( ) 2. Pendiente de una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en x. 1. Para definir la pendiente de la recta tangente ( )

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1 Derivaa e una Función Ínice.. Introucción.. Peniente e una recta tangente.. Derivaa e una función. 4. Derivaas laterales. 5. Derivaa e una función compuesta (Regla e la Caena). 6. Tabla e erivaas usuales. 7. Derivaa e la función inversa. 8. Derivaa implícita. 9. Curva lisa. 0. Curva cerraa.. Curva simple.. Derivaas paramétricas.. Derivaas e oren superior. 4. Bibliografía.. Introucción. Una e las ieas básicas en Cálculo Matemático es el concepto e Derivaa. Para introucir icho concepto se recurre generalmente a os problemas: uno Físico, para calcular la velocia instantánea e un móvil, y otro Geométrico, para eterminar la peniente e la recta tangente a una curva en un punto cualquiera e ella. Los os problemas conucen al mismo cálculo: el límite e un cociente e incrementos cuano el enominaor tiene a cero. Puesto que, muchos problemas importantes epenen e la eterminación e la recta tangente a la gráfica e una función en un punto específico, a continuación se introuce el concepto analítico e la peniente e recta tangente a una función en un punto y luego el concepto e erivaa.. Peniente e una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en. Para efinir la peniente e la recta tangente a la gráfica e f en el punto ( ) a. Sea ; P ; f, consieremos un intervalo abierto I que contiene Q f otro punto sobre la gráfica e f tal que esté contenio en I. La recta que pase por los puntos P y Q se enomina recta secante. y Figura T P(; f ()) y f () - Q(; f ()) y f () - f ()

2 Lic. Eleazar J. García Observe que es el cambio el valor e a, llamao incremento e, y y es el cambio el valor e y f e f ( ) a f ( ), llamao incremento e y. La peniente e la recta que pasa por los puntos P y Q e la curva e la figura., está eterminaa por: f f ( ) mpq Como +, la peniente puee escribirse así: ( + ) f f mpq Consieremos ahora el punto P como un punto fijo, y que el punto Q se mueve a lo largo e la curva hacia P. Esto es igual a ecir que tiene a cero. Si esto sucee la recta secante gira sobre el punto P hasta convertirse en una recta tangente a la curva en el punto P, por lo tanto, la peniente e la recta tangente en icho punto puee ser calculaa meiante la siguiente ecuación: m lím 0 ( + ) f f La notación m( ) nos inica que la peniente que calculemos con la ecuación (A) es la e la recta tangente a la gráfica e la función y f en el punto, f ( ). Ejercicios resueltos. ( A) ( ).) Calcule la peniente e la recta tangente a la parábola f + 4 en el punto Solución: Es eviente que, por lo tanto, aplicano la ecuación (A) tenemos: ( ) ( ) f + f m( ) lím lím lím lím lím lím( 8+ ) Luego, la peniente eigia es: m 8..) Determine la peniente e la recta tangente a la curva f sen en el punto ( π ),. Solución: Apliquemos la ecuación (A), con π m ( π) sen lím 0 ( π + ) sen( π) : ;.

3 Derivaa e Funciones ( π) ( ) + ( ) ( π) ( π) sen cos sen cos sen lím 0 ( ) + ( ) ( π) ( π) sen cos sen cos lím 0 ( ) ( ) ( π) ( π) sen cos sen cos lím + lím 0 0 cos sen sen( π) lím + cos( π) lím 0 0 Ahora, cuano ( ) 0, cos y sen, entonces, ( ) 0 cos sen lím lím lím 0 y lím lím lím, por consiguiente: m ( π) π cos sen sen π lím cos lím sen 0 cos π + π + π 0 0 cos 0. Por lo tanto, la peniente buscaa es: m 0.. Derivaa e una Función. La erivaa e una función f, es una función enotaa por f, tal que para cualquier el ominio e f está aa por: f ( + ) f f lím ( B) 0 si este límite eiste. Si es un número el ominio e f, entonces: f ( + ) f ( ) f ( ) lím 0 si este límite eiste. ( C) El proceso e calcular la erivaa e una función se enomina erivación o iferenciación, es ecir, la erivación o iferenciación es el proceso meiante el cual se

4 4 Lic. Eleazar J. García obtiene f a partir e f. Si una función tiene erivaa en too su ominio, se ice que es una función iferenciable. Ejercicios resueltos..) Determine la erivaa e f, aplicano la ecuación (B). Solución: ( + ) f f f lím lím lím 0 0 ( ) ( ) ( + ( ) + ( ) + ( )) ( ) ( ) 0 lím 0 lím ( ) + ( ) + ( ) lím Por lo tanto, f.) Determine la erivaa e la función g. Solución: Apliquemos la ecuación (B), + + g g g lím lím 0 0

5 Derivaa e Funciones lím lím 0 0 ( + ( ) + ( ) ) lím lím( + ( ) + ( ) ) En conclusión, g.) Determine la erivaa e la función h tg. Aplicano la ecuación (B), tenemos, ( + ) tg( + ) h h - tg h lím lím 0 0 Por consiguiente : tg + tg tg tg tg tg + tg tg + tg tg lím lím tg tg tg lím ( + tg ) lím ( + tg ) sec 0 0 sec h Otras notaciones para la erivaa e una función f son: f y D f. Ejercicios propuestos A. Determine la erivaa e caa una e las siguientes funciones : ) 8 ) 7 5 ) + 4 4) f f f f ) f 6) f 7) f + 8) f ) f 0) f cos ) f 5 + ) f cos + sen

6 6 Lic. Eleazar J. García Teorema. Si una función f es iferenciable en un punto, entonces, f es continua en. Una función f puee no ser iferenciable en c por alguna e las siguientes razones:. La función es iscontinua en c. (Ver figura ). La función es continua en c, pero la gráfica e f tiene una recta tangente vertical en el punto one c. (Ver figura ). La función f es continua en c, pero la gráfica e f no tiene recta tangente en el punto one c. (Ver figura 4). La continuia no implica iferenciabilia. y Figura y Figura (c; f (c)) (c; f (c)) y Figura 4 Y Figura 5 (c; f (c)) T T T T4 (a; f (a)) (b; f (b)) X

7 Derivaa e Funciones 7 La figura 5 muestra la gráfica e una función que no es iferenciable en los puntos one a y b. La gráfica está compuesta por tres curvas. En el punto ( a; f ( a )) se han trazao las siguientes rectas: T tangente a la curva e la izquiera y T tangente a la curva central, las cuales evientemente tienen penientes iferentes. Igualmente se han trazao en el punto ( b; f ( b )) las rectas tangentes T y T 4 que igualmente tienen iferentes penientes. Esta eperiencia nos conuce a pensar en erivaas laterales, lo que estuiaremos a continuación. 4. Derivaas Laterales. i) Si f es una función efinia en, entonces, la erivaa por la erecha e f en, enotaa por f ( ), + lím está efinia por: f + f f f f f lím si el límite eiste., ii) Si f es una función efinia en, entonces, la erivaa por la izquiera e f en enotaa por si el límite eiste. f, está efinia por: f + f f f f lím f lím 0 Ejercicios resueltos..) Determine si la función f es iferenciable en. + si 4 f 4 6 si 4 < Puesto que f está efinia por trozos, se calculan las erivaas laterales en 4. f f f ( 4) lím lím lím lím f f f + ( 4) lím lím lím lím lím + 4

8 8 Lic. Eleazar J. García Como f f 4 4, entonces, f no es iferenciable en 4. +.) Decia si la función g 4 es iferenciable en. Puesto que: 4 si 4, entonces, 4 si < ( 4 + ) ( 4 ) ( + ) g g g lím lím 0 0 ( ) 4 4+ lím lím lím ( + ) g g g + lím lím ( + 4) ( 4) lím lím lím Ahora, sieno g g, entonces, g no es iferenciable en. +.) Determine si la función h cos ( π) h lím 0 cos ( π ) + cos es iferenciable en π. π cos π cos sen π sen cos π lím 0 ( ( ) ) π ( ) cos π cos sen sen lím 0 cos sen cos π lím sen π lím 0 0 ( ) 0, cos y sen ( ), entonces, Ahora, cuano

9 Derivaa e Funciones 9 ( ) 0 cos sen lím lím lím 0 y lím lím lím, luego, cos sen h ( π) cos π lím sen π lím 0 0 cos π 0 sen π sen π ( π) h + lím + 0 cos ( π ) + cos cos π cos sen π sen cos π lím+ 0 ( ( ) ) π ( ) cos π cos sen sen lím+ 0 cos sen cos π lím sen π lím Cuano π 0, cos y sen, entonces, + ( ) 0 cos sen lím lím lím 0 y lím lím lím, luego, cos sen h + ( π) cos π lím sen π lím cos π 0 sen π sen π Puesto que, h ( π) h ( π) entonces, h es iferenciable en π. +,

10 0 Lic. Eleazar J. García Ejercicios propuestos B. Determine si la función aa es iferenciable en. < si < 4 si ) f ) f 7 si si si < si 0 ) f 4) f 0 ( ) si si 0< 5) f + + 6) f + 7) f 0 El proceso el cálculo e la erivaa e una función aplicano la fórmula (B) es muy largo y laborioso, por lo tanto, a continuación se proporcionan algunos teoremas que permiten eterminar las erivaas con mayor facilia; con la finalia e familiarizarnos con las notaciones, la erivaa se epresará con alguna e las tres epresiones equivalentes f, D f, ó f. Teorema. Derivaa e una función constante. f c one c es una constante, entonces: Si, Ejemplo. Si f ( ) 6, entonces, f 0. 0 f Teorema. Derivaa e una función potencial. n Si f, one n es un número racional, entonces: Ejemplo. Si f 6 5, entonces, f n n D n 6. Teorema 4. Derivaa el proucto e una función por una constante. Si g es una función efinia por g c f, one f es una función y c una constante, entonces: Ejemplo. f Si g c f , entonces, D( ) D( )

11 Derivaa e Funciones A partir el resultao obtenio en el ejemplo anterior, poemos enunciar el siguiente teorema. Teorema 5. Derivaa el proucto e una función potencial por una constante. n Si f c, one n es un número entero positivo y c una constante, entonces: n n n ( ) D c c D c n Teorema 6. Derivaa e una aición e funciones. Si f, f, f, f4,, fn son funciones y si f es una función efinia por: y si f f f f f f f f f Ejemplo. n,,,,, n eisten, entonces: f f f f f f 4 Determine f si 4 n f ( 4 ) ( ) + ( 5) 4 D( ) D( ) D D f D D D D D Teorema 7. Derivaa e un proucto e funciones. y Si f y g son funciones y h una función efinia por h f g, y si f g eisten, entonces: Ejemplo. h f g f g g f + +, etermine h. Sea h ( )( ) Apliquemos el teorema 7: h + D + D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Teorema 8. Derivaa e un cociente e funciones. f Si f y g son funciones y h una función efinia por h g, one 0 si f y g eisten, entonces: g y

12 Lic. Eleazar J. García f g D f f D g D g g Ejemplo. Calcule D. + Debemos aplicar el teorema 8: ( + ) + D D D Ejercicios propuestos C. Calcule la erivaa e las funciones aas : + ) f + ) f ( )( 5 + 6) ) f 4) f ) D ( 5)( 4 ) 6) D ( 4 5)( ) ) D + + 8) ) ( 7 ) 0) ( ) ) Para eterminar la erivaa e una función compuesta, se aplica uno e los teoremas más importantes el Cálculo llamao Regla e la Caena. 5. Teorema 9. Derivaa e una función compuesta (Regla e la Caena). Si g es una función iferenciable en y la función h es iferenciable en g( ), entonces, la función compuesta f ( h g) es iferenciable en, y su erivaa es: Ejemplo. ( ) f h g h g g Sean f y g Determinar ( ). f g La función f g está efinia por ( f g) f g + 49.

13 Derivaa e Funciones g ( ) Para aplicar la regla e la caena necesitamos calcular f g f, entonces, f y. Como, y así: f g g Aemás, + como g + 4 9, luego, g 6 4. Por lo tanto, ( ) f g f g g Calcular la erivaa e numerosas funciones aplicano la fórmula (B) es muy laborioso y complicao, por tal razón, a continuación se suministra la siguiente tabla: 6. Tabla e erivaas usuales. n... f k... f 0 f... f f f n n n n... g... f g f g f n g g f g f ln... f g ln... g ±... ±... + g g h g h... f h h... g g ln g g... f ln k g k logb( e) log... f g f f g h f g h f g h f g h g h f f e f e f e f g e f k f k k f k f f b log... f b g f g e logb g h h h f g... f h g ln g + h g g f g... f g g ln g + g g g g g

14 4 Lic. Eleazar J. García... ( ln + ) sen ( )... cos( ) cos ( )... sen( ) tg ( )... f sec ( g ) g cotg ( )... csc ( ) sec ( )... sec( ) tg( ) csc ( )... f csc( g ) cotg ( g ). g g arcsen ( )... ( g ) g arccos ( )... ( g ) g arctg ( )... f + ( g ) g arccotg ( )... + ( g ) g arcsec ( )... g ( g ) g arccsc ( )... f g ( g ) senh ( )... cosh( ) cosh ( )... senh( ) tgh ( )... sech ( ) cotgh ( )... csch ( ) sech ( )... sech( ) tgh( ) csch ( )... csch( ) cotgh( ) g arg senh ( )... + ( g ) g arg cosh ( )... ( g ) f f f g f g g f g f g g f g f g f g g f g f g g g f g f g f f g f f g f g f f g f f g f g f g g f g f g g f g f g g f g f g g f g f g g g f g f g g g f g f f g f

15 Derivaa e Funciones 5 g f arg tgh... f g f arg cotgh ( g )... f + f arg sech g... f g arg csch... f f g g g g ( g ) g g + g Ejercicios resueltos 4. 4.) Calcule la erivaa e la función f ln +. Debemos aplicar el teorema 8 y la regla e la caena, así: ( ln ) ( ) ( ln )( ) ( ) ln + + f + + ( ln )( ln ) ( + ) ( ln ) ( ) ( ln )( + ) ln + + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ln ln 6 ln ln ln ln 6 ln ln ln + + Por ene, f ln ln + ( + )

16 6 Lic. Eleazar J. García 8 + cos 4, etermine g. 4.) Daa la función + g 5 ( 5 ) Apliquemos la regla e la caena en caa sumano. En efecto, g 8 + cos ( 4 ) 8 + cos ( 4 ) ( 5) ( 8 ) ln 8 cos ( 4 ) cos( 4 ) ( ln 8)( 4 )( 8 ) cos ( 4 ) sen ( 4 ) ( 4 ) ( ln 8)( 4 )( 8 ) 60 cos ( 4 ) sen( 4 ) + Por consiguiente, + ln cos ( 4 5 ) sen( 4 5 ) g + 4.) Derive la función h + 7+ ln. + 4 Apliquemos la fórmula para erivar el logaritmo neperiano e una función y resolvamos las erivaas inicaas. Efectivamente, h ln ( + 7+ ) ( + 4) ( + 7+ )( + 4) ( + 4) ( + 7)( + 4) ( 7+ )( )

17 Derivaa e Funciones 7 Por lo tanto, h f e tg. 4.4) Determine la erivaa e la función Apliquemos el teorema 7 y resolvamos las erivaas señalaas, así, f e tg e tg + e tg e tg + e tg tg tg + tg sec e e En conclusión, + f e tg e tg sec 4.5) Calcule la erivaa e la función f + arctg. Aplicano la fórmula que aparece en tabla e erivaas usuales, tenemos que, + + f arctg ( )

18 8 Lic. Eleazar J. García + + ( + )( + ) Por lo tanto, f + 4.6) Daa la función g ( + )( + + ) ln, 4 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( + + ) ( ) calcular g. En efecto, ( + )( + + ) 4 g ln ln 4 ( + ) + ln( + + ) ln( ) ln + + ln + + ln Consecuentemente, + 4 g Derivaa e la función inversa. y f Si la función es iferenciable con respecto e, entonces, f ( y) iferenciable con respecto e y, y se verifica la siguiente relación: es f f ( y) ( D)

19 Derivaa e Funciones 9 Ejercicios resueltos 5. 5.) Determine la erivaa e la función f arccos, aplicano la relación (D). Si y arccos, entonces, cos y, por ene, aplicano la relación (D), tenemos que, f sen y ( cos y) cos y Por lo tanto, f 5.) Sea g tg, calcule g usano la relación (D). Puesto que, y tg, entonces, arctg y, luego, si usamos la relación (D), obtenemos, g + y + tg sec Por consiguiente, g sec ( arctg y) + y 5.) Empleano la relación (D), etermine la erivaa e h Como, y h ( ) y ln, entonces, e en consecuencia, y ( e ), y ln e e Por ene, h ln.

20 0 Lic. Eleazar J. García 5.4) Valiénonos e la relación (D), calcule la erivaa e f +. Sieno y, + entonces, ( y ), así que, f y ( y ) En consecuencia, f 5.5) Daa la función sen g 0, calcule g utilizano la relación (D). sen Ya que, g( ) 0, entonces, ( y) arcsen log, luego, ( log y) y ( log y) g ( ) log e ( log ) log e arcsen log y y y ( log y) sen sen 0 log0 sen sen 0 sen cos 0 log e log e log e sen ln0 cos 0 ; recuere que : logbe ln b. Por lo tanto, g ln0 cos 0 sen 8. Derivaa implícita. Eisten funciones que no pueen epresarse eplícitamente. Por ejemplo, no se puee resolver la ecuación 4+ y + 5y + 4 para y en términos e. Pueen eistir una o más funciones y f tales que f f ; cuano esto es así, se ice que la función f está efinia implícitamente. Ahora, la erivaa e y con respecto a puee eterminarse meiante la iferenciación implícita.

21 Derivaa e Funciones Ejercicios resueltos 6. 6.) Determinemos, aa la ecuación 4+ y + 5y + 4. Para calcular la erivaa peia, iferenciemos ambos miembros e la ecuación con respecto e y espejemos D( y), así: ( 4 + ) ( ) D D y y y ( ) ( 4 ) + ( ) + ( 5 ) + D D D D y D y D y 6.) Sea ( y) y D y yd y D y y y D y D y 0y cos + y y sen, hallar. Diferenciemos ambos miembros con respecto e y espejemos : ( cos( + y) ) ( y sen ) sen + + sen + sen ( y) ( y) y sen( + y) + sen + y cos sen( + y) sen( + y) sen + y cos sen + sen( + y) sen( + y) y cos

22 Lic. Eleazar J. García 6.) Sieno, y ( y) ( + ) cos + sen( + ) sen y y sen y cos +, hallar. Diferenciano ambos miembros con respecto e y espejano, cos( + y) obtenemos, sen + + ( y) ( y) sen( + y) + sen( + y) sen( + y) ( + y) sen + sen + y 6.4) Determine, e la ecuación ( y ) sen. Debemos iferenciar ambos miembros con respecto e y luego espejemos. sen( y) cos( y) ( y) cos( y) y+

23 Derivaa e Funciones y cos( y) + cos( y) Ejercicios propuestos D ( y) y cos cos y Determine la erivaa e y con respecto a : ) + y 5 ) + y 8y ) + y y 4) y sen y 5) y + y y y + y y + y y y 5 6) sen cos 9 7) sen cos 8) cotg 0 9) Supongamos que una partícula se mueve en un plano, e manera tal que sus coorenaas ( ; y ), e su posición en cualquier tiempo t, están aas por las ecuaciones: f t y y g( t). Para caa número t el ominio común e f y g, la partícula se encuentra en el punto f t ; g t, y el conjunto e toos estos puntos escribe una curva plana C recorria por ( ) la partícula. Las ecuaciones f ( t) y y g( t), se llaman ecuaciones paramétricas e C y la variable t se llama parámetro. Si eliminamos el parámetro e las ecuaciones paramétricas, se obtiene una ecuación en e y, la cual es enominaa ecuación cartesiana e C. A partir e una ecuación cartesiana poemos obtener una ecuación paramétrica, y viceversa. Ejemplos. ) Para eterminar unas ecuaciones paramétricas e y, se procee e la manera siguiente: puesto que, la variable y está epresaa en función e, hacemos t e y t, por lo tanto, las ecuaciones paramétricas e y son: t y y t ) Obtenga la ecuación cartesiana e la curva efinia por las ecuaciones paramétricas 5cos t y y 5sen t Para eliminar el parámetro t, se elevan al cuarao los os miembros e caa ecuación paramétrica y se suman, así: + y 5cos t+ 5sen t ( 5cost) y 5( cos t sen t) + + y ( 5sen t) + y 5 A continuación se arán tres efiniciones e términos relacionaos con las curvas planas, las cuales serán aplicaas posteriormente.

24 4 Lic. Eleazar J. García 9. Curca lisa. Una curva plana C efinia por las ecuaciones paramétricas f t y g t a t b y se ice que es lisa o suave en el intervalo cerrao [ ; ] y aemás, f ( t) y g ( t) no son cero simultáneamente en caa t ( a b) Ejemplo. Sea C la curva efinia por las ecuaciones paramétricas f t t g t t t π Como a b si f y g son continuas en [ a b ] ;. 5cos y 5sen 0 f ( t) 5sen t y g ( t) 5cost son continuas para too t [ 0; π], son cero simultáneamente en cualquier t, entonces la curva C es lisa. ;, y aemás, no Si un intervalo I puee partirse en un número finito e subintervalos en los que la curva C es suave, entonces se ice que C es lisa a trozos en I. 0. Curva cerraa. Una curva plana C efinia por las ecuaciones paramétricas f t y g t a t b y se ice que es cerraa si el punto inicial ; B f ( b) ; g( b ). Fig..5 A f a g a coincie con el punto final A B La figura.5 muestra una curva cerraa y lisa one los puntos A y B coincien.. Curva simple. Una curva plana C efinia por las ecuaciones paramétricas f t y g t a t b y se ice que es simple entre los puntos A( f ( a) ; g( a )) y B( f ( b) ; g( b )) si f ( t) ; g( t ) es iferente el punto ( ; ) ( a; b ). Una curva simple no se cruza a sí misma. f t g t para too t y t iferentes el intervalo abierto

25 Derivaa e Funciones 5 En la figura.5 se muestra una curva cerraa simple lisa.. Derivaas paramétricas. Supongamos que una curva lisa C está efinia paramétricamente por f ( t) y y g( t), y que éste par e ecuaciones efine al menos una función iferenciable h para la cual y h. La erivaa e caa función h, enotaa por, está relacionaa con y t meiante la siguiente ecuación:. t t t Si t 0, poemos iviir miembro a miembro entre para obtener: t t. t y Para hallar la erivaa, a la iguala anterior la erivamos con respecto a : y y t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t y t t t t t Para hallar la erivaa manera similar para eterminar y erivamos 4 5 y y,, etc. 4 5 y con respecto a, y se procee e Puesto que, las erivaas paramétricas que hemos consierano son funciones epenientes el parámetro t, las siguientes fórmulas son alternativas para hallar las erivaas paramétricas: Primera erivaa paramétrica: t t

26 6 Lic. Eleazar J. García Seguna erivaa paramétrica: Tercera erivaa paramétrica: y t t t t y y Cuarta erivaa paramétrica: t t 4 y y 4 n-ésima erivaa paramétrica: n n y y n n t. t Ejercicio resuelto 7. Daas las ecuaciones paramétricas t y 5 y t + t, etermine y. y Como 4 4 t, 4, 5t t t t + y y 0 t, t entonces 4 t 5t + y 4t t y 54 ( 4 )( 0 ) ( 5 )( 4) y t t t t t t t + 80t 0t 4 5t. ( 4t) 64t 6t t Usano la fórmula alternativa tenemos que: 4 ( 0t )( 4t) ( 5t + )( 4) 4 4 y 5t + 5t. t t 4t 4t ( 4t) 4t 6t t

27 Derivaa e Funciones 7 Ejercicios propuestos E y Determine las erivaas y. ) cos, sen ) sen, cos ) cos, sen a t y b t a t t y a t a t y b t at at 4), y 5) ln ( cotg t), y tgt+ cotg t 6) 4sen t, y 4 cost + t + t 5 7) cos t, y sen t 8) t + t, y 5t t 9) cos t, y sen t. Derivaa e oren superior. Si la función f es iferenciable en too su ominio, entonces su erivaa f se le llama primera erivaa e f o primera función erivaa. Si la función f es también iferenciable, entonces la erivaa f se enomina seguna erivaa e f o seguna ( n) función erivaa Si continuamos erivano n veces, entonces la erivaa f es llamaa n- ésima erivaa e f. La función f puee representarse como A continuación conoceremos las istintas notaciones para las erivaas e oren superior: Primera erivaa: y, f,, f, D f y,,,, Seguna erivaa: y f f D f y,,,, Tercera erivaa: y f f D f 4 4 y,,,, 4 4 (4) (4) 4 Cuarta erivaa: y f f D f n n y,,,,. n n ( n) ( n) n n-ésima erivaa: y f f D f Para familiarizarnos con la erivación e oren superior, veamos con etenimiento el esarrollo e los siguientes ejemplos. Ejercicios resueltos 8. f, f (4), f (5) ) Las erivaas y f ( ) e f 0. f 5 + son:

28 8 Lic. Eleazar J. García f f f f (4) 5 4 f f ( ) (5) (4) 4 f f (4) 6 8.) Las erivaas f, f, f y f ( ) e sen f son: 6 5 f f sen 6sen cos f f 6sen cos 0sen cos 6 sen f f 0 sen cos 6sen 0sen cos 66sen (4) 5 4 f f 0sen cos 66sen 60sen cos 450sen. 4. Bibliografía [] Rabuffetti Hebe T. Introucción al Análisis Matemático, écima eición. [] Apostol Tom M. Calculus, seguna eición. Trabajo enviao por: Eleazar José García Profesión: Licenciao en Matemática País: Venezuela

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