APUNTES DE LA ASIGNATURA:

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1 APUNTES DE LA ASIGNATURA: ASIGNATURA OBLIGATORIA DE 3º DE INGENIERÍA INDUSTRIAL TEMA 9 TRENES DE ENGRANAJES JESÚS Mª PINTOR BOROBIA DR. INGENIERO INDUSTRIAL DPTO. DE INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES IRUÑA, NOVIEMBRE DE 997

2 INDICE 9. INTRODUCCIÓN. 9. CLASIFICACIÓN. 9.3 TRENES ORDINARIOS SIMPLES Y COMPUESTOS Relación de transisión. Criterio de signos Potencias y pares transitidos. Rendiiento. 9. TRENES EPICICLOIDALES SIMPLES 9.. Relación de velocidades. 9.. Relación de pares. Rendiiento. TEORÍA DE MÁQUINAS

3 9. Introducción Un tren de engranajes (Fig. 9.) es un ecaniso forado por varios pares de engrane acoplados de tal fora que el eleento conducido de uno de ellos es el conductor del siguiente. Suele definirse coo aquella cadena cineática forada por varias ruedas que ruedan sin desliar entre sí; o bien coo cualquier sistea de ejes y ruedas dentadas que incluya ás de dos ruedas. Figura 9. Trenes de engranajes. En uchos casos, se recurre a ellos porque no es posible establecer una deterinada relación de transisión entre dos ejes ediante un solo par de ruedas dentadas; o tabién porque se desea obtener un ecaniso con relación de transisión variable, lo que tapoco es posible con un solo par de ruedas. Los casos ás frecuentes en los que la relación de transisión µ no puede ser generada solaente por dos ruedas son: - Cuando la relación de transisión µ es uy distinta de la unidad: Por un lado, teneos el núero ínio de dientes que pueden tallarse sin que se produca interferencia de tallado (/sen ϕ). TEORÍA DE MÁQUINAS

4 Tabién existen liitaciones constructivas que liitan el núero áxio de dientes que pueden tallarse sobre una rueda. La raón principal es que los errores coetidos durante el tallado, aunque sean uy pequeños y tal ve no influyan en el engrane de una deterinada pareja de dientes, son acuulativos. Coo consecuencia, el últio diente tallado puede quedar excesivaente cerca o lejos del priero falseando el paso y haciendo que el engranaje no funcione correctaente. De ahí que generalente no se suele aditir pasar de 00 dientes en engranajes industriales (reductores de velocidad de turbinas uy rápidas) y de 00 en ecánica fina de precisión; si bien no se llega a estos líites ás que en casos excepcionales. Por otra parte, sabeos que pueden construirse ruedas con un núero de dientes enor que /sen ϕ tallando engranajes corregidos. Uniendo todo ello, podeos ver que el valor ínio (su inverso será el áxio) que podeos alcanar en la relación de transisión es de orden de: µ ín 5/00 5/00 /6 / aunque, en la práctica, con engranajes cilíndricos suele ser habitual que µ ín /5 /7. Los núeros áxio y ínio de dientes definen una relación de transisión que no puede sobrepasarse y a la que se recoienda no llegar, a ser posible, para evitar una disinución notable del rendiiento, un auento del desgaste, ruido y dificultades en el ontaje. Adeás, otra raón de peso es que no interesa que la rueda de enos dientes resulte excesivaente pequeña en relación a la otra: en tal caso, el piñón se desgasta ás que la rueda al entrar ás veces en contacto sus dientes y sufrir con ello un ayor desgaste y un ayor núero de ciclos de fatiga por unidad de tiepo. En cualquier caso, en general se suele tener en cuenta esta diferencia y se utilia un ejor aterial para el piñón. - La relación de transisión µ viene definida por una fracción irreductible µ a/b dentro de los árgenes descritos en el punto anterior, pero tal que a > áx y b > áx. Por ejeplo µ 33/7. - La relación de transisión µ viene definida por un núero racional que no puede establecerse con la suficiente aproxiación ediante un único par de ruedas de diensiones liitadas. Por ejeplo µ π La relación de transisión µ ha de establecerse entre dos ejes excesivaente alejados coo para establecer la transisión ediante sólo dos ruedas de diensiones norales. En ocasiones, cuando sucede este tipo de probleática, la solución puede estar en buscar otro tipo de transisión: correas, cadenas, TEORÍA DE MÁQUINAS

5 9. Clasificación La clasificación de los trenes de engranajes, coo cualquier otra clasificación, es un tea uy subjetivo, en la edida en que depende del criterio o criterios elegidos para realiarla. A partir de consideraciones de índole cineática, una posible clasificación puede ser: - Trenes ordinarios: que, a su ve, pueden dividirse en: + Trenes ordinarios siples. + Trenes ordinarios copuestos. Estos, así iso, podrán ser recurrentes o no recurrentes. - Trenes epicicloidales: que pueden subdividirse en: + Trenes epicicloidales siples. + Diferenciales. + Trenes epicicloidales de balancín. - Trenes ixtos: en los que coexisten los dos tipos de trenes de engranajes anteriores. La diferencia fundaental estriba en que en los trenes epicicloidales existe algún eje que tiene oviiento relativo respecto de los deás; ientras que en los trenes ordinarios el único oviiento que pueden tener los ejes es el de giro sobre sí isos. TEORÍA DE MÁQUINAS

6 9.3 Trenes ordinarios siples y copuestos En un tren ordinario, las ruedas extreas del tren giran sobre los dos ejes entre los que ha de establecerse la relación de transisión deseada. En él, todos los ejes de las ruedas que lo coponen (tanto extreas coo interedias) apoyan sobre un iso soporte fijo RELACIÓN DE TRANSMISIÓN. CRITERIO DE SIGNOS Se dice que un TREN ORDINARIO es, adeás, SIMPLE cuando cada eje contiene únicaente una rueda (Fig. 9.). - En este caso, se cuple: Figura 9. Tren ordinario siple. -, - 3 3,, n- n- - n n () donde todas las ruedas deben tener el iso ódulo y la relación de transisión que se desea conseguir es µ ± n /. - Multiplicando entre sí los térinos de la derecha y de la iquierda de las ecuaciones (): TEORÍA DE MÁQUINAS

7 n i i i j n j j ± n n () - De donde resulta: µ n ± n ( ) n n - EL núero de dientes de las ruedas interedias no influye en el valor absoluto de la relación de transisión (µ). Son las llaadas ruedas parásitas: pueden servir para invertir el sentido de giro final (el signo de la relación de transisión) o para odificar la distancia entre los ejes de entrada y salida. - Otra posible aplicación de los trenes ordinarios siples tiene lugar en el caso de que se desee tener ás de un eje de salida de oviiento, para una sola entrada. Por otra parte, se dice que un TREN ORDINARIO es COMPUESTO cuando, al enos, uno de los ejes es coún a varias ruedas (Fig. 9.). El caso ás sencillo posible es el que se puede apreciar en la Figura Las relaciones que se plantean son, independienteente de los signos: () 3 (5) 3 3 (6) de donde, relacionando () y (5): entrada / (7) y relacionando (5) y (6): salida 3 3 / 3 / (8) Toando en consideración ahora (7) y (8): salida 3 µ ± (9) entrada Figura 9.3 Tren ordinario copuesto. - Y esta relación (9) hubiese sido la isa aun cuando entre las ruedas y, o entre y, existieran varias ruedas interedias; ya que cada grupo se coporta coo un tren ordinario siple y, por lo tanto, el ódulo de µ depende únicaente de las ruedas extreas. - Si separaos el tren de engranajes en parejas de ruedas engranando, tendreos dos grupos: A y B. En el grupo A, el oviiento entra por y sale por (rueda conductora y conducida, respectivaente). Análogaente, en le grupo B, el oviiento entra por y sale por. Si hubiera ás grupos, (C, D, ) el esquea se repetiría. En tal caso, observando la expresión (9) obtenida, podeos deducir: (3) TEORÍA DE MÁQUINAS

8 µ salida entrada conductorasootrices ± ± conducidas en cuanto al signo, el procediiento ás adecuado es obtenerlo observando directaente la figura que representa esqueáticaente el tren. - Si en un tren de engranajes ordinario siple es necesario que todas las ruedas tengan el iso ódulo, no sucede lo iso en el caso del tren ordinario copuesto. En el caso de la Fig. 9.3, si R 3 < R, para transitir la isa potencia de giro (Pot M i T R i ) es preciso una fuera ayor (es decir, la coponente tangencial a la circunferencia priitiva de funcionaiento -T- del esfuero de contacto entre dientes es ayor: T B > T A ); por lo tanto, los dientes de las ruedas del grupo B están ás solicitadas que las del grupo A y deberían ser construidas con un ódulo ayor. Se dice que un TREN de engranajes ORDINARIO COMPUESTO es RECURRENTE cuando el eje de salida (S) y el de entrada (E) son coaxiales (Fig. 9.3): - En un tren de este tipo, y con ruedas exteriores, se verifica que: R + R R 3 + R ; o bien: A ( + ) B ( 3 + ) () de donde, si las ruedas no están corregidas, los ódulos habrán de cuplir que: B M C A 3 () Y si existen p A ruedas interedias entre las ruedas y, y p B entre y : A B i pb p A j - En trenes ordinarios copuestos no recurrentes (Fig. 9.) con excentricidad e entre el eje de entrada y el de salida, la condición a cuplir será: R + R + e R 3 + R es decir: A B e + + A + i j pb i i pa j j () - Expresiones todas ellas válidas para el caso de engranajes cilíndricos de dientes rectos. (0) (3) Figura 9. Tren copuesto no recurrente. TEORÍA DE MÁQUINAS

9 9.3. POTENCIAS Y PARES TRANSMITIDOS Prescindiendo del roaiento, todas las fueras que intervienen en un tren de engranajes son las isas si el tren está quieto, si el tren se ueve con velocidades unifores en un sentido o si se ueve en sentido contrario. Ello es una consecuencia de que todas las fueras de inercia quedan equilibradas. Por ejeplo, en la figura 9.5b los sentidos de giro son contrarios a los de la figura 9.5a, pero las fueras que intervienen son las isas. La diferencia estriba en que en el prier caso M actúa en el iso sentido que y, por lo tanto, es un par otor que introduce trabajo en el sistea; ientras que M es un par resistente que saca trabajo del sistea. Sin ebargo, en el segundo caso, M es el resistente y M el otor. Figura 9.5 Las fueras no dependen de los sentidos de giro. Se denoinan fueras activas a aquéllas que introducen o sacan trabajo en el sistea. Esto excluye las reacciones en los apoyos y los epujes utuos entre dientes. Así, las únicas fueras activas que hay que considerar en un tren de engranajes son los pares exteriores que actúan sobre las pieas giratorias en su plano de giro. Para analiar los pares activos basta con aplicar de fora sisteática el teorea de las potencias virtuales: en un sistea en equilibrio pero que puede overse (o se ueve), en cualquier oviiento posible la sua de las potencias que entran al sistea es nula. Observando la Figura 9.6, en la que los pares activos son M y M, ha de cuplirse: M + M 0 (5) De donde, operando: M M µ (6) Figura 9.6 Tren ordinario. Pares activos. En la figura se observa que si tiene realente el sentido dibujado, debe tener el sentido contrario. Esto se traduce en que µ tendrá un valor negativo, con lo que según (6) M y M tendrán el iso signo (el dibujado o el contrario). En un tren de engranajes, los pares activos sobre los ejes se transiten de un eje al otro por edio de fueras tangenciales sobre los contornos de las ruedas (sobre las circunferencias priitivas de funcionaiento). Coo ya vios, la acción utua entre dos ruedas es una fuera (F) perpendicular a la superficie del diente; de odo que, en general, esta fuera tendrá una TEORÍA DE MÁQUINAS

10 coponente tangencial (T), otra axial (A) paralela al eje, y otra radial (R) perpendicular al eje. De todas ellas, la única que daba oento respecto al eje era la tangencial (T). Las coponentes tangenciales (T) quedan deterinadas por los pares activos que actúan sobre los ejes, y no dependen de la fora de los dientes. Sin ebargo, las otras coponentes (A y R) quedan deterinadas en función de T y la fora del diente. Figura 9.7 Fueras tangenciales en un tren ordinario. Así, en el tren ordinario copuesto de la Figura 9.7a, las fueras tangenciales quedan deterinadas por las condiciones de equilibrio de cada eje. Los oentos respecto al eje son: (prier eje) M T R 0 (7) (segundo eje) -T R + T R 3 0 (8) (tercer eje) T R M 0 (9) que periten deterinar T, T y M en función de M. El equilibrio del eje exige tabién que existan en los apoyos unas reacciones de sentido contrario a T. Estas fueras serán las isas si el tren está quieto, que si gira uniforeente en un sentido o en otro. TEORÍA DE MÁQUINAS

11 En estas condiciones de equilibrio, hay algunos troos del eje que quedan soetidos a flexión y torsión. Esto se pone en evidencia en la Figura 9.7b, al trasladar las fueras tangenciales (T) al centro de las ruedas y añadiendo unos pares (T R) que copensen esa traslación. En el prier eje, por ejeplo, la nueva fuera T se equilibra con las reacciones de los apoyos, que están en el iso plano. Este equilibrio se traduce en flexar todo el troo del eje coprendido entre los apoyos. Al iso tiepo, el par M se equilibra con el par T R, pero este equilibrio se traduce en retorcer todo el troo de eje coprendido entre los planos de acción de abos pares. En la Figura 9.7, los troos de eje soetidos a torsión están señalados con trao grueso. En definitiva, el par M se transite hasta M a lo largo de sucesivos troos de eje que quedan soetidos a torsión. Por últio, recordar coo en un tren de engranajes, a edida que disinuye la velocidad de giro () de las ruedas auenta el par transitido (ya que la potencia transitida debe de peranecer constante, salvo pérdidas por roaiento, Pot M i T R i ), por lo que las ruedas han de ser ás robustas. TEORÍA DE MÁQUINAS

12 9. Trenes epicicloidales siples Tren epicicloidal (Fig. 9.8) es aquel tren de engranajes en el que alguna rueda gira en torno a un eje que no es fijo, sino que gira en el espacio: - Al brao que gira se le llaa portasatélites. - A la rueda que gira alrededor de dicho eje se la denoina satélite. - El sistea, de esta anera, tiene dos grados de libertad que se restringen a uno haciendo girar al satélite alrededor de una rueda fija o central. Figura 9.8 Tren epicicloidal eleental. En el caso de los trenes epicicloidales, tabién cabe hablar de trenes recurrentes o no recurrentes, según que los ejes de entrada y salida sean o no coaxiales. 9.. RELACIÓN DE VELOCIDADES Para resolver el problea cineático se procede de la siguiente anera: - Nos situaos sobre el brao portasatélites, para estudiar el oviiento relativo respecto del iso (es decir lo convertios en el eslabón de referencia). Desde el punto de vista analítico, ello equivale a introducir una velocidad 3 (siendo 3 la velocidad de giro del brao portasatélites) al conjunto del sistea. - El brao, de esta fora, se queda fijo, la rueda fija gira con velocidad 3 y la rueda satélite con velocidad 3. - El resultado es, por tanto, un siple caso de un par de ruedas o tren ordinario (si existen ruedas interedias): 3 3 de donde: R R R R + FIJA SATELITE FIJA SATELITE SATELITE PORTA SATELITE FIJA SATELITE FIJA SATELITE SATELITE PORTA SATELITE () SATELITE (0) TEORÍA DE MÁQUINAS

13 Para obtener el oviiento de salida, se coloca (Fig. 9.9) una segunda rueda central o corona : - Paraos el portasatélites : - De donde, dado que 0: + () (3) Figura 9.9 Tren epicicloidal siple. TEORÍA DE MÁQUINAS