Banco de Ejercicios del Departamental Métodos Matemáticos para Sistemas Lineales Numeros Complejos

Transcripción

1 Banco de Ejercicios del Departamental Métodos Matemáticos para Sistemas Lineales Numeros Complejos 1. Efectuar cada una de las operaciones indicadas. a) ( i) + ( 12 5i) b) ( 75 i) + ( i) c) (22 34i)( i) d) ( i)(25 6i) e) (1 3i)( 1 + 2i)(55 47i) f) 32 23i 11+i g) 35+5i 6 64i i h) 12i20 i 13 62i 11 i) (2+i)(3 2i)(1+i) (1 i) 2 j) (2i 1) 2 { i 1 i 1+i k) ( 1+i 1 i ) 2 ( 2 1 i ) 3 1+i } 2. Si z 1 = 1 i, z 2 = 2 + 4i y z 3 = 5 + 2i, Hallar el valor numérico de 2 cada una de las siguientes expresiones. a) 3z 1 4z 2 b) z 3 1 3z z 1 8 c) 2z 2+z 1 5 i 2 2z 1 z 2 +3 i 3. Representación gráfica de números complejos Efectuar las operaciones indicadas en forma analítica y graficamente. 1

2 a) (2 + 3i) + (4 5i), b) 3(1 + 2i) 2(2 3i), c) 3(1 + i) + 2(4 3i) (2 + 5i), d) Sea z 1,z 2,z 3,z 4 los vectores posición de los vértices del cuadrilátero ABCD. Probar que es un paralelogramo sí,y solamente si z 1 z 2 z 3 + z 4 = 0. e) Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, probar que el cuadrilátero es un paralelogramo. f) Probar que las medianas de un triángulo se interceptan en un punto. g) Sea ABCD un cuadrilátero y E, F, G, H los puntos medios de los lados. Probar que EF GH es un paralelogramo. h) En el paralelogramo ABCD, el punto E biseca el lado AD. Probar que el punto donde BE se intercepta con AC divide en tres partes iguales AC. 4. Fundamentos Axiomaticos del sistema de numeros complejos. Efectuar las operaciones indicadas en forma analítica y graficamente. a) Emplear la definición de número complejo como pareja ordenada de números reales para probar que si el producto de dos números complejos es cero, entonces por lo menos uno de los números debe ser cero. b) Probar las leyes conmutativas con respecto a la suma, multiplicación. c) Probar las leyes asociativas con respecto a la suma, multiplicación. 5. Forma polar de los numeros complejos. Expresar cada uno de los siguientes números complejos en forma polar. 2

3 a) i b) i c) 3 7i d) 9i e) Tres fuerzas como se muestra en la siguiente figura, actuan en un plano sobre un objeto colocado en O. Determinar (a) graficamente, y (b) analíticamente, que fuerza es necesaria para evitar un movimiento del objeto. 6. Raíces de numeros complejos. Hallar cada una de las raíces indicadas y localizarlas graficamente. a) (4 2 i5) 1/3 b) ( 4 + i4) 1/2 c) (2 + i2 3) 1/3 d) (i) 2/3 7. Ecuaciones Polinomiales. Resolver las siguientes ecuaciones, obteniendo todas las raíces. (a) 5z 2 + 2z + 10 = 0 (b) z 2 + (i 2)z + (3 i) = 0 (c) Resolver z 5 2z 4 z 3 + 6z 4 = 0 (d) Hallar todas las raíces de z = 0 (e) Hallar dos números cuya suma es 4 y cuyo producto es 8. 3

4 8. El producto vectorial y escalar. Resolver las siguientes ecuaciones, obteniendo todas las raíces. (a) Hallar el área de un triángulo con vértices en 4 i, 1 + 2i, 4 3i. (b) Hallar el área de un cuadrilátero de vértices (2, 1), (4, 3), ( 1, 2) y ( 3, 2). 9. Coordenadas conjugadas. Escribir cada una de las siguientes ecuaciones en términos de las coordenas conjugadas. (a) (x 3) 2 + y 2 = 9 (b) 2x 3y = 5 (c) 4x y 2 = 25 Funciones, limites y continuidad 1. Dada w = f (z) = 1+z 1 z, halla a) f (i), b) f (1 i) 2. Un cuadrado S en el plano z tiene vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1). Determina la región en el plano w que es la imagen o rango de S bajo las funciones a) f (z) = z 2, b) f (z) = 1 z Separa cada una de las siguientes funciones en las partes real e imaginaria, es decir, u (x, y) y v (x, y), a) f (z) = 2z 2 3iz, b) f (z) = z + 1 z, c) f (z) = 1 z 1+z, 4

5 d) f (z) = z Si f (z) = z 2 + 2z demostrar que límf (z) = 2i 1. z i 5. Si f (z) = { z 2 + 2z, z i z = i halla lím z i f (z). Justifica tu respuesta. 6. Calcula el valor de los siguientes limites a) lím z e i π 4 z 2 z 4 +z+1, (2z 3)(4z+i) b) lím, z i (iz 1) 2 2 { c) lím z 1 i 2 z 1+i z 2z+2} Demostrar que f (z) = z es continua en todos los puntos entro y (z 4 +1) sobre el círculo unidad z = 1, excepto en 4 puntos. Determina tales puntos. 8. Halla las discontinuidades de las siguientes funciones a) f (z) = 2z 3 z 2 +2z+2, b) f (z) = 3z2 +4 z 4 16, c) f (z) = cot z, d) f (z) = 1 sec z, e) f (z) = tanh z z 2 +1 Diferenciación 1. Utilizando la definición, encuentra la derivada de cada función en los puntos indicados a) f (z) = 3z 2 + 4iz 5 + i, z = 2; b) f (z) = 2z i z+2i, z = i; c) f (z) = 3z 2, z = 1 + i. 2. Demuestra que la derivada de z 2 z no existe en ninguna parte 5

6 3. Para cada una de las funciones dadas determina en que puntos la función no es analítica. Determina la derivada en los otros puntos a) f (z) = z z+i ; b) f (z) = 3z 2 z 2 +2z Decide en que región del plano complejo son analíticas las siguientes funciones a) f (z) = z 2 + 5iz + 3 i; b) f (z) = ze z ; c) f (z) = sin 2z. 4. Demuestra que la función f (x + iy) = x 2 +iy 3 no es analítica en ninguna parte 5. Demuestra que si f (z) y g (z) son analíticas en una region R del plano complejo, entonces a) d dz {2if (z) (1 + i) g (z)} = 2if (z) (1 + i) g (z) ; b) d dz [f (z)]2 = 2f (z) f (z) ; c) d dz [f (z)] 1 = {f (z)} 2 f (z). a) d dz 6. Demuestra que sec z = sec z tan z; b) d dz cot z = csc2 z; c) d dz (z2 + 1) 1 2 z = ; (z 2 +1) 1 2 d) d dz ln (z2 + 2z + 2) = 2z+2 z 2 +2z+2 Integración 1) Evaluar a) π/4 0 e it dt Solución: 1/ 2 + i(1 1/ 2) 6

7 b) 0 e zt dt(rez > 0) Solución: 1/z c) d dt eit Solución: ie it Para cada arco C y función f en los ejercicios 2-5 encontrar el valor de c f(z)dz Después de observar que C es un contorno y f es continua por tramos en C 2) f(z) = y x 3x 2 i y C. a) Es el segmento de recta que va de z = 0 a z = 1 + i; b) Consta de dos segmentos, uno que va de z = 0 a z = i y el otro, de z = i a z = 1 + i Solución a) 1 i; b) (1 i)/2. 3) f(z) = (z + 2)/z y C es: a) El semicírculo z = 2e iθ (0 θ π) b) El semicírculo z = 2e iθ (π θ 2π) c) El círculo z = 2e iθ ( π θ π) Solución a) 4 + 2πi; b) 4 + 2πi; c) 4πi 4) f(z) = z 1 y C es el arco desde z = 0 hasta z = 2, que consta de a) El semicírculo z 1 = e iθ (0 θ π) b) El segmento 0 x 2, y = 0 del eje real. Solución a) 0; b) 0. 7

8 5) C es el arco desde z = 1 i hasta z = 1 + i a lo largo de la curva y = x 3, y 4y (y > 0), f(z) = 1 (y < 0). Solución 2 + 3i 6) Determinar el dominio de anatilicidad de la función f y aplicar el teorema de Cauchy-Goursat para demostrar que c f(z)dz = 0 Cuando el contorno simple cerrado C es la circunferencia z = 1 y cuando a) f(z) = z2 z 3 b) f(z) = ze z c) f(z) = d) f(z) = sec hz e) f(z) = tan z 1 z 2 + 2z + 2 f) f(z) = Log(z + 2) 7) Evaluar cada una de las integrales siguientes, donde la trayectoria de integración es un contorno arbitrario entre los límites que se indican a) i/2 i e πz dz b) π+2i 0 cos z 2 dz 8

9 c) 3 1 (z 2)3 dz Solución a) (1 + i)/π; b) e + 1/e; c) 0. 8) Si C es la circunferencia z = 3 descrita en sentido positivo, demostrar que si g(z) = 2s 2 s 2 c ds ( z = 3) s z Entonces g(2) = 8πi. Â Cuál es el valor de g(z) cuando z > 3? 9) Se denota a C como un contorno cerrado simple descrito en el sentido positivo; escribir g(z) = s 3 + 2s c (s z) 3ds Demostrar por qué g(z) = 6πiz cuando z está dentro de C Y g(z) = 0 cuando z esta fuera de C. 10) Se denota por medio de C a la frontera del cuadrado cuyos lados se encuentran a lo largo de las rectas x = ±2 y y = ±2, donde C está descrita en sentido positivo. Hallar el valor de cada una de las integrales siguientes: a) c b) c c) c d) c e z dz z πi/2 cosz z(z 2 + 8) dz zdz 2z + 1 tan(z/2) (z x 0 ) 2dz ( 2 x 0 2) 9

10 e) coshz c dz z 4 Solución a) 2π; b) πi/4; c) πi/2; d) iπsec 2 (x 0 /2); e) 0 11) Encontrar el valor de la integral de g(z) alrededor del contorno cerrado simple z i = 2 en el sentido positivo cuando a) g(z) = 1 z b) g(z) = 1 (z 2 + 4) 2 Solución a) π/2; b) π/16 12) Hallar el valor de (2,5) (0,1) (3x + y)dx + (2y x)dy a lo largo de (a) la curva y = x 2 + 1, (b) la línea recta que une (0,1) y (2,5), (c) la línea recta desde (0,1) a (0,5) y luego desde (0,5) a (2,5), (d) las líneas rectas desde (0,1) a (2,1) y luego desde (2,1) a (2,5). Resp. (a) 88/3, (b) 32, (c) 40, (d) 24 13) Hallar el valor numérico de C (x+2y)dx+(y 2x)dy alrededor de la elipse C definida por x = 4 cos θ, y = 3 sin θ, 0 θ 2π si C está descrita en la dirección contraria a la del movimiento de las manecillas del reloj. (b)â Cuál es la respuesta a (a) si C está descrita en la dirección del movimiento de las manecillas del reloj? Resp. (a) 48π, (b) 48π 14) Hallar el valor numérico de C (x2 iy 2 )dz a lo largo de, (a) la parábola y = 2x 2 desde (1,1)a (2,8), (b) las líneas rectas desde (1,1) a (1,8) y luego desde (1,8) a (2,8), (c) la línea 10

11 recta desde (1,1) a (2,8). Resp. (a) i, (b) i, (c) i 15) Hallar el valor de numérico de C (z2 + 3z)dz a lo largo de, (a) el círculo z = 2 desde (2,0) a (0,2) en una dirección contraria a la del movimiento de las manecillas del reloj, (b) la línea recta desde (2,0) a (0,2), (c) las líneas rectas desde (2,0) a (2,2) y luego desde (2,2) a (0,2). Resp i para todos los casos. 3 16) Hallar el valor numérico de 2 i i (3xy + iy 2 )dz (a) a lo largo de la línea recta que une z = i y z = 2 i, (b) a lo largo de la curva x = 2t 2, y = 1 + t t 2. Resp. (a) i, (b) i. 17) Hallar el valor numérico de C (5z4 z 3 + 2)dz alrededor de (a) el círculo z = 1, (b) el cuadrado con vértices en (0,0) a (1,1) y y 2 = x desde (1,1) a (0,0). Resp. 0 en todos los casos. 18) Hallar el valor numérico de C (z2 +1) 2 dz a lo largo del arco de la cicloide x = a(θ sin θ), y = a(1 cos θ) desde el punto donde θ = 0 al punto donde θ = 2π. Resp. (96π 5 a π 3 a πa)/15 19) Hallar el valor numérico de C (5x+6y 3)dx+(3x 4y+2)dy alrededor de un triángulo en el plano xy con vértices en (0,0), (4,0) y (4,3). Resp

12 20) Verificar el teorema de Green en el plano para C x2 ydx + (y 3 xy 2 )dy donde C es la frontera de la región que encierra los círculos x 2 + y 2 = 4, x 2 + y 2 = 16. Resp. Valor común = 120π. 21) Probar que C (y2 cos x 2e y )dx + (2y sin x 2xe y )dy = 0 alrededor de cualquier curva simple cerrada C. (b) Hallar el valor numérico de la integral en (a) a lo largo de la parábola y = x 2 desde (0,0) a (π, π 2 ). Resp. (b) 2πe π2. 22) Hallar el valor numérico de C zdz alrededor de (a) el círculo z 2 = 3, (b) el cuadrado con vértices en z = 0,2,2i y 2 + 2i, (c) la elipse z 3 + z + 3 = 10. Resp. (a) 18πi, (b) 8i, (c) 40πi. 23) Verificar el teorema de Cauchy para las funciones, (a) 3z 2 + iz 4, (b) 5 sin 2z, (c) 3 cosh(z + 2) si C es el cuadrado con vértices en 1 ± i, 1 ± +i. 24) Verificar el teorema de Cauchy para la función z 3 iz 2 5z+2i si C es, (a) el círculo z = 1, (b) el círculo z 1 = 2, (c) la elipse z 3i + z + 3i = ) Explicar claramente las relación entre las observaciones C (x2 y 2 + 2y)dx + (2x 2xy)dy = 0 y C (z2 2iz)dz = 0 donde C es una curva simple cerrada. 26) Mostrar directamente que 4 3i 3+4i (6z2 +8iz)dz tiene el mismo valor a lo largo de los siguientes caminos C que unen los 12

13 puntos 3 + 4i y 4 3i: (a) una línea recta, (b) las líneas rectas desde 3 + 4i a 4 + 4i y luego desde 4 + 4i a 4 3i, (c) el círculo z = 5. Determinar este valor. Resp i. 27) Hallar el valor numérico de 1 2πi C e z z 2 dz si C es, (a) el círculo z = 3, (b) el círculo z = 1. Resp. (a) e 2, (b) 0 28 Hallar el valor numérico de sin 3z z + π/2 dz si C es el círculo z = 5. Resp. 2πi C 29) Hallar el valor numérico de df rac12πi C cos πz z 2 1 dz alrededor de un rectángulo con vértices en: (a) 2±i, 2±i; (b) i, 2 i, 2 + i, i. Resp. (a) 0, (b) ) Demostrar que 1 e zt dz = sin t 2πi C z si t > 0 y C es el círculo z = 3. 13

14 31) Hallar el valor numérico de donde C es el círculo z = 2 Resp. πi C e iz z 3 dz 32) Hallar el valor de, (a), (b) s si C es el círculo z = 1. Resp. (a) πi/32, (b) 21πi/16 C C sen 6 z z π/6 dz sen 6 z (z π/6) 3dz 33) Hallar el valor numérico de 1 2πi es el círculo z = 3. Resp. 1 (sent t cos t) 2 C e zt (z 2 + 1) 2dz si t > 0 y C 14

15 15

16 16

17 17

18 18

19 19

20 20