coordenadas de todos los puntos que pertenecen a una circunferencia verifican una ecuación del tipo (1), pero... todos los puntos cuyas coordenadas verifican una ecuación del tipo (1), pertenecen a una circunferencia? Investiguemos: a b () = x +y +ax+by+c = x +ax+y +by+c = (x+ ) +(y+ ) + -c Observando la última ecuación resulta: Si + -c < No existe ningún punto del plano cuyas coordenadas (x, y) satisfagan la ecuación (). Si + -c = Existe un solo punto del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación () y es el punto T(- a,- b ). Si + -c> a b x -(- ) + y-(- ) = + -c d(m,r) =r' con M(x, y) y R(- a,- b ). O sea que existen infinitos puntos cuyas coordenadas verifican la ecuación (). En síntesis: Si + -c la ecuación (1) es la de una circunferencia que recibe el nombre de real. Si ese número es cero, la ecuación (1) es la ecuación de un punto o la ecuación de una circunferencia de radio nulo.

2 Intersección de recta y circunferencia ) x + y + ax +by + c = r) a x + b y + c = Hallar los puntos de intersección, será resolver el sistema formado por las dos ecuaciones. Suponiendo b, despejamos y, por ejemplo, de la ecuación de la recta y sustituimos en la ecuación de la circunferencia: a'x + c' a'x + c' x +(- ) +ax+b (- )+c = por lo tanto obtenemos una ecuación b' b' de segundo grado en x que si su discriminante es: positivo r es secante a nulo r es tangente a negativo r es exterior a TANGENTE A UNA IRUNFERENIA a) Por un punto que pertenece a la circunferencia Datos: ) x + y + ax +by + c = P (x o, y o ) P En el caso especial de la circunferencia, se puede hallar la recta perpendicular a la recta OP por P. O(-,- ) ) x + y + ax +by + c = r = + -c x y 1 b a OP) = OP) -( + y ) x+ ( + x ) y y + x = xo yo 1 b a + y x + a b mop = mt = t) ( +x )(x- x ) + ( +y )(y- y ) = o o o o a b + x y + Escribamos esta ecuación de forma que podamos recordarla sin mucho esfuerzo: a x- a x + x x- x + b y- b y + y y- y = x x+ y y+ a x- a x + b y- b y = x + y pero P x + y + ax + by + c = ax + by + c = -(x + y ) sustituyendo en la ecuación anterior:,por lo tanto,

3 a b t) xx+ yy+ x- x + y- y +a x +by +c = x+ x y+ y t) xx+yy+a( )+b( )+c= Esta es la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en uno de sus puntos y recibe el nombre de desdoblada pues se la obtiene, cambiando, en la ecuación de la circunferencia: x+x y+y x por x x y por y y x por y por siendo (x, y ) las coordenadas del punto de tangencia. Ejemplo: Sea ) x + y 4x + 6y + 11 = 1. Hallar radio y las coordenadas del centro de la circunferencia.. Verificar que P, si P (3, 4). 3. Hallar ecuación de la recta t, tangente a por P. [ t) x-y-7= ] DEFINIIÓN: Sea la circunferencia de ecuación ) x + y + ax +by + c = y P el punto de coordenadas P (x, y ), llamamos polar p del punto P respecto de la circunferencia, a la recta de ecuación: Observación: P p = t. x+ x y+ y p) x x+ y y+a( )+b( )+c= Pregunta: Dados en un plano una circunferencia fija, qué puntos P del plano no tienen polar respecto de? ontestemos la pregunta: Los puntos P del plano, cuyas coordenadas hacen que la ecuación de p no sea la ecuación de una recta, son los puntos que no tienen polar respecto de la circunferencia. x+ x y+ y p) x x+ y y+a( )+b( )+c= p) (x + ) x+(y + ) y+...= Por lo tanto, la ecuación anterior no es la ecuación de una recta si y solo si ( x,y ) = -,-, entonces, el único punto que no tiene polar respecto de una circunferencia es su centro. b) Por un punto exterior a la circunferencia Según lo visto: 1. Hallo polar del punto P respecto de la circunferencia.. Interseco circunferencia y polar. 3. Las tangentes a la circunferencia pedidas son las determinadas por el punto P y cada uno de los puntos hallados en. DEFINIIÓN:

4 Sean ) x + y + ax +by + c = y x+ x y+ y p) xx+ yy+ a( )+ b( )+ c =, llamamos polo P de la recta p respecto de la circunferencia, al punto P(x, y ). Observación: Si la recta es tangente a la circunferencia, el polo es el punto de tangencia. POTENIA DE UN PUNTO RESPETO DE UNA IRUNFERENIA En el curso de Métrica se definió potencia de un punto respecto de una circunferencia dada como: Pot(P, ) = PA.PB = PA'.PB' = PA".PB" = = PT cte. Se probó que es independiente de la secante considerada y que es igual a la diferencia de los cuadrados de las medidas del segmento P y del radio de la circunferencia. = Pot(P, ) = PA.PB= (d r)(d + r) Pot(P, ) = d r Si : P Pot(P, P esexteriora P esinterior a ) = Pot(P, Pot(P, ) > ) < Veamos la expresión analítica de la potencia de un punto respecto de una circunferencia: ) x + y + ax +by + c = Pot(P, ) = d r (, ) r = + c y P(x, y ) a b Pot(P, ) = (x + ) + (y + ) ( a 4 Pot(P, ) = + y + ax + by + c x + b 4 c) Quiere decir que el valor numérico de la potencia de un punto respecto de una circunferencia es igual al que toma el primer miembro de la ecuación de la circunferencia en coordenadas cartesianas ortogonales, cuando se sustituyen x e y por las coordenadas del punto.

5 Aplicación 1 lasificar P(1,-3) respecto de )x + y x + 4y 11 = [Pot(P, ) = 15] Aplicación Si la circunferencia de la primera figura de esta página es ) x + y 4x + 6y 1 = y P(1,), hallar la medida del segmento PT. [ PT= ] Práctico Nº6 1.- Halla las ecuaciones de las siguientes circunferencias: a) centro (3,) y radio b) centro (4,-5) y radio 3 c) de centro (1,-4) que pasa por (,-3).- Investiga si las siguientes ecuaciones representan circunferencias reales y en caso afirmativo hallar centro y radio: a) x + y 8x+ y+ 1 = b) x y + x+ 3y 5= c) x + y + x+ 3y 5= d) x + y + xy x+ 4y 8= 3.- Estudia la posición de la circunferencia x + y = 4 con respecto a las siguientes rectas: a) x+ y 3= b) x y 1= c) y 3= 4.-Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3,5) y que es tangente a la recta 4x + 3y =. 5.- Escribe la ecuación de la circunferencia circunscripta al triángulo de vértices A(1,), B(1,4) y (4,1). 6.- Halla las ecuaciones de las tangentes por Q (3,-5) a la circunferencia x + y 4x 9=. 7.- Determina la posición del punto S (1,) respecto a las siguientes circunferencias: a) x + y 1= b) x + y 5= c) x + y 8x 4y 5= 8.- alcula la potencia del punto P (6,-8) respecto a la circunferencia ) x + y 4x+ =. Halla la ecuación de la circunferencia de centro P y radio R tal que R = Pot (P, ). 9.- Dadas las circunferencias ) x + y 1x+ y+ 1 = y ) x + y 6y+ 5= a) Halla la intersección de ambas circunferencias. b) Encuentra un punto de la recta x+ y 1= que tenga la misma potencia respecto de ambas circunferencias.

6 1.- Halla la ecuación de la circunferencia de radio 8 que tiene el centro en la recta y = x y es tangente a la recta x+ y = Halla la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas x+ y+ 4= y 7x y+ 4= y que tiene el centro en la recta 4x+ 3y =. 1.- Halla los vértices del triángulo RST del que se sabe que: la ecuación de la cfa que pasa por R, S y T es x + y 8x 9=, la altura respecto al vértice S es h) x+y-3=, S es un punto del eje y, T es un punto del eje x de abscisa positiva.

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1) En cada ejercicio hallar la ecuación de la circunferencia que cumple: 1) El radio es igual a 6 y las coordenadas de su centro son ( 1, 2). 2) Su centro es el origen de coordenadas

Más detalles

Tema 8. Geometría de la Circunferencia

Tema 8. Geometría de la Circunferencia Tema 8. Geometría de la Circunferencia 1. Definición la circunferencia. Ecuación de la circunferencia 1.1 Ecuación de la circunferencia centrada en el origen 1. Ecuación de la circunferencia con centro

Más detalles

O -2-1 1 2 X -1- -2- de coordenadas, y representamos los números sobre cada eje, eligiendo en ambos ejes la misma unidad, como muestra la figura.

O -2-1 1 2 X -1- -2- de coordenadas, y representamos los números sobre cada eje, eligiendo en ambos ejes la misma unidad, como muestra la figura. MATEMÁTICA I Capítulo 1 GEOMETRÍA Plano coordenado Para identificar cada punto del plano con un par ordenado de números, trazamos dos rectas perpendiculares que llamaremos eje y eje y, que se cortan en

Más detalles

Veamos sus vectores de posición: que es la ecuación vectorial de la recta:

Veamos sus vectores de posición: que es la ecuación vectorial de la recta: T.5: ECUACIONES DE LA RECTA 5.1 Ecuación vectorial de la recta Una recta queda determinada si se conoce un vector que lleve su dirección (de entre todos los vectores proporcionales), llamado vector director,

Más detalles

Geometría Analítica Enero 2016

Geometría Analítica Enero 2016 Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Halle el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos dados 1) ( 3, 3), ( -1, -3), ( 4, 0) 2) (-2, 5), (4, 3), (7, -2) II.- Demuestre que los puntos

Más detalles

Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio.

Dicho punto fijo se llama centro, a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro se acostumbra a llamar radio. GEOMETRIA ANALITICA Capítulo 9 La Circunferencia 9.1. Definición Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del mismo plano. Dicho punto fijo

Más detalles

EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA

EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (00-M-A-4) (5 puntos) Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es

Más detalles

EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA

EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (00-M-A-4) (5 puntos) Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es

Más detalles

GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE

GEOMETRIA ANALITICA- GUIA DE EJERCICIOS DE LA RECTA Y CIRCUNFERENCIA PROF. ANNA LUQUE Ejercicios resueltos de la Recta 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4. - 1) y tiene un ángulo de inclinación de 135º. SOLUCION: Graficamos La ecuación de la recta se busca por medio

Más detalles

1. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan por el punto A y con el vector de dirección dado:

1. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan por el punto A y con el vector de dirección dado: CAPÍTULO. GEOMETRÍA AFÍN.. Problemas. Determinar las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de las rectas que pasan por el punto A y con el vector de dirección dado: a) A(,, ), v = (,, ) ; b) A(0,

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO Coordenadas cartesianas Sistema de ejes Cartesianos: Dicho nombre se debe a Descartes, el cual tuvo la idea de expresar un objeto geométrico como un punto o una recta, mediante

Más detalles

TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA TEMA 5. GEOMETRÍA ANALÍTICA 6.1. Ecuaciones de la recta. - Vector director. - Ecuación vectorial. - Ecuaciones paramétricas. - Ecuación contínua. - Ecuación general. - Ecuación punto-pendiente. - Ecuación

Más detalles

CENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

CENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CENTRO DE BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Al concluir la unidad, el alumno conocerá y aplicará las propiedades relacionadas con el lugar geométrico llamado circunferencia, determinando los distintos

Más detalles

EJERCICIOS Nº 10: GEOMETRIA ANALITICA. se extiende hacia cada extremo en una longitud igual a su longitud original. Halle las coordenadas de

EJERCICIOS Nº 10: GEOMETRIA ANALITICA. se extiende hacia cada extremo en una longitud igual a su longitud original. Halle las coordenadas de EJERCICIOS Nº 1: GEOMETRIA ANALITICA 1) Determine x si el punto A (x,3) equidista de B ( 3, ) y de C (7,4) Respuesta ) Determine los puntos de trisección del segmento de recta AB donde A( 6, 9), B(6,9)

Más detalles

Ecuaciones de rectas y planos. Un punto O y una base B B = { i, j,

Ecuaciones de rectas y planos. Un punto O y una base B B = { i, j, Ecuaciones de rectas y planos. Coordenadas en el espacio. Planos coordenados. El vector OP tiene unas coordenadas( x, y, z ) respecto de la base B, que se pueden tomar como coordenadas del punto P respecto

Más detalles

TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA Tema 8 Geometría Analítica Matemáticas 4º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Halla el punto medio del segmento de extremos P, y Q4,. Las coordenadas del punto medio,

Más detalles

Teoría Tema 7 Circunferencia

Teoría Tema 7 Circunferencia página 1/9 Teoría Tema 7 Circunferencia Índice de contenido La circunferencia como superficie cónica...2 La circunferencia como lugar geométrico...3 Potencia de un punto respecto de una circunferencia...4

Más detalles

Depto. de Matemáticas Guía Teórico-Practico Unidad : Secciones Cónicas Tema: Ecuación de la circunferencia Nombre: Curso:

Depto. de Matemáticas Guía Teórico-Practico Unidad : Secciones Cónicas Tema: Ecuación de la circunferencia Nombre: Curso: Depto. de Matemáticas Guía Teórico-Practico Unidad : Secciones Cónicas Tema: Ecuación de la circunferencia Nombre: Curso: CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano

Más detalles

Producto cartesiano. X Y = {(x, y) : x X, y Y }. Ejemplo En el tablero de ajedrez, X = números del 1-8, Y = letras de A-H.

Producto cartesiano. X Y = {(x, y) : x X, y Y }. Ejemplo En el tablero de ajedrez, X = números del 1-8, Y = letras de A-H. Producto cartesiano Motivación: Has oido hablar sobre gente que juega ajedrez sin tener que mirar nunca el tablero?. Esto es posible, y se debe a una herramienta llamada coordenadas de un punto. En un

Más detalles

C O N I C A S. Elipse

C O N I C A S. Elipse C O N I C A S Elipse El primer matemático que inició el estudio de las cónicas fue Apolonio de Perga (6 190 a.c), que enseñó matemáticas en las universidades de Alejandría y Pérgamo. Su estudio lo plamó

Más detalles

TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO

TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO 2.1 Distancia entre dos puntos1 TEMA N 2 RECTAS EN EL PLANO Sean P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P 1 y P 2 denotada por d = esta dada por: (1) Demostración

Más detalles

EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA MATEMÁTICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA GEOMETRÍA ANALÍTICA A Introducción teórica A Módulo y argumento de un vector A Producto escalar A3 Punto medio de un segmento A4 Ecuaciones de la

Más detalles

LUGARES GEOMÉTRICOS.

LUGARES GEOMÉTRICOS. 9 LUGARES GEOMÉTRICOS. Página. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos: a) Mediatriz del segmento de extremos A(, ), B(7, ). Comprueba que es una recta perpendicular al segmento en su

Más detalles

RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97.

RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97. RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 996/97. º. - Explica cómo se puede hallar el área de un triángulo, a partir de sus coordenadas, en el espacio

Más detalles

Definición 1.28 (Determinación de una recta) Una recta en el plano viene determinada por un punto y un vector libre, no nulo, r (P; u )

Definición 1.28 (Determinación de una recta) Una recta en el plano viene determinada por un punto y un vector libre, no nulo, r (P; u ) 1.3. La recta en el plano afín La recta está formada por puntos del plano en una dirección dada. La ecuación de la recta es la condición necesaria y suficiente que deben cumplir las coordenadas de un punto

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO PRÁCTICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO PRÁCTICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO PRÁCTICO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA AÑO 014 CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA CPI-014 TRASLACIÓN Y/O

Más detalles

MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA

MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA 1 MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA Ejercicio 1. (Junio 2006-A) Considera el plano π de ecuación 2x + y z + 2 = 0 y la recta r de ecuación x 5 z 6 = y =. 2 m (a) [1 punto] Halla la posición

Más detalles

8.- GEOMETRÍA ANÁLITICA

8.- GEOMETRÍA ANÁLITICA 8.- GEOMETRÍA ANÁLITICA 1.- PROBLEMAS EN EL PLANO 1. Dados los puntos A = (1, 2), B = (-1, 3), C = (3, 4) y D = (1, 0) halla las coordenadas de los vectores AB, BC, CD, DA y AC. Solución: AB = (-2, 1),

Más detalles

Elipse. Circunferencia. Hipérbola. Parábola C O N I C A S

Elipse. Circunferencia. Hipérbola. Parábola C O N I C A S Elipse Circunferencia V Hipérbola Parábola C O N I C A S El primer matemático que inició el estudio de las cónicas fue Apolonio de Perga (262 190 a.c), que enseñó matemáticas en las universidades de Alejandría

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS

APUNTES DE MATEMÁTICAS 1º BACHILLERATO TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 5: GEOMETRÍA AFÍN PROBLEMAS MÉTRICOS º BACHILLERATO ÍNDICE. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO.... 4.. SISTEMAS DE REFERENCIA... 4.. COORDENADAS DE UN PUNTO... 4.3. COORDENADAS

Más detalles

Curvas en paramétricas y polares

Curvas en paramétricas y polares Capítulo 10 Curvas en paramétricas y polares Introducción Después del estudio detallado de funciones reales de variable real expresadas en forma explícita y con coordenadas cartesianas, que se ha hecho

Más detalles

Tema 6. Apéndice: La esfera

Tema 6. Apéndice: La esfera Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Geometría del espacio: La esfera (Apéndice del TEMA 6) 141 Tema 6 Apéndice: La esfera La superficie esférica (la esfera) es el conjunto de puntos del espacio que

Más detalles

Matemáticas II - Geometría

Matemáticas II - Geometría PAU Matemáticas II - Geometría 2008.SEPTIEMBRE.1.- Dados los dos planos π 1 : x + y + z = 3 y π 2 : x + y αz = 0, se pide que calculeis razonadamente: a) El valor de α para el cual los planos π 1 y π 2

Más detalles

Capítulo 8. Geometría euclídea. 8.1 Problemas métricos

Capítulo 8. Geometría euclídea. 8.1 Problemas métricos Capítulo 8 Geometría euclídea 81 Problemas métricos Espacios vectoriales El plano: R 2 = { (x,y : x,y R } El espacio: R 3 = { (x,y, z : x, y, z R } Si u = λv para algún λ 0 diremos que son proporcionales:

Más detalles

CAPÍTULO 3. COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO. RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS.

CAPÍTULO 3. COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO. RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS. CAPÍTULO 3. COORDENADAS CARTESIANAS EN EL PLANO. RECTAS CIRCUNFERENCIAS. Ejercicios E1. Sean r la recta que pasa por los puntos. A(1, 2), B(3, 1), s la recta que pasa por el punto C(2, 2) y tiene pendiente

Más detalles

PROGRAMACIÓN LINEAL. 1. Introducción

PROGRAMACIÓN LINEAL. 1. Introducción PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA

MATEMÁTICAS BÁSICAS CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA MATEMÁTICAS BÁSICAS CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA Una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo en el plano llamado centro. La distancia

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS GEOMETRÍA ANALÍTICA: CÓNICAS 1.- GENERALIDADES Se define lugar geométrico como el conjunto de puntos que verifican una propiedad conocida. Las cónicas que estudiaremos a continuación se definen como lugares

Más detalles

( ) 2 +( 1) 2. BLOQUE III Geometría analítica plana. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto

( ) 2 +( 1) 2. BLOQUE III Geometría analítica plana. Resoluciones de la autoevaluación del libro de texto Pág. de Dados los vectores u, y v0,, calcula: a u b u + v c u v u, v0, 5 a u = = = + b u + v =, + 0, =, + 0, 6 =, c u v = u v = 0 + = Determina el valor de k para que los vectores a, y b6, k sean ortogonales.

Más detalles

ECUACIÓN DE LA RECTA. Dibujando los ejes de coordenadas y representando el punto vemos que está situado sobre el eje de abscisas.

ECUACIÓN DE LA RECTA. Dibujando los ejes de coordenadas y representando el punto vemos que está situado sobre el eje de abscisas. ECUACIÓN DE LA RECTA. El punto (, 0) está situado: a) Sobre el eje de ordenadas. b) En el tercer cuadrante. c) Sobre el eje de abscisas. (Convocatoria junio 00. Examen tipo D) Dibujando los ejes de coordenadas

Más detalles

Sistema de coordenadas cartesianas. Ecuación de la recta y de la circunferencia.

Sistema de coordenadas cartesianas. Ecuación de la recta y de la circunferencia. Clase 4 Sistema de coordenadas cartesianas. Ecuación de la recta y de la circunferencia. Clase 4... 1 1. Sistema de Coordenadas Cartesianas... 2 1.a. Punto medio... 3 1.b. Distancia entre dos puntos...

Más detalles

Boletín de Geometría Analítica

Boletín de Geometría Analítica Boletín de Geometría Analítica 1) Si las coordenadas de los vectores a y b son (3,5) y (-2,1) respectivamente, obtén las coordenadas de: a) -2 a + 1/2 b b) 1/2 ( a +b ) - 2/3 ( a -b ) 2) Halla el vector

Más detalles

LA RECTA. Ax By C 0. y y m x x. y mx b. Geometría Analítica 2 ECUACIÓN GENERAL. Teorema: ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE .

LA RECTA. Ax By C 0. y y m x x. y mx b. Geometría Analítica 2 ECUACIÓN GENERAL. Teorema: ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE . LA RECTA En geometría definimos a la recta como la sucesión infinita de puntos uno a continuación de otro en la misma dirección. En el plano cartesiano, la recta es el lugar geométrico de todos los puntos

Más detalles

PLAN DE REFUERZO NOMBRE ESTUDIANTE: Nº GRADO: 10º

PLAN DE REFUERZO NOMBRE ESTUDIANTE: Nº GRADO: 10º COLEGIO BETHLEMITAS PLAN DE REFUERZO Fecha: Dia 25 Mes 03 Año 2015 META DE COMPRENSIÓN: La estudiante desarrolla comprensión sobre las características de localización de objetos geométricos en sistemas

Más detalles

Tema 4: Los vectores en el espacio

Tema 4: Los vectores en el espacio Tema 4: Los vectores en el espacio 1. El conjunto R 3 Este conjunto está formado por todas las ternas de números reales (x, y, z) 2. Vectores fijos Un vector es un segmento orientado que parte de A (origen)

Más detalles

4º ESO VECTORES y RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa. VECTORES y RECTAS

4º ESO VECTORES y RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa. VECTORES y RECTAS º ESO VECTORES RECTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. VECTORES RECTAS.- Calcula las coordenadas del punto C(C x,c ) para que forme el paralelogramo ABCD junto con los puntos A(,), B(,) D(,-). Dibujo. _Sol

Más detalles

Geometría vectorial. [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Cálculo III - Geometría vectorial 1

Geometría vectorial. [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Cálculo III - Geometría vectorial 1 Geometría ectorial [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Cálculo III - Geometría ectorial El espacio R Sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales Las coordenadas rectangulares en el plano

Más detalles

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO

ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO CONTENIDO 1. Definición de cónica y cono de revolución. Determinación de las cónicas por medio de sus coeficientes.1 Determinación del tipo de curva considerando los coeficientes

Más detalles

VECTORES EN EL ESPACIO

VECTORES EN EL ESPACIO VECTORES EN EL ESPACIO Página 133 REFLEXIONA Y RESUELVE Relaciones trigonométricas en el triángulo Halla el área de este paralelogramo en función del ángulo a: cm a cm Área = sen a = 40 sen a cm Halla

Más detalles

TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Tasa de variación Dada una función y = f(x), se define la tasa de variación en el intervalo [a, a +h] como: f(a + h) f(a) f(a+h) f(a) y se define la tasa de variación media

Más detalles

Ejemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano.

Ejemplo Traza la gráfica de los puntos: ( 5, 4), (3, 2), ( 2, 0), ( 1, 3), (0, 4) y (5, 1) en el plano cartesiano. Plano cartesiano El plano cartesiano se forma con dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección se denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas y la recta

Más detalles

TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios:

TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios: TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A dicha distancia se le llama radio de la circunferencia.

Más detalles

ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO.16 MATERÍA: GEOMETRÍA ANALITICA GUÍA DE ESTUDIO PARA LA ÚLTIMA OPORTUNIDAD DE ACREDITAR LA MATERÍA

ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO.16 MATERÍA: GEOMETRÍA ANALITICA GUÍA DE ESTUDIO PARA LA ÚLTIMA OPORTUNIDAD DE ACREDITAR LA MATERÍA Geometría analítica 1.- Ecuación de la recta 2.- Cónicas 3.-Ecuación de la parábola UNIDAD II: CONICAS (CIRCUNFERENCIA Y PARABOLAS) Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de

Más detalles

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV UNIDAD DE APRENDIZAJE IV Saberes procedimentales Emplea de manera sistemática conceptos algebraicos, geométricos, trigonométricos y de geometría analítica. Relaciona la ecuación de segundo grado en dos

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano

UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del punto medio de un segmento 4. La

Más detalles

PROBLEMAS METRICOS. r 3

PROBLEMAS METRICOS. r 3 PROBLEMAS METRICOS 1. Hallar el área del triángulo de vértices A(1,1), B(2,3) y C(5,2). 2. Halla las ecuaciones de las bisectrices determinadas por las rectas y=3x e y=1/3 x. Comprueba que ambas bisectrices

Más detalles

Rectas y Parábolas. Sistemas de coordenadas rectangulares (Plano Cartesiano)

Rectas y Parábolas. Sistemas de coordenadas rectangulares (Plano Cartesiano) Rectas y Parábolas Prof. Gabriel Rivel Pizarro Sistemas de coordenadas rectangulares (Plano Cartesiano) El sistemas de coordenadas rectangulares se representa en un plano, mediante dos rectas perpendiculares.

Más detalles

UNIDAD 8 Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD 8 Geometría analítica. Problemas afines y métricos UNIDAD Geometría analítica. Problemas afines y métricos Pág. 1 de 5 1 Se consideran los puntos A (, ) y B (4, 6). a) Calcula las coordenadas de un punto P que divida al segmento AB en dos partes 1 tales

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Ciclo Básico Departamento de Matemática Aplicada ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) Semestre 1-2011 Mayo 2011 Álgebra Lineal y Geometría

Más detalles

Superficies. Conceptos generales

Superficies. Conceptos generales Repaso Superficies. Conceptos generales Dpto. Matemática Aplicada I E.T.S. de Arquitectura Universidad de Sevilla Curso 2005 2006 REPASO: Superficies. Conceptos generales 1. Conceptos generales Definición

Más detalles

LA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3

LA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3 Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS

GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS GEOMETRÍA ANALÍTICA. PROBLEMAS AFINES Y MÉTRICOS Página 7 REFLEXIONA Y RESUELVE Punto medio de un segmento Toma los puntos P(, ), Q(0, ) y represéntalos en el plano: P (, ) Q (0, ) Localiza gráficamente

Más detalles

Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado.

Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. Tema 5 Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. 5.0.1 Ecuaciones en dos variables. Una linea del plano es el conjunto de puntos (x, y), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F

Más detalles

Las ecuaciones de estas rectas pueden venir dadas de las formas siguientes:

Las ecuaciones de estas rectas pueden venir dadas de las formas siguientes: Geometría Analítica 8-9 RECTAS EN EL ESPACIO En la figura se muestran varias rectas en el espacio, cuas posiciones son las siguientes: a) r r3 se cortan en un punto P cuas coordenadas se obtienen resolviendo

Más detalles

P. A. U. LAS PALMAS 2005

P. A. U. LAS PALMAS 2005 P. A. U. LAS PALMAS 2005 OPCIÓN A: J U N I O 2005 1. Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x) = x 3 4x 2 + 5x 2 y la rectas y = 0, x = 1 y x = 3. x 3 4x 2 + 5x 2 es una función polinómica

Más detalles

Ejercicio reto. Definición. Circunferencia con centro en el origen. ENCUENTRO # 60 TEMA:Secciones cónicas. CONTENIDOS: 1. Circunferencia.

Ejercicio reto. Definición. Circunferencia con centro en el origen. ENCUENTRO # 60 TEMA:Secciones cónicas. CONTENIDOS: 1. Circunferencia. ENCUENTRO # 60 TEMA:Secciones cónicas. CONTENIDOS: 1. Circunferencia. Ejercicio reto 1. La ecuación de la recta que pasa por M(π, 0) y por la intersección de las rectas con ecuaciones: 3x 2y 1=0, x 4y+

Más detalles

PREPARACIÓN PRUEBA DE ACCESO A CICLOS DE GRADO SUPERIOR

PREPARACIÓN PRUEBA DE ACCESO A CICLOS DE GRADO SUPERIOR MATEMÁTICAS - PROFESOR: CARLOS MARTÍN ARTEAGA PREPARACIÓN PRUEBA DE ACCESO A CICLOS DE GRADO SUPERIOR SOLUCIONES 15 1.- Resuelve las siguientes preguntas: a) Indique cuál es el lugar geométrico de los

Más detalles

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Página 153 REFLEIONA Y RESUELVE Puntos alineados en el plano Comprueba que los puntos A (5,, B (, 3 y C (13, 5 no están alineados. C (13, 5 A (5, B (, 3 AB = (3, 1;

Más detalles

Para que un punto P(x, y) pertenezca a la circunferencia unitaria debe cumplir con la ecuación x 2 + y 2 = 1.

Para que un punto P(x, y) pertenezca a la circunferencia unitaria debe cumplir con la ecuación x 2 + y 2 = 1. GUIA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS GRADO DECIMO FUNCIOENES TRIGONOMETRICAS El estudio de la trigonometría se puede realizar por medio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo,

Más detalles

GEOMETRÍA (Selectividad 2014) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2014

GEOMETRÍA (Selectividad 2014) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2014 GEOMETRÍA (Selectividad 014) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 014 1 Aragón, junio 014 Dados el punto P (1, 1, 0), y la recta: x+ z 1= 0 s : 3x y 3= 0 Ax + By

Más detalles

Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas:

Cónicas 1.- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: .- Hacer un estudio completo de las siguientes cónicas: a) x + 4y 4xy + 4x + y + 45 = b) x 8xy + y 4x 4y + = c) x 4xy + 4y x + 8y = d) 4x + y 4xy + x + 4y =.- Hallar la ecuación de la cónica que pasa por

Más detalles

Geometría Analítica. 26th March Geometría Analítica

Geometría Analítica. 26th March Geometría Analítica 26th March 2008 Sistema de coordenadas cartesianas Dos rectas perpendiculares, que se cortan un punto llamado origen O. Una de las rectas es horizontal: OX. Otra es vertical: OY. Sistema de coordenadas

Más detalles

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones 6 Sistemas de ecuaciones Objetivos En esta quincena recordarás la resolución de sistemas de ecuaciones y aprenderás a resolver también algunos sistemas de inecuaciones. Cuando la hayas estudiado deberás

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema ( ecuaciones y incógnitas) es un sistema de la forma: a11xa1 y b1 a1xa y b donde a11, a1,

Más detalles

5.1. Recta tangente, normal e intersección de curvas. Recta tangente

5.1. Recta tangente, normal e intersección de curvas. Recta tangente 5. Aplicaciones de la Derivada 5.1. Recta tangente, normal e intersección de curvas Recta tangente Desde la escuela primaria se sabe que la recta tangente en un punto de una circunferencia es aquella recta

Más detalles

Docente Matemáticas. Marzo 11 de 2013

Docente Matemáticas. Marzo 11 de 2013 Geometría Analítica Ana María Beltrán Docente Matemáticas Marzo 11 de 2013 1 Geometría Analítica Definición 1. Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que tienen una característica

Más detalles

MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA ANALÍTICA. 3. Determinar analíticamente cuando dos rectas son paralelas o perpendiculares.

MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA ANALÍTICA. 3. Determinar analíticamente cuando dos rectas son paralelas o perpendiculares. ESTUDIO ANALÍTICO DE LA LÍNEA RECTA Y APLICACIONES SEMESTRE II VERSIÓN 03 FECHA: Septiembre 29 de 2011 MUNICIPIO DE MEDELLÍN ÁREA DE MATEMÁTICAS: GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGROS: 1. Hallar la dirección, la

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES Capítulo 2 ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES 2.1. PENDIENTE DE UNA RECTA A continuación desarrollaremos conceptos que permiten expresar, mediante un número, la inclinación de una recta cualquiera

Más detalles

Sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones . Sistemas de ecuaciones lineales Ecuación lineal con dos incógnitas Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal. Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad algebraica del tipo:

Más detalles

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2), del plano, hallemos la distancia entre P y Q. Sin pérdida de generalidad, tomemos los puntos P y Q, en el primer cuadrante

Más detalles

1. La circunferencia.

1. La circunferencia. http://www.telefonica.net/web/jlgarciarodrigo/. La circunferencia... Elementos de una circunferencia. Definición. Se llama circunferencia al lugar geométrico formado por los puntos que equidistan de otro

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO

GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL PLANO 1 UNIDAD DIDÁCTICA 5: Geometría analítica del plano 1. ÍNDICE 1. Sistemas de referencia y coordenadas puntuales 2. Distancia entre dos puntos del plano 3. Coordenadas del

Más detalles

MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA. 1) Determinar k y h para que las rectas kx+2y-h=0, 4x+ky-2=0, se corten en un punto.

MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA. 1) Determinar k y h para que las rectas kx+2y-h=0, 4x+ky-2=0, se corten en un punto. MATEMÁTICA - TERCERO - REVISIÓN INTEGRADORA ) Determinar k y h para que las rectas kxy-h=0, 4xky-=0, se corten en un punto ) La recta r: 5 x y 9 = 0, corta a la recta y = x en el punto A Obtener la ecuación

Más detalles

F referidas al sistema cartesiano XY sean P=(x,y) y ~=(f,, f,), y que la ecuación de la

F referidas al sistema cartesiano XY sean P=(x,y) y ~=(f,, f,), y que la ecuación de la .1 DEFINICION. Una parábola P es el conjunto de todos los puntos de1 plano que equidistan de una recta fija il y de un punto fijo F fuera de la recta. Así, P = {P E IR 1 distancia de P a L = distancia

Más detalles

DEPARTAMENTO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

DEPARTAMENTO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA DEPARTAMENTO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA SERIE No. 4 010 - CURVAS 1. Obtener una ecuación vectorial de la curva que se obtiene por el desplazamiento de un punto tal que su abscisa es -5 mientras que su cota

Más detalles

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. UNIDAD IV: LA PARABOLA. 4.1. Caracterización geométrica. 4.1.1. La parábola como lugar geométrico. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta

Más detalles

Lugares geométricos y cónicas

Lugares geométricos y cónicas Lugares geométricos y cónicas E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Lugar geométrico página 6.. Definición página 6. Circunferencia página 6.. Ecuación página 6.. Casos particulares página 67. Elipse página

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2

ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2 ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2 Geometría afín. (Curso 2014 2015) 1. En el espacio afín IR 3 se considera la referencia canónica R y la referencia R = (1, 0, 1); (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}. Denotamos

Más detalles

TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II

TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES II Tema Funciones elementales Ejercicios resueltos Matemáticas B º ESO TEMA FUNCIONES ELEMENTALES II Rectas EJERCICIO. Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas

Más detalles

1. Obtener las coordenadas cartesianas del punto B simétrico del punto A(5,30 ), respecto al polo.

1. Obtener las coordenadas cartesianas del punto B simétrico del punto A(5,30 ), respecto al polo. SEMESTRE 018-1 SERIE CURVAS EN EL PLANO POLAR 1. Obtener las coordenadas cartesianas del punto B simétrico del punto A(5,30 ), respecto al polo.. Determinar las coordenadas polares del punto C simétrico

Más detalles

ESPACIO AFÍN 2.- SISTEMAS DE REFERENCIA: COORDENADAS DE UN PUNTO. 3.- VARIEDAD LINEAL: ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO.

ESPACIO AFÍN 2.- SISTEMAS DE REFERENCIA: COORDENADAS DE UN PUNTO. 3.- VARIEDAD LINEAL: ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO. ESPACIO AFÍN 1.- CONCEPTO DE ESPACIO AFÍN. 2.- SISTEMAS DE REFERENCIA: COORDENADAS DE UN PUNTO. 3.- VARIEDAD LINEAL: ECUACIONES DE LA RECTA Y EL PLANO. 4.- PROBLEMAS DE INCIDENCIA. 5.- POSICIONES RELATIVAS

Más detalles

Los números complejos

Los números complejos 7 Los números complejos 1. Forma binómica del número complejo Piensa y calcula Halla mentalmente cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el conjunto de los números reales. a) x 2 25 = 0

Más detalles

Lugares Geométricos. Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(2, 4) sea igual a 3. De qué figura se trata?

Lugares Geométricos. Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(2, 4) sea igual a 3. De qué figura se trata? Lugares Geométricos Ejercicio nº.- Halla el lugar geométrico de los puntos, P, del plano tales que su distancia a Q(, ) sea igual a. De qué figura se trata? Ejercicio nº.- Obtén la ecuación de la mediatriz

Más detalles

Se llama potencia de inversión a la constante k² y circunferencia fundamental de inversión a la de centro O y radio k.

Se llama potencia de inversión a la constante k² y circunferencia fundamental de inversión a la de centro O y radio k. Geometría plana B18 Inversión Inversión gráfica Considerando un punto fijo O en un plano, llamado centro o polo de inversión y una constante k², se llama inversión a una correspondencia en la que a cada

Más detalles

GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN

GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN GEOMETRÍA: ESPACIO AFÍN.- ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO..- Ecuación vectorial Sea Pab (, ) un punto de la recta r, v = ( v, v) dirección que r, y, sea (, ) en el siguiente dibujo: un vector, no nulo,

Más detalles

Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA

Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Fuente: PreUniversitario Pedro de Valdivia Guía Práctica N 11 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado es una ecuación susceptible de llevar a la forma a + b + c = 0,

Más detalles

c) Hallar los planos del haz que cumplen que el ángulo que forman con el eje OY tiene por seno el valor

c) Hallar los planos del haz que cumplen que el ángulo que forman con el eje OY tiene por seno el valor 1. [ANDA] [JUN-A] De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos A(,-1,0), B(-,1,0) y C(0,1,). a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular

Más detalles

Ecuación Vectorial de la Recta

Ecuación Vectorial de la Recta Ecuación Vectorial de la Recta Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada. Si P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r, el vector tiene

Más detalles

UNIDAD 13 LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA

UNIDAD 13 LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA UNIDAD 13 LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA PROBLEMAS PROPUESTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad aplicarás las definiciones y los elementos que caracterizan a la circunferencia y a la parábola

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles