MATRICES: un apunte teórico-práctico

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1 MRICES: un punte teório-prátio Definiión Un mtriz e tmño n x m es un rreglo e números reles oloos en n fils (o renglones) y m olumns, e l siguiente form: [ ].. n Los números se llmn elementos o entrs e l mtriz. n m m m nm Ejemplos: 5, 7, 6, C D 9 L mtriz es e tmño x (o e oren ) porque tiene fils y olumns. L mtriz es e tmño x porque tiene fils y olumn. E 5 5 Cuáles son los tmños e ls mtries C, D y E? Pr inir un elemento e un mtriz mos su uiión meinte su fil y su olumn. sí, en l mtriz el elemento, el elemento y el elemento. Usos e ls mtries 7, Ls mtries preen en muhos ejemplos en iferentes ienis y en l vi otiin. Por ejemplo, l siguiente tl que muestr ls posiiones en l elimintori sumerin e fútol en el ño 7 es un mtriz e fils y olumns. Los preios e un hotel pueen mostrrse meinte l siguiente tl, que es un mtriz e tmño x: Single Dole riple Con Desyuno $5 $85 $ Mei Pensión $75 $ $8 Pensión Complet $9 $5 $ punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en urismo, Hotelerí, ministrión) UNRN ño

2 Otro ejemplo e uso e mtries son los grfos. Los grfos son gráfios que permiten mostrr lrmente ls reliones entre un onjunto e ojetos. Por ejemplo: minos entre iues, ruts éres, relión lientes-proveeores, rees en generl. Un grfo se form por un onjunto e puntos llmos vérties o noos, y un onjunto e rists que vn e un noo otro noo, e inin qué pres e noos están relionos entre sí. Por ejemplo, pr el grfo e l ereh, el onjunto e noos es,, C, D, E. Si eterminmos que un ini que hy un mino ireto e un noo otro, y un { } ini que no hy mino, l tl y l mtriz sois este grfo son ls siguientes: C D E C D E Un uso muy importnte e ls mtries es l resoluión e sistems e euiones lineles, tem que veremos más elnte. ipos e mtries Ls mtries que tienen igul nti e fils que e olumns se enominn urs. Un mtriz ur e tmño nxn se ie que es e oren n. Los elementos e un mtriz ur pr los ules i j formn l igonl prinipl e l mtriz. Cuáles e ls mtries nteriores son urs? De ests mtries urs, qué elementos formn l igonl prinipl? Ls mtries que tienen un sol fil se enominn vetor fil o vetor renglón. Ls mtries que tienen un sol olumn se enominn vetor olumn. Cuáles e ls mtries nteriores son vetores fil y uáles vetores olumn? Un mtriz uys entrs son toos eros se llm mtriz ero o mtriz nul. Por ejemplo, l mtriz nul e oren es. Cuál son ls mtries nuls e tmño x, x y x5? Un mtriz ur uy igonl prinipl se form sólo por unos y que el resto e los elementos son eros, se llm mtriz ienti. Esrie ls mtries ienti e oren,, y 5. punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en urismo, Hotelerí, ministrión) UNRN ño

3 Un mtriz se llm tringulr superior si tos ls entrs por ejo e l igonl prinipl son eros. Un mtriz se llm tringulr inferior si tos ls entrs por enim e l igonl prinipl son eros. Por ejemplo: ; 8 9 es tringulr superior y es tringulr inferior. L mtriz trspuest e un mtriz e tmño nxm se enot por uy fil i es l olumn i e, y uy olumn j es l fil j e. Por ejemplo: si 5 8 entones 5 8 y es l mtriz e tmño mxn Cuáles son ls trspuests e ls siguientes mtries? P P Q 7 Q Igul e mtries Dos mtries y el mismo tmño son igules si sus elementos orresponientes son igules, es eir,. Ejemplo: si x x Por lo tnto se otiene que: y u u 5 x 5 y entones ee umplirse que: w x w Ejeriio: si M y x x y h y N z 8 5 h m h hllr los vlores e x, y, h, m, z pr que M N. Operiones entre mtries ) Sum y rest e mtries Si [ ] y [ ] omo l mtriz [ ] [ ] son os mtries el mismo tmño, entones se efine l sum e ms mtries tl que, i j y l ifereni e ms mtries omo l mtriz,, i, tl que j punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en urismo, Hotelerí, ministrión) UNRN ño

4 punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en urismo, Hotelerí, ministrión) UNRN ño ) Prouto e un mtriz por un eslr Si [ ] y R k, entones se efine el prouto e l mtriz por el número rel k omo l mtriz [ ] k k Ejeriio: s ls siguientes mtries hllr,,,, 5,, 5. y ) Prouto entre mtries Si [ ] es e tmño nxp y [ ] es e tmño pxm, entones se efine l multipliión e ms mtries omo l mtriz [ ] e tmño nxm tl que, kj ik p k on n i,, y m j,, Ejemplo: sen y. Como es e x y es e x, el prouto e ms será un mtriz e x Es posile relizr el prouto? Por qué?

5 Ejeriio: hllr, si es posile, 5 F G y G F sieno: 5 F y G 9 Propiees e ls operiones entre mtries Sum Conmuttiv: soitiv: ( C) ( ) C Existeni e neutro: one es l mtriz nul Multipliión por un eslr k ( ) k k ( k k ) k k k ( k ) ( kk ) k one es l mtriz nul Propiees e l mtriz trnspuest ( ( ( ) k ) ) k Prouto entre mtries No es onmuttiv, es eir, soitiv: ( C) ( ) C Distriutiv respeto l sum: C) C Existeni e neutro: I I ( y ( C) C one I es l mtriz ienti Oserv que: en los números reles el (ero) es el neutro pr l sum y el (uno) es el neutro pr l multipliión. En ls mtries, l mtriz ero es el neutro pr l sum y l mtriz ienti I es el neutro pr l multipliión entre mtries. Ejeriio: Ds ls mtries siguientes verifique tos ls propiees enunis rri. C k k 5 punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en urismo, Hotelerí, ministrión) UNRN ño 5

6 punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en urismo, Hotelerí, ministrión) UNRN ño 6 Mtriz Invers Se nxn un mtriz e oren n. Se ie que un mtriz nxn el mismo oren es l invers e si se stisfen ls siguientes os igules: I y I Cómo hllr l mtriz invers usno l efiniión Ejemplo: Se y se. Vmos hllr tl que se l invers e. Por efiniión e mtriz invers, ee umplirse que I. Es eir: Pr que ests os últims mtries sen igules ee umplirse que: ommos ls os primers euiones, e ms espejmos : Reemplzno en lgun e ls os euiones otenemos el vlor e : Ejeriio: tomno l terer y urt euiones, otener los vlores e y : Por lo tnto, l mtriz tl que I es. Importnte! No to mtriz ur tiene invers. Ejeriio: Se. Intentr hllr l mtriz invers por el métoo nterior. Qué suee?

7 Importnte: Si un mtriz tiene invers se ie que es invertile o no singulr. Si no tiene invers, se ie que es singulr. l mtriz invers e un mtriz se l enot por. Métoo e Guss pr hllr l invers hor veremos otr form e hllr l invers e un mtriz. Pr esto esriimos l mtriz, segui e un líne vertil, y luego l mtriz ienti I el mismo oren e, es eir: [ I ] ie es, meinte operiones elementles (sum o rest entre fils, prouto e un fil por un eslr, I. intermio e fils) relizs ls fils e y e I, llegr otener lo siguiente: [ ] Veremos el proeimiento on un ejemplo. Vmos hllr l invers e l mtriz ntes / / / /. L Multiplio l primer fil por ( ) y l sumo l segun fil. Multiplio l segun fil por (/). Multiplio l segun fil por ( ) y l sumo l primer fil. Por lo tnto l mtriz invers e es / / Ejeriios: ) hllr ls inverss e M y e N 5 ) Pror on este métoo que l mtriz nteriormente no tiene invers. punte Prof. Mel Chresti Mtemáti II (Li. en urismo, Hotelerí, ministrión) UNRN ño 7

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