APLICACI ONES DE LA FUNCI ÓN

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1 APLICACI ONES DE LA FUNCI ÓN GENERADORA DE MOMENTOS Adrés Camlo Ramírz Gaa Trabajo d Grado para Opar por l Tulo d Mamáco Drcor: Bgo Lozao Rojas Esadísco Uvrsdad Nacoal d Colomba Fudacó Uvrsara Korad Lorz Faculad d Mamácas Bogoá D.C. 7

2 AGRADECIMIENTOS Agradzco al profsor Bgo Lozao Rojas, qu m acompaño apoo co los valosos apors la jcucó d s rabajo. També quro agradcr al docor Aoo Vlasco muños dcao d la faculad d mamácas a cada uo d los docs compañros qu uvro u apor mpora para mí formacó a lo largo d la carrra.

3 RESUMEN Es documo cosa d cuaro capíulos los cuals musra la mporaca d la fucó gradora d momos su aplcacó a la hora d dducr la dsrbucó d ua o más varabls alaoras. Auqu s rs éccas para rsolvr dcho problma, la écca d la fucó gradora d momos s la mas sobrsal, a qu admás auda l dscubrmo d varabls alaoras úcas s mu úl cuado s raa d corar la dsrbucó d sumas d varabls alaoras dpds, audado así la dmosracó dl orma dl lím cral. Ths docum s mad up of four chaprs whch show h mporac of h mom grag fuco ad s us wh dducg h dsrbuo of o or mor radom varabls. Evhough hr ar hr chqus o solv hs problm, h mom grag fuco chqu s h mos wdl usd sc also hlps dscovrg h uqu radom varabls ad s vr usful wh rg o fd h dsrbuo of sums of dpd radom varabls, hlpg hs wa h proof of h cral lm horm.

4 CONTENIDO Pága INTRODUCCION. CONCEPTOS BASICOS.. Varabls alaoras 5.. Dsrbucos d probabldad 7... Dsrbucó d probabldad d varabls dscras 7... Dsrbucos d probabldad d varabls coúas.. Valor sprado 8. MOMENTOS Y FUNCIONES GENRADORAS DE MOMENTOS.. Momos 6.. Fucó gradora d momos 7. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA FUNCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA.. Técca d la fucó acumulava 5.. Técca d rasformacos 5... Técca d rasformacos para varabls dscras 5... Técca d rasformacos para varabls couas 5. TECNICA DE LA FUNCION GENERADORA DE MOMENTOS.. Dscrpcó d la écca 6.. Dsrbucó d sumas d varabls alaoras 67 APENDICE 7 CONCLUCIONES 85 BIBLIOGRAFIA 86

5 INTRODUCCIÓN E l ára d la sadísca s mu frcu qu l vsgador o coozca como s compora la dsrbucó d probabldad d su varabl alaora. Para s hcho s ha dducdo los momos, los cuals proporcoa ua caracrzacó d la dsrbucó d probabldad. Muchas vcs sos momos sul sr complcados para corarlos uo por uo, por so s odos sos momos s, s pud asocar a ua fucó qu los gr. Esa fucó oma l ombr d la fucó gradora d momos. La fucó gradora d momos o solo s usada los momos d ua varabl alaora. Frcum sadísca s prsa la csdad d dducr la dsrbucó d probabldad d ua fucó d ua o más varabls. Es dcr s s cooc la dsrbucó d ua varabl alaora, s ora qu s fucó d la aror, s podría dducr la dsrbucó d dcha varabl. Es s uo d los campos dod la fucó gradora d momos s aplca s mu úl a la hora d dducr dsrbucos d sumas d varabls dpds. Para abordar s ma s ha crado s documo qu cosa d capíulos, dod l lcor podrá obsrvar dsd los cocpos báscos hasa la écca d la fucó gradora d momos. E l capulo s ucará mas báscos como, las varabls alaoras, dsrbucos d probabldad d ua varabl alaora l valor sprado; l sgudo s raara a fodo mas como momos la fucó gradora d momos, djado claro así los cocpo báscos para la aplcacó d sa fucó ; l rcr capíulo s abordara éccas adcoals para dducr la probabldad d ua fucó d ua o más varabls alaoras, por úlmo l cuaro capíulo s prsará la rcra écca llamada écca d fucó gradora d momos su úl uso la dsrbucó d sumas d varabls alaoras. 5

6 CAPITULO UNO CONCEPTOS BÁSICOS. Var abl alaora Dfcó.: Sa S u spaco musral sobr l cual s cura dfda ua fucó d probabldad. Sa ua fucó d valor ral dfda sobr S, d mara qu rasform los rsulados d S puos sobr la rca d los rals, s dc ocs qu s ua varabl alaora. El cojuo d valors qu ua varabl alaora pud omar s doma l rago d la varabl alaora. S dc qu s ua varabl alaora s odos los rsulados posbls d u spaco musral, s pud rasformar cadads umércas. Ejmplo.: Supógas l spaco musral S l qu s cosdra cada uo d los posbls rsulados al lazar rs modas al ar: S {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss} dod c s cara s s sllo. Drmmos la varabl como l úmro d caras qu ha l spaco musral, ocs a cada puo dl spaco musral s l asga u valor umérco,, o, sos pud cosdrars como valors qu asum la varabl alaora, al como lo musra su grafca. Probabldad sadísca. Gorg C.Caavos. Pág. 5 6

7 S S R CCC CCS CSC SCC CSS SCS SSC SSS Gráfco. s caso podmos obsrvar qu la varabl alaora oma l valor para los lmos dl cojuo E {css, scs, ssc} S. E s a cada lmo d spaco musral, s l asga u valor umérco. S ccc ccs csc scc css scs ssc sss Tabla. Dfcó.: S dc qu ua varabl alaora s dscra s su rago s u cojuo fo o fo umrabl d valors. Ejmplo.: E l jmplo. los valors posbls d so,,. Lugo s ua varabl alaora dscra. Probabldad sadísca. Gorg C.Caavos. Pág. 5 7

8 Dfcó.: S dc qu ua varabl alaora s coua s su rago s u cojuo fo o umrabl d valors. Es cojuo pud dfrs u rvalo o u cojuo fo d rvalos. Ejmplo.: Cosdrmos ua varabl alaora Y cuos valors sa los psos klogramos d odas las prsoa maors d años, lógcam ha fos valors asocados a sos psos. S sos psos s asgara a la rca ral, pud dfrs u úmro fo d valors para dscrbr odos los posbls valors d pso.. Dsrbucos d probabldad Dfcó. ua dsrbucó d probabldad s u lsado d las probabldads d odos los posbls rsulados dl spaco musral qu podría obrs s l prmo s llva a cabo. Las dsrbucos d probabldad s clasfca como dscras couas... Dsrbucos d probabldad d varabls dscras Ua varabl alaora asum cada uo d sus rsulados co cra probabldad. E l jmplo. la varabl alaora qu rprsa l úmro d caras al lazar rs modas al ar, los sgus valors posbls co las rspcvas probabldads sgus: Rsulado Valor d la Numro d probabldad varabl alaora ocurrcas ccc /8 ccs, csc, scc /8 ssc, scs, css /8 Sss /8 Tabla. 8

9 ós qu los valors posbls d coforma los posbls coos sobr l spaco musral coscuca las probabldads suma. Para maor comoddad s csaro usar ua fucó co l objo d rprsar las probabldads d ua varabl alaora s df por: f P ; s l como la probabldad d qu om l valor sa fucó oma l ombr d fucó d probabldad o dsrbucó d probabldad d la varabl alaora dscra, l jmplo. s s csara sabr cual s la probabldad d qu salga caras l msmo lazamo s usara la fucó d probabldad, dod ; ocs f P /8 ; Dfcó.5: Sa ua varabl alaora dscra. S llamará f P fucó d probabldad d la varabl alaora propdads., s sasfac las sgus. P ;. P ; Ejmplo.: Supógas ua varabl alaora qu como rsulado dar l umro d caras mos l umro d sllos lazamos d ua moda. Ecur la dsrbucó d probabldad para la varabl alaora. Solucó: El spaco musral s cura dado por: S {cccc,cccs,ccsc,ccss,cscc,cscs,cssc,csss,sccc,sccs,scsc,scss,sscc,sscs,sssc,ssss} dod l úmro d ocurrcas s 6; Probabldad sadísca. Gorg C.Caavos. Pág. 5 9

10 Rsulado Valor d la Numro d probabldad dfrca ocurrcas r caras sllos cccc /6 cccs,ccsc,cscc,sccc /6 ccss,cscs,cssc,sccs,scsc,sscc 6 6/6 csss,scss,sscs,sssc /6 ssss /6 Tabla. Ahora la dsrbucó d probabldads srá: f /6 /6 6/6 /6 /6 Tabla. Muchas vcs csamos corar la probabldad d qu sa mor o gual qu para s caso basa co obsrvar qu: P P P P P lo cual os da ua da d sumar probabldads o d acumularlas. Dfcó.6: La dsrbucó acumulava d la varabl alaora s la probabldad d qu sa mor o gual a u puo spcífco d sa dada por : F P f Y admás sasfac las sgus propdads: Probabldad sadísca. Gorg C.Caavos. Pág. 5

11 . F.. F F j s j.. p > F.. p F F. 5. p < p p F j j F. j Cab aoar qu P P < s s ua varabl dscra. P P P P P P < P P P Ejmplo.5: Ecur la dsrbucó acumulada d la varabl alaora dl jmplo. usado las propdads calcular:. p >. p. P. P < 5. P < 6. P < < Solucó: F P P /6; F P P P P /6 /6 5/6; F P P P P P /6 /6 6/6 /6; F P P P P P

12 /6 /6 6/6 /6 5/6; F P P P P P P /6 /6 6/6 /6 /6 ; Lugo la dsrbucó d probabldads acumuladas s: F 5 5 / 6 / 6 / 6 / 6 < < < < < A couacó s musra las grafcas d f F rspcvam FUNCIÓN DE PROBABILIDAD f 5 5 Gráfco.

13 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA 5/6 /6 F 8/6 /6 5 5 Gráfco.. p > F /6 5/6.. p p > F /6 5/6.. P < F F 5/6 5/6 /6.. P P < F F 5/6 /6 /6. 5. P < P < F F /6 /6 /6. 6. P < < P < F F /6 5/6 6/.. Dsrbucos d probabldad d varabls couas E l caso d las dsrbucos couas p. Ejmplo.6: La varabl alaora coua W s df como la alura d odas las prsoas maors d años u rvalo d 7 hasa 8 címros. Supógas qu s qur corar p 75, aparm parc qu fura scllo calcularla, pro s déramos qu l rvalo [7, 8] ha fos úmros, vdm ha fdad d sauras por lo cual p 75 d a sr ulo, para s caso s mjor ulzar rvalos. Eocs para usro caso sra mjor corar p

14 La dsrbucó d probabldad d ua varabl coúa sa caracrzada por ua fucó f, la cual rcb l ombr d fucó d dsdad d probabldad proporcoa u mdo para calcular p a b co b > a. D mara formal, la dsrbucó d probabldad d ua varabl alaora coua s df d la sgu mara: Dfcó.7: S s ua fucó f al qu: 5 f < < f d p a b b f d a,b R a Eocs s dc qu f s la fucó d dsdad d probabldad d la varabl alaora coua. D sa dfcó s drva oras propdads.. p a. P a b P a< b P a < b P a < < b Solucó:. p a p a a a f d. p a b p a a p a < < b p b p a < < b Para dr mjor l cocpo d fucó d dsdad, lo lusrarmos co u jmplo. Ejmplo.7: Supógas qu s md los mpos r llamadas coscuvas, d cls d ua mprsa qu fucoa d 7: AM a 5: PM los agrupamos rvalos d hora. E la abla.5 s uca l úmro d llamadas cada rvalo su rspcva frcuca rlava. 5 Probabldad sadísca. Gorg C.Caavos. Pág. 58

15 Irvalo N llamadas Frcuca rlava 7 < 8. 8 < <. < 5.5 < 7.7 < 7.7 < 5.5 < 5. 5 < < 7. Tabla.5 Como s obsrva la gráfca. la bas d cada rcágulo como logud su alura s la frcuca rlava, lugo l ára d cada rcágulo s su frcuca rlava por lo ao la suma d sus áras s. Supogamos ahora qu los mpos r dos llamadas coscuvas s obsrva para s agrupa rvalos d ½ hora, o ambé para rvalos d ¼ d hora, s aumamos s procso d aumar l umro d obsrvacos dsmur l amaño d los rvalos, s llgara a ua curva lím la cual oma l ombr d fucó d dsdad d probabldad para ua varabl alaora coua, s doa por f grafco., vdm l ára oal bajo la curva s. 5

16 ,5,7,7,5 frcuca rlava,,6,,,6, Gráfco. FUNCIÓN DE DENSIDAD,9,6, 7,,, 6, Gráfco. Al gual qu las fucos d probabldad d las varabls alaoras dscras su fucó acumulava, las varabls alaoras couas ambé su rspcva fucó acumulava s df como: F P f d dod s ua varabl arfcal d gracó. 6

17 La dsrbucó F s ua fucó lsa o dcrc co las sgus propdads:. F. F. p a < < b F b F a. df d f Ejmplo.8: Sa ua varabl alaora coua dfda por f π cuaqur oro caso. probar qu f s ua fucó lgíma d probabldad.. Calcular P /, p.. Ecorar F, grafcarla usarla para corar los puos dados Solucó:. Al sr > o habrá problma co l radcal claram s v qu f, ahora π d d π ar cos π π π Co lo qu s coclu qu f s ua fucó lgíma d probabldad. /. P / d π ar cos π / 7

18 ar cos π ar cos π π π 6 P π d ar cos π ar cos π ar cos π π π π π 6. F π d ar cos π ar cos π ar cos π ar cos π Y la gráfca s: FUNCIÓN ACUMULATIVA F,8,6,, 5 5 Gráfco. 8

19 P / F / ar cos π π π 6 p F F ar cos π ar cos π π π π π 6. Valor sprado Los grads jugadors d pokr dc qu los jugadors o prmados pud gaar dro a coro plazo pro qu prdrá dro a largo plazo. Lo coraro val para profsoals mu buos jugadors, lo cuals gaará gralm a largo plazo. Por qué so s así? Eso s db a u cocpo coocdo como valor sprado. Valor sprado s l bfco qu s spra. Por jmplo, supógas qu s ha ralzado ua apusa para lazar ua moda. S sal cara, s prdrá $, s sal cruz, s gaará $. S db acpar órcam sa apusa asumdo qu la moda s vrdadra s u ccua ccua d posbldad d qu salga cara o cruz? Obvam, s dbría acpar la apusa. Es ua probabldad d / qu caga cara ga $. Por lo ao, la gaaca sprada s.5*$5. S salra cruz, s prd $. Por lo qu, la prdda sprada.5*$.5 Y l bfco sprado s la gaaca sprada mos la pérdda sprada. Es dcr, qu l bfco sprado s d $9,5. Obvam, o s gaará $9,5. s Gaará $ o s prdrá $. S mbargo, dbría vrs la apusa como "gaar" $9,5. Los rsulados los jugos d azar sá flucados por la sur a coro plazo. S mbargo, los rsulados s vrá crcaos a smjars al valor sprado a largo plazo. S s ra la moda u mlló d vcs, l bfco fal srá mu crcao a 9,5 mllos. 9

20 Eocs rsumdo: Sa ua varabl dscra dod solo podrá omar dos valors, $gaaca, $ la prdda o sa {, } ahora la probabldad d gaaca s.5 la gaaca d prdda s.5. Por ao su valor sprado s: lugo s obsrva qu l valor sprado sa dado por: E. p Así s llga a la dfcó d valor sprado, mda o spraza mamáca d ua varabl alaora Dfcó.8: La mda d ua varabl alaora s cosdra como ua cadad umérca alrddor d la cual los valors d la varabl alaora d a agrupars por lo ao la mda s ua mdda d dca cral s df por: E p S s ua varabl dscra E f d S s ua varabl coua E gral dfmos l valor sprado d ua fucó d, h, por la gualdad E [ h ] h p S s ua varabl dscra. E [ h ] h f d S s ua varabl coua. Aálogam para mas d dos varabls cualqur fucó h d las varas, s df por,...,,, k l valor sprado d

21 E [ h,,,..., ] k... h,,,..., k p,,,..., k k S,...,,, k varabls dscras. E [ h,,,..., ] k h d... d,,,..., k f,,,..., k d d k S,...,,, k varabls coúas. El valor sprado o mda pos alguas propdads:. E k k para k ua cosa. E c k ce k para k, c cosas. E [ g h ] E [ g ] E [ h ]. E [ g h ] E [ g ] E [ h ] NOTA: El valor sprado, pud o sr dpddo s la corrspod suma o gral dvrg a u valor fo. Ejmplo.9: Ecorar la mda o valor sprado d la dsrbucó d Posso Solucó: la dsrbucó d Posso sa dada por f λ λ!,,,... cualqur oro valor lugo E. p. λ λ! λ λ λ! ahora s hacmos, s dría, por ao

22 λ λ E λ! λ λ λ λ Ejmplo.: Ecorar la mda o valor sprado d la dsrbucó bomal. Solucó: La dsrbucó bomal sa dada por: f! p p!!,,,..., p, Z cualqur oro valor ocs E!. P p p!!! p p!!! p p [ ]!! p Ahora s, m s dría m, por ao m E p m! p p m!! m p Es buo rcordar para los jmplos... la fucó Gamma la fucó Ba. La fucó Gamma sa dfda por:

23 u u du! > sus propdads so:! / π. La fucó Ba sa dfda por. Β, d, > La fucó Ba la fucó Gamma s cura rlacoadas por Β, Noa: E l apédc al fal d s documo s musra las dduccos arors sus rspcvas propdads. Ejmplo.: Ecorar la mda o valor sprado d la dsrbucó Gama Solucó: La dsrbucó Gamma sa dada por f ;, >,, >, cualqur oro valor ocs E f d d ahora s obsrvamos la gral podría rasformars ua fucó Gamma d Sa u du d d du

24 u u lugo E du u u du u u d u u Ejmplo.: mosrar qu la mda d d la dsrbucó Ba s: Solucó: La dsrbucó Ba s cura dfda por:, ; f valor cualqur oro,, > ocs E d f d d, Β Ejmplo. Supógas qu la varabl alaora Y rprsa l rvalo d mpo r dos llgadas coscuvas a ua da qu su fucó d dsrbucó sa dada por:

25 f >, cualqur oro valor S las gaacas d dro s gual a al cubo dl mpo r dos llgadas, corar l valor sprado d las gaacas. Solucó: El valor sprado d las gaacas, s corar E Y, lugo E f d d Ahora s hacmos u du d d du u 6 u Eocs u E 6 u du 6 6! 8 Ejmplo. Ecorar l valor sprado d la dsrbucó d Cauch l caso. Solucó: La dsrbucó d Cauch co s cura dfda por: f ;, π > cualqur oro valor 5

26 E f d d π π d l π Lo cual dca qu a mdda d qu crzca E ambé va a crcr o sa qu la gral dvrg, por ao l valor sprado d la dsrbucó o s. 6

27 CAPITULO DOS MOMENTOS Y FUNCIONES GENERADORAS DE MOMENTOS. Momos Los momos d ua varabl alaora so los valors sprados d cras fucos d. Ellos forma ua colccó d mddas dscrpvas qu pud audar a caracrzar la dsrbucó d probabldad vrfcar s odos los momos so coocdos. Gralm sos momos s df alrddor d o dl valor sprado. Dfcó.: sa ua varabl alaora. El r ésmo momo d alrddor d s df por: 6 r r E r p r f d dod s dscra dod s coua l prmr momo alrddor d r para ua varabl dscra. 6 Probaldad sadísca. Gorg C.Caavos. Pág. 67 7

28 E E Lo cual dca qu s l coocdo valor sprado o mda, smlarm s s valor s fus ua varabl coua. Dfcó.: Sa ua varabl alaora. El r ésmo momo cral d ambé coocdo como l r mo momo alrddor d la mda s df por: 7 r r E [ ] r p r f d dod s dscra dod s coua El momo cral cro d cualqur varabl alaora s. [ ] E [ ] E El prmr momo cral d cualqur varabl alaora s [ ] E [ ] E E E El sgudo momo alrddor d la mda s la varaza qu s doa por var var [ ] E E E E La varaza d cualqur varabl alaora s la dfrca dl sgudo momo alrddor d l cuadrado d la mda o valor sprado. Gralm s doa σ auqu a vcs srá cov doarla por var. La varaza d ua varabl alaora s la mdda d la dsprsó d la dsrbucó d probabldad d sa. Por jmplo, l caso couo s la maor par dl ára por dbajo d la curva 7 Probaldad sadísca. Gorg C.Caavos. Pág. 67 8

29 d dsrbucó s cura crcaa a la mda, la varaza s pquña o s por l coraro la maor par dl ára s cura mu dsprsa d la mda la varaza srá grad. La raíz cuadrada d la varaza rcb l ombr d dsvacó sádar s doa por σ. La varaza al gual qu l valor sprado propdads, así: Dadas dos cosas a b. var a b a var var a by var a b var Y cov, Y al caso qu Y sa sadíscam dpds var a by var a b var Y Como s ha poddo obsrvar l sgudo momo alrddor d la mda s prsó érmos d los prmros dos momos alrddor d. E gral odos los momos crals d ua varabl s pud prsar érmos d los momos alrddor d, dado qu: r E [ ] r Rcurds qu a b O sa qu: a b r r r r ahora r r E r r r r r r E r r jmplo s s csara l rcr momo cral 9

30 Los momos crals rcro cuaro proporcoa formacó mu úl co rspco a la forma d la dsrbucó d probabldad d rcb l ombr d facors d forma. El rcr momo d cualqur varabl alaora s cura rlacoado co la asmría d la dsrbucó d probabldad d. E l caso qu las dsrbucos d probabldad prs más d u pco, l rcr momo pud prsar daos rróos, por so s cov usar l rcr momo sadarzado, dado por: / / / / var rcb l ombr d cofc d asmría como su ombr lo dca md la asmría d la dsrbucó d probabldad co rspco a su dsprsó. La dsrbucó pud sr: Asmérca posvam > 5 5 Gráfco.

31 Smérca Gráfco. Asmérca gavam < Gráfco. El cuaro momo d cualqur varabl alaora md qu a puaguda s la dsrbucó d probabldad d rcb l ombr d cuross ,5,5,5 5 6

32 Al gual qu l rcr momo s rcomdabl usar l cuaro momo sadarzado, dado por: / / var S > la dsrbucó d probabldad prsa u pco rlavam alo s dc qu la varabl dsrbucó qu rcb l ombr d lpocúrca 5 5 Gráfco. S la dsrbucó o prsa u pco mu alo mu bajo rcb l ombr d msocúrca Gráfco.5

33 S < la dsrbucó d probabldad s rlavam plaa rcb l ombr d placúrca Gráfco.6 Ejmplo.: Ecorar la mda, la varaza, los facors d forma d la dsrbucó pocal. f ; >, cualqur oro valor Solucó: Prmro s db corar los prmros momos alrddor d cro, para so: r r r E d r r d r s rmplazamos u du d ocs s dría qu r r u r u du r r Lugo E! r r!

34 !!! 6 ahora a do los cuaro prmros momos alrddor d cro, s pud calcular los momos alrddor d la mda. var ahora do sos momos s pud corar los cofcs d asmría d cuross. / / / / var / /. / 9 / 9. Lugo E, var,, 9. ocs s s obsrva los facors d forma s qu la grafca d ua dsrbucó pocal smpr s asmérca posvam lpocúrca.

35 DISTRIBUCION EPONENCIAL 5 5 Gráfco.7 Ejmplo.: Ecorar la mda, la varaza, los facors d forma d la dsrbucó d posso. f ; λ λ λ!,,,... cualqur oro valor Solucó: Para s caso s mu complcado corar uo por uo. r por so s procd a corarlos E λ vr jmplo.8 E E [ ] E [ ] E ahora E [ ] λ λ! λ λ λ! ahora s s hac, s dría, por ao E [ ] λ λ λ! λ λ λ λ ósa qu 5

36 λ λ E E [ ] E [ ] E ahora E [ ] λ λ! λ λ λ! s s hac, s dría, por ao λ λ E [ ] λ! λ λ λ λ ósa qu λ E λ E E λ λ λ E E [ 6 6 ] ahora E [ ] E 6 6 E [ ] λ λ! λ λ λ! s s hac, s dría, por ao λ λ E [ ] λ! λ λ λ λ ósa qu λ E 6 6 λ 6 E E 6 E 6

37 λ 6 λ λ λ λ λ 6 λ λ 6 λ 8 λ 6 λ λ λ 6 λ λ 6 λ 7 λ λ ahora s procd a calcular los momos alrddor d la mda. var λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 6 λ λ λ λ λ λ λ 6 λ 7 λ λ λ λ λ λ 6 λ λ λ λ λ λ λ 6 λ 7 λ λ λ λ λ 6 λ 6 λ λ Y co so calcular los facors d forma / / / / var / λ /λ λ / λ / λ / λ λ λ / var λ lugo E λ, var λ λ, / λ, λ S s obsrva los facors d forma coramos qu la grafca s asmérca posva lpocúrca pro a mdda d qu msocúrca λ la grafca d a sr smérca 7

38 DISTRIBUCION DE POISSON,5,,5,,5 6 8 Gráfco.8. Fucos gradoras d momos Cuado s odos los momos d ua dsrbucó so s cuado odos los momos so fos, s posbl asocar ua fucó gradora d momos. S. df sa como E dod s la varabl alaora ua varabl coua; l valor sprado d. srá ua fucó d qu rprsarmos por M. E. p. f d dod s dscra dod s coua M Gra odos los momos d alrddor dl org. Para dmosrar so s drva M co rspco a s valúa la drvada pro as vamos qu: E [ h ] E [ h ] 8

39 d E [ h ] d d d [ h P ] d [ h P ] d la drvada d ua suma s la suma d las drvadas. [ h P ] E [ h ] para l caso couo ha qu r cua qu la drvada d ua gral s la gral d la drvada, Ahora s s r d M r d o r d. E r d o r d. E r o d E r. o E r r Así como los momos alrddor d su fucó gradora d momos los momos alrddor d la mda ambé dcha fucó s df como: M E p f d dod s dscra dod s coua M gra odos los momos alrddor d la mda 9

40 Vamos : r d M r d o r d E r d o r E d r o d E [ r o E r r Ejmplo.: Drmar la fucó gradora d momos d: la dsrbucó Gamma la dsrbucó Ch cuadrado la dsrbucó Epocal usla para calcular la mda, la varaza los facors d forma d cada ua d las dsrbucos. Solucó: La dsrbucó Gamma sa dada por f ;, Lugo su fucó gradora d momos s: >,, > cualqur oro valor. M E. d. d. d Ahora

41 u. s. u.. d du. du d. Rmplazado s qu M. u. u du... u u du... do sa fucó s pud calcular los prmros cuaro momos alrddor d. d d.. o d d [ ]. d d.. o d d. [ ] d d. o d d. [ ].

42 o d d [ ]. d d.. ahora s procd a calcular los momos alrddor d la mda var 6 6 ] [ ] [ ] 8 6 [ ] 6 [ por ulmo los facors d forma / / / var / / var / 6 6 lugo

43 v / M., var,, s s obsrva los cofcs d forma, vmos qu la dsrbucó Gamma s asmérca posvam lpocúrca, s d a. Pro d a sr msocúrca smérca a mdda d qu d a fo. DISTRIBUCION GAMMA 5 5 Gráfco.9 Ahora como la dsrbucó Ch cuadrado s ua dsrbucó Gamma co dod vso los grados d lbrad d la varabl. Eocs: v v / M. v, var v, v, v Igualm la dsrbucó pocal s ua dsrbucó Gamma co, lugo M.

44 , var, Como sa dsarrollado l jmplo., 9 NOTA: E l apédc al fal d s documo s uca la mda, la varaza, los facors d forma la fucó gradora d momos d cada ua d las dsrbucos spcals.

45 CAPITULO TRES DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Frcum sadísca s prsa la csdad d dducr la probabldad d ua fucó d ua o más varabls alaoras. Por jmplo supogamos qu dadas las varabls alaoras fucos,...,, dadas las g,,..., ; g,,..., ; ; g,,...,. Qurmos gral k corar la dsrbucó d Y, Y,..., Y dod Y g,,...,,,,..., k Para so s prsa éccas: Técca d la dsrbucó acumulava Técca d las rasformacos Técca d la fucó gradoras d momos E s capíulo solo s prsara las prmras éccas, la rcra la raarmos mas a fodo l capíulo. 5

46 . Técca d la dsrbucó acumulava Esa écca sa basada como su ombr lo dca la dsrbucó acumulava d probabldads d ua varabl alaora s úl dsrbucos couas d ua o más varabls. Torma.: Sa ua varabl alaora coua co fucó d dsdad f dod f > para a b, supógas la fucó Y g srcam moóoa crc, drvabl, por lo ao coúa para odo, ocs la varabl alaora Y g fucó d dsdad dada por: f Y f d g g d Dmosracó: F Y p Y p g p g F g ahora como f F Y propdad d la dsrbucó acumulava Y f Y d d F g g g g d f d Ejmplo.: S s dsrbu uformm l rvalo π /, π / corar la dsrbucó d Y a Solucó: f U π /, π / Y g a f? f sa dfda como l rvalo l qu s muv Y s Y f π / π / π a, por ao 6

47 F p Y p a p arca Y F arca d f Y f arca arca d π Lo cual dca qu la dsrbucó d Y s ua dsrbucó d Cauch co parámros. Qu sucdría s g fus ua fucó dcrc? Torma.: Sa ua varabl alaora coua co fucó d dsdad f dod f > para a b, supoga la fucó Y g srcam moóoa dcrc, drvabl, por lo ao coúa para odo, ocs la varabl alaora g fucó d dsdad dada por: f Y f d g g d Dmosracó: F Y p Y p g p g p g F g ahora como f F Y Y f Y d d F g g g g d f d Ejmplo.: S s dsrbu uformm l rvalo, corar la dsrbucó d Y l 7

48 Solucó: f U, Y g l f? Y f sá dfda como f l rvalo l qu s muv s L, por ao F Y p Y p l p / p / F / / d / f Y f / d / Lugo la dsrbucó d s la dsrbucó d ua varabl Ch cuadrado co grados d lbrad. El problma d sa écca s qu solo srv para dsrbucos couas a qu las dsrbucos dscras o s cumplo qu f F Y. Y El jmplo qu sgu s mu parcular porqu rcordmos qu las fucos acumulavas la propdad d: F Y p Y g mas gral qudaría p f d p f,, F Y p Y g,,, d d d Ejmplo.: Sa,, varabls alaoras dpds cada ua co dsrbucó ormal sádar. Hall la dsrbucó d Y Solucó: 8

49 f π f π f π Lugo la fucó cojua s: f,,,, π / F Y p Y p. π / F d d d Y A dod A s la rgó drmada por l crculo d cro,, d rado, para facldad s hac u cambo d varabls. Eocs s: ρ cos. s ϕ, ρ s. s ϕ, ρ cos ϕ dod ρ, π, ϕ π Lugo ρ cos. s ϕ ρ s.s ϕ ρ cos ϕ ρ. ϕ [cos s s.s ϕ cos ϕ ] ρ ϕ cos [.s s cos ϕ ] ρ ϕ ρ [.s cos ϕ ] 9

50 Lugo π π ρ / F Y π ρ s ϕ d ϕ d d ρ π π / ρ ρ d d ρ π ρ ρ ρ d ρ ρ d ρ π π π π ρρ ρ d ρ s hacmos ρ w ρ w d ρ dw w F Y π w w dw π w w dw f Y π π / ahora vamos qu: / / π π π / / / Lugo f Y / / / / / / o sa qu Y ua dsrbucó Ch cuadrado co grados d lbrad. 5

51 . Técca d rasformacos Esa écca s usada ao dsrbucos dscras como dsrbucos couas... Técca d rasformacos para varabls dscras Torma.: Supógas qu s ua varabl alaora dscra co dsrbucó d probabldad f. S la fucó Y g df ua rasformacó uo a uo r los valors Y, d al forma qu la cuacó g ga su vrsa g, ocs la dsrbucó d Y s: f Y f g Dmosracó: F Y p Y p g p g f g Ejmplo.: Sa s ua varabl alaora dscra dod su dsrbucó s cura dada por f P,,, cualqur oro caso Ecorar la dsrbucó d Y Solucó: s vara r s v claram qu Y,7,,, ocs g ahora f Y p Y g p p f 5

52 f Y Lugo la dsrbucó d s cura dada por: f Y P Y, 7,, cualqur oro caso Supogamos ahora l problma l qu,,...,, so varabls alaoras dscras co fucó cojua f,,...,,,,..., s dsa corar la probabldad cojua f,,..., d las uvas varabls alaoras Y, Y,..., Y g,,...,, g,,...,,..., g,,...,, las cuals df ua rasformacó uo a uo r los cojuos d puos,,...,,,..., s corara la solucó vrsa úca.s s rsulv las cuacos smuláam g,,...,, g,,...,,..., g,,...,, Torma.: Supógas qu,,...,, so varabls alaoras dscras co dsrbucó d probabldad cojua f,,...,. S las fucos,,..., g,,...,, g,,...,,..., g,,...,, df ua rasformacó uo a uo r los valors,...,,..., d al forma qu las cuacos g,...,,..., g,..., ga vrsa rspcvam g,...,,..., g,...,, ocs la dsrbucó cojua d Y, Y,..., Y, s: f,..., f g,...,,... g,..., ] Y,...,, Y [,..., 5

53 Dmosracó: f Y, Y,..., Y,,,..., p Y, Y,..., Y p g,,..., g,,...,..., g,,... p g,,..., g,,...,..., g,,... f [ g,,...,, g,,...,,... g,,..., ],,..., Ejmplo.5: Sa varabls alaoras dpds d posso. Hall la dsrbucó d la suma d dchas varabls. Solucó: λ λ f! λ λ f!,,,,,,,, f,, λ λ!! λ λ,,,,, Y? f Y Usamos ua varabl aular para podr r ua rasformacó uo a uo. Ahora s procdmos a corar las vrsas: g, g, Y los Irvalos d so: por ao,,,, 5

54 ,,,,, aplcado l orma coramos la dsrbucó cojua d Y Y s f Y Y, f,,, λ λ λ!! λ para corar la dsrbucó d f Y, s calcula la dsrbucó margal d Y, sumado la dsrbucó cojua co rspco a, ocs: f Y λ λ λ f Y, Y, λ!! λ λ λ λ!!! λ λ λ λ!!! λ λ λ λ! f Y λ λ λ λ!,,,, Lugo la dsrbucó d la suma d varabls d posso s ua varabl d posso co parámro λ λ. 5

55 .. Técca d rasformacos para varabls couas E s caso s uca l sgu orma: Torma.5: Supógas qu s ua varabl alaora coua co dsrbucó d probabldad f. S la fucó g df ua corrspodca uo a uo r los valors Y,d al forma qu la cuacó g ga su vrsa g, ocs la dsrbucó d Y s: d d g f f J Y dod J g rcb l ombr d jacobao d la rasformacó. Dmosracó: La dmosracó pud abrrs dos casos, l caso l qu g crc l caso l qu g s dcrc. s Supogamos qu g s crc. b a g a,5 scojamos dos puos arbraros d, por jmplo a b ocs: 55

56 P a Y b P Y b P Y a P g b P g a P g b P g a P [ g a g b ] g b f d g a Ahora cambado la varabl d gracó d a por la rlacó g dría qu: lugo b d [ g ] P a Y b f g [ g ] d a d s como a b rcorr odos los valors prmsbls d smpr qu a < b s qu f Y f g [ g ] f g. J S cooc a J [ g ] como l rcproco d la pd d la lía ag a la curva d la fucó crc g s obvo ocs qu J J. Lugo g f f J Y Supogamos qu g s dcrc. 56

57 b a g a 5 scojamos ora vz puos arbraros d, a b ocs: P a Y b P Y b P Y a P g b P g a P g b P g a P [ g b g a ] g a f d g b ora vz cambado la varabl d gracó d a s qu: a P a Y b f g [ g ] d b b f g [ g ] d a como a b rcorr odos los valors prmsbls d smpr qu qu a < b s P a Y b f g. J s caso la pd d la curva s gava, por ao J J. 57

58 g f f J Y co lo cual s coclu l orma. Ejmplo.6: Sa varabl alaora Β,. Hall la dsrbucó d. Solucó: f Y g? f Y coramos la vrsa d g g Y l rvalo l qu s muv s: aplcado l orma coramos la dsrbucó d Y Y f f Y f Y Y Y Lugo Y s ua dsrbucó Β, 58

59 Torma.6: Supógas qu,...,, so varabls alaoras couas co dsrbucó d probabldad cojua f,,...,. S g,,...,,,,...,, g,,...,,..., g,,...,, df ua rasformacó uo a uo r los valors,,...,,,..., d al forma qu las cuacos g,,...,, g,,...,,..., g,,...,, ga vrsa g,,...,, g,,...,,..., g,,...,,, rspcvam ocs la dsrbucó cojua d Y, Y,..., Y, s: f Y, Y,..., Y,,,..., f g,,...,, g,,...,,... g,,..., ] J [,,..., dod l jacobao s l drma d. J M M M Ejmplo.7: Sa varabls alaoras dpds co dsrbucó ormalm sadarzada. Hall la dsrbucó dl coc d dchas varabls. Solucó: N, f π N, f π f,, π 59

60 f Y? Usamos ua varabl aular para podr r ua rasformacó uo a uo procdmos a corar las vrsas: g, g, Y los Irvalos d so: s caso o ha gua rsrccó lugo l jacobao s J aplcado l orma coramos la dsrbucó cojua d Y Y s f Y Y,,, f, π π, 6

61 f Y para corar la dsrbucó d gramos la dsrbucó cojua co rspco a, ocs: f Y f Y,, d Y π d ahora, s hacmos u du d u lugo f Y π u du u du π π f Y π co lo qu s qu la dsrbucó dl coc d varabls ormal sádar s ua varabl d Cauch co 6

62 CAPITULO CUATRO TÉCNICA DE FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS. Dscrpcó d la écca Es s oro méodo para drmar la dsrbucó d varabls alaoras, s cosrudo bas a la fucó gradora d momos s mu úl alguos casos. Supogamos las varabls alaoras f,...,,..., las fucos,...,,..., co fucó d dsdad cojua g,, g,..., k k k, s dsa corar la dsrbucó d Y g,...,,, Y g,..., apoados qu s la fucó gradora d momos d Y, Y,..., Y k s s: M Y,..., Y k,..., E [ Y... ] p k Y k p Y k Y k f,...,,..., d... d p [,...,... g k,..., k ]... g... f,...,,..., d d 6

63 Dspués d corar la solucó d la aror gral, sa solucó sará dada fucó d,..., k pud sr rcoocda como la fucó gradora d momos d algua dsrbucó coocda, lugo Y,..., qu la fucó gradora d momos u úca., Y Y k drá dcha dsrbucó gracas a E l caso d qu k > s méodo pud sr d uso lmado a qu porqu podmos rcoocr pocas fucos gradoras d momos. Para k la fucó gradora d momos drá u solo argumo por ao srá scllo rcoocr las su fucó gradora d momos. Esa écca s mu úl cuado dsmos corar la dsrbucó d la suma d varabls dpds 8. Ejmplo.: Sa ua varabl alaora co ua dsrbucó Wbull d parámros, obr la dsrbucó d Y Solucó: f p > ;, > M E [ p ] p f d p d p d S hacmos u du d d du 8 Iroduco o h hor of sascs. Mood,Grabll, Bos. Pág 96 6

64 Lugo rmplazado s qu: M u du u du Lugo Y s ua dsrbucó pocal gava co parámro. Ejmplo.: Supógas qu ua dsrbucó ormal co mda varaza, sa Y, corar la dsrbucó d probabldad d Y Solucó: f π M E [ ] Y. p f d p / π d p π d p d π / Lugo 6

65 , σ / σ / / as / M p π σ σ d Lugo Y pos ua dsrbucó Ch cuadrado co grado d lbrad. Eocs la dsrbucó dl cuadrado d ua dsrbucó ormal sádar s ua dsrbucó Ch cuadrado co grado d lbrad / E l sgu jmplo srá csaro mapular la prsó co l f d varos la gracó corar la fucó gradora d momos. Ejmplo.: Sa varabls alaoras dpds cada ua co dsrbucó ormal sádar. Hall la dsrbucó d Y Solucó: f π f π Lugo la fucó cojua s: f,, π ahora M E p p f,, d d p d d π ocs 65

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