NÚMEROS COMPLEJOS. Página 146 PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE. Página 147. El paso de Z a Q

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1 NÚMEROS COMPLEJOS Página PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE El paso de Z a Q Imaginemos que solo se conocieran los números enteros, Z. Sin utilizar otro tipo de números, intenta resolver las siguientes ecuaciones: a) x b) x 8 c) x d) x a) x b) x 9 c) x d) No se puede. Di cuáles de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cuáles es necesario el conjunto de los números enteros, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d) x 0 e) x f) x + 7 a) x b) x 7 c) x 7 d) x e) x f) x Para b) y e) necesitamos Q. Página 7 El paso de Q a Á Intenta resolver, sin salir de Q, las siguientes ecuaciones: a) x 0 b) x x c) x + x 0 d) x 0 a) x, x b) x, x c) x, x d) x No se puede. Unidad. Números complejos

2 Resuelve, ahora, las siguiente ecuaciones: a) x 9 0 b) x 0 c) x x 0 d) x x + 0 e) 7x 7x 0 f) x + x 0 Qué ecuaciones se pueden resolver en Q? Para qué ecuaciones es necesario el conjunto de los números reales, Á? a) x, x b) x, x 7 c) x, x d) x, x e) x 0, x f) x, x 0 Para b) y d), necesitamos Á. + 7 Á aún no es suficiente Intenta resolver en Á las siguientes ecuaciones: a) x 0 b) x x + 0 c) x x 0 d) x + 0 e) x x + 0 f ) x a) x, x b) x 7, x c) x, x d) x No se puede. 0 0 ± e) x No se puede. f) x No se puede. Resuelve las tres últimas ecuaciones d), e) y f) utilizando para las soluciones números reales y la expresión. d) x ±, x, x e) x, x + f) x, x Página 9. Representa gráficamente los siguientes números complejos y di cuáles son reales, cuáles imaginarios y, de estos, cuáles son imaginarios puros: i; + i; i; 7; i; 0; i; 7; i Unidad. Números complejos

3 Reales: 7, 0 y 7 Imaginarios: i, + i, i, i, i, i Imaginarios puros: i, i, i Representación: i 7 i i i + i 7 i i. Obtén las soluciones de las siguientes ecuaciones y represéntalas: a) x + 0 b) x + x c) x d) x 7 0 ± ±i a) x ± i; x i, x i i i ± 0 ± b) x ± i ± i; x i, x + i + i i c) x 9 x ± 9 ±i x i, x i i i Unidad. Números complejos

4 d) x 9 x ± x, x. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de: a) i b) + i c) i d) + i e) f) 0 g) i h) i a) Opuesto: + i Conjugado: + i + i + i i b) Opuesto: i Conjugado: i + i i i c) Opuesto: + i Conjugado: + i + i + i i Unidad. Números complejos

5 d) Opuesto: i Conjugado: i + i i i e) Opuesto: Conjugado: f) Opuesto: 0 Conjugado: 0 0 g) Opuesto: i Conjugado: i i i h) Opuesto: i Conjugado: i i i Unidad. Números complejos

6 . Sabemos que i. Calcula i, i, i, i, i 0, i, i, i. Da un criterio para simplificar potencias de i de exponente natural. i i i i i i i 0 i i i i i CRITERIO: Dividimos el exponente entre y lo escribimos como sigue: i n i c + r i c i r (i ) c i r c i r i r i r Por tanto, i n i r, donde r es el resto de dividir n entre. Página. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica el resultado: a) ( i) + ( i) ( + i) b) ( i) ( + i) + ( i) c) ( + i) ( i) d) ( + i) ( i) e) ( i + ) ( i) ( + i) f) i g) + i h) + i i) i j) i k) l) ( ) + i m) i ( i) ( i) + i + i i + i + i + i + i a) ( i) + ( i) ( + i) i + i + 0 i 8 8i b) ( i) ( + i) + ( i) i i + i 9i c) ( + i) ( i) i + 8i i + i + + i d) ( + i) ( i) 0 i + i 8i 0 + i i e) ( i + ) ( i) ( + i) ( i + i + i) ( + i) ( i) ( + i) ( i) ( + i) + i i i + i i + i ( + i) ( + i) 8 + i + i + 8i 0i 0i f ) i i ( i) ( + i) i + 0 g) i ( i) ( i) i i + i i i + i ( + i) ( i) 9 i i 0 0 Unidad. Números complejos

7 h) + i ( + i) ( i) 0i i 0i i i ( + i) ( i) 9 i i 8 i i 7 7 i) + i ( + i) ( + i) 0 + i i + i 0 + i + i i ( i) ( + i) + + i j) + i ( + i) ( i) i + i 0i + i i ( + i) ( i) 9 i i + i i ( i) ( i) k) i + i i i i i ( i) l) ( + ) i + i 9 + i m) ( i) ( i) 9i ( i) 9 ( i) 9 + 8i ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( 9 + 8i) ( i) 8 + 8i + i i 8 + i + ( + i) ( i) i i i + i Obtén polinomios cuyas raíces sean: a) + i y i b) i y i c) + i y i (Observa que solo cuando las dos raíces son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales). a) [x ( + i)] [x ( i)] [(x ) i] [(x ) + i] (x ) ( i ) x x + i x x + + x x + 7 b) [x ( i)] [x i] [x + i] [x i] x 9i x + 9 c) [x ( + i)] [x ( i)] [(x ) i] [(x ) + i] (x ) (x ) + (x ) i (x ) i 8i x x + + (x x + )i + 8 x x + + (x + )i x x + + ix + i x + ( + i)x + ( + i) Unidad. Números complejos 7

8 . Cuánto debe valer x, real, para que ( xi) sea imaginario puro? ( xi) + x i 0xi ( x ) 0xi Para que sea imaginario puro: x 0 x x ± ± Hay dos soluciones: x, x. Representa gráficamente z + i, z + i, z + z. Comprueba que z + z es una diagonal del paralelogramo de lados z y z. z + z + 7i 7i z + z i z i z Página. Escribe en forma polar los siguientes números complejos: a) + i b) + i c) + i d) i e) i f) a) + i 0 b) + i 0 c) + i d) i 9 7' e) i 90 f). Escribe en forma binómica los siguientes números complejos: a) (π/) rad b) º c) 9º d) 0º e) 80º f) 90º π π a) (π/) ( cos + i sen ) ( + i ) + i b) (cos + i sen ) ( + i ) + i Unidad. Números complejos 8

9 c) 9 + i d) 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( i ) i e) 80 f) 90 i. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del número complejo z r α. Opuesto: z r 80 + α Conjugado: z r 0 α. Escribe en forma binómica y en forma polar el complejo: z 8 (cos 0º + i sen 0º) z (cos 0 + i sen 0 ) 8 ( + i ) + i + i. Sean los números complejos z 0º y z 0º. a) Expresa z y z en forma binómica. b) Halla z z y z /z, y pasa los resultados a forma polar. c) Compara los módulos y los argumentos de z z y z /z con los de z y z e intenta encontrar relaciones entre ellos. a) z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( i ) i b) z z ( + i ) ( i) 8 8 z z i 9i i i + i 70 ( i) ( i) ( i) ( + i) ( + i) ( i) i + 9i + i + i + i i + ( ) 0 c) z z 0 0 ( ) z z 0 ( ) 0 0 ( ) 0 Unidad. Números complejos 9

10 Página. Efectúa estas operaciones y da el resultado en forma polar y en forma binómica: a) 0º 0º b) º : º c) 0º 0º 70º d) (π/)rad : 0º e) ( i) f) ( + i) + ( + i) a) b) : 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i c) (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i d) (π/)rad : 0 0 : 0 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i e) ( i ) ( 00 ) 00 0 (cos 0 + i sen 0 ) f) i 90º ( + i ) + i. Compara los resultados en cada caso: a) ( 0º ), ( 0º ), ( 70º ) b) ( 0º ), ( 0º ), ( 70º ), ( 0º ) a) ( 0º ) 0º 8 90º ( 0º ) 0º 8 0º 8 90º ( 70º ) 8 70º 8 80º 8 90º b) ( 0º ) 0º 0º ( 0º ) 00º 0º ( 70º ) 080º 0º ( 0º ) 0º 0º. Dados los complejos z º, w º, t i, obtén en forma polar: a) z t b) z c) z d) z w w w t t z w t i 90 Unidad. Números complejos 0

11 a) z w 0 0 z b) ( ) w z c) ( ) 0 ( ) 00 w t z 0º 0 80 d) z w t 90. Expresa cos α y sen α en función de sen α y cos α utilizando la fórmula de Moivre. Ten en cuenta que (a + b) a + a b + ab + b. ( α ) (cos α + i sen α) cos α + i cos α sen α + i cos α sen α + i sen α cos α + cos α sen α i cos α sen α i sen α (cos α cos α sen α) + ( cos α sen α sen α)i Por otra parte: ( α ) α cos α + i sen α Por tanto: cos α cos α cos α sen α sen α cos α sen α sen α Página 7. Halla las seis raíces sextas de. Represéntalas y exprésalas en forma binómica. 0 (0 k)/ 0 k ; k 0,,,,, Las seis raíces son: i 0 + i 80 0 i 00 i Representación: Unidad. Números complejos

12 . Resuelve la ecuación z Representa sus soluciones. z z 7 ( n)/ n ; n 0,, z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i z z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( i ) i z z z. Calcula: a) b) i i c) d) + i + i a) i ( k)/ ; k 0,, Las tres raíces son: 90 i 0 i 0 + i 70 b) i (0 + 0 k)/ k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 ( + i ) + i 0 ( + i ) + i 0 ( i ) i 0 00 ( i ) i Unidad. Números complejos

13 c) ( k)/ k ; k 0, 80 Las dos raíces son: 90 i; 70 i d) (7 + 0 k)/ k ; k 0,, + i 8 + i 0 Las tres raíces son: ; ;. Resuelve las ecuaciones: a) x + 0 b) x + 0 a) x + 0 x ( k)/ + 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: + i; + i; i; i b) x + 0 x ( k)/ k ; k 0,,,,, Las seis raíces son: 0 ( + i ) + 90 i 80 0 ( + i ) + i 0 ( i ) i i 0 ( i ) i. Comprueba que si z y w son dos raíces sextas de, entonces también lo son los resultados de las siguientes operaciones: z w, z/w, z, z z y w raíces sextas de z, w (z w) z w z w es raíz sexta de z ( ) z z es raíz sexta de w w w z (z ) z (z ) z es raíz sexta de z (z ) z 8 z z (z ) z z es raíz sexta de Unidad. Números complejos

14 . El número + i es la raíz cuarta de un cierto número complejo, z. Halla las otras tres raíces cuartas de z. + i ' Las otras tres raíces cuartas de z serán: ' + 90 ' + i ' + 80 ' i ' ' i 7. Calcula las siguientes raíces y representa gráficamente sus soluciones: a) b) c) d) i e) 9 7 i f) 8i + i i a) 9 ( k)/ k ; k 0, 9 80 Las dos raíces son: 90 i; 70 i i i 7 80 b) 7 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 (cos 0 + i sen 0 ) ( + i ) + i i z 80 z 00 (cos 00 + i sen 00 ) ( i ) i z z z Unidad. Números complejos

15 c) i 8 ( + 0 k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 0,7 +,7i z ( i ) i z i z z,7 0,7i z i d) ( k)/ k ; k 0,, i + i 70 Las tres raíces son: i 90 i; 0 i; 0 i 0 0 e) ( i) i 90 ( k)/ k ; k 0,,,, i i ( i) Las cinco raíces son: z 8,9 + 0,i z 90 i z,9 + 0,i z,,i z 0,,i z z z z z 8 90 f) 8i (90º + 0º k)/ 0º + 0º k ; k 0,, Las tres son: z 0º z 0º z 70º z z z Unidad. Números complejos

16 Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Números complejos en forma binómica Calcula: a) ( + i) ( i) ( i) ( i) b) + i ( + i) ( i) c) i ( i)i d) ( i) ( + i) ( i) a) ( + i) ( i) ( i) ( i) i + i i + i + i i i + i + + i + i i b) + i ( + i) ( i) i + i + i i + i + i c) i ( i)i i 0i + i i i d) ( i) ( + i) ( i) (i) 9i + i i 8 + i Calcula en forma binómica: ( + i) ( i) a) b) i + i + i c) ( i) d) + i i + i ( + i) ( + i) i + i ( + i) ( i) a) i + i i 8 + i (8 + i) ( + i) i i i ( i) ( + i) + i + i + 8i + i i + i + i ( + i) ( i) b) ( + i) ( + i) + i i + i ( + i) ( i) + i 8i + 8 i 9 7i 9 7 i c) + i i + i i (7 + i) ( + i) ( i) i i i ( i) ( + i) + i + 9i + i + i i i ( + i) ( + i) ( i) ( i) d) + + i + i ( i) ( + i) ( + i) ( i) + i + i + 9i i + i 9 + 7i i 9 + 7i 7 + i 7 + i Unidad. Números complejos

17 Estos números complejos son los resultados de las operaciones que los siguen. Opera y di cuál corresponde a cuál: i, 0, i,, 7 i a) ( i) ( i) ( + i) + i i b) ( + i) + i + i ( i) i i + 8i + i c) ( ) d) ( + i) + ( i) (/)i i e) + i i i a) ( i) ( i) ( + i) ( i i ) ( + i) ( i) ( + i) + i i i i ( + i) ( + i) ( i) ( i) b) ( + i) + ( i) + i + i ( i) ( + i) ( + i) ( + i) + ( i) ( i) ( i) ( + i) ( + i) ( + i) + ( i) ( i) + ( + i) ( + i) + ( i) ( i) + i + i 8 + i i 8 0 i i + 8i + i c) ( ) [ ] + i i ( i) ( + i) ( i) ( + i) i + 8i i 0 ( + 8i) ( i) ( + i) ( i) + i 0 7 i 0 [ ] ( ) 7 i i i i i 0 0 d) ( + i) + ( i) + i + i + i + i (/)i ( i)/ ( i)/ i ( + i) ( + i) + 8i + 8i i ( i) ( + i) + 9 i e) i i ( i) ( i) ( i) ( + i) + + i i i ( i) ( i) ( + i) i + i 0i + i 7i i + 7i 7i 7 i + i 0 Unidad. Números complejos 7

18 Calcula: a) i 7 b) i c) i 87 d) i e) i a) i 7 i i b) i i c) i 87 i i d) i i 0 e) i i Dado el número complejo z + i, prueba que: a) + z + z 0 b) z z i 0 a) z ( + i ) + i i i i i + z + z + ( + i ) + ( i ) + i i 0 ( i ) b) z + i + ( + i) ( + i i i) ( i ) ( i ) i i + z i (lo habíamos calculado en a) Por tanto: z z Calcula m y n para que se verifique la igualdad: ( + mi) + (n + i) 7 i ( + mi) + (n + i) 7 i ( + n) + (m + )i 7 i + n 7 m + n m 7 Unidad. Números complejos 8

19 k + i 7 Determina k para que el cociente sea igual a i. + i k + i + i (k + i) ( i) k ki + i + (k + ) + ( k)i ( + i) ( i) + k + k ( ) + ( ) i i Por tanto, k. k + k k k 8 Calcula a y b de modo que se verifique (a + bi) + i. Desarrolla el cuadrado; iguala la parte real a, y la parte imaginaria a. (a + bi) + i a + bi + abi + i a b + abi + i b a a a b ab a a ( ) a a a a a 0 a ± 9 + a b a b a ± a a ± a (no vale) 9 Dados los complejos ai y bi, halla a y b para que su producto sea igual a 8 + i. ( ai) ( bi) 8 + i bi ai + abi 8 + i bi ai ab 8 + i ( ab) + ( b a)i 8 + i ab 8 b a b + a Unidad. Números complejos 9

20 + a a ( ) a 9 a b a / b 08/ Halla el valor de b para que el producto ( i) ( + bi) sea: a) Un número imaginario puro. b) Un número real. ( i) ( + bi) + bi i + b ( + b) + (b )i a) + b 0 b b) b 0 b 8 a + a a + a a + a a + a 0 a b ± + 8 ± 8 a a b + bi 0 Calcula el valor de a y b para que se verifique a i. i + bi a i i (a i) ( i) + bi a ai i 9 + bi (a 9) + ( a )i + bi Determina a para que (a i) sea un número imaginario puro. (a i) a + i ai (a ) ai Para que sea imaginario puro, ha de ser: a 0 a ± a, a Calcula x para que el resultado del producto (x + + ix) (x i) sea un número real. Efectúa el producto. Iguala la parte imaginaria a 0 y resuelve la ecuación. (x + + ix) (x i) x xi + x i + x i xi x xi + x i + ix + x (x + x) + (x x )i Para que sea real, ha de ser: x ± + 8 ± x x 0 x x Unidad. Números complejos 0

21 Números complejos en forma polar Representa los siguientes números complejos, sus opuestos y sus conjugados, y exprésalos en forma polar: a) i b) + i c) + i d) i e) f) i g) i h) + i a) i Opuesto: + i Conjugado: + i + i + i i b) + i + i Opuesto: i Conjugado: i i i c) + i 0 Opuesto: i 0 Conjugado: i 0 i + i i d) i 0 + i + i Opuesto: + i 0 Conjugado: + i 0 i e) 80 Opuesto: 0 Conjugado: f) i 90 Opuesto: i 70 i Conjugado: i i Unidad. Números complejos

22 g) i ( ) 70 Opuesto: i ( ) 90 i/ i/ Conjugado: i ( ) 90 h) + i 0 + i Opuesto: i 0 Conjugado: i 00 i i Escribe en forma binómica los siguientes números complejos: a) º b) (π/) c) 80º d) 7 0º e) (π/) f) 70º g) 0º h) 00º a) (cos + i sen ) ( + i ) + i b) (π/) ( cos + i sen ) ( + i ) + i c) 80 π π (cos 80 + i sen 80 ) ( + i 0) d) e) (π/) cos π π + i sen i f) 70 i g) 0 cos 0 + i sen 0 + i + i h) 00 (cos 00 + i sen 00 ) ( 0,7 + i 0,98) 0,9 +,9i Unidad. Números complejos

23 Calcula en forma polar: a) ( i) b) i c) d) 8i e) ( + i) f ) ( i) a) ( i) ( ) ( + i) + i b) i ( n)/ n ; n 0,,, Las cuatro raíces son: 00 7 c) (0 k)/ 0 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 90 i i 8 90 d) 8i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 0 + i 0 + i 70 i e) ( + i ) ( 0 ) f) ( i) ( 0 ' ) 90 ' 00 ' Página 7 Calcula y representa gráficamente el resultado: i a) i b) ( ) 7 i 7 c) i + i + i i a) i 7 i 7 i 7 /i 7 i i i i i i 8 Unidad. Números complejos

24 b) ( ) i ( ) + i 0 (( ) 8 ) ( ) 8 ( ) (cos + i sen ) ( + i ) + i + i c) + i ( + i) ( + i) + i + i i ( i) ( + i) ( ) 0 7 ' ( )(7 Las tres raíces son: 0 ' + 0 k)/ k 0,, ' + 0 k; ' 0,78 + 0,7i i ' 0,9 + 0,i ' 0,09 0,8i 8 Calcula y representa las soluciones: a) i b) c) 8i a) i 8 00 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 00 0, +,97i 0,,i 0,88 0,8i 80 b) ( k)/ + 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: + i + i i i Unidad. Números complejos

25 8 90 c) 8i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 0 + i 0 + i 70 i 9 Calcula pasando a forma polar: a) ( + i ) b) ( i ) ( i ) c) + i d) 8 ( i) e) f) i g) i h) i + i a) ( + i ) ( 0 ) 00 (cos 00 + i sen 00 ) ( i) i b) ( i ) ( i ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) (cos 0 + i sen 0 ) 8 ( + i ) i c) + i (0 + 0 k)/ k k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 + i 0 + i 0 i 00 i 8 ( i) d) ( ) ( ) (cos + i sen ) ( i ) i ( ) Unidad. Números complejos

26 e) ( k)/ k ; k 0,,,,, 80 Las seis raíces son: 0 + i 90 i 0 + i 0 i 70 0 i f ) i ( + 0 k)/ 0' + 80 k ; k 0, Las dos raíces son: 0' 0, +,i 9 0' 0,,i 70 g) i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 90 i 0 i 0 i ( k 0, ) k; Las dos raíces son: i h) ( ) + i 80 ( )( k)/ ( )90 i ( i )70 0 Calcula m para que el número complejo mi tenga el mismo módulo que + i. mi 9 + m 9 + m 9 + m m + i m ± Hay dos posibilidades: m y m Expresa en forma polar z, su opuesto z, y su conjugado z en cada uno de estos casos: a) z i b) z i c) z + i a) z i 00 ; z + i 0 ; z + i 0 b) z i ; z + i ; z + i c) z + i 0 ; z i 0 ; z i 0 Unidad. Números complejos

27 Representa los polígonos regulares que tienen por vértices los afijos de las siguientes raíces: a) i b) c) + i a) i 90 ( k)/ k ; k 0,,,, Las cinco raíces son: Representación del polígono (pentágono): 80 b) ( k)/ k ; k 0,,,,, Las seis raíces son: Representación del polígono (hexágono): c) + i (0 + 0 k)/ 7 0' + 90 k ; k 0,,, 0 Las cuatro raíces son: 7 0' 97 0' 87 0' 77 0' Unidad. Números complejos 7

28 Representación del polígono (cuadrado): PARA RESOLVER Halla dos números complejos tales que su cociente sea, la suma de sus π argumentos, y la suma de sus módulos 8. Llámalos r α y s β y escribe las ecuaciones que los relacionan: r α π 0º (0º es el argumento del cociente, α β 0º); r + s 8 y α + β. s β r s r + s 8 π α + β α β 0 Hallamos sus módulos: r s r + s 8 Hallamos sus argumentos: α + β α β 0 π r s s + s 8; s 8; s ; r π π α β; β ; β ; α π Los números serán: π/ y π El producto de dos números complejos es i y el cubo de uno de ellos dividido por el otro es /. Hállalos. z w i z w z w; z z i; z i; z i Unidad. Números complejos 8

29 90 z i ( k)/ 0' + 90 k ; k 0,,, Hay cuatro soluciones: z 0' w z 7 0' 7 0' z 0' w 7 0' z 0 0' w 07 0' 7 0' z 9 0' w 877 0' 7 0' El producto de dos números complejos es 8 y uno de ellos es el cuadrado del otro. Calcúlalos. z w 8 z w w w 8 ( k)/ k ; k 0,, Hay tres soluciones: w 0 z 0 w 80 z 0 w 00 z 00 0 De dos números complejos sabemos que: Tienen el mismo módulo. Sus argumentos suman 7π/. El primero es conjugado del cuadrado del segundo. Cuáles son esos números? Llamamos a los números: z r α y w s β Tenemos que: r s 7π α + β r α s β s r α π β r π β α π β r r (s β ) r r 0 (no vale) r 7π π 7π π π β + β ; β rad α rad Por tanto, los números son: π/ y π/ 7π/ Unidad. Números complejos 9

30 7 Calcula cos 7º y sen 7º mediante el producto 0º º. 0 7 cos 7 + i sen 7 0 (cos 0 + i sen 0 ) (cos + i sen ) ( + i) ( + i) + + i + i + i Por tanto: + cos 7 sen 7 8 Halla las razones trigonométricas de º conociendo las de º y las de 0º mediante el cociente º : 0º. : 0 cos + i sen / + i ( + i cos + i sen /) cos 0 + i sen 0 / + i (/) 0 + i ( + i ) ( i ) i + i i + Por tanto: + cos sen x + + xi 9 Para qué valores de x es imaginario puro el cociente? x + i x + + xi x + i ( + i ) ( i ) (x + + xi) (x i) x ix + x i + x i + x (x + i) (x i) x + (x + x) + (x x )i x x + x + x i x + x + x + Para que sea imaginario puro, ha de ser: x + x x + 0 x + x 0 x (x + ) 0 x 0 x + xi 0 Halla, en función de x, el módulo de z. xi Demuestra que z para cualquier valor de x. + xi xi + x + x z Unidad. Números complejos 0

31 O bien: + xi ( + xi) + ( + xi) x x z + xi + x i xi ( xi) ( + xi) + x + x + x x z ( ) + x ( ) + x x + x + x + x ( + x ) ( + x ) x + x + ( + x ) ( + x ) Calcula x para que el número complejo que obtenemos al dividir esté representado en la bisectriz del primer cuadrante. El número complejo a + bi se representa como el punto (a, b), su afijo. Para que esté en la bisectriz del primer cuadrante, debe ser a b. x + i (x + i) ( + i) x + xi + 8i x x i i ( i) ( + i) + 9 Ha de ser: x x + 8 x x + 8 x La suma de dos números complejos conjugados es 8 y la suma de sus módulos es 0. Cuáles son esos números? z + z 8 z + z 0 Como z z z Si llamamos: z a + bi z a bi z + z a + bi + a bi a 8 a z z a + b + b + b b 9 b ± 9 ± Hay dos soluciones: z + i z i z i z + i La suma de dos números complejos es + i. La parte real del primero es, y el cociente de este entre el segundo es un número real. Hállalos. Llamamos z a + bi y w c + di Tenemos que: z + w + i a c a + c b + d b d x + i i Unidad. Números complejos

32 z + bi ( + bi) ( di) di + bi + bd + bd + d + b i w + di ( + di) ( di) + d + d + d z Para que sea un número real, ha de ser: w d + b 0 d + b 0 b d + d d d d d, b Por tanto, los números son: z + i y w + i Representa gráficamente los resultados que obtengas al hallar i y calcula el lado del triángulo formado al unir esos tres puntos. i Las tres raíces son: 8 ( + 0 k)/ k z 7 z 9 z z z 0 l z Para hallar la longitud del lado, aplicamos el teorema del coseno: l ( ) + ( ) cos 0 + ( ) + l Los afijos de las raíces cúbicas de 8i son los vértices de un triángulo equilátero. Compruébalo. Determinan el mismo triángulo los afijos de 8i, 8 o 8? Representa gráficamente esos cuatro triángulos que has obtenido i ( k)/ k ; k 0,, Unidad. Números complejos

33 Las tres raíces son: z 0 z 0 z 70 Al tener el mismo módulo y formar entre ellos un ángulo de 0, el triángulo que determinan es equilátero. 8i 8 70 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 90 z 0 z k/ 0 k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 z 0 z ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: z 0 z 80 z 00 Representación: z z z z z z z z z z z z 8i 8i 8 8 Página Pueden ser z + i, z + i, z i y z i, las raíces de un número complejo? Justifica tu respuesta. No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de un número complejo, formarían entre ellas un ángulo de 90 ; y ni siquiera i forman el mismo ángulo, como vemos en la representación gráfica: 7 Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos hexágonos: Unidad. Números complejos

34 er hexágono: z 0 z 0 + i z 0 + i z 80 z 0 i z 00 i -º hexágono: z 0 + i z 90 i z 0 + i z 0 i z 70 i z 0 i 8 Pueden ser las raíces de un número complejo z, los números 8º, 00º, 7º, º y º? Como todos tienen el mismo módulo, sólo tienes que comprobar que los ángulos entre cada dos de ellas son 0º 7º. Para hallar z, eleva una de ellas a la quinta potencia Sí son las raíces quintas de un número complejo. Lo hallamos elevando a la quinta cualquiera de ellas: z ( 8 ) 0 9 El complejo 0º es vértice de un pentágono regular. Halla los otros vértices y el número complejo cuyas raíces quintas son esos vértices. Para obtener los otros vértices puedes multiplicar cada uno por 7º. Los otros vértices serán: El número será: 8 8 z ( 0 ) 0 Una de las raíces cúbicas de un número complejo z es + i. Halla z y las otras raíces cúbicas. Ten en cuenta que si z + i z ( + i). + i Las otras raíces cúbicas son: Hallamos z: z ( + i) ( ) 8 8 (cos + i sen ) ( ) + i 8 + i Unidad. Números complejos

35 Ecuaciones en Ç Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa las soluciones en forma binómica: a) x + 0 b) x + x + 0 c) x + x d) x x + 0 a) x + 0 x x ± ±i x i, x i b) x ± ± + x + 0 x ± i x i, x + i c) x ± 9 8 ± 9 + x x ± 9i 9 9 x i, x + i d) x ± ± x + 0 x ± i x i, x + i Resuelve las ecuaciones: a) x + 0 b) ix 7 0 a) x + 0 x x ( k)/ + 7 k ; k 0,,,, Las cinco raíces son: b) ix 7 0 x + 7i 0 x 7i x 7i ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: Resuelve las siguientes ecuaciones en Ç: a) z + 0 b) z z + 0 c) z a) z + 0 z z ± ±i z i, z i Unidad. Números complejos

36 b) z ± 0 ± ± i z + 0 z ± i z i, z + i c) z z 0 z z ± i z i, z i Obtén las cuatro soluciones de las siguientes ecuaciones: a) z 0 b) z + 0 c) z 8z 0 En a) y b) despeja z y halla las cuatro raíces. En c) haz z(z 8) 0 e iguala a 0 cada factor. a) z 0 z z 0 0 k/ 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0 90 i i b) z + 0 z z ( k)/ + 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: + i + i i i c) z 8z 0 z (z z 0 8) 0 z 8 8 (0 k)/ 0 k ; k 0,, Las soluciones de la ecuación son: i 0 i Resuelve estas ecuaciones y expresa las soluciones en forma binómica: a) z + 8i 0 b) iz + 0 a) z + 8i 0 z 8i 8 70 ( k)/ k ; k 0,, Las tres raíces son: 90 i 0 i 0 i b) iz + 0 z i 0 z i z i ( k)/ 90 0' + 90 k ; k 0,,, Las cuatro raíces son: 0', + 0,i 0' 0, +,i 0 0', 0,i 9 0' 0,,i Unidad. Números complejos

37 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones: + i y i Ten en cuenta que si z y z son soluciones de una ecuación de segundo grado, esta será de la forma (z z )(z z ) 0. La ecuación pedida será [z ( + i)] [z ( i)] 0. Multiplica y exprésala en forma polinómica. [z ( + i)] [z ( i)] z ( i)z ( + i)z + ( + i) ( i) z ( i + + i)z + ( i + i i ) z ( i)z + ( i) 0 7 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean i y + i. [z ( i)] [z ( + i)] [(z ) + i] [(z ) i] (z ) (i ) z z + 9i z z + 0 Interpolación gráfica de igualdades entre complejos 8 Representa los números complejos z tales que z + z. Escribe z en forma binómica, súmale su conjugado y representa la condición que obtienes. Llamamos z x + iy Entonces: z x iy Así: z + z x + iy + x iy x x Representación: x 9 Representa los números complejos que verifican: a) z z b) z + z c) z z a) z x + iy z x iy z z x iy x iy x 0 x 0 (es el eje imaginario) Unidad. Números complejos 7

38 Representación: x 0 b) z + z x + iy + x iy x z + z x x x / x x / Representación: x x c) z z x + iy z + iy yi z z yi y Representación: y y y y 0 Escribe las condiciones que deben cumplir los números complejos cuya representación gráfica es la siguiente: a) b) c) d) e) f) Unidad. Números complejos 8

39 En a), b) y f) es una igualdad. En c) y d), una desigualdad. En e), dos desigualdades. a) Re z b) Im z c) Re z d) 0 Im z < < Re z < e) f) z < Im z < Página CUESTIONES TEÓRICAS Se puede decir que un número complejo es real si su argumento es 0? No, también son reales los números con argumento 80 (los negativos). Prueba que z z z Si z x + iy, entonces z x iy. Así: z z (x + iy) (x iy) x (iy) x i y x + y Por tanto: z z x + y z Si z r α, qué relación tienen con z los números r α + 80º y r 0º α? r α + 80 z (opuesto de z) r 0 α z (conjugado de z) Comprueba que: a) z + w z + w b) z w z w c) kz k z, con k Á z a + bi r α w c + di r' β z a bi r 0 α w c di r' 0 β a) z + w (a + c) + (b + d )i z + w (a + c) (b + d)i z + w a bi + c di (a + c) (b + d)i z + w b) x w (r r') α + β z w (r r')0 (α + β) z w (r r') 0 α + 0 β (r r') 0 (α + β) z w c) kz ka + kbi kz ka kbi k z ka kbi kz Unidad. Números complejos 9

40 z z Demuestra que. z 0 ( ) α ( ) 0 α r α r r z r z El producto de dos números complejos imaginarios, puede ser real? Acláralo con un ejemplo. Sí. Por ejemplo: z i, w i z w i i i Á 7 Representa el número complejo z i. Multiplícalo por i y comprueba que el resultado que obtienes es el mismo que si aplicas a z un giro de 90º. iz i i + i + i 90 i 8 Halla el número complejo z que se obtiene al transformar el complejo + i mediante un giro de 0º con centro en el origen. + i 8' z 8' 0 8 8' 0, +,0i 9 Qué relación existe entre el argumento de un complejo y el de su opuesto? Se diferencian en 80. Si el argumento del número es α, el de su opuesto es: 80 + α 0 Qué condición debe cumplir un número complejo z a + bi para que z? z Halla, e iguala a a bi. z z a bi a bi a bi a + bi (a + bi) (a bi) a + b Unidad. Números complejos 0

41 a a + b b a + b a a a + b a + b (módulo ) a b Ha de tener módulo PARA PROFUNDIZAR La suma de dos números complejos, z a + bi, w c + di, dividida por su diferencia, es un número imaginario puro. Prueba que los dos números z y w han de tener el mismo módulo. Haz (a + c) + (b + d )i, calcula la parte real de ese cociente e iguala a 0. (a c) + (b d )i z a + bi w c + di z + w (a + c) + (b + d )i [(a + c) + (b + d )i] [(a c) (b d )i] z w (a c) + (b d )i [(a c) + (b d )i] [(a c) (b d )i] (a c ) + (a + c) + (b d )i + (b + d) + (a c)i (b d )i (a c) + (b d ) (a c + b d ) + [(a + c) (b d ) + (b + d ) (a c)]i (a c) + (b d ) Para que sea imaginario puro, su parte real ha de ser 0: a c + b d (a c) + (b d ) z + w (a + c) + (b + d )i z w (a c) + (b d)i 0 a c + b d 0 a + b c + d a + b c + d z w Sea z 0 un complejo y w + i. Prueba que los afijos de z, zw y zw son los vértices de un triángulo equilátero. Expresa w en forma polar y recuerda el significado de la multiplicación por α z r α, w 0 z w r α 0 r α + 0 z w r α ( 0 ) r α 0 r α + 0 Como los tres tienen el mismo módulo y forman entre sí 0, sus afijos son los vértices de un triángulo equilátero. Un pentágono regular con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus vértices en el punto (, ). Halla los otros vértices y la longitud de su lado. Unidad. Números complejos

42 El punto (, ) corresponde al afijo del número complejo z + i. Para hallar los otros vértices, multiplicamos z por 7 : z 7 0,9 +,78i z 89,97 0,i z 0,,97i z,78 0,9i Los otros tres vértices serán: ( 0,9;,78) (,97; 0,) ( 0,;,97) (,78; 0,9) Hallamos la longitud del lado aplicando el teorema del coseno: l + cos 7 l l + 0, 7 l 8, l,7 l, unidades Si el producto de dos números complejos es 8 y dividiendo el cubo de uno de ellos entre el otro obtenemos de resultado, cuánto valen el módulo y el argumento de cada uno? z r α w r' β r α r' β (r r') α + β 8 80 r r' 8 α + β 80 (r α ) r' β Así: r r' 8 r r' r α ( ) α β 0 r' β 8 r' r r' r r r' 8 r r r' α β 0 r r r r' α + β 80 α β α + α 80 α 80 α β Por tanto: z, w Calcula el inverso de los números complejos siguientes y representa gráficamente el resultado: a) π/ b) i c) + i Qué relación existe entre el módulo y el argumento de un número complejo y de su inverso? Unidad. Números complejos

43 a) 0 ( ) π/ ( ) π/ π/ π/ π/ (/ π/ ) π/ i b) i i i /i c) + i + i 0 ( ) ( ) i Si z r α, entonces z ( r ) 0 α + i + i Representa gráficamente las igualdades siguientes. Qué figura se determina en cada caso? a) z ( + i) b) z ( + i) a) Circunferencia con centro en (, ) y radio. (, ) Unidad. Números complejos

44 b) Circunferencia de centro en (, ) y radio. (, ) 7 Escribe la condición que verifican todos los números complejos cuyos afijos estén en la circunferencia de centro (, ) y radio. z ( + i) PARA PENSAR UN POCO MÁS 8 Demuestra, utilizando números complejos, que en un paralelogramo cualquiera la suma de los cuadrados de las diagonales es igual al doble de la suma de los cuadrados de los lados. Al formar un paralelogramo cuyos lados contiguos sean dos números complejos, z y w, observa qué relación tienen con estos las diagonales. w z w z + w z Y recuerda (ejercicio ) que el cuadrado del módulo de un complejo, z, es igual al producto de z por su conjugado z. Es decir z z z (*) Para demostrar la igualdad propuesta, exprésala utilizando los cuadrados de los módulos de los complejos correspondientes, desarróllala utilizando la propiedad (*), opera y simplifica. Suma de los cuadrados de los lados: z + w Suma de los cuadrados de las diagonales: z + w + z w Operamos: z + w + z w (z + w) ( z + w) + (z w) ( z w) z z + z w + zw + w w + z z z w zw + w w z z + z z + w w + w w z z + w w (z z + w w) ( z + w ) Unidad. Números complejos

45 Página 8 RESUELVE TÚ Aparte de la Luna y el Sol, los objetos celestes que se nos presentan con más brillo son planetas: Venus, Marte y Júpiter. Después de ellos, el astro más brillante es la estrella Sirio. Observándola con seis meses de diferencia, presenta una paralaje de 0,7". A qué distancia se encuentra? Como hemos visto: Si α 0,7", quedaría: d d sen (0,7"/) sen (α/) 8, 0 km 9 años-luz Unidad. Números complejos