Tema 4. Números Complejos

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1 Tema. Números Complejos. Números complejos Defncón de números complejo..... Conjugado y opuesto de números complejos..... Representacón gráfca de los complejos.... Operacones con complejos..... Suma y resta de complejos..... Producto de complejos..... Dvsón de complejos..... Potenca de números complejos..... Potencas de.... Complejos en forma polar Paso de forma polar a forma bnómca. Epresón trgonométrca Operacones en forma polar Raíces de números complejos Representacón de raíces de un número complejo Ecuacones con números complejos Representacón de ecuacones en el campo de los complejos....

2 Tema. Complejos. Números complejos... Defncón de números complejo Cuando resolvíamos las ecuacones de segundo grado y el dscrmínate era negatvo (raíz negatva) decíamos que dcha ecuacón no tenía solucones reales. pero es qué acaso puede haber otro tpo de solucones?. En este tema veremos los números complejos, en este conjunto de números las raíces pares de índce negatvo tenen solucón. Ejemplos: ) 0 ) -0 Antes de defnr el conjunto de los números complejos vamos a defnr la undad magnara, : tal que - De esta forma las solucones a las ecuacones y son: ) ) Números complejos ( ) son aquellos que se pueden escrbr de la forma zab, donde a y b son números reales e es la undad magnara. Esta forma de representar a los se denomna forma bnómca. Partes de los complejos zab : - Parte real Re(z)a - Parte magnara Im(z)b Nota: los números reales están ncludos en los complejos, son en los que la parte magnara es cero (b0). Los complejos que no tene parte real se denomnan magnaros puros. Por ejemplo z, zπ Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

3 Tema. Complejos Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente Ejercco: escrbe los sguentes números complejos en funcón de la undad magnara: a) b) Ejercco: resuelve las sguentes ecuacones y factorza los polnomos con números complejos: a) -0 ± ± -(-()) (-(-)) Comprobacón: (-()) (-(-)) -(-)-()()(-) -( -() ) -(-9() ) -(9) - b) -0 ± ± 9 - Comprobacón:..Conjugado y opuesto de números complejos Veamos tres defncones muy mportantes: Dos números complejos z a b y z a b son guales s son guales tanto la parte magnara como la real: z z a a y b b Ejemplo: hallar e y sabendo que zz, sendo z y z y-. Como zz entonces - e y

4 Tema. Complejos Dado un número complejo zab: - llamamos opuesto de z al número complejo z-a-b. Tal que se cumple que z(-z)0 - llamamos conjugado de z al complejo z a b. Cumpléndose: Re(z)Re( z ) Im(z)-Im( z ) Ejemplos: z z - z-π z --π Nota: z z Re(z).. Representacón gráfca de los complejos Los números complejos no se pueden representar en la recta real, para su representacón es necesaro dos dmensones (una para la parte real y otra para la magnara). De esta forma los complejos se representan en un sstema cartesano denomnado plano complejo. En este plano complejo el complejo zab se representa tal que la parte real, a, estará en el eje de abcsas (eje ) denomnado eje real y la parte magnara, b, en el eje de ordenadas (eje y) denomnado eje magnaro. De esta forma el complejo zab es equvalente al punto P(a,b) que se llama afjo del complejo z. Ejemplos: Representar los complejos z -, z -, z, z z z z z Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

5 Tema. Complejos. Operacones con complejos Las operacones con complejos se basan en las operacones con números reales y en que -. Veamos a partr de estas dos premsas las operacones con complejos:..suma y resta de complejos La suma y la resta de números complejos se realza sumando o restando las partes reales e magnaras entre sí: - Suma: (a b )(a b ) (a a )(b b ) - Resta: (a b )-(a b ) (a - a )(b - b ) Ejemplo: z( ), z (- ) zz ( )(- ) z-z ( )-(- )8- Nota: podemos calcular gráfcamente la suma de z z como suma de los vectores con afjos de z y de z.. Producto de complejos El producto de dos complejos se realza como s fueran reales y a partr de saber que -: z z (a b ) (a b )a a (a b )(a b )b b ( a a - b b )( a b a b ) Ejemplo: z( ), z (- ) z z ( ) (- )(--)(8-) -8 Nota: el producto de dos complejos conjugados es un número real gual al cuadrado de la dstanca del afjo al centro: z z (ab)(a-b)(a b )(ab-ab) (a b ).. Dvsón de complejos Para calcular la dvsón de dos complejos multplcamos numerador y denomnador por el conjugado del denomnador, así este será un número real: a b c d ( a b) ( c d) ( c d)( c d) ac bd ( bc ad) c d ac bd c d bc ad c d Ejemplo: ( )( ) ( )( ) 8 0..Potenca de números complejos La potenca de un complejo z(ab) de eponente natural z n se realza multplcando z consgo msmo n veces. Ejemplo: () ()()()(-) ()-9 Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

6 Tema. Complejos.. Potencas de Como sabemos que podemos calcular el valor de n de la sguente forma: 0 - (-) Luego podemos epresarlo en funcón del resto de dvdr n entre : n n k ( resto( n : ) 0) n k ( resto( n : ) ) n k ( resto( n : ) ) n k ( resto( n : ) ) Ejercco: realza las sguentes operacones a) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 9 b) ( )( ) c) ( )( ) d) resto(008:)0) 0 e)... ( ) 0 (7 ) ( ) ( )( ) 9 9 Ejercco: calcular tal que se cumple: a) Halla para que () sea magnaro puro () ()() -9( -9) magnaro puro s -90 ± b) Halla para que () sea real () ( -9) real s 0 0 c) Halla para que sea número magnaro ( )( ) ( )( ) d) Halla para que sea número real magnaro - 0 ± real 0 Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

7 Tema. Complejos. Complejos en forma polar Como hemos vsto en el prmer punto el complejo z(ab) se puede relaconar con el vector v (a,b). La forma polar cosste en defnr el complejo a partr del módulo y el ángulo que forma dcho vector con el sentdo postvo del eje OX. Un complejo en forma polar formado por el módulo y el argumento: Módulo de z (r): es el módulo del vector OP.Y por tanto z r a b Argumento de z (α): es el ángulo que forma el vector OP y el sentdo postvo del eje OX: b arg(z)α ar cot g a El complejo z con módulo r y ángulo α en forma polar se escrbe como zr α b Nota: darse cuenta que ar cot g tene dos solucones en [0,0º), hay que dbujar el a complejo para saber cuál de las dos solucones es la real. Ejemplo: escrbr en forma polar z- r z 0,87º αarg(z) ar cot g z 0,87º,87º ( no solucon) Los números reales son: - Postvos: el argumento es nulo α0 ejemplo: 77 0º - Negatvos: el argumento es α80º ejemplo: º Los complejos magnaros son: - Postvos: el argumento es α90º ejemplo: 77 90º - Negatvos: el argumento es α70º ejemplo: º Ejercco, epresar en forma polar:,º a) z r, α ar cot g z,º 0,º ( no solucón) b) z-- r ( ), α cot g( ) c) z- r 0 ( ) 0º ( no solucón) ar z 0º 0º 0 90º ( no solucón), α ar cot g z 70º 70º Págna 7 de Tema elaborado por José Lus Lorente

8 Tema. Complejos.. Paso de forma polar a forma bnómca. Epresón trgonométrca. A partr de las funcones trgonométrcas es sencllo pasar de forma polar a forma bnómca: are(z)r cos(α) bim(z)r sen(α) El número complejo se puede poner de la sguente forma (forma trgonométrca) zr(cosα senα) Ejemplo: pasar a forma bnómca z 0º z (cos0sen0)( ) Ejercco: poner los sguentes complejos en forma bnómca y trgonométrca los sguentes complejos: a) 0º (cos0sen0)(-0. ) b) π/ (cos(π/)sen(π/)) c) π/ (cos(π/)sen(π/))-.. Operacones en forma polar Las msmas operacones que hcmos con los complejos en forma bnómca tambén podemos hacer en forma polar Suma y resta: cuando tenemos una suma de complejos en forma polar lo recomendable es pasar los dos a forma polar a bnómca sumar y luego volver a pasar a forma polar. Producto: de dos complejos en forma polar es otro complejo tal que: - El módulo es gual al producto de los dos módulos - El argumento es gual a la suma de los argumentos r α s β (r s) αβ Cocente: de dos complejos en forma polar es otro complejo tal que: - El módulo es gual al cocente de los dos módulos - El argumento es gual a la resta de los dos argumentos r s α β r s α β Potenca: de un complejo en forma polar es otro complejo tal que: - El módulo es la potenca n-ésma del módulo de z - El argumento es n veces el argumento del argumento de z ( r ) ( r ) n n α nα Págna 8 de Tema elaborado por José Lus Lorente

9 Tema. Complejos Nota: cuando tenemos una potenca de un número complejo en forma bnómca la forma más senclla de calcular esta potenca es pasar el complejo a forma polar y luego elevar. Nota: s zr α entonces z r 0 α Ejercco: Operar y epresar el resultado en la msma forma a) º 00º º º b) 0º : º 0. -º 0. º c) 0º - 0º (cos0sen0)-(cos0sen0) - 0º r 9 α ar cot g z 0º 00º ( no solucón) d) (-) º ( no solucón) r α ar cot g( ) (-) ( ) 0º 80º º (cos80ºse80º)- e) - 80º 90 70º. Raíces de números complejos El cálculo de raíces de un número complejo en forma bnómca es muy tedoso, por lo que en la práctca se hace por lo general se pasan a forma polar. La raíz n-ésma de un número complejo tene n solucones n r α. Los pasos son los sguentes: - El módulo es la raíz n-esma del modulo del número dado - El argumento es β α 0k con k0,,..n- n n r ( ) n rα α 0k n Demostracón: veamos que estos complejos son la solucón de la raíz n-ésma, para esto elevamos la solucón a n y veamos que es gual a z: n α ( ) α ( ) n n k r r n 0 0 k n r α 0 rα n Ejemplos: a) : r z 8 n ; αarg(z) ( ) 8 0 º 8 k k arctg º º ( no solucón) z 8 º º º º Págna 9 de Tema elaborado por José Lus Lorente

10 Tema. Complejos b) c) 0º 0 0k 0º 80º 7 7 k 80º º 80º 00º Nota: vemos que hacendo las raíces de números reales en las solucones en el campo de los complejos las solucones reales están ncludas en estas. Ejercco: calcular las sguentes raíces a) 0º 7 º b) c) º.º.º 0.º 9.º 0º 0º 0º d) º Representacón de raíces de un número complejo Cuando representamos las raíces n-ésmas de un número complejo se cumple que todas las solucones: Tenen el msmo módulo (msma dstanca del orgen) Dos raíces consecutvas se dferencan en que el argumento es 0/n más que el anteror Con estas dos propedades se cumplen que los afjos forman un polígono regular de n lados nscrto en una crcunferenca de rado rmodulo raíz. Págna 0 de Tema elaborado por José Lus Lorente

11 Tema. Complejos Ejemplos: a) 8 8 0º 0º 90º 80º 70º b) ( ), 8,º 00,º 7,º,º,º c) 8 0º 0º 0º 0º Ejercco: calcular z y n sabendo que las raíces n-ésmas de z sus solucones son: Sabemos que n, pues es hay solucones (heágono). Calculemos zr α : r r α.9.9º z.9º Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

12 Tema. Complejos Ejercco: de un complejo z sabemos que su raíz cuarta tene una de sus solucones en el afjo A(,), calcular el resto de solucones z.9º z.9º 90º.9º z.9º 80º.9º z.9º 70º 0.9º 9 z (.9º ).7º. Ecuacones con números complejos. Cuando trabajábamos con polnomos djmos que el número de raíces reales del polnomo (solucones P()0) eran a lo sumo gual al grado del polnomo. Pero y s consderamos las solucones complejas cuántas solucones tene?. Esto es lo que demostró Gauss en lo que hoy se llama teorema fundamental del álgebra: Teorema fundamental del álgebra: todo polnomo de grado n con coefcentes reales o complejos tene n raíces (contando el grado demultplcdad). a 0 a z a n z n 0 n solucones No sempre es sencllo calcular las n raíces. Los métodos usados para la resolucón son los msmos que para solucones reales. Veamos algún ejemplo: z -z80 ± z ± z z 9z0 Como es de grado prmero tendremos que buscar solucones por Ruffn z z 9z(z)(z 9)(z)(z)(z-) solucones z-, z± z 80 z º 90º 0º 0º Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

13 Tema. Complejos Ejercco : resolver las sguentes ecuacones polnómcas: a) z z0 ± z b) z 0 z ± c) z -z 0z º º º º z -z 0z-8(z-) (z -z)(z-)(z-())(z-(-)) z -z0 z± d) z 0 z - z 70º 90º 0º 0º e) z -8z 70 z -8z 70 z t, z t t -8t70 8 ± 7 t z z ± 7 0 0º 0º 0 0 0º 0º Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

14 Tema. Complejos.. Representacón de ecuacones en el campo de los complejos. Dentro de las ecuacones en el campo de los complejos centrémonos en aquellas que sus coefcentes son reales. Tendremos de esta forma que la ecuacón a resolver es de la forma: P(z)0 con P(z) un polnomo. Nota: La varable del polnomo se defne z, en vez de, para tener en cuenta que z puede tomar valores complejos (en cambo R). Por el teorema fundamental del álgebra el nº de solucones es gual al grado del polnomo. Para ver la representacón de las solucones de la ecuacón {z,z,,z n }, es decr las raíces del polnomo (P(z )0) recordemos cómo se factorza el polnomo (tema ). Los factores rreducbles en los que se descomponen un polnomo son de dos tpos: Polnomos de er grado del tpo (z- ) solucón real. Polnomos de º grado sn solucones reales (a bc, cuyo dscrmnante b -ac<0). Veamos las solucones complejas de estos polnomos: b z b ± b ± a a z que son complejos conjugados, a a b z a a es decr z Conclusón: las solucones en el campo de los complejos son: Números reales Las solucones complejas venen en parejas de complejos conjugados. Ejemplo: representar las solucones en el campo de los complejos de las sguentes ecuacones con coefcentes reales: a) z z 8z -z-0. Factorzando (z-) (z) (z z)0 Solucones: z, z - (reales), (complejos conjugados) Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

15 Tema. Complejos b) z -8z 70: Cambo de varable z t, z t t -8t70 t 8 ± 7 z z 8 ± º 0º º 0º Las ecuacones en las que alguno de sus coefcentes no son reales no tenen que cumplr lo vsto para aquellas con coefcentes reales, es decr puede tener solucones que no son o reales o complejas conjugadas Ejemplo: z z0 no son conjugados Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

16 Tema. Complejos Ejerccos fnales.- Epresa los sguentes números complejos en forma bnómca a) b) c) 8 Solucón: a) b) - c). Representa y obtén en forma polar los sguentes complejos a) z-- b) z c) z Solucón: a) z-- r b) -z, r c) z -, r 0º α z 0º 0º, arct( ) 0º α z 0º 0º, arct( ) 00º α z 0º 0º, arct( ) z -z z.- Calcular las sguentes potencas del número : a) b) - c) - d) - e) - Solucón a) resto(:) - b) - c) - d) - e) - Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

17 Tema. Complejos.- Opera y smplfca al mámo: 0( ) a) ( ) b) 0( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( 9)( ) ,9, 0,9, ( ) () c) ( ) () ( )( ) 8 ( )( ) 8. - Sean z y z con lo sguentes afjos: z z a) z z b) z -z c) z z d) z :z a) b) Págna 7 de Tema elaborado por José Lus Lorente

18 Tema. Complejos c) 9 º d) -7º.- Calcula para que se cumpla: a) b) 7 7 es real es magnaro puro Solucones: a) 7 (7 )( ) 7 real s 0 -/ b) Imagnaro s /7 Otra forma a partr de notacón polar : 7 αarctg(/7) - αarctg(-/) a) arctg(-/)arctg(/7) -//7 -/ b) arctg(-/) /-7/ -/7 Págna 8 de Tema elaborado por José Lus Lorente

19 Tema. Complejos 7.- Escrbe en forma polar a) (-) b) c) - d) - Solucón a) r z.9º b) r z 0º c) - 70º d) - 80º 8.- Escrbe en forma polar y bnómca los conjugados y opuestos de a) z 0º b) z π/ c) π/ Solucón a) z 0º80º 00º z 0 90º 0º b) z π/π π/ z π / c) z π/π 7π/ z π / π / π / 9) Efectúa las sguentes operacones epresando el resultado en forma polar a) 0º 00 80º 80º π / b) º c) ( º ) 00 0º d) (cos sen) (cos sen) ( ) 08,º º º 0 0 ( ) e) Utlzando el bnomo de Newton y la potenca en forma polar calcular y comprobar que el resultado es el msmo: (- ) (- ) (- ) (- ) (- ) (- ) (- ) 9,º ( 9,º) 8 00,9º Comprobacón ,9º Págna 9 de Tema elaborado por José Lus Lorente

20 Tema. Complejos.- Calcula las sguentes raíces: a) 0º 0º 0º b) 80º º º 90º c) º º 80º 0º 90º 0º 0º 70º 0º d) 0º º 00 0º e) 7º 8º 70º 7.º 7,º 7,º 7,º f) º º 90,º,º 0,º 9,º.- En el gráfco se muestra las solucones de las raíces de un número. Determínalas y descubre que número es. Es una raíz qunta al haber solucones una solucón es 0, luego el resto son 7º, º, º, 88 Calculemos z: z( 0 ) 0 Págna 0 de Tema elaborado por José Lus Lorente

21 Tema. Complejos.-Resuelve las sguentes ecuacones en el campo de los complejos: a) z -8z-90 b) z 0 c) z z 0 a) z -8z-90 8 z 7 b) z 0 90º 80º 70º c) t z, t z t t0 t-, t-.-resuelve las sguentes cuestones: z, z a) Determnar los números complejos cuyo cuadrado sea gual a su conjugado b) Encuentra los números complejos cuyo conjugado concde con su opuesto c) Determnar los números complejos cuyo conjugado es gual a su nverso Solucón a) z z ( α ) α r r 0 r α r 0 α r k 0º 0 α 0k α α 0 0k k 0 0º k 0º z, z 0, z 0 Comprobacón: ( 0º ) 0 ( 0º ) 80 0º b) z z llamamos z a b, luego z a b ; z a b z z a-a, -b-b a0, b R zb, es decr los magnaros puros Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

22 Tema. Complejos c) z z z rα r r r r r 0 α α 0α 0α r α α r r. Luego todos los complejos con módulo cumplen esta propedad. y 0 α α Veamos un ejemplo z 0º z 0º 0 0 z.- La suma de un complejo y su conjugados es y la suma de sus módulos es 0. Determnarlos: zab y z a a8 0º a b 0 b 0 b.- Encuentra los complejos tales que su cubo es gual a su raíz cuadrada zr α z r α y z r r α / α / 80 Veamos el módulo: r r r r r 0, r Veamos el ángulo: k 0 α 0º α a) α 0k α 0k α k k α º k α 88º α k 0 α 7º b) α 80 0k α 80 0k α 7 k k α º Comprobacón: z 0 0 0; 0 0 z 0 ( 0 ) 0 7 z º ( º ) 7º z 88º ( 88º ) º 88 z 7º ( 7º ) º 7 z º ( º ) 88º Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

23 Tema. Complejos 7.- Encuentra el polnomo de º grado con coefcentes reales en los que sabemos que el coefcente de mayor grado es y dos de sus raíces son: z, z --. Como en el enuncado nos dcen que el polnomo tene coefcentes reales, se cumple que s alguna raíz es compleja, su complejo conjugado tambén es raíz. De esta forma z, z P(z) (z-()) (z-(-)) (z-(-)) (z-(--)) (z -z) (z z) Págna de Tema elaborado por José Lus Lorente

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