1. Números imaginarios. Números complejos en forma binómica página Representación gráfica de los números complejos página 116

Transcripción

1 Números complejos E S Q U E M A D E L A U N I D A D. Números magnaros. Números complejos en forma bnómca págna. Representacón gráfca de los números complejos págna 6.. Suma de números complejos págna 8. Operacones con números complejos en forma bnómca págna 8.. Producto de números complejos págna 8.. Cocente de números complejos págna 8.. Potencas de números complejos págna 9. Forma polar de un número complejo págna 0. Operacones con números complejos en forma polar págna.. Suma de números complejos págna.. Producto de números complejos págna.. Cocente de números complejos págna.. Potencas de números complejos págna.. Radcacón de números complejos págna. Números complejos 6

2 SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES DEL LIBRO DEL ALUMNO Cuestones prevas (págna ). Dado el punto P(, ), cuáles son las coordenadas del punto P smétrco de P respecto del eje de abscsas? Y las del punto P smétrco de P respecto del orgen de coordenadas? Dbújalos. Las coordenadas son P (, ) y P (, ). P. Dados los vectores fjos de orgen O y extremos P(, ) y P (, ), cuáles son sus módulos? Qué ángulos forman con el semeje postvo de abscsas? OP 9, el vector OP forma con el semeje postvo de abscsas un ángulo arctg,80 OP ) ( 9, el vector OP forma con el semeje postvo de abscsas un ángulo arctg,80 80,80 0,80. Raconalza la expresón. Multplcamos el numerador y el denomnador por el conjugado del denomnador:. Indca el dscrmnante de cada una de estas ecuacones: x 9 0 x x 0 x 6x 9 0 Qué tpo de solucones tene cada una? x 9 0, su dscrmnante es 6 x 9, dos solucones complejas. x x 0, su dscrmnante es x(x ) 0, las solucones son x 0 y x, reales. x 6x 9 0, su dscrmnante es 0 x, solucón real doble. Actvdades (págnas /) Y O Calcula las solucones de las ecuacones en el conjunto : a) x 6 0 b) x 8x 0 c) x x 0 a) x 6 0 x 6 x, x b) x 8x 0 x x, x c) x x 0, realzamos el cambo x t, obtenemos entonces la ecuacón de segundo grado t t 0 t y t, deshacendo el cambo, se tene: x, x, x, x P P X 6 Calcula los valores de las potencas sguentes: a) 9 b) 9 c) 6 a) Dvdmos 9 entre y obtenemos de resto ; por tanto, 9 b) Dvdmos 9 entre y obtenemos de resto ; por tanto, 9 c) Dvdmos 6 entre y obtenemos de resto 0; por tanto, 6 0 Dados los números complejos z y z, calcula: a) z z f) z b) z z g) z c) z/z h) z d) /z ) z e) /z j) z z a) z z ( ) ( ) 7 b) z z ( ) ( ) 8 z c) z d) z e) z f) z g) z h) z ) z j) z z ( ) ( ) 8 0 Calcula: a) ( ) 6 b) ( ) a) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) 8 (8) (8) b) ( ) ( ) ( ) (7 ) ( ) Expresa los sguentes números complejos en forma polar: a) b) c) (cos 0 sen 0 ) d) La undad magnara postva. a) m () ; tg 6,09 9 6, b) 70 c) (cos 0 sen 0 ) (cos (0 ) sen (0 )) 0 0 d) 90 Expresa el número complejo (cos 0 + sen 0 ) en forma bnómca. Susttuyendo sen 0 y cos 0 por su valor se obtene: (cos 0 sen 0 ) 6 Trgonometría y números complejos

3 7 Calcula el opuesto y el conjugado de los sguentes números complejos, expresándolos en forma polar: a) z b) z (cos 00 sen 00 ) c) z Expresamos en prmer lugar los números complejos en forma Calcula las raíces quntas de. El número en forma polar es 0. El módulo de las raíces quntas de es. Y sus argumentos: polar: a) z 00 z 60, z 0 b) z (cos 00 sen 00 ) z, z c) z z, z 6 Dados los números complejos z 7 y z 0º,calcula: a) z z c) z/z e) /z g) z b) z z d) /z f) z h) z a) Para sumar los dos números complejos en forma polar es precso, en prmer lugar, expresarlos en forma bnómca: z 7 (cos 7 sen 7 ) 0,78,90 z 0 (cos 0 sen 0 ),76,7 z z (0,78,90) (,76,7),,7 b) z z z c) 7 / 0 z d) z e) z f) z 7 80 g) z h) z 7 8 Calcula la potenca cuarta del número complejo, expresándolo prevamente en forma polar. m ) ( 8; tg ( ) 8 80 Calcula ( ),expresándolo en forma polar. m () 0; tg, ( ) 0, ,7 Calcula las raíces cúbcas del número complejo 8 8. Expresamos, en prmer lugar, el número 8 8 en forma polar: 8 8 m 8 8) ( 8 ; tg 8 ; El módulo de las raíces cúbcas de 8 8 será: Y sus argumentos: Las tres raíces cúbcas de 8 8 son: 6 0, 6, 6 Las raíces quntas de son: 0, 7,, 6, 88 Ejerccos y problemas (págnas /) Números magnaros. Forma bnómca. Representacón gráfca Representa gráfcamente estos números complejos e ndca cuáles son magnaros puros y cuáles reales:, 7,,,,,, Imagnaros puros: 7 y ; Reales: y Escrbe los conjugados y los opuestos de:,,, Conjugados:,,,, respectvamente. Opuestos:,,,, respectvamente. Representa gráfcamente el conjugado y el opuesto de los sguentes números complejos: a) z c) z e) z b) z 7 d) z f) z Números complejos 6

4 Qué tenen en común los números complejos de afjos Operacones con números complejos en forma bnómca (, 0), (, 0), (0, ) y (0, )? Por qué? Están stuados sobre los ejes de coordenadas a gual dstanca del orgen. Su módulo vale. 8 Efectúa las sguentes sumas en forma bnómca: Resuelve las sguentes ecuacones: a) x 6 0 c) x 7 0 b) x 6 0 d) x x 0 A qué campo numérco pertenecen las solucones? a) x 6 0 x 6 x 6, las dos solucones son magnaras. b) x 6 0 x 6 x 6, las dos solucones son reales. c) x 7 0 x 7, que es una solucón real, pero en el campo de los complejos esta ecuacón tene tres solucones, que son: x a) ( ) (7 ) b) c) a) b) c) 9 Calcula los sguentes productos: a) ( ) ( ) c) b) d) a) b) 9 8 x (7 0 ) 0 c) d) d) x x 0 x Por tanto, sus dos solucones son complejas. Resuelve la ecuacón x x 0 0 y comprueba que las raíces obtendas la verfcan. De forma análoga al últmo apartado del ejercco anteror: x x 0 0 x 6 x Sus dos solucones son complejas. Para comprobar que, efectvamente, son solucones de la ecuacón susttumos: ( ) ( ) ( ) ( ) Determna las solucones, en el campo de los números complejos, de las sguentes ecuacones: a) x 0 c) x x 9 0 b) x 8 0 d) x x x 0 0 a) x 0 x b) x 8 0 x 8 (x 9)(x 9) x, x, x, x c) x x 9 0 x x, x d) x x x 0 0 Prmero aplcando Ruffn tenemos: El polnomo dado lo podemos factorzar: x x x 0 (x )(x ) La solucones de la ecuacón polnómca dada son: x, x, x 0 Efectúa las sguentes operacones: a) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) a) b) 8 Realza las sguentes operacones: a) [( ) ( ) ( ) ( )] ( ) b) c) d) a) 9 b) c) d) a b Demuestra que es el nverso de a b. a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Calcula z. z 8 0 Dados los números complejos b y a, calcula a y b para que su producto sea 7. ( b)(a ) 7 a 6 ab b 7 a b 7 6 ab a b Susttuyendo tenemos: b 6 b 7 b 7b 6 0 b a b / a / 6 Trgonometría y números complejos

5 Calcula: a) ( ) b) ( ) ( ) ( ) a) b) 7 Calcula: a) b) 8 c) 86 d) 6 e) / f) a) b) 8 c) 86 d) 6 0 e) f) 6 m Determna el valor de m para que el cocente sea gual a. 6 m 6 m 6 6 m m 6 m 6 m 6 m m 6 m 0 m Determna el valor de a para que (a ) sea un número magnaro puro. (a ) a 0a Para que sea magnaro puro la parte real a 0 a, a Halla b para que el producto ( b)( ) sea: a) Un número real. b) Un número magnaro puro. ( b) ( ) 9 b b a) Para que sea real: 9 b 0 b 9/ b) Para que sea magnaro puro: b 0 b Halla el valor de k para que el número k 6 sea magnaro puro. S k 6 es magnaro puro, su parte real debe ser nula. 6,por lo tanto, s operamos: k ( ) k (k ) 0 k 0 k x Calcula el valor de x para que el complejo : a) Sea magnaro puro. b) Sea un número real. c) Tenga su afjo en la bsectrz del prmer cuadrante. x 6x (8x 9) a) S ha de ser magnaro puro, su parte real debe ser nula: 6x 0 x b) S ha de ser real, su parte magnara debe ser nula: 8x 9 0 x 9/8 c) S su afjo debe estar en la bsectrz del prmer cuadrante, deben ser guales la parte real y la magnara: 6x 8x 9 x / x Calcula el cocente y determna el valor de x para que el módulo del complejo resultante sea. Operando se obtene: x x x S el módulo debe valer, tenemos: x x x x 0, x El número ( x) es real, calcúlalo. x Operando se obtene: ( x) x x ( x)x (x x) x x S es real: x x 0 x Susttuyendo: ( ) Calcula el número real a para que el número complejo a z esté stuado en la bsectrz del prmer cuadrante. Para que un número complejo tenga su afjo en la bsectrz del prmer cuadrante, sus partes reales e magnaras deberán concdr: a ( 6a) (9 8a) 6a 9 8a a a / Forma polar de un número complejo El producto de dos números complejos es un número real? a) S son conjugados, sí. b) S son opuestos, sí. c) El producto de dos números complejos nunca puede ser un número real. Indca y razona la respuesta correcta. a) S son conjugados, sí, ya que m m m 0,que es un número real. 6 S dos números complejos tenen el msmo afjo: a) Tenen el msmo argumento. b) Tenen módulos proporconales. c) Su cocente tene como módulo. Indca y razona la afrmacón correcta. c) Tenen el msmo módulo, luego su cocente tene de módulo Qué tpo de gráfca forman los afjos de los números complejos que tenen el msmo argumento? Forman una recta de pendente la tangente del argumento de los complejos. Se puede decr que un número complejo es real s su argumento es? S su argumento es el número complejo está stuado sobre el eje real, en el semeje negatvo. S z m, qué relacón tenen con z los números complejos m 80 y m? z m 80 y z m. Números complejos 6

6 0 Qué relacón exste entre el argumento de un complejo y Expresa en forma bnómca estos complejos: el de su conjugado? Y con el de su opuesto? a) d) 8 El argumento del conjugado dfere en 80 y el del opuesto es el msmo cambado de sgno. b) e) 6 Calcula el módulo y el argumento de los sguentes números complejos, representándolos prevamente: a) c) e) g) b) d) f) h) O a) z m 8, tg (), puesto que su afjo está en el cuarto cuadrante. z 7/ b) z m, tg rad, puesto que su afjo está en el prmer cuadrante. z / c) z m, 90 rad z 90 / d) z m, rad z / e) z m, 70 rad z 70 / f) z m, 0 0 rad z 0 0 g) z m,tg, puesto que su afjo está en el segundo cuadrante. z / c) a) / cos sen b) /6 cos 6 sen 6 c) (cos sen ) d) 8 / 8 cos sen e) / Expresa en forma bnómca los sguentes números complejos: a) cos sen b) cos sen c) (cos sen ) a) cos sen b) cos sen c) (cos sen ) =,97 0, Representa gráfcamente estos números complejos: a) b) c) d) e) f) 70 g) (cos 0 sen 0 ) h) (cos sen ) h) z m, 80 rad z 80 Expresa en forma polar y trgonométrca los sguentes complejos: a) c) b) d) a) z / cos sen b) z / cos sen c) z 8 / 8 cos sen d) z / cos sen O (cos 0 sen 0 ) 0 (cos sen ) Trgonometría y números complejos

7 6 Calcula el conjugado, el opuesto y el nverso de los números complejos del ejercco anteror. Operacones con números complejos en forma polar 8 Resuelve los sguentes productos: a) z z a) () () d) () 6 () 8 z b) z e) ( ) c) f) 6 b) z a) / /6 6 / z z b) / z 0 0 / 0 c) 0 80 c) z d) / /8 z 8 9/6 z e) ( ) / / / 7/ z f) Calcula los sguentes cocentes: d) z 0 z a) b) c) 0 d) z z 7 7 a) 0 / 0 / e) z 7 z z z f) z 70 z 90 z 90 z g) z (cos 0 sen 0 ) z (cos 0 sen 0 ) (cos 0 sen 0 ) z (cos 0 sen 0 ) z (cos (0 ) sen (0 )) (cos 0 sen 0 ) h) z (cos sen ) (cos sen ) z (cos sen ) z (cos sen ) z (cos ( ) sen ( )) (cos sen ) Calcula el valor de m para que el número complejo m tenga el msmo módulo que. Hallamos prmero el módulo de m y lo gualamos al módulo de. Medante este procedmento obtenemos el valor de m: m6 0 m 9 m Por tanto, los números complejos serían y. 0 b) c) d) Calcula: a) ( ) c) b) d) ( ) a) ( ) ( ) ( ) (9)(9 ) ( ) b) c) d) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 6 8 Calcula: a) ( ) c) 8 b) d) a) ( ) 96,7 6 96,7 6 0,6 b) 60 6 (60 ) c) , ; 7, ; 7, ; 7, d) 0 8, 0 0,69 ; 0 0 7,69 ; 0 0 7,69 ; 0 0 9,69 ; 0 0 9,69. Números complejos 67

8 Calcula el módulo y el argumento de: Calcula las sguentes raíces: a) ( ) Calculamos cada factor paso a paso, trabajando en forma b) polar: c) z m () tg 0, puesto que el afjo está en el segundo cuadrante. Por tanto: ( 0 ) z m tg 0, puesto que el afjo está en el prmer cuadrante. Por tanto: ( 0 ) 6 0 z m tg 0, puesto que el afjo está en el cuarto cuadrante. Por tanto: 0 z Susttuyendo y realzando las operacones que se ndcan, se obtene: z z z z Por tanto: m, 90 Resuelve las sguentes potencas: a) b) cos 6 sen 6 c) 0 a) / 9 / b) cos 6 sen 6 cos sen d) 6 e) 8 f) 60 a) Hay dos raíces con módulo, y argumentos: Por tanto, las raíces son: /6 y 7/6 b) Exsten dos raíces cuadradas de : c) (8) d) 6 6π /6 e) 8 8 / /6 9/6 8 7, 8 7, / / / 7/ c) ( / ) 0 7 Representa gráfcamente las ses prmeras potencas del número z. z z z z z z z º 6 8 f) Calcula: a) b) ( ) / c) d) a) 60 ; 8 ; 6 ; 8 ; 00 8 º 6 60º 6 º 8 70º º b) ( ) / / 8 9,7 6 6 c) 8 6 ( 60 ) / ; / 7 ; / ; / 9 ; / ; / d) ; 6 0 ; 6 9 ; Trgonometría y números complejos

9 7 Resuelve las sguentes ecuacones: Problemas de aplcacón a) z 8 0 d) (z ) 0 8 Calcula el nverso de estos números complejos: b) z z 0 e) z ( ) ( ) 0 a) / b) 6 c) c) z 6 z 0 f) z z z 7 0 a) z 8 0 debe tener cuatro solucones en el campo de los complejos. z 8. Escrbmos8 en forma polar, esto es, 8 80, con lo que las solucones son las raíces cuartas de este número complejo: z 8 80 b) z z 0, trabajamos como con las bcuadradas, pero en el campo de los complejos. Hacemos xz ±,con lo que x, que es una solucón doble. Pero z, con lo que las solucones de la ecuacón son: y, ambas dobles. c) z 6 z 0, debe tener ses solucones en el campo de los complejos. z(z ) 0 z 0 y z. Calculamos las raíces quntas de, expresando prevamente este número en forma polar: z ( 80 ) 80 Las ses solucones son 0, 6, 08, 80, y. d) (z ) 0. Esta ecuacón tene dos solucones en el campo de los complejos. (z ) z z ± Es decr, las dos solucones son: y e) z 0. Debe tener dos solucones complejas. z,por lo que: z ( ) Expresamos el radcando en forma polar y averguamos las dos raíces que serán las solucones de la ecuacón. m, tg 9,0, pues su afjo está en el segundo cuadrante. Por tanto: z ( ) ( 9,0 ) 7, 0,6,, 0,6, Así pues, las dos solucones de la ecuacón son: 0,6, y 0,6, f) z z z 7 0, esta ecuacón debe tener tres solucones complejas. Por Ruffn obtenemos la prmera solucón: z 0 El cocente, z z 7 0, debe tener dos solucones. z 6 8 Así pues, las tres solucones de la ecuacón son:, y 9 Qué relacón hay entre los módulos de un número complejo y los de su nverso? Y entre los argumentos? a) / / b) c) 8 8 Los módulos de un número complejo y de su nverso son nversos y los argumentos opuestos. Halla los complejos que cumplan que el cuadrado del nverso del opuesto dvddo entre (/8) 0 dé. S z m,el enuncado pde averguar los complejos z que cumplen que ( m ) : Como ( m ) m m 80 m 60,susttuyendo tenemos: m 60 : m : 8 y de lo que se obtene: m y 0 Así pues, los complejos son: 0 k 60, k 0 Determna dos números complejos z y z sabendo que su cocente es, que la suma de sus argumentos es / y que la suma de sus módulos es. m m y 0 m m 0 0, 0 60 m m m, m m m Los números son 0 y 0. Calcula dos complejos cuyo cocente es, sus argumentos suman 0 y la suma de sus módulos es. Sean los complejos m y n. Su cocente es, es decr 0,por lo que tenemos: m n y 0 La suma de sus argumentos es 0, por lo que tenemos: 0 La suma de sus módulos es : m n Agrupando las ecuacones deducdas del enuncado en funcón de sus ncógntas, se obtene: m/n m n m 6, n 0 0, 0 0 Por lo que los complejos buscados son: m 6 0 y n 0. Números complejos 69

10 Calcula dos números complejos tales que su producto sea 6 Calcula todos los números complejos que cumplan que el 8 y uno de ellos sea el cuadrado del otro. cuadrado de su nverso sea el opuesto de su conjugado. Sean los complejos m y n. Su producto es 8, es decr,8 / : m n 8 / m n 8 y Uno de ellos es el cuadrado del otro: m (n ) (n ) m n y Agrupando las ecuacones deducdas del enuncado en funcón de sus ncógntas, se obtene: m n 8 m n m, n /, 6 Con lo que los dos complejos buscados son: m / y n /6 El producto de dos números complejos es, y el cubo de uno de ellos dvddo por el otro es /. Calcúlalos. Sean los complejos: m y n.del enuncado se deduce que: m n / m n y m n m 0 n y 0 Agrupando las ecuacones deducdas del enuncado en funcón de sus ncógntas, se obtene: m n m m, n n 0 8, 8 Con lo que los complejos son: m /8, n /8 Dos números complejos tenen el msmo módulo, sus argumentos suman 0 y uno de ellos es el conjugado del cuadrado del otro. Calcúlalos. Sean los complejos m y n.del enuncado se deduce: m n, 0 m [(n ) ] [(n ) ] (n ) 60 m n, 60 Agrupando las ecuacones deducdas del enuncado en funcón de sus ncógntas, se obtene: m n m n m, n 0 60 Con lo que los complejos son: m 00, n , 0 Determna los números complejos que cumplan que el cubo de su conjugado concda con su opuesto. Hay que hallar la expresón de los complejos tales que el cubo de su conjugado concda con el opuesto, es decr: ( z) z S z m,el enuncado se traduce en: (m 60 ) m 80 m m y (60 ) 80 m, puesto que no consderamos la solucón trval m 0, y m 0. (60 ) 80 k 60, k Por tanto los complejos buscados son: z k 60, k 7 8 Hay que encontrar la expresón de z, tal que: z z S z m,esta gualdad se traduce en: m (m 60 ) m 80 y, como: m m 60 m (60 ) tenemos: m (60 ) m 80 m m y de lo que se deduce que: m y 80 k 60, k Por tanto, los complejos buscados son: z 80 k 60, k Una de las raíces cúbcas de un número complejo es 8. Calcula dcho número y las otras raíces. Dado que es una de las raíces cúbcas, z (8 90 ) 70,y hacendo uso de la nterpretacón gráfca de la radcacón en los complejos, se puede deducr que las otras dos raíces son: 8 0 y 8 0 Encuentra el número complejo que sumado a da como resultado (cos sen ). Expresa la solucón en forma polar, bnómca y trgonométrca. Dado que hay que sumar, es convenente trabajar en notacón bnómca o trgonométrca. (a b) (cos sen ) Prmero se calcula la potenca del bnomo, para lo cual es convenente usar notacón polar: m, tg, puesto que el afjo está en el segundo cuadrante. Por tanto: ( ) (cos sen ) Aslando el complejo buscado: a b (cos sen ) 8(cos sen ) a cos 8 cos 8 b sen 8 sen 8 6 Es decr: a b 6 Buscamos el módulo m tg,7. Con esto el número complejo buscado es: a b 6 (),7 (cos,7 sen,7 ) 9 Dados tres números complejos, z, z y z,sabemos que z es el conjugado de z y que z es el conjugado del opuesto de z. Cómo son entre ellos z y z? La transcrpcón del enuncado es: z z z ( z ) Se deduce que la relacón entre z y z debe ser: z [( )] z z 70 Trgonometría y números complejos

11 60 Calcula sen y cos utlzando la fórmula de De Movre. La fórmula de De Movre es: (cos sen ) n cos n sen n 6 Los afjos de los puntos z y z forman un trángulo equlátero con el orgen de coordenadas. Calcula z,sabendo que z : Aplcamos la fórmula a una potenca de exponente cuatro: z Y (cos sen ) cos sen z Desarrollamos el prmer membro y se obtene: (cos sen ) (cos sen) (cos sen) (cos cos sen sen ) (cos cos sen sen ) O X cos cos sen cos sen Las coordenadas polares del punto (, ) son las sguentes: cos sen cos sen 6 cos sen sen cos cos sen sen Igualando: cos sen cos 6 cos sen sen ( cos sen cos sen ) Por lo que: cos cos 6 cos sen sen sen cos sen cos sen Comprueba las fórmulas del seno y el coseno del ángulo doble demostradas en la UNIDAD empleando la fórmula de De Movre. (cos sen ) cos sen De forma análoga al ejercco anteror: (cos sen ) cos cos ( sen ) ( sen ) cos ( cos sen ) sen Igualando: cos sen cos ( cos sen ) sen con lo que: cos cos sen sen cos sen 6 m tg, Imponendo un gro de 60, tenemos:, 60, (,,,96) Observa que exste otro trángulo equlátero cuyo tercer vértce se obtendría mponendo un gro de 60 :, 60 8,66 (6,, 0,96) Un hexágono centrado en el orgen tene un vértce en el punto (, ). Calcula los otros vértces. A partr de un vértce de un hexágono se pueden obtener los otros cnco multplcando el complejo correspondente al vértce dado por 60. Por comoddad, en este ejercco trabajaremos con notacón polar: (, ) es el afjo correspondente al complejo 8.Por tanto: (,,,) (,,,) (, ) (,,,) 6 Tenemos un trángulo de vértces A(, ), B(, ) y C(, ), y lo gramos un ángulo de 0 con centro el orgen de coordenadas. Calcula los vértces del trángulo grado. Los vértces del trángulo son los afjos de los sguentes números complejos: A(, ) B(, ) (,,,) Consdera las sguentes aplcacones en el plano: : gro de centro el orgen y de ampltud 0. : smetría respecto del orgen de coordenadas. : smetría respecto del eje de abscsas. : gro de centro el orgen y de ampltud 60. C(, ) Grar 0 es multplcar por 0 Halla las coordenadas del punto que se obtenen al aplcar. sucesvamente,,,, al punto (, ). (, ) 6, Multplcando los complejos que representan los vértces por 6, 0 86,,se obtenen complejos cuyos afjos son los vértces del trángulo resultado de grar 0. 9,69 66, A ( ) 9,69 60,69 (,,,9), B ( ), C ( ),. Números complejos 7

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