Variable Compleja. Bernardo Acevedo. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

Transcripción

1 Variable ompleja Bernardo Acevedo. UNVERSDAD NAONAL DE OLOMBA SEDE MANALES Noviembre de 006

2 ii

3 ontenido Números omplejos. Generalidades Operaciones gualdad Suma Resta Multiplicación División Algunas propiedades lausurativa onmutativa Distributiva Modulativa nvertiva para la suma nvertiva para el producto Leyes de los Exponentes Teorema del binomio Módulo y onjugado de un número complejo Algunas Propiedades Representación grá ca de un número complejo Forma Polar de un omplejo Operaciones en forma Polar Producto División Raíces de un número complejo Lugares Geométricos, onjuntos y Regiones en el Plano omplejo Funciones 4. Generalidades iii

4 iv ONTENDO. Algunos Tipos de funciones Función polinomial de grado n Función Racional Función Exponencial La función logaritmo Potencias de la forma w Funciones trigonométricas funciones hiperbólicas Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas Límites de Funciones De nición Algunas propiedades ontinuidad de Funciones Propiedades de las funciones continuas Derivadas 75. De nición Algunas Propiedades Suma Resta Multiplicación División ompuesta Ecuaciones de auchy Riemann Regla de L hopital Funciones Analíticas ntegrales 9 4. Generalidades De nición de integral Algunas propiedades de la integral Linealidad ambio de orientación Propiedad aditiva Terema de Barrow Teorema de la integral de auchy Rami cacines del teorema de auchy Fórmula de la integral de auchy

5 ONTENDO v 4.4. Derivada de una función analítica Teorema de Morera Desigualdad de auchy Teorema de Liouville Teorema del módulo Máximo Teorema del Módulo Mínimo Teorema del valor medio de Gauss Operadores diferenciales Teorema de Green Sucesiones y series 5. Generalidades De nición de una sucesión compleja De nición de una sucesión convergente Algunas propiedades Series complejas Algunos criterios de convergencia Series de potencia Serie de Taylor onvergencia Uniforme Algunas propiedades Serie de Laurent Singularidades Teorema de los Residuos Teorema del Argumento Algunas aplicaciones

6 vi ONTENDO

7 Prólogo El objetivo del presente libro, es el de facilitar al estudiante de las carreras de ingeniería, la asimilación clara de los conceptos matemáticos tratados, pues es el fruto de un cuidadoso análisis de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos con sus debidas respuestas, basado en mi experiencia como docente de la Universidad Nacional sede Maniales. Desde luego que los escritos que se presentan no son originales, ni pretenden serlo, toda ve que es una recopilación organiada y analiada de diferntes textos y de mi experiencia personal. Este texto constituye un material de consulta obligada de los estudiantes, el cual les genera un diálogo directo con el profesor. Bernardo Acevedo Frías profesor asociado vii

8 viii PRÓLOGO

9 apítulo Números omplejos. Generalidades Una de las características que tienen los números reales, es que todo número real elevado al cuadrado es siempre mayor o igual que cero, o sea que expresiones como x o x 9 no tienen sentido si se está trabajando con los números reales como universo. Si se quiere trabajar en un universo donde esto tenga sentido, necesariamente tiene que ser diferente al de los números reales. Para construir este universo inicialmente se puede crear un número cuyo cuadrado sea igual a, el cual se llamará unidad imaginaria y se notará por la letra i (este número no puede ser real ) y según esto i : En este universo que se quiere construir, se hace necesario que aparecan los números reales, pues son los números que se conocen, de esta forma en este conjunto se conocen los números reales y el número i. Pero es necesario que se trate de conservar en este universo si no todas, por lo menos una buena parte de las propiedades fundamenteles que se conocen de los números, una de ellas es por ejemplo, la propiedad clausurativa para el producto la cual nos obliga a considerar también como elemento de este conjunto los que resultan de multiplicar los números reales por el nuevo número i, es decir, los números de la forma bi con b número real no nulo, que se llamarán imaginarios puros y se caracterian porque al elevarlos al cuadrado siempre dan un número menor o igual que cero, ya que respetando ciertas propiedades conocidas del producto (bi) b i b ( ) b. on esto se pueden hallar números cuyo cuadrado sea igual a -c, con c>0, estos serán p p ci y ci ( que no son reales ). Si se quiere mantener en este nuevo conjunto la propiedad clausurativa para la suma, se debe aceptar en él, números que se obtengan al sumar cualquier número real a con cualquier número imaginario puro bi es decir se introduce a este conjunto, números de la forma a + bi. Realmente todos los números que se han aceptado en este nuevo conjunto se pueden expresar en la forma a + bi con a, b números reales, ya que si d es real, es de la forma d d + 0i y si es imaginario puro es de la forma di 0 + di. A

10 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS este conjunto así construido se llamará el conjunto de los números complejos y se nota por o sea que estará formado por los números reales a + 0i y por los números bi con b 6 0: Si a + bi, la parte real del complejo, notada por Re() es a y la parte imaginaria, notada por m() es b.. Operaciones Sean a + bi; c + di dos números complejos, entonces se pueden tener las operaciones siguientes.. gualdad si y sólo si a + bi c + di si y sólo si a c y b d.. Suma Ejemplo. Ejemplo. Ejemplo. + (a + bi) + (c + di) (a + c) + i(b + d) ( + i) + (4 i) ( + 4) + i( ) 6 + i (4 + 5i) + ( + i) (4 ) + i(5 + ) + 6i + i + i + i + i 4 + i + i + i:i + (i ) + i i +.. Resta Ejemplo.4 (a + bi) (c + di) (a c) + i(b d) ( + i) (4 i) ( 4) + i( + ) + 4i..4 Multiplicación (a + bi) (c + di) (ac bd) + (ad + bc)i Ejemplo.5 ( i) (4 + i) (8 + 6) + (4 )i 4 8i Observe que ( i) (4 + i) (4 + i) i (4 + i) 8 + 4i i i

11 .. OPERAONES..5 División a + bi c + di (a + bi)(c di) (c + di)(c di) (ac + bd) + (bc ad)i c + d Ejemplo.6 Ejemplo.7 + i i ( + i)( + i) ( i)( + i) + i + i + i i ( + i) ( + i 8 ) ( + i) + i8 ( + i) i i (i ) 4 ( + i) (i ) i Ejemplo.8 i0 i 9 i (i ) 5 (i ) 9 i i 6i + + i 5 + 5i 4i 5 + i + i i ( + i) ( i ) (i ) ( i ) Ejemplo i 4i i (5 + 5i) ( + 4i) 0(4 i) + ( 4i) ( + 4i) (4 + i)(4 i) 5 + 0i + 5i + +0i 80 60i 5 + 5i i + 9 6i 6 9i 5 i Ejemplo.0 Hallar números reales x e y, tales que x + iy ix + 5y 7 + 5i En efecto, esta ecuación se puede escribir como x + 5y + i(y x) 7 + 5i e igualando parte real y parte imaginaria se tiene que x + 5y 7 y y x 5 y resolviendo este sistema se obtiene x y Ejemplo. Hallar números reales x y y, tales que (x + iy) i

12 4 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS En efecto, esta ecuación se puede escribir como x + ixy + (iy) x + ixy y x y + ixy i e igualando parte real y parte imaginaria se tiene que x y 0 y xy de donde cuya solución es y x y xy (x; y) (; ) y (x; y) ( ; ) Ejemplo. Hallar números reales x e y, tales que x + iy y + ix En efecto, igualando parte real y parte imaginaria se tiene que x y R Ejemplo. Hallar las soluciones de la ecuación En efecto : por lo tanto ( + i) + i + i ( + i) + i ( + i)(x + iy) + i(x iy) x + iy + ix y + ix + y x + y + i(4x + y) + i x + y y 4x + y y la solución de este sistema es x 0 y y ; luego i es la solución Ejemplo.4 Hallar las soluciones de la ecuación En efecto por lo tanto : + ( ) 4 + 6i : + ( ) x + y + (x + iy x + iy) x + y + 6iy 4 + 6i x + y 4 y 6y y y la solución de este sistema es y y x p luego p + i es la solución de la ecuación

13 .. ALGUNAS PROPEDADES 5 Desde el punto de vista lógico, es conveniente de nir un número complejo a+bi; como una pareja ordenada (a; b), sometida a ciertas de niciones que resultan ser equivalentes a las anteriores así : si y sólo si (a; b) (c; d) si y sólo si a c y b d + (a; b) + (c; d) (a + c; b + d) (a; b) (c; d) (a c; b d) (a; b) (c; d) (ac bd; ad + bc) De lo anterior se tiene que : (a; b) (a; 0)+(0; b) a(; 0)+b(0; ) a+bi considerando a (; 0) ; (0; ) i. Algunas propiedades Sea ; ; números complejos, entonces.. lausurativa La suma y la multiplicación de dos números complejos es un número complejo, es decir, si y son números complejos entonces + son números complejos.. onmutativa Distributiva ( + ) ( ) + ( )..4 Modulativa Para todo ; existe 0 tal que

14 6 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS..5 nvertiva para la suma Dado ; existe tal que + ( ) ( ) nvertiva para el producto Dado ; 6 0 existe tal que Ejemplo.5 Si + i entonces + i ( + i) + i ( + i) ( + i)( i) ( + i)( i) :( i) ( i) 4 6i + 6i + 9 ( i) i y..7 Leyes de los Exponentes Si 6 0; 0 ; y n n y para nn entonces. n m n+m. ( n ) m nm. ( ) n n n Ejemplo.6 Ejemplo.7 Ejemplo.8 ( + i ) 4 :( + i ) 5 ( + i ) 9 ( + i ) 4 ( + i ) ((4 + 5i) ( i)) 5 (4 + 5i) 5 ( i) 5

15 .4. MÓDULO Y ONJUGADO DE UN NÚMERO OMPLEJO 7..8 Teorema del binomio Para ; w números complejos se tiene que: ( + w) n nx k0 n n k k w k Su demostración se hace por inducción matemática (Ejercicio) Ejemplo.9 ( + i) ( + i) 4 ( + i) 6 6X k0 6 6 k i k k Ejemplo.0 + i p 50 X50 50 () 50 k i p k k k0 Ejemplo. ( + i) 500 (( + i) ) 50 ( + i ) 50 (i) Ejemplo. omo + i i ( + i)( i ) (i )( i ) 6i + i i 4i + 5i i entonces 0 + i ( + i) 0 i X0 k0 0 () 0 k (i) k k.4 Módulo y onjugado de un número complejo El módulo o valor absoluto de un número complejo a + bi, se nota por jj y se de ne por jj p a + b y su conjugado se nota por _ y se de ne por _ a bi

16 8 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS.4. Algunas Propiedades. Solución. a + bi; a bi y así a + bi ; es decir, ; así por ejemplo i + i i. + a Re() Solución. + a + bi + a + bi a + bi + a bi a Re(). i b m() Solución La prueba es análoga a la anterior 4. Re() jj m() jj Solución Re() a jj p a + b 5. jj jj Solución jj a + bi ja bij p a + ( b) p a + b jj ; por ejemplo q 4 + i q(4) + () 5 (4) + ( ) j4 ij 6. jj Solución (a + bi)(a bi) a + b jj

17 .4. MÓDULO Y ONJUGADO DE UN NÚMERO OMPLEJO 9 7. j j j j j j Solución j j ( )( ) ( )( ) j j j j luego j j j j j j y así j j j j j j Ejemplo. Veri car que j( i) ( + i)j j( i)j j( + i)j En efecto : j( i) ( + i)j j + i 4i + j j4 ij p p 5: p 5 j( i)j j( + i)j 8. j j j j Solución La prueba es análoga a la anterior Ejemplo.4 Veri car que ( i) ( + i) ( i) ( + i) i j j ij j + ij ij j + ij jij En efecto : ( i) ( + i) ( i) ( + i) i + i 4i + ( + i i + )i 4 i + i (4 i)( i) ( + i)( i) r 5 5i i p p 5 y 0 0 p p j ij j + ij 5 5 j ij j + ij jij p p p 5 por lo tanto 5: 0 ( i) ( + i) ( i) ( + i) i j ij j + ij j ij j + ij jij

18 0 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS Ejemplo.5 Veri car que + i i j + ij ji j En efecto : + i i ( + i)( i) (i )( i) 5 + 5i 5 j + ij p y luego 9. j + ij ji j p 0 p 5 p + i i j + ij ji j j + j j j + j j Para demostrar esta propiedad se utiliarán las propiedades jj, + Re()yRe() jj as{ que : j + j ( + ) ( + ) ( + ) ( _ + ) : + : + : + j j + : + : + j j j j + Re( : ) + j j j j + j : j + j j j j + j j j j + j j j j + j j j j + j j (j j + j j) luego j + j (j j + j j) y así sacando raì cuadrada a ambos términos de la desigualdad anterior se tiene que j + j (j j + j j) conocida como la desigualdad triangular. Observe la gura Solución + a + bi + c + di a + c + i(b + d) a + c i(b + d) a bi + c di

19 .4. MÓDULO Y ONJUGADO DE UN NÚMERO OMPLEJO + Ejemplo.6 Veri car que ( + i) + ( + i) ( + i) + ( + i) En efecto : ( + i) + ( + i) ( ) + ( + ) i + 5i 5i y ( + i) + ( + i) i i 5i así ( + i) + ( + i) ( + i) + ( + i). (ejercicio) Ejemplo.7 Veri car que En efecto :. i + i i + i i + i i + i ( i)( i) i i i i ( + i) ( i)( + i) i i luego i + i i + i (ejercicio)

20 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS Ejemplo.8 Veri car que ( i) (4 + i) ( i):(4 + i) En efecto : ( i) (4 + i) (4 + i) i (4 + i) 4 8i 4 + 8i y luego ( i):(4 + i) ( + i) (4 i) 4 + 8i ( i) (4 + i) ( i):(4 + i) Ejemplo.9 Veri car que ( + 7i) 8 + 6i ( 7i) 8 6i En efecto : ( + 7i) 8 + 6i ( + 7i)( + 7i) ( + 7i)( + 7i) 8 + 6i (8 + 6i) ( 7i)( 7i) ( 7i) 8 6i 8 6i. jj j j jj j j + j j Solución Para probar esta propiedad se hace j j j + j j + j + j j que signi ca j j y así se tiene la prueba cuando j j j j. j j j + j j j + j j Si que signi ca y así j j < j j entonces j j j + j j + j + j j j j j j (j j j j) j + j j j + j j jj j j jj j + j j j + j j

21 .5. REPRESENTAÓN GRÁFA DE UN NÚMERO OMPLEJO Ejemplo.0 jj4 + ij j 4ijj j5 5j 0 y j4 + ij + j 4ij 0 así que jj4 + ij j 4ijj j4 + ij + j 4ij.5 Representación grá ca de un número complejo En un número complejo a + bi, hay dos números reales que lo caracterian, su parte real a y su parte imaginaria b las cuales, de acuerdo al concepto de igualdad en ; si se intercambian entre si, se altera el número complejo a + bi; pues a + bi 6 b + ai, esto hace que los números a y b tengan la misma característica de la pareja (a; b); en el sentido de que a + bi c + di si y solo si a c y b d y (a; b) (c; d) si y solo si a c y b d: Esto motiva a representar cada número complejo a + bi como la pareja (a; b); donde la primera componente a; corresponde a la parte real del complejo y se ubicará sobre el eje de las x, que se llamará eje real y la segunda componente b; representará la parte imaginaria del complejo y se ubicará sobre el eje y, que se llamará eje imaginario. omo el número complejo a + bi se puede considerar como una pareja ordenada (a; b), entonces se puede representar por un punto en el plano xy, llamado plano complejo. Así a cada número complejo a + bi corresponde uno y solo un punto en el plano y recìprocamente a cada punto en el plano corresponde uno y sólo un número complejo gura. bi y a+ib(a,b) a x Figura.: Otra representación posible de a + bi es en forma de vector, pues se considera como una linea dirigida que comiena en el origen y termina en el punto (a; b). Para sumar los números ; w, es decir, + w se procede como se observa en la gura :

22 4 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS w +w En el punto nal del vector se construye el vector w (en otras palabras el punto nal de ; se hace coicidir con el punto inicial de w y la suma es el vector que va desde el punto inicial de al punto nal de w; o se emplea la ley del paralelogramo). Para la resta, se efectua una suma, así : w w + ( ) gura :4 w w Figura.:.6 Forma Polar de un omplejo on frecuencia los puntos del plano se de nen en términos de coordenadas polares, el número complejo a+bi con 6 0, está representado por el punto P cuyas coordenadas cartesianas son (a; b) o cuyas coordenadas polares son (r; ) donde r p a + b es el módulo de que se nota por r jj y ; el ángulo que forma el vector (a; b) con el eje x positivo es llamado un argumento del complejo a + bi. se considera positivo, si se mide en dirección contraria al movimiento de las manecillas del reloj y negativo en dirección a las manecillas del reloj De la gura.5 se tiene que cos a r y sin b r entonces a r cos y b r sin

23 .6. FORMA POLAR DE UN OMPLEJO 5 así que a + bi r(cos + i sin ) jj (cos + i sin ) expresión llamada forma Polar del complejo, para [0; ) o ( ; ] Observemos que para cada 6 0; corresponde un solo valor de en 0 < o si se toma otro intervalo de longitud por ejemplo < ; corresponde un solo valor de : Esta elección particular de se llama la parte principal del complejo y a este valor de particular se llama el argumento principal del complejo y se nota por Arg: Si tenemos un argumento particular del número complejo, este argumento mas cualquier otro múltiplo entero de es también un argumento, luego en general arg + n n o arg Arg + n n donde 8 >< Arg arctan b a + arctan b a si a > 0 si a 0 y b > 0 si a < 0 y b 0 y >: 8 >< arg >: + arctan b a si a < 0 y b < 0 si a 0 y b < 0 arctan b + n si a > 0 y b > 0 a + arctan b + n si a < 0 a + arctan b + n si a > 0 y b < 0 a Ejemplo. La forma polar de + i es + i p (cos 4 + i sin ) ya que 4

24 6 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS j + ij p + p y arctan 4 (salvo múltiplos de ) y + i θ x Ejemplo. La forma polar de + i es + i p (cos 4 + i sin 4 ) ya que j + ij p ( ) + p y w arctan 4 pero el punto + i se encuentra en el segundo cuadrante, entonces arctan (salvo multiplos de ) y + i θ Ejemplo. La forma polar de i es i p (cos i sin 5 4 ) p (cos 4 j ij p ( ) + ( ) p y x + i sin ) ya que 4 w arctan arctan ; pero el punto i se ecuentra en el tercer cuarante, 4 entonces arctan (salvo múltiplos de ), ó arctan 4 4

25 .6. FORMA POLAR DE UN OMPLEJO 7 Ejemplo.4 La forma polar de i es i p (cos i sin 7 4 ) p (cos 4 + i sin 4 ) ya que arctan 4, ó arctan Ahora observemos que + i p (cos 4 + i sin 4 ) p (cos( 4 + n) + i sin( 4 + n)) n El argumento de +i es arg +n y en general, todos los valores de arg estan 4 contenidos en la expresión arg 0 +n con n, donde 0 es algún valor particular, en nuestros ejemplos expuestos Ejemplo.5 Si a + bi entonces si a > 0 y b 0, su forma polar es 4 ; 4 ; 5 4 ; 7 4 ; 4 ; 4 : a + bi a (cos 0 + isen0)

26 8 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS + 0i (cos 0 + isen0) si a > 0 y b > 0, su forma polar es a + bi p a + b cos arctan b a + 4i p 5 cos arctan 4 + isen + isen si a 0 y b > 0, su forma polar es a + bi b cos + isen i cos + isen arctan 4 arctan b a si a < 0 y b > 0, su forma polar es a + bi p a + b cos arctan ba + + isen arctan ba + + 4i 5 cos arctan isen arctan 4 + si a < 0 y b 0, su forma polar es a + bi j aj (cos + isen) (cos + isen) si a < 0 y b < 0, su forma polar es a + bi p a + b cos arctan ba + + isen arctan ba + p a + b cos arctan b + isen arctan b a a 4 4i 5 cos arctan( ) isen arctan( ) cos arctan( ) 4 + isen arctan( ) si a 0 y b < 0, su forma polar es a + bi j bj cos + isen j bj cos + isen

27 .7. OPERAONES EN FORMA POLAR 9 si a > 0 y b < 0, su forma polar es a + bi p a + b cos arctan ba + + isen arctan ba + p a + b cos arctan b + isen arctan b a a 4i 5 cos arctan 4 + isen arctan 4.7 Operaciones en forma Polar Sean y w dos números complejos con forma polar respectivamente entonces.7. Producto r(cos + i sin ) y w d(cos + i sin ) w r(cos + i sin ) d(cos + i sin ) rd(cos cos sin sin + i(cos sin + sin cos )) rd(cos( + ) + i sin( + )) por lo tanto arg( w) arg + arg w + n Ejemplo.6 (cos 5 o + i sin 5 o ) 7 (cos 45 o i sin 45 o ) (cos 5 o + i sin 5 o ) 7 (cos( 45 o ) + i sin( 45 o )) (cos 05 o + i sin 05 o )(cos( 5 o ) + i sin( 5 o )) p (cos( 0 o ) + i sin( 0 o )) cos 0 o i sin 0 o Ejemplo.7 i Sean (cos 40 o + i sin 40 o ) y w 4(cos 80 o + i sin 80 o ) entonces

28 0 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS w (cos 40 o + i sin 40 o ) 4(cos 80 o + i sin 80 o ) (cos(40 o + 80 o ) + i sin(40 o + 80 o )) (cos 0 o + i sin 0 o ) p! + i p i y de aquí se concluye que arg w 40 o + 80 o arg + argw salvo múltiplos de igualdad que se mira como una igualdad entre conjuntos, es decir, un valor de arg w es igual a un valor de arg ; más un valor de arg w Ejemplo.8 Sea p + i entonces p + i p y arctan p p arctan luego la forma polar de es 6 p + i 4(cos 6 + i sin 6 ): Sea w p i entonces p i p p 6 6 y arctan p arctan( luego la forma polar de w es entonces p i 6(cos( w 4(cos 6 + i sin 6 ) 6(cos( Ahora :w ( p + i)( p i) p ) ) + i sin( )) 6(cos(5 ) + i sin(5 )) ) + i sin( )) 4(cos( 6 ) + i sin( 6 )) 4(cos 6 + i sin 6 ) 6(cos(5 ) + i sin(5 )) 4(cos 6 + i sin 6 ) 4(cos( 6 ) + i sin( 6 ))

29 .7. OPERAONES EN FORMA POLAR Ejemplo.9 Sean i; w + i; entonces jj ; jwj p 8 arg + n; arg w 4 + k así w i( + i) 6 + 6i; y j wj j 6 + 6ij p ( 6) + 6 p 8 jj jwj arg(w) arg( 6 + 6i) 4 + n; arg + arg w + q k 4 + (q + k) luego se observa que, cualquier valor de arg w, es igual a un valor de arg ; mas un valor de arg w Generaliando el producto se tiene que : n (r(cos + i sin )) n r n (cos n + i sin n) que se prueba por inducción matemática: En efecto si n entonces (r(cos + i sin )) r(cos + i sin ) y suponemos la igualdad cierta para n, es decir y la probaremos para n+, es decir n (r(cos + i sin )) n r n (cos n + i sin n) n+ (r(cos + i sin )) n+ (r(cos + i sin )) n r(cos + i sin ) r n (cos n + i sin n)r(cos + i sin ) r n+ (cos n + i sin n)(cos + i sin ) r n+ (cos n cos sin n sin + i (cos n sin + cos sin n)) r n+ (cos(n + ) + i sin(n + )) r n+ (cos(n + ) + i sin(n + )) expresión conocida como fómula de De Moivre

30 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS Ejemplo.40 La fórmula de De Moivre se emplea para deducir por ejemplo algunas identidades trigonómetricas así: En efecto: luego cos cos sin sin cos sin (cos + i sin ) cos + i sin (cos + i sin ) cos + i cos sin + i sin cos cos + i sin cos y así igualando parte real e imaginaria se tiene que En forma análoga y de aquí se puede deducir que pero sin + i cos sin cos cos sin sin cos sin (cos + i sin ) cos + i sin sin + i cos sin cos cos cos sin y que sin cos sin sin.7. División w r(cos + i sin ) d(cos + i sin ) r (cos + i sin )(cos i sin ) d (cos + i sin )(cos i sin ) r (cos cos + sin sin + i(sin cos cos sin ) d (cos + i sin )(cos i sin ) r cos( ) + i sin( ) d cos + sin r (cos( ) + i sin( )) d Ejemplo.4 Ejemplo.4 (cos 5 o + i sin 5 o ) 7 (cos 45 + i sin 45) (cos 60 o + i sin 60 o ) (cos( 0) + i sin( 0)) cos 90o + i sin 90 o i cos 05o + i sin 05 o cos( 0) + i sin( 0) cos 5 + i sin 5 cos 0 i sin 0 p i

31 .7. OPERAONES EN FORMA POLAR Ejemplo.4 Si + p! 0 i p i Hallar, la forma polar de, el Re(), m(), conjugado de, el módulo de, En efecto : por lo tanto y así + p! 0 i p i Ejemplo.44 (cos 60 o + i sin 60 o 0 ) (cos 0 o + i sin 0 o ) 0 (cos( 60) + i sin( 60)) cos 00 o + i sin 00 o cos 0 o + i sin 0 o + p i + p! 0 i p i + p i 0 Re () + p! 0 i p A Re i 0 m () + p! 0 i p A m i p i; jj + p! 0 i p i Sean i; w + i; entonces p! + i p! + i p + i p r jj ; jwj p 8 arg + n y arg w 4 + k w i + i i + i i i ( + i) por lo tanto r w 9 + p p p : 9 p p jj y 8 jwj arg w 4 + n; arg arg w + q ( 4 + k) + (q k) 4 luego cualquier valor de arg w es un valor de arg menos un

32 4 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS valor de arg w (salvo múltiplos de ) Ejemplo.45 Hallar, la forma polar de, el Re(), m(), conjugado de, el módulo de, si ( + i) i En efecto : p ( + i) cos + i sin 4 4 p i cos( ) + i sin( ) cos + i sin 4 4 p 4 4 cos( ) + i sin( ) 4 4 p cos i p sin p cos ip sin 4 + i luego Re() Re! ( + i) i ( + i) i + i y así Re ( + i), m() m Re() Re( i) ; m() m( i)! ( + i) i Ejemplo.46 Sea ip (i ) 8 Hallar, la forma polar de, el Re(), m(), conjugado de, el módulo de. En efecto : ip (i ) 8 [ (cos( 60o ) + i sin( 60 o ))] p (cos 5o + i sin 5) 8 cos( 60o ) + i sin( 60 o ) cos 50 o + i sin 50 o 4 cos( 690 o ) + 4i sin( 690 o ) 4 cos( 70 o ) + 4i sin( 70 o ) 4i luego Re() Re ip (i ) 8 4i y así i p! (i ) 8 Re (4i) 0; 4i

33 .8. RAÍES DE UN NÚMERO OMPLEJO 5 m() m ip! (i ) 8 m(4i) 4; jj.8 Raíces de un número complejo i p (i ) 8 j4ij 4 Supongamos que se quiere extraer la raí cuadrada del número complejo -4i, quiere decir que debemos hallar un número complejo x+iy, tal que su cuadrado sea igual a -4i, para ello tendremos que si p 4i x + iy entonces 4i (x + iy) x y + ixy entonces por la igualdad de números complejos se tiene que : x y y xy 4 omo y x entonces x y x ( x ) luego x 4 x 4 0 (x 4)(x +) sisi x por tanto como y ; se tiene que y ; así las raices cuadradas de x 4i son i, + i Para hallar las raices de i, escribimos p i x + iy entonces i (x + iy) x y + ixy por lo tanto x y 0 y xy omo y x entonces x y x 0 entonces 4x 4 0; así x 4 ; luego 4x 4 x y de aquí x p ; y y p así En efecto p i x + iy p ( + i) p ( + i) + i + i i i Las raíces enésimas de un número complejo a son por de nición a n f j n ag Si es una raí enésima de a entonces n a. Escribamos la forma polar de y de a,

34 6 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS jj (cos + i sin ) y a jaj (cos + i sin ) jaj (cos( + k) + i sin( + k));por lo tanto n (jj (cos + i sin )) n jj n (cos n+i sin n) a jaj (cos(+k)+i sin(+k)) así que jj n jaj y n + k;luego jj jaj n jaj n cos( + k n que escrito simbólicamente es y +k n y ) + i sin( + k ) n a n (jaj (cos + i sin )) n p n jaj cos( + k ) + i sin( + k ) ; k 0; ; :::n n n Ejemplo.47 Hallar las raices cúbicas de 8. entonces omo 8 j8j (cos 0 o + i sin 0 o ) p 8 j8j cos( k ) + i sin(k ) ; k 0; ; luego las raices cúbicas de 8 son para k 0; (cos 0 o + i sin 0 o ) k ; ( cos 0 o + i sin 0 o ) + i p k ; ( cos 40 o + i sin 40 o ) i p Ejemplo.48 Las raices cuadradas de i vienen dadas por pjij i cos + k + i sin + k p h jij cos 4 + k + i sin luego las raices cuadradas de i son para 4 + k i ; k 0; ; k 0; k 0; (cos 45 o + i sin 45 o ) k ; ( cos 5 o + i sin 5 o ) p p + i p p i

35 .8. RAÍES DE UN NÚMERO OMPLEJO 7 Ejemplo.49 Hallar las raices cuartas de entonces omo jj (cos 0 o + i sin 0 o ) p 4 4 jj cos( k 4 ) + i sin(k 4 ) ; k 0; ; ; luego las raices cuartas de son f; ; i; ig pués p 4 para k 0, jj [cos(0) + i sin(0)] p 4 para k, jj cos( 4 ) + i sin( 4 ) i sin i para k, p 4 jj cos( 4 4 ) + i sin(4 4 ) cos para k, cos( 6 4 ) + i sin(6 4 ) cos( ) + i sin( ) i Ejemplo.50 Hallar las raices cuartas de p i En efecto : omo p i; entonces p 4 i son las raices cuartas de p i 4; 7 4p 4 6 cos arctan + k i sin 4 p i p k ; k 0; ; ; 4 y así Ejemplo.5 omo + i p (cos 4 + i sin 4 ) entonces ( + i) ( p ) 4 cos son las raices cúbicas del número complejo + k 4 + i sin + k ; k 0; ; + i

36 8 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS En forma similar se de ne q a m n (a m ) n n jaj m (cos(m + k) + i sin(m + k)) n q n jaj m m + k m + k (cos( ) + i sin( )) k 0; ; ::::n y n n m q a n ( n jaj m m( + k) m( + k) (cos( ) + i sin( )) k 0; ; ::::n ) n n Si m y n son primos relativos se tiene que n o (a m ) n Ejemplo.5 n m o a n ( ) ( ) p jj cos(0 o + k ) + i sin(0o + k Ahora f; cos + i sin ; cos 4 + i sin 4 g f; + Si k 0, Si k, Si k, Si k 0, ( ) ( ) p jj cos(0 o + k ) + i sin(0o + k ) p jj cos(0 o + k ) + i sin(0o + k ) p jj cos(0 o + k ) + i sin(0o + k ) p pero ( ) ( j j cos( + k fcos + i sin ; ; cos 5 + i sin 5 g ) p i ; ; k 0; ; p i g, pués cos 0 + i sin 0 cos k + i sin cos 4 + i sin 4 ) + i sin( + k ) ; k 0; ; ) y así ( ) ( ) fcos + i sin ; ; cos 5 + i sin 5 g fcos + i sin ; ; cos 0 + i sin 0 g f + p i ; ; p i g

37 .9. LUGARES GEOMÉTROS, ONJUNTOS Y REGONES EN EL PLANO OMPLEJO9 luego ( ) ( ) Ejemplo.5 alcular ( ) 4 y ( ) 4 que puede concluir de esto, son iguales? uándo lo son? Observar los ejemplos anteriores Ejemplo.54 Hallar los valores de ( i) Primero calculamos ( + i) i i ( + i) i Ahora escribimos y elevamos primero al cuadrado ( i) i i i i i el módulo i 5p y y un argumento de i es arctan 4 luego ( i) i cos r i arctan 4 + k arctan 4 + i sin + k ; k 0; ;.9 Lugares Geométricos, onjuntos y Regiones en el Plano omplejo Se sabe que a cada número complejo, le corresponde un punto en el plano xy, de manera análoga, las ecuaciones y desigualdades en variable compleja, pueden representarse por curvas o regiones en el plano xy, como lo veremos a continuación

38 0 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS Ejemplo.55 onsideremos la ecuación Re y si la escribimos en términos de x, y, se tiene que : Re Re(x + yi) x. En el plano complejo el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación x, es una recta vertical in nita :Si se considera la desigualdad Re < que equivale a x <, los puntos que satisfacen esta desigualdad, están a la iquierda de la recta x, es decir, el conjunto solución de la desigaldad Re < es el conjunto f(x; y)x < g; como se observa en la gura.7 El conjunto solución de la desigualdad m(i) < gura.7 es el conjunto ya que f(x; y)x < g m(i) m(i(x iy)) m(ix + y) x < Ejemplo.56 Si se tiene Re que equivale a x el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la ecuación Re, corresponde a los puntos que están entre y sobre las rectas x y x gura.8

39 .9. LUGARES GEOMÉTROS, ONJUNTOS Y REGONES EN EL PLANO OMPLEJO Ejemplo.57 Si Re < m que equivale a x < y el conjunto solución de Re < m es el conjunto que se observa en la gura siguiente f(x; y)x < yg Ejemplo.58 Si Re( ) entonces por lo tanto Re((x + iy) ) Re(x + ixy + i y ) x y y x luego el lugar geométrico que representa la desigualdad Re( ) siguiente (x; y)y x viene dada por gura

40 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS Ejemplo.59 Si j ( + i)j 4, entonces como j ( + i)j jx + yi ( + i)j jx + (y )i)j p (x ) + (y ) se tiene que p (x ) + (y ) 4 y así (x ) + (y ) 6 luego el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la igualdad j ( + i)j 4; corresponde a los puntos que estàn en la circunferencia (x ) + (y ) 6 gura siguiente Si j ( + i)j < 4; los puntos que satisfacen esta desigualdad son los puntos que están dentro de la circunferencia con centro (; ) y radio 4 En forma general, el lugar geométrico que representa la ecuación c j con 0 c d es el conjunto (a + bi)j d f(x; y)c (x a) + (y b) d g gura siguiente

41 .9. LUGARES GEOMÉTROS, ONJUNTOS Y REGONES EN EL PLANO OMPLEJO Ejemplo.60 Determinar todos los tales que jj + Re( ) 4: omo x + yi entonces jj + Re( ) (x + y ) + (x y ) 4 que equivale a x y ; luego el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la igualdad, son los puntos (x; y) que estan sobre la hipérbola x y : Si jj + Re() < 4 que equivale a x y < ; el lugar geométrico de los puntos que satisfacen la desigualdad son f(x; y)x y < g y x y < x Ejemplo.6 Determinar todos los x + iy tales que j + ij j + ( Escribamos esta ecuación como i)j j + ij jx + iy + ij jx + i(y + )j p x + (y + ) j + i)j jx + iy + ij j(x + ) + i(y )j p (x + ) + (y )

42 4 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS entonces p x + (y + ) p (x + ) + (y ) y elevando al cuadrado ambos miembros de ésta igualdad obtenemos x +y +4y+4 x +x++y 6y+9; que simpli cando se llega a x 5y ; que es la ecuación de una recta. De nición Punto interior. Sea S 6 ; S se dice que a es un punto interior de S, si existe B(a; ) S De nición onjunto abierto. Un conjunto S es abierto si y solo si todos sus puntos son interiores. Ejemplos de conjuntos abiertos en R ;se observan en la gura siguiente y y y x x x y y y x x x Ejemplo.6 De nición Puntos frontera a es un punto frontera de S; si toda bola B(a; ) contiene puntos de S y puntos que no perrtenecen a S De nición 4 Punto de Acumulación:Un punto a, es de acumulaciòn de un conjunto S, si toda bola abierta reducida B 0 (a; ) contiene puntos de S De nición 5 onjunto errado. Un conjunto S se dice cerrado si y solo si S contiene todos sus puntos de acumulación. Ejemplos de conjuntos cerrados en R se pueden apreciar en la gura siguiente y y y x x x y y y x x x

43 .9. LUGARES GEOMÉTROS, ONJUNTOS Y REGONES EN EL PLANO OMPLEJO5 Ejemplo.6 De nición 6 onjunto onexo. Un conjunto S es conexo si cualquier par de puntos de S; puede ser unido por un camino poligonal contenido en S De nición 7 Dominio. Un conjunto S se dice dominio, si es abierto y conexo. En la gura siguiente se pueden observar grá cas de Dominios y y y x x x y y y x x x Ejemplo.64 De nición 8 Simplemente onexo. Un dominio S se dice simplemente conexo, si toda curva simple cerrada en S es tal que su interior está totalmente contenida en S:Por ejemplo S R f0; 0g; S f < j ( + 5i)j < g;no son conjutos simplemente conexos En la gura siguiente se pueden observar conjuntos simplemente conexos y y y x x x y y y x x x Ejemplo.65 De nición 9 Vecindad Vecindad de un punto, es cualquier conjunto que contenga un conjunto abierto, que contenga al punto.

44 6 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS Ejemplo.66 onsideremos el conjunto S f i n g nn: No tiene puntos interiores, ya que si as; B(a; ) no esta contenida en S: Ningún punto de S es interior, luego S no es un conjunto abierto. El único punto de acumulación de S; es 0 luego S no es cerrado pues 0 S y 0 es punto de acumulación. Los puntos frontera de S son f0; i; i ; i :::g:no es un conjunto conexo, ni dominio, ni vecindad. Ejemplo.67 onsideremos el conjunto S f j ( + i)j < 4g:S es un conjunto abierto, pues todos sus puntos son interiores. S no es un conjunto cerrado, pues por ejemplo (; 7) es un punto de acumulación y (; 7) S. Los puntos de acumulación de S son f j ( + i)j 4g. Es un conjunto conexo, es dominio y es simplemente conexo. Ejemplo.68 onsideremos el conjunto S f j ( + i)j g: No es un conjunto abierto, pues por ejemplo (; 4) es un punto de S, que no es interior a S: Los puntos interiores son f < j ( + i)j < g. Es un conjunto cerrado. Los puntos de acumulación son S f j ( + i)j g; no es un dominio, no es un conjunto simplemente conexo Ejemplo.69 onsideremos el conjunto S f < j ( + i)j < g: Es un conjunto abierto, los puntos interiores son el mismo conjunto. No es un conjunto cerrado, pues por ejemplo (; 4) es un punto de acumulación que no pertenece a S. Los puntos de acumulación son S f j ( + i)j g: Es un conjunto onexo, es Dominio y no es simplemente onexo Ejercicio Aplicar los conceptos tratados anteriormente para solucionar los siguientes ejercicios. Veri car que: a) ( 7 + i) + ( + 4i) + ( 4 + 6i) 8 + i b) ( 7 + i) ( + 4i) + ( 4 + 6i) 4 + 4i c) ( 7 + i) (( + 4i) ( 4 + 6i)) i d) e) ( 7 + i) ( 4 + 6i) ( 7 + i) + ( + 4i) 7 + i ( 7 + i) + ( + 4i) + ( 4 + 6i) 6 (a) ( + ip ), ( i) i; 5 i + 8i + i + i

45 .9. LUGARES GEOMÉTROS, ONJUNTOS Y REGONES EN EL PLANO OMPLEJO7. Hallar módulo y argumento principal de a) 5i: Respuesta p 9; arctan( 5 ) b) + 5i; Respuesta p 9; +arctan( 5 ) ó arctan( 5 ) c) i; Respuesta p ; 54 ó +arctan() d) i; Respuesta, e) 5; Respuesta 5, f) i Respuesta - ). Mostrar que i + + i i + i; w 5 (6 + i) 5 ( + i) ( + i) v + i 6i ( i) i i + i y veri que que: a) Re ; Re v 5 04 ; Re w ; m ; m w ; m v b) arg arctan + n; arg v arctan n; arg w arctan( ) + + n 5 c) Arg 04 ; Argv arctan ; Argw d) i; v i; w i e) jj p q 5 ; jvj ; jwj p f) jj p ; jvj ; jwj p

46 8 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS. Veri car que y que p ( i) 5 (cos 0 i sin 0) p w ( + i) 8 cos + i sin ( p i) 8 cos + i sin a) w ( b) w ( c) w w ( ( p p i) 5 ( + i) ( p i) p + i p p i) 0 ( + i) ( p i) ip + p p i) 5 ( + i) ( p i) p p p i) 5 ( i) 5 ( 8ip 8 + i) p d) Re() Re ( p i) 5 64p ; m(w) m ( + i) 8; arg w + n; Arg Arg ( p i) ; Arg(w) Arg ( p + i) e) Hallar x y y tal que p 64 i; jwj 8; jj q 64 p + 64, 8i a) i(x + yi) x + + yi Respuesta x ; y b) x y + xyi xi + y Respuesta (x; y) (0; 0) y (x; y) (0; ) c) x yi + 4xi y 5 0i x + y + (y x + )i Respuesta x ; y 5. Mostrar que a) 6 p k k 6 cos + i sin k 0; 0 0 b) ( 4 + k 0 A + i 4 + k AA k 0; ; 0 c) i + k 0 A + i + k A k 0; ; arc tan 4 + 4k arc tan 4 + 4k d) (+4i) 7 cos + i sin k 0; ;

47 .9. LUGARES GEOMÉTROS, ONJUNTOS Y REGONES EN EL PLANO OMPLEJO9 e) ( 64) 4 + k + k 64 4 cos + i sin k 0; ; ; 4 4 f) p q + + i p q p + i 6. Demostrar o refutar que: a) j ::: + n j j j + j j + j j + ::: + j n j Respuesta Verdadera _ n b) (n ) Respuesta Verdadera c) Re(i) m() Respuesta Verdadera d) m(i) Re() Respuesta Verdadera e) Re( ) (Re ) (m ) Respuesta Verdadera f) m( ) Re m Respuesta Verdadera g) Re( + ) Re( ) + Re( ) Respuesta Verdadera h) arg( _ ) arg arg + n Respuesta Verdadera i) arg( _ ) arg + n Respuesta Verdadera j) jre j + jm j p jj Respuesta Verdadera k) arg( n ) n arg + n Respuesta Verdadera l) Re( ) Re( ) Re( ) m( ) m( ) Respuesta Verdadera m) Arg( ) Arg( ) + Arg( ) Respuesta Falsa n) Arg( ) Arg( ) Arg( ) Respuesta Falsa 7. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos en el plano que satisfacen la ecuación a) jj j ij Respuesta f(x; y)y g b) j 8 + 4ij 9 Respuesta f(x; y)(x 8) + (y + 4) 8g c) j ij Respuesta f(x; y)x + (y ) 4g d) j + j + j j 0 Respuesta (x; y) x 5 + y 6 e) m( i) Re( + ) Respuesta f(x; y)y x + g f) + Respuesta f(x; y)(x + 5) + y 6g

48 40 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS g) j j Re( + ) Respuesta f(x; y)y 4xg h) j j j + j 4 Respuesta f(x; y)5x 4y 0g i) Respuesta f(0; 0)g j) Respuesta f(x; y)x + y < g k) + Respuesta f(x; y)x g l) Re( ) 0 Respuesta f(x; y)x y 0g m) i Respuesta f(x; y)y g 8. Gra car el lugar geométrico de los puntos que representa la desigualdad a) Re Respuesta x y b) m < Respuesta y < c) j + j + j j 0 Respuesta x 5 + y 6 d) m( i) Re( + ) Respuesta y x + e) j ij < Respuesta 4 x + (y ) < 9 f) 0 < jj 5 Respuesta 0 < x + y 5 g) Re 0 Respuesta x 0 h) j j Re( + ) Respuesta y 4x 9. Sea S fa + bi a; b son números irracionales g que estàn en el interior del rectángulo de vértices i; i; + 5i; + 5i a) Es S cerrado?, es S abierto? uáles son los puntos interiores. uáles son los puntos de acumulación de S: uales son los puntos frontera de S: Es S un conjunto conexo?, es dominio?, es simplemente conexo? Respuestas: S no es cerrado, no es S abierto, no tiene puntos interiores, los puntos de acumulación de S son todos los puntos f(x; y) [ ; ] [ ; 5]g;los puntos frontera de S son f(x; y) [ ; ][ ; 5]g:, no es conexo, no es Dominio, no es simplemente conexo 0. Sea S fa + bi a; b son números irracionales g que están en el borde y en el interior del rectángulo de vértices i i + 5i + 5i

49 .9. LUGARES GEOMÉTROS, ONJUNTOS Y REGONES EN EL PLANO OMPLEJO4 a) Es S cerrado?, es S abierto? uáles son los puntos interiores. uáles son los puntos de acumulación de S: uáles son los puntos frontera de S: Es S un conjunto conexo?, es dominio?, es simplemente conexo?. Respuestas : S no es cerrado, no es S abierto, no tiene puntos interiores, los puntos de acumulación de S son todos los puntos f(x; y) [ ; ] [ ; 5]g; los puntos frontera de S son f(x; y) [ ; ] [ ; 5]g:, no es conexo, no es Dominio, no es simplemente conexo. Sea S f + i g a) Es S cerrado?, es S abierto? uales son los puntos interiores. uales son los puntos de acumulación de S: uales son los puntos frontera de S: Es S un conjunto conexo?, es dominio?, es simplemente conexo? Respuestas: S es cerrado, S no es abierto, no tiene puntos interiores, no tiene puntos de acumulación, punto frontera es f + i g; no es conexo, no es Dominio, no es simplemente conexo uales de los conjuntos siguientes son dominios y dominios simplemente conexo a) j + j + j j 0 Respuesta no dominio y no dominio simplemente conexo b) j + j + j j < 0 Respuesta dominio y dominio simplemente conexo c) m( i) Re( + ) Respuesta Respuesta no dominio y no dominio simplemente conexo d) < j ij < Respuesta dominio y no dominio simplemente conexo e) j j < Re( + ) Respuesta dominio y dominio simplemente conexo f) m() < Respuesta dominio y dominio simplemente conexo g) jj > 0 Respuesta dominio y no dominio simplemente conexo

50 4 APÍTULO. NÚMEROS OMPLEJOS

51 apítulo Funciones. Generalidades Hasta aquí, se han tratado las propiedades elementales de los números complejos y ahora se pretende introducir las funciones complejas. En un curso de cálculo elemental, se hace hincapie en las funciones reales, por las que se entienden cualquier función que opera sobre números reales y produce números reales, por ejemplo, la función de nida por f(x) x para todo xr, toma cualquier número real x y produce el número real no negativo x : La idea de una función compleja es similar, excepto que ahora se permite a la función operar sobre números complejos y producir números complejos, por ejemplo f() + +, así f(i) i + i + i. Mas aún, suponga que se tienen variables complejas y w y que existe una relación de manera que, en una forma bien de nida a cada valor de alguna región en el plano complejo, le corresponde uno o más valores de w; entonces se dice que w es una función de, de nida en esa región y se escribe w f() u + iv; es decir, si w f() f(x + yi) u + vi u(x; y) + v(x; y)i se concluye que una función compleja f(); es equivalente a dos funciones reales, u(x; y) y v(x; y) Ejemplo. f() j j x + y u(x; y) + iv(x; y) Ejemplo. f() x yi u(x; y) + iv(x; y) Ejemplo. f() Re( ) x y u(x; y) + iv(x; y) Ejemplo.4 f() : : x y x + y xyi u(x; y) + iv(x; y) x + y 4

52 44 APÍTULO. FUNONES Ejemplo.5 f() (x + iy) x y + ixy u(x; y) + iv(x; y) Ejemplo.6 Sea R la region el plano xy determinada por las rectas y 0; y ; x ; x 0 ( gura.) y veamos la imagen por medio de la función f() ( + i) ( + i)(x + iy) (x y) + i(x + y) u(x; y) + iv(x; y) La recta x 0 tiene por imagen u v, pues u x y, v x + y entonces u 0 y v 0 + y y de aquí u v: La recta y 0 tiene por imagen por imagen u v, pues, u x y, v x + y entonces u x v x y de aquí u v: La recta y tiene por imagen u v 6, pues, u x y, v x + y entonces u x v x + y de aquí u v 6 La recta x tiene por imagen u + v, pues, u x y, v x + y entonces u y v + y y de aquí u + v El punto (x; y) (0; 0) tiene por imagen (u; v) (0; 0) pues u x y 0 y v x+y 0 El punto (x; y) (; 0) tiene por imagen (u; v) (; ) pues u x y y v x+y El punto (x; y) (; ) tiene por imagen (u; v) ( ; 4) El punto (x; y) (0; ) tiene por imagen (u; v) ( ; ) y (,) (,) (,4) y 4 x (,) x Ejemplo.7 Sea R la region el plano xy determinada por las rectas y x ; y ; x 4; ( gura.) y veamos la imagen por medio de la función f() (x + iy) x y + ixy u(x; y) + iv(x; y)

53 .. GENERALDADES 45 La imagen del punto (x; y) (; ) es u x y 4 ; v xy :: 4; es decir, (u; v) (; 4) La imagen del punto (x; y) (4; ) es u x y 6 5; v xy 8 por tanto (u; v) (5; 8) La imagen del punto (x; y) (4; ) es u x y 6 9 7; v xy 4; por tanto (u; v) (7; 4) La imagen de la recta y es u v, pues u x y, v xy entonces u x 4 v x y como x v v entonces u : 4 La imagen la recta y x es v u, pues u x y, v xy entonces u x (x ) x ; por tanto x u + y v x(x ) y de aquí v u La imagen la recta x 4 es u 6 y v 8y y de aquí u 6 v 64 v 64, pues u x y, v xy entonces u 6 y Ejemplo.8 Hallar la imagen de la recta de Re() en el plano w mediante f() En efecto w u + iv (x + iy) x y + ixy por tanto igualando parte real e imaginaria se tiene que u x y y v xy por lo tanto como Re() x ; entonces u y y v ()y luego y v v 4 y así u 4 4 luego la imagen de la recta x mediante f() es una parábola, el grá co de v u 4 4

54 46 APÍTULO. FUNONES La imagen del primer cuadrante en el plano, por medio de f() es el semiplano superior de w, pues si re i ; w e i entonces como w se tiene que e i r e i así que r y y como los punto de estan 0 ; ellos se aplican en 0 Ejemplo.9 Hallar la imagen de la recta x mediante f() + En efecto, exprearemos en términos de w omo w + y de aquí entonces w ( + ) + w + u + iv ( + u + iv)( u + iv) y por tanto x + iy w u iv ( u iv)( u + iv) u v ( u) + v + vi entonces igualando parte real e imaginaria se tiene ( u) + v x u v ( u) + v e y y así la imagen de la recta x es la circunferencia v ( u) + v u v ( u) + v que simpli cando se tiene u + v u. Algunos Tipos de funciones.. Función polinomial de grado n Es una expresión de la forma f() a 0 + a + a + :::: + a n n con a n 6 0; y a i Ejemplo.0 Ejemplo. f() + i es una función polinomial f() + 5i es una función polinomial Ejemplo. f() 5i 4 + i es una función polinomial

55 .. ALGUNOS TPOS DE FUNONES 47.. Función Racional Es una expresión de la forma f(), donde f() y g() son funciones polinomiales y g() g() 6 0 Ejemplo. f() + 5i 5i 4 + i es una función racional Ejemplo.4 f() + i 5 es una función racional Ejemplo.5 f() i 4 es una función racional.. Función Exponencial Se pretende de nir e para complejo de tal manera que se tenga la función exponencial real cuando es real. Se recuerda que X e a a n y si a i entonces n! e i X (i) n n! + i + (i)! + (i)! + (i)4 4!! + 4 4! + ::: + i(! + 5 5! + :::) cos + i sin + ::: + ::: luego, una manera de de nir la función exponencial es e e x+iy e x (cos y + i sin y) y así Ejemplo.6 e i e 0 (cos + i sin ) Ejemplo.7 e +i e (cos + i sin ) je j e x y el arg(e ) y + n; n

56 48 APÍTULO. FUNONES Ejemplo.8 e i e (cos( ) + i sin( )) e (cos i sin ) Ejemplo.9 e i e 0 (cos + i sin ) Ejemplo.0 omo entonces ( + i) i + i y así a) e b) Re e c) m e e (+i) i e +i e (cos + i sin ) (+i) i e +i e (cos + i sin ) p e cos + sin e! (+i) i Re e +i Re(e (cos + i sin )) e cos! (+i) i m e +i m(e (cos + i sin )) e sin Algunas propiedades. e 6 0 Solución. Suponga que e 0, omo e e x (cos y + i sin y) 0 entonces e x cos y 0 y e x sin y 0 lo que implica que cos y 0 y sin y 0 ( pues e x es diferente de cero) y de aquí y n; luego como cos n ( ) n 6 0 entonces e x cos n no es cero, luego se concluye que e 6 0. Solución. e +ni e e +ni e (a+bi)+ni e a+(b+n)i e a (cos(b + n) + i sin(b + n)) e a (cos b + i sin b) e. e si y solo si ni

57 .. ALGUNOS TPOS DE FUNONES 49 Solución e sii e a (cos b+i sin b) +0i sii e a cos b y e a sin b 0 y elevando al cuadrado y sumando se tiene que e a cos b + e a sin b e a luego a 0; por tanto cos b y sin b 0 sii b n y a 0 sii ni 4. e e w sii w + ni Solución Aplicar la propiedad # 5. Solución Sean a + bi e e e + c + di entonces e e e a+bi e c+di e a (cos b + i sin b)e c (cos d + i sin d) e a e c [(cos b cos d sin b sin d) + i(sin b cos d + cos b sin d)] e a+c (cos(b + d) + i sin(b + d)) e (a+c)+i(b+d) e + Ejemplo. e i 4 + ln e i ln 4 e cos 4 + i sin e ln p 4 p p! p + i + i 6. e e e Solución Análoga a la anterior 7. e e Solución e e x (cos y + i sin y) e x cos y ie x sin y e x (cos y i sin y) e x (cos( y) + i sin( y)) e x e iy e x iy e

58 50 APÍTULO. FUNONES 8. Si re i y de i entonces rde i e i rde i(+) rde i arg entonces por tanto y así e i(+) e i arg e i(arg (+)) luego arg ( + ) n arg arg + arg + n para algún n En forma análoga se tiene que arg arg arg + n para algún n y arg n n arg + p para algún p..4 La función logaritmo Hay mucha formas de hacer un estudio de la función logaritmo natural con valores reales, pero cualquiera que sea el camino escogido, una de las propiedades básicas es que, para cualquier y y para x > 0; y ln x sii x e y. Se utiliará esta propiedad para de nir en forma análoga la función logaritmo natural compleja, que notaremos como log para distinguirla de la función logaritmo natural real. Así que de nimos para 6 0 w log si y solo si e w Para tener una manera explícita de calcular log entonces escribiremos en su forma polar re i ; y sea w u + iv (hallaremos u y v ). onsideremos la ecuación e w que queremos resolver para w. Así re i e w e u e iv tomando el módulo en ambos lados de la ecuación anterior se tiene que jj re i jrj e i e u e iv je u j e iv como e i je iv j, pues y v son reales se tiene que r e u

59 .. ALGUNOS TPOS DE FUNONES 5 y como r y e u son números reales, tomando logaritmo natural en ambos lados de la igualdad se concluye que u ln r ln jj donde ln r es la función logaritmo natural real evaluada en r Ahora como r e u entonces de re i e u e i e u e iv se tiene que e i e iv, es decir e i(v ) y de aquí v n es decir, v + n luego w u + iv log ln jj + i( + n) n omo es cualquier argumento particular de, el símbolo arg contiene todos los números de la forma + n y podemos escribir log ln jj + i arg Observemos que hay un número in nito de logarimos naturales diferentes para un número complejo diferente de cero, pero todos di eren en múltiplos de omo el símbolo log denota un conjunto in nito de números complejos distintos, log no es una función como usulmente la conocemos Para tener la función logaritmo compleja, de nimos el logaritmo principal de 6 0 por Log ln jj + iarg utiliando el valor principal del argumento y así Log es una función La función logaritmo puede de nirse para otras bases reales distintas de e. Si a w entonces w log a log, donde a > 0 y a 6 0; (Recuerde que log es en este escrito log a el logaritmo natural de ) Ejemplo. El log( i) se puede expresar como: log( i) ln jij + i( + n) 0 + i( + n) i( + n) log( i) ln jij + i( y el logaritmo principal (Log( o + n) 0 + i( + n) i( + n) i)) como Log( i) ln jij + i( ) 0 i i

60 5 APÍTULO. FUNONES Ejemplo. El log( i) se puede expresar como: log( i) ln j ij + i( n) ln p + i( n) o log( i) ln j ij + i( 4 y el logaritmo principal Log( i) como + n) ln p + i( 4 + n) Log( i) ln j ij + i( 4 ) ln p 4 i Ejemplo.4 El log( p i) se puede expresar como: log( p i) ln p i + i( + n) ln + i( n) o log( p i) ln p i + i( 6 + n) ln + i( 6 + n) y el logaritmo principal Log( p i) como Log( p i) ln p i + i( 6 ) ln 6 i Ejemplo.5 El log( y el logaritmo principal (Log( Ejemplo.6 omo entonces 4) se puede expresar como: log( 4) ln j 4j + i( + n) ln 4 + i( + n) log( 4) ln j 4j + i( + n) ln 4 + i( + n) log log 4)) como o Log( 4) ln j 4j + i ln 4 + i ( + i) + i i! ( + i) log ( + i) ln p + i i 4 + ni